普陀區(qū)2022學(xué)年第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研一、填空題（本大題共有12題，滿(mǎn)分54分，第1－6題每題4分，第7－12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫(xiě)結(jié)果．1.若（其中i表示虛數(shù)單位），則______．2.若正四棱柱的底面周長(zhǎng)為4、高為2，則該正四棱柱的體積為_(kāi)_____．3.設(shè)，則滿(mǎn)足x的取值范圍為_(kāi)_____．4.函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)為_(kāi)_____．5.函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_____．6.在展開(kāi)式中，含有項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_____．7.雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)的夾角為_(kāi)_____.8.“青山”飲料廠推出一款新產(chǎn)品——“綠水”，該廠開(kāi)展促銷(xiāo)活動(dòng)，將罐“綠水”裝成一箱，且每箱均有罐可以中獎(jiǎng)．若從一箱中隨機(jī)抽取罐，則能中獎(jiǎng)概率為_(kāi)_____．9.設(shè)．若直線(xiàn)與曲線(xiàn)僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則______．10.某地“小康果”大豐收，現(xiàn)抽取個(gè)樣本，其質(zhì)量分別為、、、、（單位：克）．若該樣本的中位數(shù)和平均數(shù)均為，則此樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)_____（用數(shù)字作答）．11.設(shè)a、且．若函數(shù)的表達(dá)式為，且，則的最大值為_(kāi)_____．12.設(shè)、、均為正數(shù)且，則使得不等式總成立的的取值范圍為_(kāi)_____．二、選擇題（本大題共有4題，滿(mǎn)分18分，第13－14題每題4分，第15－16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)．考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．13.已知直線(xiàn)l、m和平面、，下列命題中的真命題是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則14.設(shè)，則充要條件是（）A. B. C. D.15.設(shè)，若向量、、滿(mǎn)足，且，則滿(mǎn)足條件的k的取值可以是（）A.1 B.2 C.3 D.416.設(shè)、、、、是均含有個(gè)元素的集合，且，，記，則中元素個(gè)數(shù)的最小值是（）A. B. C. D.三、解答題（本大題共有5題，滿(mǎn)分78分），解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫(xiě)出必要的步驟．17.如圖所示，BD為四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，設(shè)AB＝AD＝1，△BCD為等邊三角形．記．（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）設(shè)S為四邊形ABCD面積，用含有的關(guān)系式表示S，并求S的最大值．18.設(shè)a、b均為正整數(shù)，為首項(xiàng)為a、公差為b的等差數(shù)列，為首項(xiàng)為b、公比為a的等比數(shù)列．（1）設(shè)t為正整數(shù)，當(dāng)，，時(shí)，求的值；（2）若，且對(duì)于某項(xiàng)，存在，使得，試提出一個(gè)關(guān)于m、k的結(jié)論，并說(shuō)明理由．19.如圖，“復(fù)興”橋?yàn)槿诵刑鞓?，其主體結(jié)構(gòu)是由兩根等長(zhǎng)的半圓型主梁和四根豎直的立柱吊起一塊圓環(huán)狀的橋面．主梁在橋面上方相交于點(diǎn)S且它們所在的平面互相垂直，S在橋面上的射影為橋面的中心O．主梁連接橋面大圓，立柱連接主梁和橋面小圓，地面有4條可以通往橋面的上行步道．設(shè)CD為其中的一根立柱，A為主梁與橋面大圓的連接點(diǎn)．（1）求證：平面SOA；（2）設(shè)AB為經(jīng)過(guò)A的一條步道，其長(zhǎng)度為12米且與地面所成角的大小為30°．橋面小圓與大圓的半徑之比為，當(dāng)橋面大圓半徑為20米時(shí)，求點(diǎn)C到地面的距離．20.在xoy坐標(biāo)平面內(nèi)，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線(xiàn)與相交于A、B兩點(diǎn)．（1）記d為A到直線(xiàn)的距離，當(dāng)變化時(shí)，求證：為定值；（2）當(dāng)時(shí)，求的值；（3）過(guò)B作BM⊥x軸，垂足為M，OM的中點(diǎn)為N，延長(zhǎng)AN交于另一點(diǎn)P，記直線(xiàn)PB的斜率為，當(dāng)取何值時(shí)，有最小值？并求出此最小值．21.若函數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件，則稱(chēng)在上具有性質(zhì)．①在上的導(dǎo)數(shù)存在；②在上的導(dǎo)數(shù)存在，且（其中）恒成立．（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上是否具有性質(zhì)？