一元一次方程知識點(diǎn)總結(jié)（一）、方程的有關(guān)概念1.方程：含有未知數(shù)的等式就叫做方程.2.一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)(元)x，未知數(shù)x的指數(shù)都是1(次)，這樣的方程叫做一元一次方程.例如：1700+50x=1800，2（x+1.5x）=5等都是一元一次方程.（例1）3．方程的解：使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解.（例2）注：⑴方程的解和解方程是不同的概念，方程的解實(shí)質(zhì)上是求得的結(jié)果，它是一個(gè)數(shù)值(或幾個(gè)數(shù)值)，而解方程的含義是指求出方程的解或判斷方程無解的過程.⑵方程的解的檢驗(yàn)方法，首先把未知數(shù)的值分別代入方程的左、右兩邊計(jì)算它們的值，其次比較兩邊的值是否相等從而得出結(jié)論.（二）、等式的性質(zhì)

等式的性質(zhì)(1)：等式兩邊都加上(或減去)同個(gè)數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等.

等式的性質(zhì)(1)用式子形式表示為：如果a=b，那么a±c=b±c等式的性質(zhì)(2)：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等，等式的性質(zhì)(2)用式子形式表示為：如果a=b，那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么eq\f(a,c)=eq\f(b,c)（三）、移項(xiàng)法則：把等式一邊的某項(xiàng)變號后移到另一邊，叫做移項(xiàng)．（例3）（四）、去括號法則1.括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后各項(xiàng)的符號與原括號內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號相同．2.括號外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號后各項(xiàng)的符號與原括號內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號改變．（五）、解方程的一般步驟（例4）1.去分母(方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù))2.去括號(按去括號法則和分配律)3.移項(xiàng)(把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程一邊，其他項(xiàng)都移到方程的另一邊，移項(xiàng)要變號)4.合并(把方程化成ax=b(a≠0)形式)5.系數(shù)化為1(在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x=eq\f(b,a)).一．列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟（1）審題：弄清題意．（2）找出等量關(guān)系：找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系．（3）設(shè)出未知數(shù)，列出方程：設(shè)出未知數(shù)后，表示出有關(guān)的含字母的式子，然后利用已找出的等量關(guān)系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值．（5）檢驗(yàn)，寫答案：檢驗(yàn)所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，是否符合實(shí)際，檢驗(yàn)后寫出答案．二、一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用1.和、差、倍、分問題：增長量＝原有量×增長率現(xiàn)在量＝原有量＋增長量（1）倍數(shù)關(guān)系：通過關(guān)鍵詞語“是幾倍，增加幾倍，增加到幾倍，增加百分之幾，增長率……”來體現(xiàn).（2）多少關(guān)系：通過關(guān)鍵詞語“多、少、和、差、不足、剩余……”來體現(xiàn).例1：兄弟二人今年分別為15歲和9歲，多少年后兄的年齡是弟的年齡的2倍？解：設(shè)x年后，兄的年齡是弟的年齡的2倍，則x年后兄的年齡是15+x，弟的年齡是9+x．由題意，得2×（9+x）=15+x18+2x=15+x，移向得：2x-x=15-18∴x=-3答：3年前兄的年齡是弟的年齡的2倍．（點(diǎn)撥：-3年的意義，并不是沒有意義，而是指以今年為起點(diǎn)前的3年，是與3年后具有相反意義的量）1.一個(gè)數(shù)的3倍比它的2倍多10，若設(shè)這個(gè)數(shù)為x，可得到方程__________.2.用一根長80厘米的繩子圍成一個(gè)長方形，且這個(gè)長方形的長比寬多10厘米，則這個(gè)長方形的長和寬各是_______、________.面積是_______.2.等積變形問題：（1）“等積變形”是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤?常用等量關(guān)系為：①形狀面積變了，周長沒變；②原料體積＝成品體積.（2常見幾何圖形的面積、體積、周長計(jì)算公式，依據(jù)形雖變，但體積不變．①圓柱體的體積公式V=底面積×高＝S·h＝②長方體的體積V＝長×寬×高＝abc例2將一個(gè)裝滿水的內(nèi)部長、寬、高分別為300毫米，300毫米和80毫米的長方體鐵盒中的水，倒入一個(gè)內(nèi)徑為200毫米的圓柱形水桶中，正好倒?jié)M，求圓柱形水桶的高（精確到0.1毫米，≈3.14）．解：設(shè)圓柱形水桶的高為x毫米，依題意，得 ·（）2x=300×300×801.一根內(nèi)徑為3㎝的圓柱形長試管中裝滿了水，現(xiàn)把試管中的水逐漸滴入一個(gè)內(nèi)徑為8㎝、高為1.8㎝的圓柱形玻璃杯中，當(dāng)玻璃杯裝滿水時(shí)，試管中的水的高度下降了＿＿＿＿㎝.3.工程問題：工程問題：工作量＝工作效率×工作時(shí)間完成某項(xiàng)任務(wù)的各工作量的和＝總工作量＝1

