高考數(shù)學(xué)必勝秘訣在哪？

一一概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)

基本概念、公式及方法是數(shù)學(xué)解題的基礎(chǔ)工具和基本技能，為此作為臨考前的高三學(xué)生,

務(wù)必首先要掌握高中數(shù)學(xué)中的概念、公式及基本解題方法，其次要熟悉一些基本題型，明確

解題中的易誤點(diǎn)，還應(yīng)了解一些常用結(jié)論，最后還要掌握一些的應(yīng)試技巧。本資料對(duì)高中數(shù)

學(xué)所涉及到的概念、公式、常見(jiàn)題型、常用方法和結(jié)論及解題中的易誤點(diǎn)，按章節(jié)進(jìn)行了系

統(tǒng)的整理，最后闡述了考試中的一些常用技巧，相信通過(guò)對(duì)本資料的認(rèn)真研讀，一定能大幅

度地提升高考數(shù)學(xué)成績(jī)。

一、集合與簡(jiǎn)易邏輯

1.集合元素具有確定性、無(wú)序性和互異性.在求有關(guān)集合問(wèn)題時(shí)，尤其要注意元素的互

異性，如(1)設(shè)P、Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P+Q={a+h\aeP,beQ},若

P={0,2,5},Q={1,2,6},則P+Q中元素的有個(gè)。(答：8)(2)設(shè)

U={(x,y)\x&R,y&R},A={(x,y)\2x-y+m>0],B={(x,y)|x+y-〃40},

那么點(diǎn)P(2,3)eAn(C“6)的充要條件是(答：加>一1,〃<5)；(3)非空集合

S[{1,2,3,4,5},且滿(mǎn)足“若awS,則6—aeS"，這樣的S共有個(gè)(答：7)

2.遇到408=0時(shí)，你是否注意到“極端”情況：A=0或5=0；同樣當(dāng)

時(shí)，你是否忘記A=0的情形？要注意到0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

如集合A={x|ax-l=0},B|x2-3x+2=o|,且AU8=B,則實(shí)數(shù)a=.

(答：a=0,1,-)

2

3.對(duì)于含有〃個(gè)元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個(gè)數(shù)

依次為2",2"—1,2n-l,2"-2.如滿(mǎn)足{1,2}義〃土{1,2,3,4,5}集合M有個(gè)。

(答：7)

4.集合的運(yùn)算性質(zhì)：(l)AU8=AoB=A；(2)4n8=8o8￡A；(3)4

翻之"8；(4)40輛=0=“4S；⑸=U=A=⑹CJADB)

=QAUQB；⑺C0(AU6)=Q.AnQB.如設(shè)全集。={1,2,3,4,5},若CnB={2},

&4)08={4},(ClzA)n(Ct/B)={l,5},則A=____,B=_.(答:4={2,3},

8={2,4})

5.研究集合問(wèn)題，一定要理解集合的意義一一抓住集合的代表元素。如：{x\y=Igx}

一函數(shù)的定義域；{y|y=lgx}-函數(shù)的值域；{(x,y)|y=lgx}—函數(shù)圖象上的點(diǎn)集，如

(1)設(shè)集合A7={x|y=Jx-2},集合N={y|y=,則MP|N=___(答：

[4,+oo))；(2)設(shè)集合M={1|Z=(1,2)+4(3,4),4€2},N={Z|Z=(2,3)+4(4,5),

2e/?},則MCN=(答:{(-2,-2)})

6.數(shù)軸和韋恩圖是進(jìn)行交、并、補(bǔ)運(yùn)算的有力工具，在具體計(jì)算時(shí)不要忘了集合本身

和空集這兩種特殊情況，補(bǔ)集思想常運(yùn)用于解決否定型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問(wèn)題。如已知函

數(shù)f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在區(qū)間[—1』上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c,使

/(c)>0,求實(shí)數(shù)p的取值范圍。(答：(-3,1))

7.復(fù)合命題真假的判斷?！盎蛎}”的真假特點(diǎn)是“一真即真，要假全假”；“且命題”

的真假特點(diǎn)是“一假即假，要真全真”；“非命題”的真假特點(diǎn)是“真假相反”。如在下列說(shuō)

法中：⑴“p且q”為真是“p或q”為真的充分不必要條件；⑵“p月一q”為假是“p或

q”為真的充分不必要條件；⑶"p或q”為真是“非p”為假的必要不充分條件；⑷“非

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p”為真是“p且q”為假的必要不充分條件。其中正確的是（答：（1X3））

8.四種命題及其相互關(guān)系。若原命題是“若p則q”，則逆命題為“若q則p"；否命題

為“若「p則「q”;逆否命題為“若「q則「p”。提醒：（1）互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)