并說(shuō)明理由．（2）設(shè)、均為實(shí)常數(shù)，若奇函數(shù)在處取得極值，是否存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上具有性質(zhì)？若存在，求出取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）設(shè)且，對(duì)于任意的，不等式成立，求的最大值．普陀區(qū)2022學(xué)年第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研一、填空題（本大題共有12題，滿(mǎn)分54分，第1－6題每題4分，第7－12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫(xiě)結(jié)果．1若（其中i表示虛數(shù)單位），則______．【答案】1【解析】【分析】計(jì)算，即可得到虛部.【詳解】因?yàn)?，根?jù)復(fù)數(shù)的概念可知，虛部為1.故答案為：1.2.若正四棱柱的底面周長(zhǎng)為4、高為2，則該正四棱柱的體積為_(kāi)_____．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)正四棱柱的性質(zhì)，求出底面邊長(zhǎng)，代入體積公式即可得到.【詳解】設(shè)底面邊長(zhǎng)為.根據(jù)正四棱柱的性質(zhì)知，底面為正方形，則，所以.又高，所以，正四棱柱的體積為.故答案為：2.3.設(shè)，則滿(mǎn)足的x的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】結(jié)合指數(shù)運(yùn)算法則解不等式即可.【詳解】，解得.故x的取值范圍為.故答案為：4.函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】令，在上求解即可.【詳解】令，∵，∴，∴，即，∴函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)為.故答案為：.5.函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用余弦型函數(shù)的周期公式可求得原函數(shù)的最小正周期.【詳解】因?yàn)?，因此，該函?shù)的最小正周期為.故答案為：.6.在展開(kāi)式中，含有項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式可求得展開(kāi)式中含有項(xiàng)的系數(shù).【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式通項(xiàng)為，由題意可知，在展開(kāi)式中，含有項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.7.雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)的夾角為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的方程，求得其漸近線(xiàn)的方程，利用斜率與傾斜角的關(guān)系，以及雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線(xiàn)，可得兩條漸近線(xiàn)方程為，設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，則，解得，根據(jù)雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，可得兩見(jiàn)解析的夾角為.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，同時(shí)考查了直線(xiàn)的斜率與傾斜角的關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8.“青山”飲料廠推出一款新產(chǎn)品——“綠水”，該廠開(kāi)展促銷(xiāo)活動(dòng)，將罐“綠水”裝成一箱，且每箱均有罐可以中獎(jiǎng)．若從一箱中隨機(jī)抽取罐，則能中獎(jiǎng)的概率為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】記一箱中能中獎(jiǎng)的“綠水”灌裝飲料分別記為、，不能中獎(jiǎng)的“綠水”灌裝飲料分別記為、、、，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】記一箱中能中獎(jiǎng)的“綠水”灌裝飲料分別記為、，不能中獎(jiǎng)的“綠水”灌裝飲料分別記為、、、，從一箱中隨機(jī)抽取罐，所有基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共種，其中，事件“隨機(jī)抽取的罐能中獎(jiǎng)”所包含的基本事件有：、、、、、、、、，共種，故所求概率為.故答案為：.9.設(shè)．若直線(xiàn)與曲線(xiàn)僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則______．【答案】【解析】【分析】利用圓心到直線(xiàn)的距離等于圓的半徑可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，由題意可得，解得.故答案為：.10.某地“小康果”大豐收，現(xiàn)抽取個(gè)樣本，其質(zhì)量分別為、、、、（單位：克）．