目錄

教學(xué)說明3

第一章解三角形5

概述5

1.1正弦定理和余弦定理7

1.1.1正弦定理7

教案A7

教案B11

1.1.2余弦定理16

教案A16

教案B20

1.2應(yīng)用舉例錯誤！未定義書簽。

教案A22

教案B32

第一章測試題43

第二章數(shù)列錯誤！未定義書簽。

概述48

2.1數(shù)列的概念及簡單表示方法50

教案A50

教案B57

2.2等差數(shù)列63

教案A63

教案B66

2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和71

教案A71

教案B78

2.4等比數(shù)列85

教案A85

教案B93

2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和錯誤！未定義書簽。

教案A101

教案B108

數(shù)列復(fù)習(xí)小結(jié)115

第二章測試題118

第三章不等式錯誤！未定義書簽。

概述126

3.1不等關(guān)系與不等式128

教案A128

教案B133

3.2一元二次不等式及其解法138

教案A138

教案B145

3.3二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題153

3.3.1二元一次不等式（組）與平面區(qū)域153

教案A153

教案B161

3.3.2筒單的線性規(guī)劃問題167

教案A167

教案B173

必經(jīng)A

3.4基本不等式：2錯誤！未定義書簽。

教案A錯誤！未定義書簽。

教案B錯誤！未定義書簽。

第三章測試題錯誤！未定義書簽。

教學(xué)說明

本模塊包括“解三角形”、“數(shù)列”、“不等式”三章內(nèi)容，全書約需36課時，具體課時分

配如下：

第一章解三角形約8課時

第二章數(shù)列約12課時

第三章不等式約16課時

“解三角形”的主要內(nèi)容是介紹三角形的正、余弦定理，及其簡單應(yīng)用，旨在通過對任意三

角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問

題以及能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實(shí)際問

題.

，，數(shù)列”的主要內(nèi)容是數(shù)列的概念與表示，等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和.數(shù)

列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型.教科書通過對日常生活中大量實(shí)

際問題的分析，建立等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型，力求使學(xué)生在探索中掌握與等差

數(shù)列、等比數(shù)列有關(guān)的一些基本數(shù)量關(guān)系，感受這兩種數(shù)列模型的廣泛應(yīng)用，并利用它們解

決一些實(shí)際問題.

“不等式”這一章通過大量現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的具體實(shí)例引入不等關(guān)系，幫助學(xué)生理解

不等式（組）對于刻畫不等關(guān)系的意義和價值，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合一些實(shí)際問題探索求解一

元二次不等式的基本方法，用二元一次不等式組表示平面區(qū)域，以及解決一些簡單的二元線

性規(guī)劃問題的方法，最后引導(dǎo)學(xué)生討論了基本不等式及其簡單應(yīng)用.

教學(xué)中的幾點(diǎn)建議

1.關(guān)注數(shù)學(xué)情境的建立，重視反映數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值

要關(guān)注數(shù)學(xué)情境的建立，充分挖掘現(xiàn)實(shí)世界和實(shí)際生活中有關(guān)數(shù)學(xué)實(shí)例，“解三角形”、“數(shù)

列”和“不等式”三章內(nèi)容有著豐富的實(shí)際背景，除了教科書中的實(shí)例還有很多很好的相關(guān)

的素材，教學(xué)過程中應(yīng)該充分給予挖掘，力求問題的引入能夠反映一定的生活背景，激發(fā)學(xué)

生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

在第一章“解三角形”中，引言就是從一個測量問題引入，在解三角形的過程中不斷與一些

實(shí)際測量問題相聯(lián)系，如怎樣在航行的途中測出海上兩個島嶼之間的距離？怎樣測量底部不

可到達(dá)的建筑物的高度？怎樣在水平飛行的飛機(jī)上測量飛機(jī)下方山頂?shù)暮０胃叨龋吭鯓訙y

出海上航行的輪船的航速和航向？等等.

第二章“數(shù)列”應(yīng)自始至終貫徹“數(shù)列作為一種特殊函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型”

的思想，創(chuàng)造性地發(fā)掘日常生活中的實(shí)際問題，深入探討教科書中大量實(shí)例，如存款利息、

出租車收費(fèi)、校園網(wǎng)問題、希爾賓斯基三角形、斐波那契數(shù)列、放射性物質(zhì)的衰變、諾貝爾

獎金發(fā)放金額問題、商場計算機(jī)銷售問題、九連環(huán)的智力游戲、購房中的數(shù)學(xué)等等.使學(xué)生

充分感受到數(shù)列是反映現(xiàn)實(shí)生活的數(shù)學(xué)模型，體會數(shù)學(xué)是來源于現(xiàn)實(shí)生活，并應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生

活的.

第三章“不等式”可從日常生活中經(jīng)常用到的“長與短、”“大與小”、“多與少”、“遠(yuǎn)與近”

等實(shí)際情境中引入不等關(guān)系，如通過學(xué)生感興趣的上網(wǎng)問題引入一元二次不等式的有關(guān)概念,

從中認(rèn)識到學(xué)習(xí)不等關(guān)系及不等式的必要性；從銀行貸款中的資金分配問

題中引入二元一次不等式組的數(shù)學(xué)模型；從現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活中，經(jīng)常遇到的資源利用、人力

調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題中引入二元線性規(guī)劃問題.再如，結(jié)合北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家

大會的會標(biāo)，聯(lián)系我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，緊緊抓住弦圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系

引入不等式/+l）222ab

2.重視各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系

數(shù)學(xué)各部分的內(nèi)容構(gòu)成一個有機(jī)的整體，教師應(yīng)充分注意這一點(diǎn)，并在教學(xué)中力求體現(xiàn)這