命題，即原命題與逆否命題同真、同假：逆命題與否命題同真同假。但原命題與逆命題、否

命題都不等價(jià)；（2）在寫(xiě)出一個(gè)含有“或”、“且”命題的否命題時(shí)，要注意“非或即且，非

且即或"；（3）要注意區(qū)別''否命題”與“命題的否定”：否命題要對(duì)命題的條件和結(jié)論都否

定，而命題的否定僅對(duì)命題四結(jié)畛否定；（4）對(duì)于條件或結(jié)論是不等關(guān)系或否定式的命題,

一般利用等價(jià)關(guān)系“AnBoFnV'判斷其真假，這也是反證法的理論依據(jù)。（5）哪些命題

宜用反證法？如（1）“在aABC中，若/C=90°,則/A、NB都是銳角”的否命題為一

（答：在A48C中，若NC*9（T,則NA,不都是銳角）；（2）已知函數(shù)

x—2

fM=ax+——,。>1,證明方程〃x）=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根。

x+1

9.充要條件。關(guān)鍵是分清條件和結(jié)論（劃主謂賓），由條件可推出結(jié)論，條件是結(jié)論成

立的充分條件：由結(jié)論可推出條件，則條件是結(jié)論成立的必要條件。從集合角度解釋?zhuān)?/p>

A三8,則A是B的充分條件；若BqA,則A是B的必要條件；若人=8,則A是B的

充要條件。如（1）給出下列命題：①實(shí)數(shù)。=0是直線(xiàn)ax—2y=1與2ax—2y=3平行的

充要條件；②若=0是同+網(wǎng)=|。+可成立的充要條件；③已知“若

孫=0,則x=0或y=0”的逆否命題是“若或yW0則xy。0”；④“若〃和b都

是偶數(shù)，則a+匕是偶數(shù)”的否命題是假命題。其中正確命題的序號(hào)是（答：①④）；

2

（2）設(shè)命題p：|4%-3|<1；命題q:x-（2a+1）X+Q（Q+1）<0o若Ip是iq的必要而

不充分的條件，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（答：

10.一元一次不等式的解法：通過(guò)去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)等步驟化為ax>b

的形式，若。>0,則x〉2；若。<0,則x<2；若a=0,則當(dāng)。<0時(shí)，xsR；當(dāng)620

aa

時(shí)，XG0。如已知關(guān)于x的不等式（a+/?）x+（2a—3b）<0的解集為（一叫一；），則關(guān)于x

的不等式（a—33%+3一2。）>0的解集為（答：｛x|x<-3｝）

11.一元二次不等式的解集（聯(lián)系圖象）。尤其當(dāng)△=（）和A<0時(shí)的解集你會(huì)正確表示

嗎？設(shè)a>0,是方程ax2+Z?x+c=0的兩實(shí)根，且當(dāng)<》2，則其解集如下表：

ax2++c>0ax2++c>0ax2+bx-\-c<Qax2+bx+c<0

A>0｛x|x<玉或x〉聲｝{x|xV玉或x2々}{x|x]<x<x2}{x|x]<x<x2}

A=0,、b、{x|x=-芻

{xx#-—}Rs

2a2a

A<0RR。

如解關(guān)于x的不等式：ax2-（a+l）x+1<0,（答：當(dāng)a=0時(shí)，x>l；當(dāng)a<0時(shí),

x〉l或x<,；當(dāng)0<a<l時(shí)，l<x<L；當(dāng)a=l時(shí)，xe0；當(dāng)a〉l時(shí)，—<x<1）

aaa

12.對(duì)于方程a/+bx+c=0有實(shí)數(shù)解的問(wèn)題。首先要討論最高次項(xiàng)系數(shù)a是否為0,

其次若awO,則一定有△=/—4ac20。對(duì)于多項(xiàng)式方程、不等式、函數(shù)的最高次項(xiàng)中

含有參數(shù)時(shí),你是否注意到同樣的情形？如：（1）（。-2）/+2（。一2）x-1<0對(duì)一切％6/?

恒成立，則a的取值范圍是（答：（1,2］）；（2）關(guān)于x的方程/（x）=上有解的條

當(dāng)前第2頁(yè)共58頁(yè)

TT

件是什么？（答：kwD,其中。為/（x）的值域），特別地，若在［0,§］內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)

根滿(mǎn)足等式cos2x+Jjsin2x=R+l,則實(shí)數(shù)k的范圍是.（答：［0,1））

13.一元二次方程根的分布理論。方程/（幻=取2+必+。=0（。＞0）在&+8）上有兩

根、在（根,〃）上有兩根、在（-oo?）和仕,+8）上各有一根的充要條件分別是什么？

/（，”）＞o

（"伏）＞0、\：/砌b（?）＞0、/U）＜0）。根的分布理論成立的

bb

-->km<--<n

2a2a

前提是開(kāi)區(qū)間，若在閉區(qū)間［〃?,”］討論方程f（x）=o有實(shí)數(shù)解的情況，可先利用在開(kāi)區(qū)間

（用,〃）上實(shí)根分布的情況，得出結(jié)果，再令％=〃和、=用檢查端點(diǎn)的情況.如實(shí)系數(shù)方程

/+公+2力=0的一根大于0且小于1,另一根大于1且小于2,則二的取值范圍是

(答：(-,1))