若該樣本的中位數(shù)和平均數(shù)均為，則此樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)_____（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】【分析】設(shè)，利用中位數(shù)定義和平均數(shù)公式可求得、的值，再利用標(biāo)準(zhǔn)差公式可求得該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差.【詳解】不妨設(shè)，因?yàn)樵摌颖镜闹形粩?shù)為，則，由平均數(shù)公式可得，解得，所以，該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為.故答案為：.11.設(shè)a、且．若函數(shù)的表達(dá)式為，且，則的最大值為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】由結(jié)合可得出，求出的取值范圍，利用不等式的基本性質(zhì)可求得的最大值.【詳解】因?yàn)?，則，所以，或，或.因?yàn)椋?，，且，可得，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.故答案為：.12.設(shè)、、均為正數(shù)且，則使得不等式總成立的的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由已知可得出，不妨設(shè)，，其中，可得出，令，可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?、、均為正?shù)且，則，不妨設(shè)，，其中，所以，，因?yàn)?，則，令，則，所以，，所以，，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，所以，.故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.二、選擇題（本大題共有4題，滿(mǎn)分18分，第13－14題每題4分，第15－16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)．考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．13.已知直線(xiàn)l、m和平面、，下列命題中的真命題是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】C【解析】【分析】線(xiàn)面平行及線(xiàn)線(xiàn)垂直，線(xiàn)可以有無(wú)數(shù)種朝向；線(xiàn)面垂直，線(xiàn)只有一種朝向；面面平行，面只有一種朝向，逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)A，若，，則可能有，m與相交不垂直，A錯(cuò)；對(duì)B，若，，則，則可能有，l與相交不垂直，，B錯(cuò)；對(duì)C，若，，則，C對(duì)；對(duì)D，若，，由于與關(guān)系不確定，故l與m關(guān)系也不確定，D錯(cuò).故選：C14.設(shè)，則的充要條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】由已知可推出，則，解出即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋?，則，所以.則由可得，，則.因?yàn)椋?，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，解得.故選：D.15.設(shè)，若向量、、滿(mǎn)足，且，則滿(mǎn)足條件的k的取值可以是（）A1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得，利用平面向量的數(shù)量積的定義和三角函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而，結(jié)合選項(xiàng)即可求解.【詳解】由，得，所以，又，所以，即，得，又，所以，所以k的取值可以是2.故選：B.16.設(shè)、、、、是均含有個(gè)元素的集合，且，，記，則中元素個(gè)數(shù)的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后對(duì)的取值由小到大進(jìn)行分析，驗(yàn)證題中的條件是否滿(mǎn)足，即可得解.【詳解】解：設(shè)、、、是集合互不相同的元素，若，則，不合乎題意.①假設(shè)集合中含有個(gè)元素，可設(shè)，則，，這與矛盾；②假設(shè)集合中含有個(gè)元素，可設(shè)，，，，，滿(mǎn)足題意.綜上所述，集合中元素個(gè)數(shù)最少為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查集合元素個(gè)數(shù)的最值的求解，解題的關(guān)鍵在于對(duì)集合元素的個(gè)數(shù)由小到大進(jìn)行分類(lèi)，對(duì)集合中的元素進(jìn)行分析，驗(yàn)證題中條件是否成立即可.三、解答題（本大題共有5題，滿(mǎn)分78分），解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫(xiě)出必要的步驟．17.如圖所示，BD為四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，設(shè)AB＝AD＝1，△BCD為等邊三角形．記．（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）設(shè)S為四邊形ABCD的面積，用含有的關(guān)系式表示S，并求S的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理即可求；（2）由余弦定理得，，結(jié)合三角形面積公式即可求.