種聯(lián)系.例如，在第一章中，對于正弦定理和余弦定理，應(yīng)注意它們與已經(jīng)學(xué)習(xí)的關(guān)于三角

形的定性研究的結(jié)論的聯(lián)系.余弦定理的證明使用了向量的方法，不僅使定理的證明簡潔而

明快，而且也能夠體現(xiàn)向量及其運(yùn)算的作用.第二章則應(yīng)有意識地關(guān)注數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，

強(qiáng)調(diào)數(shù)列作為一種特殊函數(shù)的意義，有條件的話也可注意聯(lián)系算法和微枳分思想，揭示“離

散”和“連續(xù)”之間的關(guān)系.第三章則強(qiáng)調(diào)不等式與函數(shù)、方程的關(guān)系，在一元二次不等式

的解法和簡單的線性規(guī)劃問題中，始終注意數(shù)與形的聯(lián)系，通過對不等式、函數(shù)與方程關(guān)系

的理解來解決所面臨的不等式的問題.另外，在各章習(xí)題、探究性問題和閱讀材料安排中也

應(yīng)注意各部分內(nèi)容的聯(lián)系.

3.重視基本數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)

要重視基木的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，如函數(shù)的思想，優(yōu)化的思想，以及類比、歸納等合情

推理的方法.如第一章“解三角形”對于正弦定理和余弦定理的研究，都是從對于初中數(shù)學(xué)

中對于三角形的定性研究進(jìn)一步深化為定量研究的角度去展開的，其中蘊(yùn)含著函數(shù)思想.正

弦定理的證明從直角三角形的情形出發(fā)，體現(xiàn)從特殊到一般的歸納過程，從一定程度上也反

映了類比的思想.第二章不僅貫徹數(shù)列是特殊函數(shù)的觀點(diǎn)，而且不斷在等差數(shù)列和等比數(shù)列

之間進(jìn)行類比，從求1+2+3+…+100的高斯算法出發(fā)，將這種規(guī)律性推廣到一般等差數(shù)列，

從而獲得一般等差數(shù)列的求和思路，這又是歸納的生動案例.在第三章中，對于二元一次不

等式與“平面區(qū)域”的關(guān)系，體現(xiàn)了從特殊到一般的歸納思想，線性規(guī)劃的內(nèi)容則突出體現(xiàn)

了優(yōu)化的思想.

同時，在教學(xué)中要有意識地體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”的思想，如三角形解的個數(shù)問題、數(shù)列與相

應(yīng)函數(shù)的聯(lián)系、不等式表示的幾何意義，特別是線性規(guī)劃，從問題的提出到解決，都直接依

賴于“平面區(qū)域”.

4.適當(dāng)使用現(xiàn)代信息技術(shù)

現(xiàn)代信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正在對數(shù)學(xué)課程內(nèi)容、數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等方面產(chǎn)生深刻的影

響，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提倡實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與課程內(nèi)容的有機(jī)整合（如把算法融入到數(shù)學(xué)課程的

各個相關(guān)部分），整合的基本原則是有利于學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì).教學(xué)中應(yīng)充分地考慮現(xiàn)代信

息技術(shù)的教育價值，并在相部分內(nèi)容中適當(dāng)體現(xiàn)，教科書在第二章和第三章，分別設(shè)計了“信

息技術(shù)應(yīng)用”專題，介紹、歷的近似計算和利用Excel解決線性規(guī)劃問題等，鼓勵學(xué)生運(yùn)用

計算機(jī)、計算器等進(jìn)行探索和發(fā)現(xiàn).具體來說，在解三角形的過程中可以利用計算器簡化」

些繁雜的計算，在數(shù)列一章的學(xué)習(xí)中，可以利用相關(guān)的計算機(jī)軟件來探索規(guī)律，在不等式「

章中可以利用圖形計算器或有關(guān)計算機(jī)軟件來尋求不等式的解，可以用Excel來解簡單的線

性規(guī)劃問題.

5.要充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，是人類社會進(jìn)步的產(chǎn)物，也是推動社會發(fā)展的動力.數(shù)學(xué)

不僅具有重要的科學(xué)價值，同時還具有豐富的人文價值，本模塊教材為我們提供了許多可供

展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的素材，天文地理、數(shù)學(xué)名著、考古發(fā)現(xiàn)、趣聞軼事無一不散發(fā)出濃

厚的文化氣息，教師要挖掘教材中的人文因素，既注重數(shù)學(xué)的科學(xué)價值，也不忽視對數(shù)學(xué)人

文精神的提升，有意識地建設(shè)數(shù)學(xué)課堂文化，充實(shí)學(xué)生人文內(nèi)涵，利用教師人格魅力，提升

學(xué)生人文品位.

如在“等差數(shù)列”復(fù)習(xí)課中，我們可以引用如下數(shù)學(xué)史料：

①今有金鑒，長五尺，斬本一尺，重四斤；斬末?尺，重兩斤.問次一尺各重幾何？

②今有五人分五錢，令上二人與下三人相等，問各得幾何？

③今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈，問日益幾何？

④今有女不善織，日減功遲，初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖.間織幾何？

以上四題出自我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》(1世紀(jì))和《張丘建算經(jīng)》(5世紀(jì))中，學(xué)

生在理解題意后可通過等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式便捷獲解.我們在教學(xué)中，要很

好地發(fā)揮數(shù)學(xué)科學(xué)本身所固有的人文價值功能，挖掘數(shù)學(xué)中的文化氣息，欣賞數(shù)學(xué)的美，培

養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新個性，在數(shù)學(xué)新課程理念指導(dǎo)下，大力弘揚(yáng)人文精神，積極介紹數(shù)學(xué)文化，做

到科學(xué)與人文精神的有機(jī)整合,幫助學(xué)生“初步了解數(shù)學(xué)科學(xué)與人類社會之間的相互作用，

體會數(shù)學(xué)科學(xué)價值、應(yīng)用價值、人文價值，開闊視野，尋求數(shù)學(xué)進(jìn)步的歷史軌跡，激發(fā)對于

數(shù)學(xué)創(chuàng)新原動力的認(rèn)識，受到優(yōu)秀文化的熏陶，領(lǐng)會數(shù)學(xué)的美學(xué)價值，從而提高自身的文化

素養(yǎng)和創(chuàng)新意識”.