4

14.二次方程、二次不等式、二次函數(shù)間的聯(lián)系你了解了嗎？二次方程0?+么+。=0的

兩個(gè)根即為二次不等式好2+必+，＞o（＜0）的解集的端點(diǎn)值，也是二次函數(shù)

）；=。/+/+。的圖象與》軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。如（1）不等式4〉分+（的解集是（4力）,

1,

貝Ua=（答：一）；（2）若關(guān)于x的不等式“r+bx+cvO的解集為

----------8

（-co,?n）U（?,+℃＞），其中tn＜n＜0,則關(guān)于x的不等式ex?-匕*+〃＜0的解集為

（答：（-8,-工川（一L+8））；（3）不等式3/一2云+1W0對(duì)xw［—1,2］恒成立，則實(shí)

mn

數(shù)b的取值范圍是（答：0）。

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一一概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)

二、函數(shù)

1.映射/：AfB的概念。在理解映射概念時(shí)要注意：⑴A中元素必須都有象且唯?：

⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如（1）設(shè)是集合M到N的

映射，下列說(shuō)法正確的是A、"中每一個(gè)元素在N中必有象B、N中每一個(gè)元素在

M中必有原象C、N中每一個(gè)元素在M中的原象是唯一的D、N是〃中所在元

素的象的集合（答：A）；（2）點(diǎn)（。,6）在映射/的作用下的象是（a-b,a+b）,則在/作

用下點(diǎn)（3,1）的原象為點(diǎn)（答：（2,-I））；（3）若4={1,2,3,4},B={a,b,c},

a,b,ceR,則4到6的映射有一個(gè)，8到A的映射有一個(gè)，A到8的函數(shù)有一個(gè)（答:

81,64,81）；（4）設(shè)集合M={—1,O,1},N={1,2,3,4,5},映射/:〃fN滿(mǎn)足條件“對(duì)任

意的xwM,x+/（x）是奇數(shù)”，這樣的映射/有個(gè)（答：12）；（5）設(shè)/:x-＞x2是

集合A到集合B的映射，若8={1,2},則AflB一定是（答：。或{1}）.

2.函數(shù)/:AfB是特殊的映射。特殊在定義域A和值域B都是非空數(shù)集！據(jù)此可知函

數(shù)圖像與x軸的垂線(xiàn)至多有一個(gè)公共點(diǎn)，但與y軸垂線(xiàn)的公共點(diǎn)可能沒(méi)有,也可能有任意個(gè)。

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如(1)已知函數(shù)f(x),xeF,那么集合｛(x,y)|y=/(x),xeb｝n｛(x,y)|x=l｝中所

含元素的個(gè)數(shù)有個(gè)(答：0或1)；(2)若函數(shù)y=gx2-2x+4的定義域、值域都

是閉區(qū)間［2,2切，則6=(答：2)

3.同一函數(shù)的概念。構(gòu)成函數(shù)的三要素是定義域，值域和對(duì)應(yīng)法則。而值域可由定義

域和對(duì)應(yīng)法則唯確定，因此當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同時(shí)，它們一定為同一函

數(shù)，如若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱(chēng)這些函數(shù)為“天一函

數(shù)”，那么解析式為)，=/，值域?yàn)椋?,1｝的“天一函數(shù)”共有個(gè)(答：9)

4.求函數(shù)定義域的常用方法(在研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)要樹(shù)立定義域優(yōu)先的原則)：

(1)根據(jù)解析式要求如偶次根式的被開(kāi)方大于零，分母不能為零，對(duì)數(shù)log”x中

TTTT

x>0,a>0且awl,三角形中0<A〈乃，最大角之一，最小角〈一等。如(1)函數(shù)

33

kx+7

y=J'S二，的定義域是(答:(0,2)U(2,3)U(3,4))(2)若函數(shù)y

lg(x-3)2;kx2+4kx+3

的定義域?yàn)镽，則ke(答：0,j1)：(3)函數(shù)/(x)的定義域是［2切，h>-a>0,

則函數(shù)尸(x)=f(x)+/(-x)的定義域是(答：口,一0)；(4)設(shè)函數(shù)

/(x)=lg(ax2+2x+l),①若/(X)的定義域是R,求實(shí)數(shù)。的取值范圍：②若/(x)的值

域是R，求實(shí)數(shù)。的取值范圍(答：①a>l：②OWaKl)

(2)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求確定自變量的范圍。

(3)復(fù)合函數(shù)的定義域：若一知/(x)的定義域?yàn)橹盗Γ?其復(fù)合函數(shù)〃g(x)］的定義域

由不等式a4g(x)Wb解出即可;若已知/［g(x)］的定義域?yàn)槠?，句，?(x)的定義域，相

當(dāng)于當(dāng)xe［a,/時(shí)，求g(x)的值域(即的定義域)。如(1)若函數(shù)y=/(x)的定義

域?yàn)?,2,則/(logzx)的定義域?yàn)?答：｛x|V2<x<4｝);(2)若函數(shù)

/(/+1)的定義域?yàn)椋垡?,1),則函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?答：［1,5］).

