專題12：探索性問(wèn)題一、選擇題1.〔2023湖南長(zhǎng)沙第11題〕中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作?算法統(tǒng)宗?中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．〞其大意是，有人要去某關(guān)口，路程378里，第一天健步行走，第二天起，由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天才到達(dá)目的地，那么此人第六天走的路程為〔〕A．24里B．12里C．6里D．3里【答案】C考點(diǎn)：等比數(shù)列2.〔2023山東臨沂第11題〕將一些相同的“〞按如下圖擺放，觀察每個(gè)圖形中的“〞的個(gè)數(shù)，假設(shè)第個(gè)圖形中“〞的個(gè)數(shù)是78，那么的值是〔〕A．11B．12C．13D．14【答案】B【解析】試題分析：第一個(gè)圖形有1個(gè)○，第二個(gè)圖形有1+2=3個(gè)○，第三個(gè)圖形有1+2+3=6個(gè)○，第四個(gè)圖形有1+2+3+4=10個(gè)○，……第n個(gè)圖形有1+2+3+……+n=個(gè)○，故=78，解得n=12或n=-13〔舍去〕.應(yīng)選：B考點(diǎn)：規(guī)律探索3.(2023山東日照第11題)觀察下面“品〞字形中各數(shù)之間的規(guī)律，根據(jù)觀察到的規(guī)律得出a的值為〔〕A．23 B．75 C．77 D．139【答案】B．試題分析：觀察可得，上邊的數(shù)為連續(xù)的奇數(shù)1，3，5，7，9，11，左邊的數(shù)為21，22，23，…，所以b=26=64，又因上邊的數(shù)與左邊的數(shù)的和正好等于右邊的數(shù)，所以a=11+64=75，應(yīng)選B．考點(diǎn)：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．4.〔2023浙江臺(tái)州第10題〕如圖，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在菱形的四條邊上，，將分別沿折疊，當(dāng)重疊局部為菱形且面積是菱形面積的時(shí)，那么為〔〕A．B．2C.D．4【答案】A考點(diǎn)：1、菱形的性質(zhì)，2、翻折變換〔折疊問(wèn)題〕5.〔2023浙江湖州第10題〕在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．從一個(gè)格點(diǎn)移動(dòng)到與之相距的另一個(gè)格點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)稱為一次跳馬變換．例如，在的正方形網(wǎng)格圖形中〔如圖1〕，從點(diǎn)經(jīng)過(guò)一次跳馬變換可以到達(dá)點(diǎn)，，，等處．現(xiàn)有的正方形網(wǎng)格圖形〔如圖2〕，那么從該正方形的頂點(diǎn)經(jīng)過(guò)跳馬變換到達(dá)與其相對(duì)的頂點(diǎn)，最少需要跳馬變換的次數(shù)是〔〕A．B．C.D．【答案】B【解析】試題分析：根據(jù)圖一可知，延AC或AD可進(jìn)行下去，然后到CF，從而求出CF=3，這時(shí)可知跳過(guò)了3格，然后依次進(jìn)行下去，而20×20格共21條線，所以可知要進(jìn)行下去，正好是〔20+1〕÷7×2=14.故答案為：14.考點(diǎn)：1、勾股定理，2、規(guī)律探索二、填空題1.(2023山東濱州第18題)觀察以下各式：，……請(qǐng)利用你所得結(jié)論，化簡(jiǎn)代數(shù)式＋＋＋…＋〔n≥3且為整數(shù)〕，其結(jié)果為__________．【答案】.2,(2023山東菏澤第14題)如圖，軸，垂足為，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線上，再將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線上，依次進(jìn)行下去......假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，那么點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．【答案】【解析】試題分析：∵直線∴∠AOB=60°∵在中，OB=1，OA=2，AB=∴,∵每旋轉(zhuǎn)三次看做一個(gè)整體,∴.如圖，過(guò)點(diǎn)向x軸畫垂線,∵，,∴,即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.3.〔2023浙江湖州第15題〕如圖，，在射線上取點(diǎn)，以為圓心的圓與相切；在射線上取點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與相切；在射線上取點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與相切；；在射線上取點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與相切．假設(shè)的半徑為，那么的半徑長(zhǎng)是．【答案】512〔或29〕考點(diǎn)：1、圓的切線，2、30°角的直角三角形4.(2023湖南湘潭第15題)如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，垂直平分，垂足為點(diǎn)，請(qǐng)任意寫出一組相等的線段．【答案】BC=BE或DC=DE【解析】試題分析:，平分，垂直平分，利用角平分線性質(zhì)定理可知DC=DE；根據(jù)條件易證≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BC=BE.5.(2023浙江舟山第15題)如圖，把個(gè)長(zhǎng)為1的正方形拼接成一排，求得，計(jì)算，……，按此規(guī)律，寫出〔用含的代數(shù)式表示〕．【答案】,.【解析】試題分析：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥A4B于E，易得∠A4BC=∠BA4A1，故tan∠A4BC=tan∠BA4A1=，在Rt△BCE中，由tan∠A4BC=，得BE=4CE，而BC=1，那么BE=，CE=，而A4B=,所以A4E=A4B-BE=，在Rt△A4EC中，tan∠BA4C=；根據(jù)前面的規(guī)律，不能得出tan∠BA1C=，tan∠BA2C，tan∠BA3C=，tan∠BA4C=，那么可得規(guī)律tan∠BAnC=.