第一章解三角形

概述

在本章中，要求學(xué)生在已有知識的基礎(chǔ)上，通過對任意三角形的邊角關(guān)系的探究，發(fā)現(xiàn)并掌

握三角形中的邊長與角度之間的數(shù)量關(guān)系，并認(rèn)識到運(yùn)用它們可以解決一些與測量和幾何計

算有關(guān)的實(shí)際問題.

1.內(nèi)容與課程學(xué)習(xí)目標(biāo)

本章的中心內(nèi)容是解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落實(shí)在解三角形

的應(yīng)用上.通過本章學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)達(dá)到以下學(xué)習(xí)目標(biāo)：

(1)通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些

簡單的三角形度量問題.

(2)能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實(shí)際問

題.

2.教學(xué)要求

(1)基本要求

①會證明正弦定理、余弦定理.

②能理解正、余弦定理在討論三角形邊角關(guān)系時的作用.

③能用正、余弦定理解斜三角形.

④理解用正、余弦定理討論三角形解的情形.

⑤掌握用正、余弦定理解任意三角形的方法.

⑥通過解三角形在實(shí)際中的一些應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

S-sinC

⑦理解三角形的面積公式2并能應(yīng)用.

⑧根據(jù)實(shí)際條件，利用本章知識完成一個有關(guān)測量的實(shí)習(xí)作業(yè).

(2)發(fā)展要求

①了解正、余弦定理與三角形外接圓半徑的關(guān)系.

②利用正、余弦定理討論三角形中的邊角關(guān)系.

③條件允許的情況下，可多做幾個實(shí)習(xí)作業(yè)，以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識解決實(shí)際問題的能力.

（3）說明

①可以利用計算機(jī)進(jìn)行近似計算，但不要求太復(fù)雜繁瑣的運(yùn)算.

②不必增加在立體幾何情況下求解三角形的問題，可在立體兒何學(xué)習(xí)時適當(dāng)拓展.

③應(yīng)用問題應(yīng)限制在正、余弦定理的簡單應(yīng)用上.

④實(shí)習(xí)作業(yè)不要求太復(fù)雜的問題.

3.教學(xué)內(nèi)容及課時安排建議

1.1正弦定理和余弦定理（約2課時）

1.1.1正弦定理

1.1.2余弦定理

1.2應(yīng)用舉例（約3課時）

4.評價建議

（1）要在本章的教學(xué)中，應(yīng)該根據(jù)教學(xué)實(shí)際，啟發(fā)學(xué)生不斷提出問題，研究問題.在對于正

弦定理和余弦定理的證明的探究過程中，應(yīng)該因勢利導(dǎo)，根據(jù)具體教學(xué)過程中學(xué)生思考問題

的方向來啟發(fā)學(xué)生得到自己對于定理的證明.如對于正弦定理，可以啟發(fā)得到有應(yīng)用向量方

法的證明，對于余弦定理則可以啟發(fā)得到三角方法和解析的方法.在應(yīng)用兩個定理解決有關(guān)

的解三角形和測量問題的過程中，一個問題也常常有多種不同的解決方案，應(yīng)該鼓勵學(xué)生提

出自己的解決辦法，并對于不同的方法進(jìn)行必要的分析和比較.對于一些常見的測量問題甚

至可以鼓勵學(xué)生設(shè)計應(yīng)用的程序，得到在實(shí)際中可以直接應(yīng)用的算法.

（2）適當(dāng)安排一些實(shí)習(xí)作業(yè)，目的是讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識，提高學(xué)生分析問題和

解決實(shí)際問題的能力、動手操作的能力以及用數(shù)學(xué)語言表達(dá)實(shí)習(xí)過程和實(shí)習(xí)結(jié)果和能力，增

強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和數(shù)學(xué)實(shí)踐能力.教師要注意對于學(xué)生實(shí)習(xí)作業(yè)的指導(dǎo)，包括對于實(shí)

際測量問題的選擇，及時糾正實(shí)際操作中的錯誤，解決測量中出現(xiàn)的一些問題.

1.1正弦定理和余弦定理

1.1.1正弦定理

教案A

教學(xué)目標(biāo)

一、知識與技能

1.通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；

2.會運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題.

二、過程與方法

從已有的幾何知識出發(fā)，共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，通過觀察、推導(dǎo)、

比較、由特殊到?般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作.

三、情感、態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)

規(guī)律的數(shù)學(xué)思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事

物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的內(nèi)容、正弦定理的證明及基本應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù).

教學(xué)關(guān)鍵：熟練掌握正弦定理的應(yīng)用.

教學(xué)突破方法：

1.抓住學(xué)生情感的興奮點(diǎn)，激發(fā)他們的興趣，鼓勵學(xué)生大膽猜想、積極探索，以及及時地

鼓勵，使他們知難而進(jìn).另外，抓知識選擇的切入點(diǎn)，從學(xué)生原有的認(rèn)知水平和所需的知識

特點(diǎn)入手，教師在學(xué)生主體下給予適當(dāng)?shù)奶崾竞椭笇?dǎo).

2.抓住學(xué)生的能力線，聯(lián)系方法與技能使學(xué)生較易證明正弦定理，另外通過例題和練習(xí)來

突破難點(diǎn).