5.求函數(shù)值域(最值)的方法：

(1)配方法一一二次函數(shù)(二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類(lèi)：一是求閉區(qū)間［加,〃］

上的最值；二是求區(qū)間定(動(dòng))，對(duì)稱(chēng)軸動(dòng)(定)的最值問(wèn)題。求二次函數(shù)的最值問(wèn)題，勿

忘數(shù)形結(jié)合，注意“兩看”：一看開(kāi)口方向；二看對(duì)稱(chēng)軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系)，如(1)

求函數(shù)y=x2—2x+5,xw［—1,2］的值域(答：［4,8］)；(2)當(dāng)xe(0,2］時(shí)，函數(shù)

/(x)=a/+4(a+l)x-3在x=2時(shí)取得最大值，則。的取值范圍是—(答：

(3)已知/(x)=3j(24xW4)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,1),則/(x)="T(x)F—的值域

為(答：［2,5］)

(2)換元法一一通過(guò)換元把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單易求值域的函數(shù)，其函數(shù)特征

是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，如(1)y=2sin2x—3cosx-1的值域?yàn)?/p>

(答:［-4,y］)；(2)y=2x+l+Jj^的值域?yàn)?答：(3,+oo))(令五=T=f,

r>0.運(yùn)用換元法時(shí)，要特別要注意新元，的范圍)；(3)y=sinx+cosx+sinxcosx的

值域?yàn)椤?答：［-1,3+挺］)；(4)y=x+4+j9-f的值域?yàn)楱D(答：［1,372+4］)；

(3)函數(shù)有界性法一一直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過(guò)函數(shù)的有界性，來(lái)

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9qjn0—}

確定所求函數(shù)的值域，最常用的就是三角函數(shù)的有界性，如求函數(shù)y=,

1+sin。

3'2sin1/4/十心/依/1/3..

y=「77，y=------丁的值域(答：(-00,-],(o,i)x>(-00,-])；

(4)單調(diào)性法一一利用一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性，

如求y=x-1(l<x<9),y=sin2x+---,y=2A§+log?Jx—1的值域?yàn)開(kāi)___________

x1+sinx

(答：(0噂)、,⑼、[2,10])；

(5)數(shù)形結(jié)合法一一函數(shù)解析式具有明顯的某種兒何意義，如兩點(diǎn)的距離、直線(xiàn)斜率、

等等，如(1)已知點(diǎn)P(x,y)在圓f+y2=i上，求—2二及y—2x的取值范圍(答：

x+2

[-V5,V5]);(2)求函數(shù)y=J(x-2)2+J(x+8)2的值域(答:[10,+oo))；

(3)求函數(shù)y=yjx1-6x+13+Jx?+4x+5及y=Jx：-6x+13-Jx。+4x+5的值域

(答：[聞,+8)、(-V26,V26))注意：求兩點(diǎn)距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使兩定

點(diǎn)在x軸的兩側(cè)，而求兩點(diǎn)距離之差時(shí)，則要使兩定點(diǎn)在x軸的同側(cè)。

(6)判別式法一一對(duì)分式函數(shù)(分子或分母中有一個(gè)是二次)都可通用，但這類(lèi)題型

有時(shí)也可以用其它方法進(jìn)行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過(guò)部分分式后，再利用

均值不等式：

①型，可直接用不等式性質(zhì)，如求y方的值域(答：(0,3])

憶Ix2Ix2

②了二丁h巴x一型，先化筒，再用均值不等式，如(1)求y=—X的值域(答：

(-00,-])；(2)求函數(shù)y=正亙的值域(答：[0當(dāng))

2x+32

③,==吟+〃：型,通常用判別式法；如已知函數(shù)y=Iog3〃?x-：+4的定義域

x+mx+nx+1

為R,值域?yàn)閇0,2],求常數(shù)〃〃的值(答：m=孔=5)

x~+vYix+nx~+r4-1

④),二X十小…型，可用判別式法或均值不等式法,如求y=X十"I的值域(答:

mx-^nx+l

(-oo,-3]U[l,+oo))