例3.一件工程，甲獨(dú)做需15天完成，乙獨(dú)做需12天完成，現(xiàn)先由甲、乙合作3天后，甲有其他任務(wù)，剩下工程由乙單獨(dú)完成，問乙還要幾天才能完成全部工程？解：設(shè)乙還需x天完成全部工程，設(shè)工作總量為單位1，由題意得，(EQ\f(1,15)+EQ\f(1,12))×3+EQ\f(x,12)=11.甲、乙工程隊(duì)從相距100m的馬路兩端開始挖溝，甲工程隊(duì)每天挖溝的進(jìn)度是乙工程隊(duì)的2倍少1m，若5天完工，兩隊(duì)每天各挖幾米？4.行程問題：路程＝速度×?xí)r間時(shí)間＝路程÷速度速度＝路程÷時(shí)間（1）相遇問題：快行距＋慢行距＝原距（2）追及問題：快行距－慢行距＝原距（3）航行問題：順?biāo)L(fēng)）速度＝靜水（風(fēng)）速度＋水流（風(fēng)）速度逆水（風(fēng)）速度＝靜水（風(fēng)）速度－水流（風(fēng)）速度抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速（靜不速）不變的特點(diǎn)考慮相等關(guān)系．例4.甲、乙兩站相距480公里，一列慢車從甲站開出，每小時(shí)行90公里，一列快車從乙站開出，每小時(shí)行140公里。（1）慢車先開出1小時(shí)，快車再開。兩車相向而行。問快車開出多少小時(shí)后兩車相遇？（2）兩車同時(shí)開出，相背而行多少小時(shí)后兩車相距600公里？（3）兩車同時(shí)開出，慢車在快車后面同向而行，多少小時(shí)后快車與慢車相距600公里？（4）兩車同時(shí)開出同向而行，快車在慢車的后面，多少小時(shí)后快車追上慢車？（5）慢車開出1小時(shí)后兩車同向而行，快車在慢車后面，快車開出后多少小時(shí)追上慢車？解：設(shè)快車開出x小時(shí)后兩車相遇，由題意得，140x+90(x+1)=480解：設(shè)x小時(shí)后兩車相距600公里，由題意得，(140+90)x+480=600解：設(shè)x小時(shí)后兩車相距600公里，由題意得，(140－90)x+480=600解：設(shè)x小時(shí)后快車追上慢車。由題意得，140x=90x+480解：設(shè)快車開出x小時(shí)后追上慢車。由題意得，140x=90(x+1)+480例4.1.已知輪船逆水前進(jìn)的速度為m千米/時(shí)，水流速度為2千米/時(shí)，則輪船在靜水中的速度是__________。1.A、B兩地相距30千米，甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。已知甲比乙每小時(shí)多走1千米，經(jīng)過2.5小時(shí)兩人相遇，求甲、乙兩人的速度？2、（環(huán)型跑道問題）一條環(huán)形跑道長400米，甲、乙兩人練習(xí)賽跑，甲每分鐘跑350米，乙每分鐘跑250米。（1）若兩人同時(shí)同地背向而行，幾分鐘后兩人首次相遇？變式：幾分鐘后兩人二次相遇？（2）若兩人同時(shí)同地同向而行，幾分鐘后兩人首次相遇？又經(jīng)過幾分鐘兩人二次相遇？例題4、（順、逆水問題）一輪船往返A(chǔ)，B兩港之間，逆水航行需3時(shí)，順?biāo)叫行?時(shí)，水流速度是3千米/時(shí)，則輪船在靜水中的速度是多少？例題5、（錯(cuò)車問題）在一段雙軌鐵道上，兩列火車同時(shí)駛過，A列車車速為20米/秒，B列車車速為24米/秒，若A列車全長180米，B列車全長160米，兩列車錯(cuò)車的時(shí)間是多長時(shí)間？類型等量關(guān)系直線相遇兩者的路程之和=兩地的距離追及兩者的路程之差=兩地的距離環(huán)形跑道相遇兩者的路程之和=環(huán)形跑道一圈的長度追及兩者的路程之差=環(huán)形跑道一圈的長度順逆流問題路程或靜水中的速度相等錯(cuò)車問題兩者路程和或差=兩個(gè)車身的長度5.商品銷售問題（1）商品利潤率＝×100%（2）商品銷售額＝商品銷售價(jià)×商品銷售量（3）商品的銷售利潤＝（銷售價(jià)－成本價(jià)）×銷售量（4）商品打幾折出售，就是按原標(biāo)價(jià)的百分之幾十出售，如商品打8折出售，即按原標(biāo)價(jià)的80%出售．有關(guān)關(guān)系式：商品售價(jià)=商品標(biāo)價(jià)×折扣率（5）商品利潤=商品售價(jià)—商品進(jìn)價(jià)=商品標(biāo)價(jià)×折扣率—商品進(jìn)價(jià)例5.工藝商場按標(biāo)價(jià)銷售某種工藝品時(shí)，每件可獲利45元；按標(biāo)價(jià)的八五折銷售該工藝品8件與將標(biāo)價(jià)降低35元銷售該工藝品12件所獲利潤相等.該工藝品每件的進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)分別是多少元？解：設(shè)該工藝品每件的進(jìn)價(jià)是元,標(biāo)價(jià)是（45+x）元.依題意，得:8（45+x）×0.85-8x=（45+x-35）×12-12x一家商店將某種服裝按進(jìn)價(jià)提高40%后標(biāo)價(jià)，又以8折優(yōu)惠賣出，結(jié)果每件仍獲利15元，這種服裝每件的進(jìn)價(jià)是多少？分析：探究題目中隱含的條件是關(guān)鍵，可直接設(shè)出成本為X元進(jìn)價(jià)折扣率標(biāo)價(jià)優(yōu)惠價(jià)利潤x元8折（1+40%）x元80%（1+40%）x15元等量關(guān)系：（利潤=折扣后價(jià)格—進(jìn)價(jià)）折扣后價(jià)格－進(jìn)價(jià)=15解：設(shè)進(jìn)價(jià)為X元，80%X（1+40%）—X=15，X=1256.儲(chǔ)蓄問題⑴顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本息和，存入銀行的時(shí)間叫做期數(shù)，利息與本金的比叫做利率.利息的20%付利息稅⑵利息=本金×利率×期數(shù)本息和=本金+利息利息稅=利息×稅率（20%）利潤＝×100%例6.國家規(guī)定存款利息的納稅方法是：利息稅=利息×20%，儲(chǔ)戶取款時(shí)由銀行代扣代收.若銀行1年定期儲(chǔ)蓄的年利率為1.98%，某儲(chǔ)戶取出1年到期的本金及利息時(shí)，扣除了利息稅31.68元，則銀行向該儲(chǔ)戶支付的現(xiàn)金是多少元？某同學(xué)把250元錢存入銀行，整存整取，存期為半年。半年后共得本息和252.7元，求銀行半年期的年利率是多少？（不計(jì)利息稅）分析：等量關(guān)系：本息和=本金×（1+利率）解：設(shè)半年期的實(shí)際利率為x，250（1+x）=252.7，x=0.0108所以年利率為0.0108×2=0.02167.數(shù)字問題（1）要搞清楚數(shù)的表示方法：一般可設(shè)個(gè)位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，百位數(shù)字為c．十位數(shù)可表示為10b+a，百位數(shù)可表示為100c+10b+a．然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程（其中a、b、c均為整數(shù)，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）數(shù)字問題中一些表示：兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間的關(guān)系，較大的比較小的大1；偶數(shù)用2n表示，連續(xù)的偶數(shù)用2n+2或2n—2表示；奇數(shù)用2n+1或2n—1表示.例7．一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字與個(gè)位上數(shù)字和是8，將十位上數(shù)字與個(gè)位上數(shù)字對調(diào)，得到新數(shù)比原數(shù)的2倍多l(xiāng)0．求原來的兩位數(shù)．8.比例分配問題：這類問題的一般思路為：設(shè)其中一份為x，利用已知的比，寫出相應(yīng)的代數(shù)式。常用等量關(guān)系：各部分之和＝總量。