教法與學(xué)法導(dǎo)航

教學(xué)方法：

采用探究式課堂教學(xué)模式，即在教學(xué)過程中，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立自主和合作

交流為前提，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)”為基本探究內(nèi)容，以生活實(shí)際為參照對象，讓學(xué)生的思

維由問題開始，到猜想的得出、猜想的探究、定理的推導(dǎo)，并逐步得到深化.

學(xué)習(xí)方法

指導(dǎo)學(xué)生掌握“觀察——猜想——證明——應(yīng)用”這一思維方法，采取個人、小組、集體等

多種解難釋疑的嘗試活動，將自己所學(xué)知識應(yīng)用于對任意三角形性質(zhì)的探究.讓學(xué)生在問題

情景中學(xué)習(xí)、觀察、類比、思考、探究、概括、動手嘗試相結(jié)合，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，增

強(qiáng)學(xué)生由特殊到一般的數(shù)學(xué)思維能力.

教學(xué)準(zhǔn)備

教師準(zhǔn)備：投影儀、幾何畫板.

學(xué)生準(zhǔn)備：直尺、三角板.

教學(xué)過程

、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

本節(jié)課由一個實(shí)際問題引入，”工人師傅的一個三角形的

模型壞了，只剩下如右圖所示的部分，/A=47。，

ZB=53°,AB長為1m,想修好這個零件，但他不知道AC

和BC的長度是多少而無法截料，你能幫師傅這個忙

嗎？”

設(shè)計意圖：激發(fā)學(xué)生幫助別人的熱情和學(xué)習(xí)的興趣，從

而進(jìn)入今天的學(xué)習(xí)課題.

二、主題探究，合作交流

在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討在直角三角形中，角與邊的等式

關(guān)系.如圖2,在RSABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，

a.,

—=sin/

c,

—=sinB

c,

ab

-----=-----=c

所以sinAsin5

又因?yàn)閟inC=l,所以

a_b_c圖2

sinAsinBsinC

思考1那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？（由學(xué)生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

如圖3,當(dāng)aABC是銳角三角形時:設(shè)邊AB上的高是

CD,根據(jù)三角函數(shù)的定義，

CD=asmB?CD=6sin/，

所以asinB=bsin力，

a_b

得到sinAsin5

b_c

同理，在^ABC中，sin5sinC.圖3

a_b_c

從而sinAsin5sinC

思考2還有其方法嗎？

由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這問題.

如圖4,過點(diǎn)A作單位向量/上/。，由向量的加法可得存=正+2

則J-AB=3-（AC+CB）

?J-AB=J-~AC+J-CB

??，

即例附cos（90。-力）=0+例詞cos（90O-C

a_c

.?.csin4=asinC,gpsin^l-sinC.

______bca=

同理，過點(diǎn)C作可得麗豆=菽，從而sin"sin5sinC.

當(dāng)AABC是鈍角三角形時，以上關(guān)系式仍然成立(由學(xué)生課后自己推導(dǎo)).

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

Q_b_C

sinAsinBsinC

定理說明

(1)正弦定理說明在同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù),

即存在正數(shù)k使。=*sin),b=ksix\B,c=ksix\C.

a_b_c

（2）sin%sin5sinC等價于

a_hb_ca_c

sinAsin5,sinBsinC,sinAsinC

思考：正弦定理的基本作用是什么？

_bsinZ

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如sin8.

sinA=—sin5

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如b

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形.

三、拓展創(chuàng)新，應(yīng)用提高

例1在△ABC中，已知A=32.0°,B=81.8°,a=42.9cm,解三角形.

解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，

C=180o-(A+B)=180o-(32,0<,+81.8o)=66.2o；

jasinB42.9sin81.8°、

b=—―-=——.ccc—h8O0A.l1(cZm)

根據(jù)正弦定理，sm/sin32.0°

根據(jù)正弦定理，

_asinC_42.9sin66.2°

CsinAsin32.0°?74.1(cm)

注：對于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計算器.

例2在4ABC中，已知“20cm,^=28cm>A=40°,解三角形（角度精確到1°,邊長

精確到1cm）.

解：根據(jù)正弦定理,

加inZ_28sin400

sinB=?0.89999

20

因?yàn)?°<8〈180°,所以B=64°,或B=116°.

(1)當(dāng)B=64°時，

C=1800-Q+8)=180°-(40°+64°尸76°

sinC7

C="=^￡?30(cm)

sinAsin40°

(2)當(dāng)B=116°時,

C=180°-(T4+B)?180°-(40°+116°)=24°

c=?sinC=20sin2￡wl3(cm)

sinAsin40°

注：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，要注意可能有兩解的情形.

課堂練習(xí)

第4頁練習(xí)第1、2題.

補(bǔ)充練習(xí)

已知在aABC中，sinA:sinB:sinC=2:3:4,求a:b:c.

（答案：2：3：4）

四、小結(jié)

1.定理的表示形式：

abca+b+c

=k(k>0)

sinAsinBsinCsin/+sin8+sinC

或q=《sin/,b=ksinB,c=4sinC(%>°)

2.正弦定理的應(yīng)用范圍

（1）已知兩角和任?邊，求其它兩邊及一角；

（2）已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角.

五、課堂作業(yè)

第10頁習(xí)題1.1A組第1,2題.

教案B

教學(xué)目標(biāo)

一、知識與技能

通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運(yùn)用正弦

定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題.

二、過程與方法

從已有的幾何知識出發(fā)，共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，通過觀察、推導(dǎo)、

比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基木應(yīng)用的實(shí)踐操作.

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的探索、證明及其基本應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：已知兩邊和其中?邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù).