(7)不等式法一一利用基本不等式a+822瘋(a/e/T)求函數(shù)的最值，其題型特

征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過(guò)有時(shí)須要用到拆項(xiàng)、添

項(xiàng)和兩邊平方等技巧。如設(shè)x,a”a,,y成等差數(shù)列，x,4,成等比數(shù)列，則—+%)的

4為

取值范圍是.(答：(—OO,0]U[4,+8))。

(8)導(dǎo)數(shù)法-----般適用于高次多項(xiàng)式函數(shù)，如求函數(shù)/(刈=2/+4》2—40x,

xe[-3,3]的最小值。(答：-48)

提醒：(1)求函數(shù)的定義域、值域時(shí)，你按要求寫(xiě)成集合形式了嗎？(2)函數(shù)的最值

與值域之間有何關(guān)系？

6.分段函數(shù)的概念。分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表

示對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是?類(lèi)較特殊的函數(shù)。在求分段函數(shù)的值/(%)時(shí)，一定首先要判斷

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X。屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同

子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集，如(1)設(shè)函數(shù)/(x)=/L__，則使得

4-vr^i.(x>i)

/(x)21的自變量x的取值范圍是(答：(-a),-2]U[0,10])；(2)已知

/(x)=Jl(X-0)，則不等式x+(x+2)/(x+2)45的解集是________(答：(—8」])

-1(x<0)2

7.求函數(shù)解析式的常用方法：

(1)待定系數(shù)法一一已知所求函數(shù)的類(lèi)型(二次函數(shù)的表達(dá)形式有三種：一般式：

/(x)=ax2+bx+c；頂點(diǎn)式：/(x)=a(x-m)2+n；零點(diǎn)式：f(x)-a(x-,

要會(huì)根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，靈活地選用二次函數(shù)的表達(dá)形式)。如已知/(x)為二次函數(shù)，

且/(x-2)=/(-x-2),且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為2J5,求/(x)的解析

式。(答：/(X)=1X2+2X+1)

(2)代換(配湊)法一一已知形如/(g(x))的表達(dá)式，求/(x)的表達(dá)式。如(1)已

知/(I-cosx)=sin:x,求/(x：)的解析式(答：f(x2)--x4+2x2,xe[-42,yj2])；(2)

1,1,

若/(x-―)=/+=,則函數(shù)“X—1)=(答：?-2x+3)；(3)若函數(shù)/(x)是

XX

定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)xe(0,+8)時(shí)，/(x)=x(l+y)，那么當(dāng)xe(—8,0)時(shí)，

/(x)=(答：x(l-近)).這里需值得注意的是所求解析式的定義域的等價(jià)性，

即/(x)的定義域應(yīng)是g(x)的值域。

(3)方程的思想一一己知條件是含有/(X)及另外一個(gè)函數(shù)的等式，可抓住等式的特

征對(duì)等式的進(jìn)行賦值，從而得到關(guān)于f(x)及另外一個(gè)函數(shù)的方程組。如(1)已知

2

/(x)+2/(-x)=3x-2,求/(幻的解析式(答：f(x)=-3x--\(2)已知/(x)是奇

1X

函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且/(x)+g(x)=----，則/(%)=_________(答：——)c

x-1X-1

8.反函數(shù)：

(1)存在反函數(shù)的條件是對(duì)于原來(lái)函數(shù)值域中的任一個(gè)y值，都有唯一的x值與之對(duì)

應(yīng)，故單調(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù)，但反之不成立；偶函數(shù)只有/(x)=0(xe{0})有反函數(shù):

周期函數(shù)一定不存在反函數(shù)。如函數(shù)y=xz-2ax-3在區(qū)間[1,2]上存在反函數(shù)的充要條

件是A、aeB、ae[2,+8)C>ae[1,2]D、aeU[2,+oo)(答:

D)

(2)求反函數(shù)的步驟：①反求x：②互換x、y：③注明反函數(shù)的定義域(原來(lái)函數(shù)

的值域)。注意函數(shù)y=/(x+l)的反函數(shù)不是y=/T(x+l),而是y=/-'(x)-1。如設(shè)

“勸=(坐2。>0).求/")的反函數(shù)廣心)(答:f-,(x)=-^—(x>l)).