故答案為;考點(diǎn)：解直角三角形.三、解答題1.〔2023山東臨沂第25題〕數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問(wèn)題：如圖1，、是四邊形的對(duì)角線，假設(shè)，那么線段，，三者之間有何等量關(guān)系？經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種正確的思路：如圖2，延長(zhǎng)到，使，連接，證得，從而容易證明是等邊三角形，故，所以.小亮展示了另一種正確的思路：如圖3，將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使與重合，從而容易證明是等比三角形，故，所以.在此根底上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：〔1〕小穎提出：如圖4，如果把“〞改為“〞，其它條件不變，那么線段，，三者之間有何等量關(guān)系？針對(duì)小穎提出的問(wèn)題，請(qǐng)你寫出結(jié)論，并給出證明.〔2〕小華提出：如圖5，如果把“〞改為“〞，其它條件不變，那么線段，，三者之間有何等量關(guān)系？針對(duì)小華提出的問(wèn)題，請(qǐng)你寫出結(jié)論，不用證明.【答案】〔1〕BC+CD=AC〔2〕BC+CD=2AC?cosα【解析】試題分析：〔1〕先判斷出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再得出∠AEC=45°，即可得出等腰直角三角形，即可；〔判斷∠ADE=∠ABC也可以先判斷出點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)共圓〕〔2〕先判斷出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再用三角函數(shù)即可得出結(jié)論．試題解析：〔1〕BC+CD=AC；理由：如圖1，延長(zhǎng)CD至E，使DE=BC，∵∠ABD=∠ADB=45°，∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=90°，∵∠ACB=∠ACD=45°，∴∠ACB+∠ACD=45°，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ABC=∠ADE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE〔SAS〕，∴∠ACB=∠AED=45°，AC=AE，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE=AC，∵CE=CE+DE=CD+BC，∴BC+CD=AC；〔2〕BC+CD=2AC?cosα．理由：如圖2，延長(zhǎng)CD至E，使DE=BC，∵∠ABD=∠ADB=α，∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=180°﹣2α，∵∠ACB=∠ACD=α，∴∠ACB+∠ACD=2α，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ABC=∠ADE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE〔SAS〕，∴∠ACB=∠AED=α，AC=AE，∴∠AEC=α，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CE于F，∴CE=2CF，在Rt△ACF中，∠ACD=α，CF=AC?cos∠ACD=AC?cosα，∴CE=2CF=2AC?cosα，∵CE=CD+DE=CD+BC，∴BC+CD=2AC?cosα．考點(diǎn)：1、幾何變換綜合題，2、全等三角形的判定，3、四邊形的內(nèi)角和，4、等腰三角形的判定和性質(zhì)2.(2023山東日照第18題)如圖，BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足為E．〔1〕求證：△DCA≌△EAC；〔2〕只需添加一個(gè)條件，即，可使四邊形ABCD為矩形．請(qǐng)加以證明．【答案】(1)詳見解析；(2)AD=BC〔答案不唯一〕．試題分析：〔1〕由SSS證明△DCA≌△EAC即可；〔2〕先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再由全等三角形的性質(zhì)得出∠D=90°，即可得出結(jié)論．考點(diǎn)：矩形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．3.(2023浙江金華第23題)如圖1，將紙片沿中位線折疊，使點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)落在邊上，再將紙片分別沿等腰和等腰的底邊上的高線，折疊，折疊后的三個(gè)三角形拼合形成一個(gè)矩形，類似地，對(duì)多邊形進(jìn)行折疊，假設(shè)翻折后的圖形恰能拼成一個(gè)無(wú)縫隙、無(wú)重疊的矩形，這樣的矩形稱為疊合矩形．(1)將紙片按圖2的方式折疊成一個(gè)疊合矩形，那么操作形成的折痕分別是線段_____，_____；______.(2)紙片還可以按圖3的方式折疊成一個(gè)疊合矩形，假設(shè)，，求的長(zhǎng)．(3)如圖4，四邊形紙片滿足．小明把該紙片折疊，得到疊合正方形．請(qǐng)你幫助畫出疊合正方形的示意圖，并求出的長(zhǎng)．【答案】〔1〕〔1〕AE；GF；1:2；〔2〕13；〔3〕按圖1的折法，那么AD=1，BC=7；按圖2的折法，那么AD=,BC=.【解析】試題分析：〔1〕由圖2觀察可得出答案為AE,GF,由折疊的軸對(duì)稱性質(zhì)可得出答案為1：2；〔2〕由EF和EH的長(zhǎng)度根據(jù)勾股定理可求出FH的長(zhǎng)度，再由折疊的軸對(duì)稱性質(zhì)易證△AEH≌△CGF；再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出AD的長(zhǎng)度；〔3〕由折疊的圖可分別求出AD和BC的長(zhǎng)度.試題解析：〔1〕AE；GF；1:2