學(xué)法與教學(xué)用具

a_b_c

學(xué)法：引導(dǎo)學(xué)生首先從直角三角形中揭示邊角關(guān)系：sin/sin5sinC,接著就一般

斜三角形進(jìn)行探索,發(fā)現(xiàn)也有這一關(guān)系;分別利用傳統(tǒng)證法和向量證法對正弦定理進(jìn)行推導(dǎo),

讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)向量知識的簡捷新穎.

教學(xué)用具：直尺、計算器.

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情景

我們知道，在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系.我們是否能夠得到

這個邊、角關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢？

在^ABC中，NA、NB、NC所對的邊分別為BC、AC、AB,它們的長分別為a、b、c,

這節(jié)課我們研究/A、ZB.NC、a、b、c之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

二、探索研究

在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討在直角三角形中，角與邊的等式

關(guān)系.如圖1,在RtZ\ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，

a.Ab.

-=sinA—=smBD

°,0,

ab

------=-------=c

所以sinAsin5

又因?yàn)閟inC=l,所以

abc圖1

sinAsinBsinC

思考：那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立（由學(xué)生討論、分析）

三、驗(yàn)證猜想

a_b_c

我們先通過特殊例子檢驗(yàn)sin〃sin5sinC是否成立？舉出特例.

1.在△ABC中，ZA,ZB,/C分別為60°,60°,60°,對應(yīng)的邊長a：b：c為1：1：1,

V3V3V3abc

對應(yīng)角的正弦值分別為2,2,2,引導(dǎo)學(xué)生考察sin/、sin5sinC之間的關(guān)

系（學(xué)生回答它們相等）.

2.在AABC中，ZA,ZB,/C分別為45°,45°,90°,對應(yīng)的邊長a：b：c為1：1：猴,

V2V2

對應(yīng)角的正弦值分別為2,2,J（學(xué)生回答它們相等）

3.在^ABC中，ZA,ZB,NC分別為30°,60°,90°,對應(yīng)的邊長a：b：c為1：△：

_L2

2,對應(yīng)角的正弦值分別為5,2,1.（學(xué)生回答它們相等）

a_b_c

那么任意三角形是否有sinZsin8sinC呢？學(xué)生按事先安排的分組互動，每組畫一個

ahc

三角形，度量出三邊和三個角度數(shù)值，通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計算，比較sin/、sin8、sinC的

abc

近似值.然后，借助多媒體演示隨著三角形任意變換，sin/、sinB、sinC值仍然保持相

等.

abc

我們猜想:sin4=sin5=sinC.

四、得出定理

師生活動：我們雖然經(jīng)歷了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，多媒體技術(shù)支持，對任意的三角形，如何用數(shù)學(xué)的思

a_b_c

想方法證明sin/sin5sinC呢？前面探索過程對我們有沒有啟發(fā)？學(xué)生分組討論，每

組派一個代表總結(jié)（以下證明過程，根據(jù)學(xué)生回答情況進(jìn)行敘述）.

學(xué)生：思考得出

1.在RtA48c中，成立，如前面檢驗(yàn).

2.當(dāng)AABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD,根

角函數(shù)的定義，

BDA

CD=asinB

CD=bsinAt

所以asinB=bsinA,

圖2

a_b

得至ljsin4sinB

同理，在△ABC中，

b_c

sinBsinC

a_b_c

從而sinZsinBsinC.

3.在鈍角三角形中（如圖3）,設(shè)NC為鈍角，BC=a,CA=b,4B=c

作4DLBC交BC的延長線于D.

sin5=—

在Rt/SADB中，AB

AD=ABsinB=csin5

sin=—

在放中，

ACf圖3

??.AD=ACsmNACD=6sinZACB

/.csin8=bsinZACB

c_b

sinZACBsin5

a_ca_b_c

用銳角三角形證明可知sinNsinC."sinsin5sin乙4cB

總結(jié):我們把這條性質(zhì)稱為正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相

等，即

a_h_c

sinAsinBsinCt

教師：大家還有其他的證明方法嗎？

4,外接圓法

a_b_c

在前面的檢驗(yàn)中，RtA48c中，SinJsin5sinC,c恰為外接接圓的直徑，即

c=k=2R,所以作A48C的外接圓。,

般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形.

證明：連續(xù)8°并延長交圓于8',

Z5M5=90°，Z5'=ZC.

在RtAS'AB中，sin5'

ABAB

=B'B=2R

sin5,sinC

—=2R

即sinC

-^—=2R—^—=27?

同理可證:sinAfsin5

..b=-^—=2R

sinAsinBsinC

^-=上=，=2/?

教師：從剛才的證明過程中，sin4sin5sinC,顯示正弦定理的比值等于

三角形外接圓的直徑2尺.

5.用向量積來證明正弦定理

在銳角三角形入48c中,AB+BC=AC作單位向量/垂直于/c,

AC-j=ABj+BC-j

即0=ccos(90°-J)+acos(90°-C)

csin4—asinC=0

ca

sinCsinA

圖5

h_a

同理：sin5sin/

a_b_c

sinAsinBsinC

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

a_b_c

sinAsinBsinC

一般地，把三角形的三個角力、B、°和它們的對邊。、b、c叫做三角形的元素,

已知三角形的幾個元素，求其他元素的過程叫做解三角形.

五、例題分析

例1在中，已知4=32.0°,5=81.8°,a=42.9cm）解三角形.

解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,

C=180°-(J+5)=l80°-(32.00+81.8°)=66.2°

根據(jù)正弦定理,

,_asinB_42.9sin81.8°

?80.l(cm)

一sinZ-sin32.0°

根據(jù)正弦定理,

_6fsinC_42.9sin66.2°

CsinZsin32.0°?74.1(cm)

注：對于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計算器.