Xy/x-1

(3)反函數(shù)的性質(zhì)：

①反函數(shù)的定義域是原來(lái)函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原來(lái)函數(shù)的定義域。如單調(diào)遞增

函數(shù)/(x)滿(mǎn)足條件/(如+3)=*,其中“W0,若/(x)的反函數(shù)/T(x)的定義域?yàn)?/p>

'14'

,則/(x)的定義域是(答：[4,7]).

aa

②函數(shù)y=f(x)的圖象與其反函數(shù)y=f-\x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，注意函數(shù)

當(dāng)前第6頁(yè)共58頁(yè)

)，=/*)的圖象與、=/一|()，)的圖象相同0如(1)已知函數(shù)y=/(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(1,1),那

么〃4-x)的反函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)(答：(1,3))；(2)已知函數(shù)〃用=土」，

x-1

7

若函數(shù)y=g(x)與y=/T(x+l)的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，求g(3)的值(答：-)；

③/(a)=/?o/T(/0=a。如(1)已知函數(shù)/(x)=log3(±+2),則方程/T(X)=4

X

的解x=(答：1)；(2)設(shè)函數(shù)凡X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱(chēng)，且存在反函數(shù)/T(x),

"4)=0,則廣1(4)=(答：-2)

④互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性和奇函數(shù)性。如已知f(x)是R上的增函數(shù),

點(diǎn)4(-1,1),8(1,3)在它的圖象上，尸(x)是它的反函數(shù)，那么不等式尸(log?到<1的解集

為(答：(2,8))；

⑤設(shè)/(x)的定義域?yàn)锳,值域?yàn)锽,則有了"T(X)]=X(XGB),f-'[f(x)]=x

(X"),但力尸(刈*尸"(刈。

9.函數(shù)的奇偶性。

(1)具有奇偶性的函數(shù)的定義域的特征：定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)！為此確定函數(shù)的

奇偶性時(shí)，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。如若函數(shù)/(x)=2sin(3x+6),

xe[2a—5〃,3a]為奇函數(shù)，其中6w(0,2萬(wàn))，則a—。的值是_(答：0)；

(2)確定函數(shù)奇偶性的常用方法(若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡(jiǎn)，再判斷

其奇偶性)：

①定義法：如判斷函數(shù)y=與±i的奇偶性」(答：奇函數(shù))。

②利用函數(shù)奇偶性定義的等價(jià)形式：/(幻±/(-幻=0或四=±1(/(》)=0)。如

/(方

判斷/(x)=x(Ui+g)的奇偶性—.(答：偶函數(shù))

③圖像法：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。

(3)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：

①奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原

點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.

②如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù).

③若/*)為偶函數(shù)，則/(-%)=/(x)=f(|x|).如若定義在R上的偶函數(shù)/(x)在

(-8,0)上是減函數(shù)，且“；)=2,則不等式/(log|x)>2的解集為_(kāi).(答：

(0,0.5)U(2,+s))

④若奇函數(shù)/(x)定義域中含有0,則必有/(0)=0.故/(0)=0是f(x)為奇函數(shù)的既

/7*2r4-ci—2

不充分也不必要條件。如若/(x)=為奇函數(shù),則實(shí)數(shù)4=—(答：1).

2+1

⑤定義在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的任意一個(gè)函數(shù)，都可表示成“一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)

/(X)+f(X)

的和(或差)"。如設(shè)/(x)是定義域?yàn)镽的任-函數(shù)，F(xiàn)(x)=2~，

G(x)=。①判斷F(x)與GQ)的奇偶性；②若將函數(shù)f(x)=lg(10'+1),

表示成一個(gè)奇函數(shù)g(x)和一個(gè)偶函數(shù)6(x)之和，則g(x)=(答：①/(x)為偶函數(shù)，

當(dāng)前第7頁(yè)共58頁(yè)

G(x)為奇函數(shù)；②g(x)=；x)

⑥復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.

⑦既奇又偶函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)(/(x)=0,定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的任意一個(gè)數(shù)集).

10.函數(shù)的單調(diào)性。

(1)確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法：

①在解答題中常用：定義法(取值一一作差一一變形一一定號(hào))、導(dǎo)數(shù)法(在區(qū)間伍力)

內(nèi)，若總有/*)>0,則/(x)為增函數(shù)；反之，若/(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)為增函數(shù)，貝ij

/'(x)20,請(qǐng)注意兩者的區(qū)別所在。如已知函數(shù)/(》)=1-辦在區(qū)間口,+8)上是增函數(shù),

則a的取值范圍是—(答：(0,3］))；

b

②在選擇填空題中還可用數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等等，特別要注意y=ax+Z(a>0

x

8>0)型函數(shù)的圖象和單調(diào)性在解題中的運(yùn)用：增區(qū)間為(-8,-噲］，［仁,+8),減區(qū)間為

［一肚,0),(0,伯.如⑴若函數(shù)/(刈=/+2(?！猯)x+2在區(qū)間(-8,4］上是減函

VaVa

數(shù)，那么實(shí)數(shù)。的取值范圍是一(答：。4—3))；(2)已知函數(shù)/(》)=竺聚在區(qū)

x+2

間(-2,+8)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍(答：(1,+00))；(3)若函數(shù)

“X)=log—>0,且a*1)的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____(答：

0<。44且"1))；

③復(fù)合函數(shù)法：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的特點(diǎn)是同增異減，如函數(shù)>=108］(--+2*的單

2

調(diào)遞增區(qū)間是__(答：(1,2))。

(2)特別提醒：求單調(diào)區(qū)間時(shí)，一是勿忘定義域，如若函數(shù)/(x)=log“(x2—ax+3)

在區(qū)間(-00,上為減函數(shù)，求。的取值范圍(答：(1,26))；二是在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間

不一定能添加符號(hào)“U”和“或”；三是單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表

示.