〔2〕解：∵四邊形EFGH是疊合矩形，∠FEH=90°,EF=5,EH=12;

∴FH==13;

由折疊的軸對(duì)稱性可知：DH=NH,AH=HM,CF=FN;

易證△AEH≌△CGF;

∴CF=AH;

∴AD=DH+AH=HN+FN=FH=13.

〔3〕解：此題有以下兩種根本折法，如圖1，圖2所示.

按圖1的折法，那么AD=1，BC=7.

按圖2的折法，那么AD=,BC=.4.(2023湖南湘潭第26題)如圖，動(dòng)點(diǎn)在以為圓心，為直徑的半圓弧上運(yùn)動(dòng)〔點(diǎn)不與點(diǎn)及的中點(diǎn)重合〕，連接.過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，以為邊在半圓同側(cè)作正方形，過(guò)點(diǎn)作的切線交射線于點(diǎn)，連接、.〔1〕探究：如左圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)；①判斷是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；②設(shè)，是否為定值？假設(shè)是，求出該定值，假設(shè)不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；③設(shè)，是否為定值？假設(shè)是，求出該定值，假設(shè)不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；〔2〕拓展：如右圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)；分別判斷〔1〕中的三個(gè)結(jié)論是否保持不變？如有變化，請(qǐng)直接寫出正確的結(jié)論.〔均不必說(shuō)明理由〕【答案】(1)①成立，理由見解析；②為定值1；③為定值45°；〔2〕不發(fā)生變化.試題解析：〔1〕①成立，理由如下：過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AB于點(diǎn)E，以BE為邊在半圓同側(cè)作正方形BCDE，∴∠MEO=∠MDN=90°，∴∠MOE+∠EMO=90°過(guò)M點(diǎn)的的切線交射線DC于點(diǎn)N，∴∠OMN=90°，∴∠DMN+∠EMO=90°∴∠MOE=∠DMN∴△OEM∽△MDN②k是定值1，理由如下：過(guò)點(diǎn)B作BG⊥MN,∵過(guò)M點(diǎn)的的切線交射線DC于點(diǎn)N，∴∠OMN