Q+6+C

例2已知在AABC中，NA=60°,a=6求sinN+sinB+sinC.

a_b_c

分析：可通過設(shè)一參數(shù)代左>°)使sin2sin5sinC

a_b_c_a+h+c

證明出sin/sin5sinCsin/+sinB+sinC

a

------=--------=k(k>0)

解:設(shè)sin/sinBsinC

則有a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC

a+b+c-siM+-sin^+TsinC

從而sin4+sin8+sinC=sinJ+sin5+sinC-k.

aG-,a+b+c

---------2.—K-----------------------

又因?yàn)閟in4=sin60°,所以sin力+sin8+sinC=2

a_b_c_Q+6+C

=k(k>0)

評述：在Z\ABC中,等式sin/-sin^—sin?！猻in4+sin8+sinC

恒成立.

六、隨堂練習(xí)

1.第4頁練習(xí)第1(1)、2(1)題.

1.1.2余弦定理

教案A

教學(xué)目標(biāo)

一、知識與技能

1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法；

2.會運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題.

二、過程與方法

利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類基

本的解三角形問題.

三、情感、態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識；在運(yùn)用余弦定理的過程中，讓學(xué)生逐步養(yǎng)成實(shí)事求是、扎

實(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)的思維方式解決問題、認(rèn)識世界；通過本節(jié)的運(yùn)用實(shí)踐，體

會數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值.

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用余弦定理探求任意三角形的邊角關(guān)系，解決與之有關(guān)的計算問題，運(yùn)用余弦

定理解決一些與測量以及幾何計算有關(guān)的實(shí)際問題.

教學(xué)難點(diǎn)：用向量的數(shù)量積推導(dǎo)余弦定理的思路方法及余弦定理在應(yīng)用求解三角形時的思

路.

教學(xué)關(guān)鍵：熟練掌握并靈活應(yīng)用余弦定理解決相關(guān)的實(shí)際問題

教學(xué)突破方法：采用“問題教學(xué)法”，精心設(shè)計教學(xué)內(nèi)容，提出探究性問題，經(jīng)過啟發(fā)、引

導(dǎo)，從不同的途徑讓學(xué)生自己去分析、探索.

教法與學(xué)法導(dǎo)航

教學(xué)方法：

根據(jù)“情境一問題”教學(xué)模式，沿著“設(shè)置情境一提出問題一解決問題一反思應(yīng)用”這條主

線，把從情境中探索和提出數(shù)學(xué)問題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，以“問題”為紅線組織教學(xué)，形成

以提出問題與解決問題相互引發(fā)攜手并進(jìn)的“情境一問題”學(xué)習(xí)鏈，使學(xué)生真正成為提出問

題和解決問題的主體，成為知識的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，使教學(xué)過程成為學(xué)生主動獲取

知識、發(fā)展能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過程.

學(xué)習(xí)方法：

首先研究把己知兩邊及其夾角判定三角形全等的方法進(jìn)行量化，也就是研究如何從已知的兩

邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題，利用向量的數(shù)量積比較容易地證明

了余弦定理.從而利用余弦定理的第二種形式由已知三角形的三邊確定三角形的角.

教學(xué)準(zhǔn)備

教師準(zhǔn)備：三角板、計算器、多媒體.

學(xué)生準(zhǔn)備：三角板、計算器.

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

1.在RtaABC中（若C=90。）有：。2=/+'2,在斜三角形中一邊的平方與其余兩邊平方

和及其夾角還有什么關(guān)系呢？

2.如圖1,在△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.已知a,b和Nc,求邊c.

二、主題探究，合作交流

聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因NA、

NB均未知，所以較難求邊c.由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題.

如圖2,設(shè)CB—a,CA-b,4B-c,那么5則

|c|2=^=p-^p-5)

=aa+b-b-2a-b

-p|2+|q2-2?.R

從而c2=a2+/—2abcosC

同理可證/="-26ccosA,

b2=a2+c2-2accos5

于是得到余弦定理:三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的

夾角的余弦的積的兩倍,即

C2=a2+b2-2abcosC,

222

a=b+c-2bccosAt

b2=a2+c2-2accosB

思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由

三邊求出一角？

(由學(xué)生推出)從余弦定理，又可得到以下推論：

cos/=cos5=cosC=

2bc2ac2ba

定理說明

從而余弦定理及其推論的基本作用為：

①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；

②已知三角形的三條邊就可以求出其它角.

思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中

三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個定理之間的關(guān)系？

若在^ABC中，C=90°,貝|JCOSC=0,這時

由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例.

三、拓展創(chuàng)新，應(yīng)用提高

例1在aABC中，已知。=26，c=>/6+V2,8=45。，求b及A.

解:根據(jù)余弦定理得b2=a2+c2-2acco3B,

22

=(2>/3)+(V6+A/2)-2-2V3-(V6+V2)郎45。

2

=12+(V6+V2)-4V3(V3+1)

=8.

b=25

求才可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理.

A.2+c2-q2(2&>+(C+⑸2_(2百)2J

解法一：5s=2bc=_2x2V2x(V6+V2)一方'

JA=60°,

4=出出8=羋出訪45。=4,

解法二:Vsinb2V22

又?:N/6+>/2>2.4+1.4=3.8,

2>/3<2x1.8=3.6,

：.a<c,即0°vZ〈90。,

/=60°.

評述：解法二應(yīng)考慮確定A的取值范圍.

例2在aABC中，已知a=134.6cm,6=87.8cm,c=161.7cm,解三角形.

解：由余弦定理的推論得：

222

A=b+c-a=87.82+161.72-134.62

cos2bc2x87.8x161.7七0.5543,

則A-56°20'；

222

s^c+a-h=134.62+161.72-87.82

cos2ca2x134.6x161.7%0.8398,

則B232°53'；

山三角形內(nèi)角和定理得：

C=180°-(4+8卜180°-(56°20'+32°53')

=90°47'.