例4.三個(gè)正整數(shù)的比為1：2：4，它們的和是84，那么這三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是幾？解：設(shè)一份為x，則三個(gè)數(shù)分別為x，2x，4x分析：等量關(guān)系：三個(gè)數(shù)的和是84

9.勞力調(diào)配問題：這類問題要搞清人數(shù)的變化，常見題型有：（1）既有調(diào)入又有調(diào)出；（2）只有調(diào)入沒有調(diào)出，調(diào)入部分變化，其余不變；（3）只有調(diào)出沒有調(diào)入，調(diào)出部分變化，其余不變。

例3.機(jī)械廠加工車間有85名工人，平均每人每天加工大齒輪16個(gè)或小齒輪10個(gè)，已知2個(gè)大齒輪與3個(gè)小齒輪配成一套，問需分別安排多少名工人加工大、小齒輪，才能使每天加工的大小齒輪剛好配套？分析：列表法。

每人每天人數(shù)數(shù)量大齒輪16個(gè)x人16x小齒輪10個(gè)人等量關(guān)系：小齒輪數(shù)量的2倍＝大齒輪數(shù)量的3倍解：設(shè)分別安排x名、名工人加工大、小齒輪10、日歷問題：日歷中的數(shù)量關(guān)系在日歷表中，一個(gè)月的日期按從星期日至星期六的順序排列的，最小數(shù)為1，最大數(shù)由各月決定，一般為30或31，二月是28或29.日歷中每一橫排數(shù)字之間的規(guī)律:每一橫排相鄰兩