小問(wèn)1詳解】由余弦定理得，，，故；【小問(wèn)2詳解】由余弦定理得，，，則當(dāng)時(shí)，S的最大值為18.設(shè)a、b均為正整數(shù)，為首項(xiàng)為a、公差為b的等差數(shù)列，為首項(xiàng)為b、公比為a的等比數(shù)列．（1）設(shè)t為正整數(shù)，當(dāng)，，時(shí)，求的值；（2）若，且對(duì)于某項(xiàng)，存在，使得，試提出一個(gè)關(guān)于m、k的結(jié)論，并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2），理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）結(jié)合通項(xiàng)公式，由可解出t，進(jìn)而求值即可；（2）由結(jié)合數(shù)列性質(zhì)可解出，且，由得，即可根據(jù)因式為整數(shù)解出b及.【小問(wèn)1詳解】，，由得，t為正整數(shù)，故，；【小問(wèn)2詳解】，理由如下：由得，由，由，又，故，且，由得，即，∵，∴，.19.如圖，“復(fù)興”橋?yàn)槿诵刑鞓?，其主體結(jié)構(gòu)是由兩根等長(zhǎng)的半圓型主梁和四根豎直的立柱吊起一塊圓環(huán)狀的橋面．主梁在橋面上方相交于點(diǎn)S且它們所在的平面互相垂直，S在橋面上的射影為橋面的中心O．主梁連接橋面大圓，立柱連接主梁和橋面小圓，地面有4條可以通往橋面的上行步道．設(shè)CD為其中的一根立柱，A為主梁與橋面大圓的連接點(diǎn)．（1）求證：平面SOA；（2）設(shè)AB為經(jīng)過(guò)A的一條步道，其長(zhǎng)度為12米且與地面所成角的大小為30°．橋面小圓與大圓的半徑之比為，當(dāng)橋面大圓半徑為20米時(shí)，求點(diǎn)C到地面的距離．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)詳解（2）米【解析】【分析】(1)根據(jù)題意可知：，利用線(xiàn)面平行的判定即可證明；(2)根據(jù)題意利用勾股定理先求出點(diǎn)C到橋面的距離，再求出底面到橋面的距離，最后相加即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意可知：橋面，橋面，所以，平面，平面，所以∥平面.【小問(wèn)2詳解】作出其中一個(gè)主梁的軸截面，連接，由題意可知：，因?yàn)闃蛎嫘A與大圓的半徑之比為，也即，所以，在中，，所以點(diǎn)C到橋面的距離為米，又因?yàn)锳B為經(jīng)過(guò)A的一條步道，其長(zhǎng)度為12米且與地面所成角的大小為30°，所以地面到橋面的距離為，故點(diǎn)C到地面的距離為米.20.在xoy坐標(biāo)平面內(nèi)，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線(xiàn)與相交于A、B兩點(diǎn)．（1）記d為A到直線(xiàn)的距離，當(dāng)變化時(shí)，求證：為定值；（2）當(dāng)時(shí)，求的值；（3）過(guò)B作BM⊥x軸，垂足為M，OM的中點(diǎn)為N，延長(zhǎng)AN交于另一點(diǎn)P，記直線(xiàn)PB的斜率為，當(dāng)取何值時(shí)，有最小值？并求出此最小值．【答案】（1）答案見(jiàn)詳解；（2）；（3）答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）設(shè)，求出以及，進(jìn)而可推出，即可證明為定值；（2）由平行四邊形可得.根據(jù)橢圓的定義有，根據(jù)余弦定理即可求出結(jié)果；（3）設(shè)，，則.令直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理得到坐標(biāo)與的關(guān)系，進(jìn)而表示出之間的關(guān)系，推出，然后根據(jù)基本不等式即可得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】證明：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則有，.由已知可得，，，，，，.則，到直線(xiàn)的距離為.則，所以，是個(gè)與無(wú)關(guān)的定值，即當(dāng)變化時(shí)，為定值.【小問(wèn)2詳解】如圖，連結(jié)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，可得四邊形為平行四邊形.由橢圓的定義可得，，所以有.因?yàn)?，所?在中，由余弦定理可得，，即，又，兩式作差可得，則【小問(wèn)3詳解】設(shè)，則，，故，.令直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的方程為：，代入橢圓方程可得，，根據(jù)韋達(dá)定理可得，，于是.故，又因?yàn)?故.又因?yàn)?，所以?于是根據(jù)基本不等式，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以，當(dāng)，有最小值.【點(diǎn)睛】“設(shè)而不求”是解析幾何解題的基本手段，是比較特殊的一種思想方法.本題中，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)較多，直線(xiàn)數(shù)量較多，需要轉(zhuǎn)化的量也較多.引入直線(xiàn)的斜率，通過(guò)表示出幾個(gè)點(diǎn)之間的關(guān)系，以作為紐帶，將與聯(lián)系起來(lái)，最終求得，然后借助基本不等式求出結(jié)果.21.若函數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件，則稱(chēng)