即時練習(xí)：第8頁練習(xí)第1(1)、2(1)題.

補(bǔ)充練習(xí)：在AABC中，^b2+c2+hc,求角A(答案：A=120°).

1.在^ABC中，bcosA=acosB,則三角形為().

A.直角三角形B.銳角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形

2.在4ABC中，若a2>b2+c2,則4ABC為；若a2=b2+c2,則4ABC

為；若a2Vb2+c2且b2<a2+c2且c2<a2+b2,則4ABC為.

3.在△ABC中，sinA=2cosBsinC,則三角形為

蝮=2(后+i)

4.在^ABC中，BC=3,AB=2,且.sin85,A=.

參考答案：1.C2.鈍角三角形，直角三角形，銳角三角形3.等腰三角形4.120°

四、小結(jié)

1.余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；

2.余弦定理的應(yīng)用范圍：

(1)已知三邊求三角；

(2)已知兩邊及它們的夾角，求第三邊.

五、課堂作業(yè)

課后閱讀：第8頁“探究與發(fā)現(xiàn)”.

課時作業(yè)：第10頁習(xí)題1.1A組第3、4題.

教案B

教學(xué)目標(biāo)

一、知識與技能

掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運(yùn)用余弦定理解決兩類基本

的解三角形問題.

二、過程與方法

利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論,并通過實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類基本

的解三角形問題，

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用.

學(xué)法與教學(xué)用具

學(xué)法：首先研究把已知兩邊及其夾角判定三角形全等的方法進(jìn)行量化，也就是研究如何從已

知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題，利用向量的數(shù)量積比較容易

地證明了余弦定理.從而利用余弦定理的第二種形式由已知三角形的三邊確定三角形的角.

教學(xué)用具：直尺、計算器.

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情景

思考：如果已知一個三角形的兩條邊及其所夾的角，根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角

形是大小、形狀完全確定的三角形.

我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋硌芯窟@個問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出

三角形的另一邊和另兩個角的問題.

二、探索研究

先考慮怎樣計算出三角形第三條邊的長，這就要研究如何利用已知的兩條邊及其夾角來表示

第三條邊的問題.

如果已經(jīng)知道三角形的兩邊長BC=a,AC=b,邊BC和邊AC所夾的角是C,我們要設(shè)法找出

一個已知的a,b和C與第三邊c之間的一個關(guān)系式，或用已知的a,b和C表示第三邊c

的一個公式.

聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、

B均未知，所以較難求邊c.由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題.

推導(dǎo)：如圖1在△ABC中，4B、

???JC=A5+5C,

...7C^4C=（AB+BC）（AB+BC）

圖1

=AB2+2AB-BC+BC2

=/+2函H南cos（18（y_8）+濟(jì)

=c2-2accosB+472

即b2=c2a2-2accosB

同理可證Q?=b?+*-26ccos4,c2=(72+/>2-2abcosC

于是得到余弦定理:三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的

夾角的余弦的積的兩倍.即

2

/=/+c-2bccosAt

222

b=a+c-2accosBt

c2=a2+b2-2abcosC

思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由

三邊求出一角呢？

(由學(xué)生推出)從余弦定理，又可得到以下推論：

b2+c2-a2cosB=a2+f~b2-cosC=h2+a2-c2

cosA-

2bc2ac,2ba

三、例題分析

例1在AABC中，已I知b=60cm,c=34cm,A=41°,解三角形(角度精確到1°,邊長精確

到1cm).

解：根據(jù)余弦定理,

a2-h2+c2-2bcosA

=602+342-2x60x34xcos41°

=3600+1156-4080x0.7547

=1676.82.

所以a=41cm

山正弦定理得：

.巾csinA34xsin41°34x0.656

sinC=----------?------------------?----------------

a4141比0.5440.

因?yàn)閏不是三角形中最大的邊，所以C是銳角，利用計算器可得C^33°.

由三角形內(nèi)角和定理得B=180°-(A+C)^180°-(41°+33°)=106°.

例2在AABC中，已知a=134.6cm,6=87.8cm,c=161.7cm,解三角形

分析：已知三角形的三邊求角，明顯用余弦定理.

解：由余弦定理的推論得：

222222

1=b+c-a_87.8+161.7-134.6

A=-2bc-=~~2x87.8x161.7--0.5543,

cos

念56°20'.

222222

D_c+a-b134.6+161.7-87.8

cos_2ca—=―2x134.6x161.7--0.8398,

BB32°53'.

C=180°-(4+8)、180°-(56°20'+32°53')

=90°47.

例3在^ABC中,已知a=22cm,b=25cm,A=1330,解三角形.

bsinA?=°sin.

分析：先由sm=a可進(jìn)一步求出B；則C=180°-(/+8),從而A.

簡答：無解(詳解見教材第8、9頁).

評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當(dāng)A為銳角且

bsin/<a<6時，有兩解；其它情況時則只有一解或無解.

例4在△ABC中，已知a=7,b=5,c=3,判斷aABC的類型.

222

A=b+C-d

W：,?,72>52+3\即。2>/+02,cos2hc<0,角A為鈍角.

所以4ABC是鈍角三角形.

四、隨堂練習(xí)

1.第8頁練習(xí)第1、2題.

2.在AABC中，若/=/+。2+A，求角A(答案：A=120°).

五、課堂小結(jié)

1.余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；

2.余弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三邊求三角；②已知兩邊及它們的夾角，求第三邊.

六、課時作業(yè)

第10頁習(xí)題1.1A組第3、4題.