(3)你注意到函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的逆用了嗎？(①比較大小；②解不等式；③求參數(shù)

范圍).如已知奇函數(shù)“X)是定義在(―2,2)上的減函數(shù),若/(m—1)+/(2a—1)>0,求

1?

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍。(答：一一</〃<一)

23

11.常見(jiàn)的圖象變換

①函數(shù)y=/(》+。)5>0)的圖象是把函數(shù))，=/(x)的圖象沿x軸向左平移a個(gè)單

位得到的。如設(shè)/(x)=2，g(x)的圖像與/(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，〃(x)的圖像

由g(x)的圖像向右平移1個(gè)單位得到，則//(x)為(答：/z(x)=-log2(x-l))

②函數(shù)y=/(x+a)((a<0)的圖象是把函數(shù)y=/(x)的圖象沿x軸向右平移回個(gè)單

位得到的。如(1)若/(X+199)=4/+4X+3,則函數(shù)/(x)的最小值為—(答：2)；(2)

要得到y(tǒng)=lg(3-x)的圖像，只需作y=Igx關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的圖像，再向平移3個(gè)

單位而得到(答：y；右)；(3)函數(shù)/(x)=x/g(x+2)—1的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有

個(gè)(答：2)

當(dāng)前第8頁(yè)共58頁(yè)

③函數(shù)y=f[x)+a(a>0)的圖象是把函數(shù)y=/(x)助圖象沿y軸向上平移a個(gè)單

位得到的；

④函數(shù)y=f(x)+a伍<0)的圖象是把函數(shù))，=/(x)助圖象沿y軸向下平移個(gè)單

b

位得到的；如將函數(shù)y=，一+a的圖象向右平移2個(gè)單位后又向下平移2個(gè)單位，所得圖

x+a

象如果與原圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，那么(A)a=—l,bwO(B)a=-\,beR

(C)a=l,/?wO(D)a=O,bwR(答：C)

⑤函數(shù)y=f(ax)(。>0)的圖象是把函數(shù)〉=/(x)的圖象沿X軸伸縮為原來(lái)的L得

a

到的。如(1)將函數(shù)y=/(x)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的;(縱坐標(biāo)不變)，再

將此圖像沿x軸方向向左平移2個(gè)單位，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為_(kāi)___(答：/(3x+6))；(2)

如若函數(shù)y=/(2x-l)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f(2x)的對(duì)稱(chēng)軸方程是(答：x=-1).

⑥函數(shù)y=aZ'(x)(a>0)的圖象是把函數(shù)、=/(x)的圖象沿y軸伸縮為原來(lái)的a倍得

到的.

12.函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性。

①滿(mǎn)足條件f(x-a)=f(b-x)的函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=等對(duì)稱(chēng)。如已知二次函

數(shù)/(x)=ax2+bx{aH0)滿(mǎn)足條件/(5-x)=/(x-3)且方程f(x)=x有等根,則f(x)

1

=(答：——廠9+X);

2

②點(diǎn)(x,y)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(r,y)；函數(shù)y=/(x)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)方程為

y=/(-x)：

③點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x,-y)；函數(shù)y=/(x)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)方程為

④點(diǎn)(x,y)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(-x,-y)；函數(shù)y=/(x)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)方程為

y=-/(-x);

⑤點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線(xiàn)y=±x+a的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(土(y-a),±x+a)；曲線(xiàn)/(x,y)=0關(guān)于

直線(xiàn)y=±x+a的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)的方程為/(±(y—a),±x+a)=0。特別地，點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線(xiàn)

y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(y,x)；曲線(xiàn)/(x,y)=0關(guān)于直線(xiàn)y=x的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)的方程為/(y,x)

=0；點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線(xiàn)丁=一》的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(―y,—x)；曲線(xiàn)/(x,y)=0關(guān)于直線(xiàn)丁=一》的

X-33

對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)的方程為/(—乂―x)=0。如己知函數(shù)f(x)=——,(x工一)，若y=/(x+1)的

2x-32

圖像是G，它關(guān)于直線(xiàn)y='對(duì)稱(chēng)圖像是。2，c2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖像為G,則g對(duì)應(yīng)的函