1.2應(yīng)用舉例

教案A

第1課時

教學(xué)目標(biāo)

一、知識與技能

能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)測量距離的實(shí)際問題，了解常

用的測量相關(guān)術(shù)語.

二、過程與方法

1.通過解決“測量平面上兩個不能到達(dá)的地方的之間的距離”的問題，初步掌握將實(shí)際問

題轉(zhuǎn)化為解斜三角形的問題的方法.

2.進(jìn)一步提高利用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問

題的能力.

三、情感、態(tài)度與價值觀

激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值；同時培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號

表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的能力.

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：實(shí)際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實(shí)際問題

的解.

教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖.

教學(xué)關(guān)鍵：將實(shí)際問題中的距離問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

教學(xué)突破方法：通過分析實(shí)踐、自主探究、合作交流等一系列的尋求問題解決方法的活動，

討論解決方法，步步改進(jìn)方法，探求最佳方法.

教法與學(xué)法導(dǎo)航

教學(xué)方法：

首先通過巧妙的設(shè)疑，順利地引導(dǎo)新課，為以后的幾節(jié)課做良好鋪墊.其次結(jié)合學(xué)生的實(shí)際

情況，采用“提出問題——引發(fā)思考——探索猜想——總結(jié)規(guī)律——反饋訓(xùn)練”的教學(xué)過程，

根據(jù)大綱要求以及教學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)系，鋪開例題，設(shè)計變式，同時通過多媒體、圖形

觀察等直觀演示，幫助學(xué)生掌握解法，能夠類比解決實(shí)際問題.對于例2這樣的開放性題目

要鼓勵學(xué)生討論，開放多種思路，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹更c(diǎn)和矯正.

學(xué)習(xí)方法：

學(xué)生通過數(shù)學(xué)建模，自主探究、合作交流，在實(shí)踐中體驗(yàn)過程，在過程中感受應(yīng)用，在交流

中升華.

教學(xué)準(zhǔn)備

教師準(zhǔn)備：多媒體、黑板、教材.

學(xué)生準(zhǔn)備：教材、教輔材料、直尺、計算器.

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

1.復(fù)習(xí)舊知

復(fù)習(xí)提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決咖些類型的三角形？

2.設(shè)置情境

怎樣在航行途中測出海上兩個島嶼之間的距離？今天我們開始學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理在科

學(xué)實(shí)踐中的重要應(yīng)用，首先研究如何測量距離？

二、主題探究，合作交流

1.解決實(shí)際測量問題的過程一般有哪些步驟呢？

（1）充分認(rèn)真理解題意；

（2）正確做出圖形；

（3）把實(shí)際問題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學(xué)模

型來求解.

2.實(shí)例分析

例1如圖1,設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測量兩點(diǎn)之間的距離，測量者在A的同側(cè)，在所

在的河岸邊選定一點(diǎn)C,測出AC的距離是55m,NBAC=51°,NACB=75°.求A、B兩點(diǎn)的

距離(精確到O.lm).

圖1

學(xué)生思考并討論交流下面兩個問題：

問題1：在^ABC中，根據(jù)已知的邊和對應(yīng)角，運(yùn)用哪個定理比較適當(dāng)？

問題2：運(yùn)用該定理解題還需要那些邊和角呢？

分析：這是一道關(guān)于測量從一個可到達(dá)的點(diǎn)到一個不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問題，題目條

件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個已知角算

出AC的對角，應(yīng)用正弦定理算出邊AB.

解：根據(jù)正弦定理得：

ABZC

sinN/lCB=sinZ4BC,

"sin4c855sinZ4CB55sin75°55sin75°

AB=sinZ^BC=sinZ4BC=sin(18O°-51°-75°)=sin54。

Q65.7(m).

答:A、B兩點(diǎn)間的距離為65.7m.

變式1：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔A在觀察站C的北偏東30,

燈塔B在觀察站C南偏東60°,則A、B之間的距離為多少？

教師提醒學(xué)生按步驟做題，建立數(shù)學(xué)模型.

解略：^2akm

例2如圖2,A、B兩點(diǎn)都在河的對岸(不可到達(dá))，設(shè)計一種測量A、B兩點(diǎn)間距離的方法.

分析：這是例1的變式題，研究的是兩個不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離測量問題.首先需要構(gòu)造

三角形，所以需要確定C、D兩點(diǎn).根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個內(nèi)角與一邊既可求

出另兩邊的方法，分別求出AC和BC,再利用余弦定理可以計算出AB的距離.

AK

解：測量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D,測得CD=a,并且在C、D兩點(diǎn)分別測得』BCA二。,

』ACD二力，NCDBJ,NBDA=6,在aADC和aBDC中，應(yīng)用正弦定理得

AC-asin(r+R_asin(/+<5)

-sin[180P-(^+/4-^)]-sinGff+/+<5),

Be=_____asin-_______asin/

sinR80P—(a+/+/)]sin(a+9+乃

計算出AC和BC后，再在AABC中，應(yīng)用余弦定理計算出A、B兩點(diǎn)間的距離

AB二y/AC2+BC2-2ACxBCcosa

分組討論：還有沒有其它的方法呢？師生一起對不同方法進(jìn)行對比、分析、板演.

變式2：若在河岸選取相距40米的C、D兩點(diǎn)，測得NBCA=60。，NACD=30。，NCDB=45。，

NBDA=60°.

略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206.

評注：可見，在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些

過程較繁瑣，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來選

擇最佳的計算方式.

三、拓展創(chuàng)新，應(yīng)用提高

學(xué)生閱讀教材第12頁，了解測量中基線的概念，并找到生活中的相應(yīng)例子.

教材第13頁練習(xí)第1、2題.

四、小結(jié)

解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：

1.分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖.

2.建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立

一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型.

3.求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解.

4.檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解