數(shù)解析式是___________(答：y=—土於)；

'2x+l

⑥曲線(xiàn)/。,〉)=0關(guān)于點(diǎn)(。1)的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)的方程為了(2。-尤,2萬(wàn)-田=0。如若函數(shù)

y=x2+x與y=g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-2,3)對(duì)稱(chēng)，則g(x)=(答：-x2-7x-6)

⑦形如>=0巧伍/o,ad*兒)的圖像是雙曲線(xiàn)，其兩漸近線(xiàn)分別直線(xiàn)x=—4

ex*1ci-c

(由分母為零確定)和直線(xiàn)y=￡(由分子、分母中x的系數(shù)確定)，對(duì)稱(chēng)中心是點(diǎn)(-§,2)。

如已知函數(shù)圖象C'與C:y(x+a+1)=ax+/+1關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，且圖象C關(guān)于點(diǎn)

當(dāng)前第9頁(yè)共58頁(yè)

(2,-3)對(duì)稱(chēng)，則〃的值為(答：2)

⑧I/(X)|的圖象先保留/(X)原來(lái)在X軸上方的圖象，作出X軸下方的圖象關(guān)于X軸的

對(duì)稱(chēng)圖形，然后擦去X軸下方的圖象得到；/(|x|)的圖象先保留/(X)在)，軸右方的圖象，

擦去y軸左方的圖象，然后作出y軸右方的圖象關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)圖形得到。如(1)作出函

數(shù)y=|log2(x+l)|及y=log2|x+l|的圖象；(2)若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),

則函數(shù)尸(x)=|/(x)|+/(W)的圖象關(guān)于一對(duì)稱(chēng)(答：y軸)

提醒：(1)從結(jié)論②③④⑤⑥可看出，求對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)方程的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是利用代入法轉(zhuǎn)

化為求點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題；(2)證明函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性，即證明圖像上任一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心(對(duì)

稱(chēng)軸)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在圖像上；(3)證明圖像G與G的對(duì)稱(chēng)性，需證兩方面：①證明G上

任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心(對(duì)稱(chēng)軸)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在G上；②證明。2上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心(對(duì)

稱(chēng)軸)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在G上。如(1)已知函數(shù)=求證：函數(shù)/(X)

a-x

的圖像關(guān)于點(diǎn)M(a,-1)成中心對(duì)稱(chēng)圖形；(2)設(shè)曲線(xiàn)C的方程是)，=/一》,將c沿x軸,

y軸正方向分別平行移動(dòng)單位長(zhǎng)度后得曲線(xiàn)G。①寫(xiě)出曲線(xiàn)&的方程(答：

)，=(x-o3-(x-f)+$)；②證明曲線(xiàn)c與G關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。

13.函數(shù)的周期性。

(1)類(lèi)比“三角函數(shù)圖像”得：

①若y=/(x)圖像有兩條對(duì)稱(chēng)軸x=a,x=A(awb),則y=/(x)必是周期函數(shù)，且

一周期為T(mén)=2|a-b|；

②若y=y(x)圖像有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心A(a,O),B(仇0)(a+b),則y=/(x)是周期函數(shù)，

且一周期為7=2|a—b|；

③如果函數(shù)y=/(x)的圖像有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心A(a,O)和一條對(duì)稱(chēng)軸x=/a4),則函數(shù)

y=必是周期函數(shù)，且一周期為T(mén)=4|a—們；

如己知定義在R上的函數(shù)/(x)是以2為周期的奇函數(shù)，則方程/(%)=0在［-2,2］上

至少有__________個(gè)實(shí)數(shù)根(答：5)

(2)由周期函數(shù)的定義“函數(shù)/(x)滿(mǎn)足/(x)=〃a+x)(a>0),則/(x)是周期為a

的周期函數(shù)”得：

①函數(shù)/(x)滿(mǎn)足—〃x)=/(a+x),則/(x)是周期為2a的周期函數(shù)：

②若/(x+a)=」一(“#0)恒成立，則T=2a；

/(x)

③若〃x+a)=——L(awO)恒成立，則T=2a.

/(x)

如⑴設(shè)/(X)是(-00,+8)上的奇函數(shù)，/(x+2)=—/(x),當(dāng)OWxWl時(shí)，

/(x)=x,則/(47.5)等于(答：-0.5);(2)定義在R上的偶函數(shù)“X)滿(mǎn)足

/(x+2)=/(x),且在［-3,-2］上是減函數(shù)，若a,￡是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則

/(sina)J(cos￡)的大小關(guān)系為(答：/(sina)>/(cos^));(3)已知〃x)是

偶函數(shù)，且/⑴=993,g(x)=/(x—1)是奇函數(shù)，求/(2005)的值(答：993);(4)設(shè)/(x)

是定義域?yàn)镽的函數(shù)，且/(x+2)［l—/(x)］=l+/(x),又〃2)=2+0,則

/(2006)=(答：當(dāng)匚)

14.指數(shù)式、對(duì)數(shù)式: