18/182017-2019北京高三數(shù)學上學期期中匯編：函數(shù)一．填空題1．（2017秋?朝陽區(qū)期中）已知函數(shù)f（x）同時滿足以下條件：①定義域為R；②值域為[0，2]；③f（x）﹣f（﹣x）＝0．試寫出一個函數(shù)解析式f（x）＝．2．（2017秋?朝陽區(qū)期中）已知函數(shù)若f（x）的圖象與直線y＝kx有兩個不同的交點，則實數(shù)k的取值范圍為．3．（2017秋?朝陽區(qū)期中）某罐頭生產(chǎn)廠計劃制造一種圓柱形的密封鐵皮罐頭盒，其表面積為定值S．若罐頭盒的底面半徑為r，則罐頭盒的體積V與r的函數(shù)關(guān)系式為；當r＝時，罐頭盒的體積最大．4．（2017秋?海淀區(qū)期中）設在海拔x（單位：m）處的大氣壓強y（單位：kPa），y與x的函數(shù)關(guān)系可近似表示為y＝100eax，已知在海拔1000m處的大氣壓強為90kPa，則根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，在海拔2000m處的大氣壓強為kPa．5．（2017秋?海淀區(qū)期中）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當0＜x＜1時，，則＝．6．（2017秋?海淀區(qū)期中）已知函數(shù)（其中ω＞0，）的部分圖象如圖所示，則ω＝，φ＝．7．（2017秋?東城區(qū)校級期中）若函數(shù)是奇函數(shù)，則f（x）＝．8．（2017秋?豐臺區(qū)校級期中）設集合M＝{x|y＝}，集合N＝{y|y＝x2，x∈M}，則M∩N＝．9．（2019秋?東城區(qū)校級期中）設函數(shù)f（x）的定義域為R，滿足f（x+1）＝3f（x），且當x∈（0，1]時，f（x）＝x（x﹣1）．若對任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣2，則m的取值范圍是．10．（2019秋?西城區(qū)校級期中）若函數(shù)f（x）＝x2﹣（a﹣2）x+1為偶函數(shù)，則＝．11．（2018秋?東城區(qū)校級期中）滿足f（﹣x）＝f（x）且f（2﹣x）＝﹣f（x）的函數(shù)f（x）可以是（寫出一個即可）12．（2018秋?西城區(qū)校級期中）設D是含數(shù)1的有限實數(shù)集，f（x）是定義在D上的函數(shù)．（1）若f（x）的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則f（1）（填是或否）可能為1．（2）若f（x）的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則f（1）可能取值只能是．①②③④013．（2018秋?朝陽區(qū)期中）已知函數(shù)y＝f（x）滿足下列條件：①定義域為R；②函數(shù)y＝f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；③函數(shù)y＝f（x）的導函數(shù)y＝f'（x）有且只有一個零點，寫出函數(shù)f（x）的一個表達式．14．（2018秋?通州區(qū)期中）設函數(shù)，若f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是．15．（2018秋?通州區(qū)期中）設函數(shù)，若f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是．16．（2018秋?通州區(qū)期中）能說明“若f（x）是奇函數(shù)，則f（0）＝0”為假命題的一個函數(shù)是．17．（2017秋?西城區(qū)校級期中）若f（x）＝ax2﹣ax﹣4＜0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是．18．（2017秋?東城區(qū)校級期中）設函數(shù)，則使得f（x2﹣2x）＞（3x﹣6）成立的x的取值范圍是．19．（2017秋?東城區(qū)校級期中）已知函數(shù)f（x）＝ax2+bx+1（a、b為實數(shù)，a≠0，x∈R），若f（﹣1）＝0，且函數(shù)f（x）的值域為（0，+∞），則f（x）的表達式f（x）＝．當x∈[﹣2，2]時，g（x）＝f（x）﹣kx是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是．20．（2017秋?東城區(qū)校級期中）函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），若對于定義域內(nèi)任意x1，x2（x1≠x2），有＝f（）恒成立，則稱f（x）為恒均變函數(shù)，給出下列函數(shù)：①f（x）＝2x+3；②f（x）＝x2﹣2x+3；③f（x）＝；④f（x）＝ex．其中為恒均變函數(shù)的序號是．（寫出所有滿足條件的函數(shù)的序號）21．（2017秋?西城區(qū)校級期中）設Ω為平面直角坐標系中的點集，從Ω中的任意一點P作x軸、y軸的垂線，垂足分別為M，N，記點M的橫坐標的最大值與最小值之差為x（Ω），點N的縱坐標的最大值與最小值之差y（Ω）．若Ω是邊長為1的正方形，給出下列三個結(jié)論：①x（Ω）的最大值為；②x（Ω）+y（Ω）的取值范圍是；③x（Ω）﹣y（Ω）恒等于0．其中所有正確結(jié)論的序號是．22．（2017秋?西城區(qū)校級期中）若函數(shù)則f（f（2））等于．二．解答題23．（2017秋?豐臺區(qū)校級期中）已知定義在（0，+∞）上的兩個函數(shù)f（x）＝x2+2ax（a＞0），g（x）＝3a2lnx+b圖象有公共點，且在公共點處的切線相同．（Ⅰ）用a表示b．（Ⅱ）求證：f（x）≥g（x）（x＞1）．24．（2019秋?西城區(qū)校級期中）將所有平面向量組成的集合記作R2，f是從R2到R2的映射，記作＝f（）或（y1，y2）＝f（x1，x2），其中x1，x2，y1，y2都是實數(shù)．定義映射f的模為：在|x|＝1的條件下||的最大值記做∥f∥．若存在非零向量∈R，及實數(shù)λ使得f（）＝λ，則稱λ為f的一個特征值．（Ⅰ）若f（x1，x2）＝（x1，x2）求∥f∥；（Ⅱ）如果f（x1，x2）＝（x1+x2，x1﹣x2），計算f的特征值，并求相應的；（Ⅲ）試找出一個映射f，滿足以下兩個條件：①有唯一特征值λ，②||f∥＝|λ|．（不需證明）

2017-2019北京高三數(shù)學上學期期中匯編：函數(shù)參考答案一．填空題1．（2017秋?朝陽區(qū)期中）已知函數(shù)f（x）同時滿足以下條件：①定義域為R；②值域為[0，2]；③f（x）﹣f（﹣x）＝0．試寫出一個函數(shù)解析式f（x）＝2|cosx|．【解答】解：由題意得：f（x）的定義域是R，值域是[0，2]，函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，故y＝2|cosx|或y＝cosx+1或y＝等，故答案為：2|cosx|．2．（2017秋?朝陽區(qū)期中）已知函數(shù)若f（x）的圖象與直線y＝kx有兩個不同的交點，則實數(shù)k的取值范圍為（﹣∞，﹣eln2）∪（﹣，0）∪[，2）．．【解答】解：作出f（x）的函數(shù)圖象，如圖所示：由圖象可知當≤k＜2時，直線y＝kx與f（x）的圖象在第一象限有2個交點；設直線y＝k1x與y＝x相切，切點為（a，b），則，解得a＝e，k1＝﹣．∴當﹣＜k＜0時，直線y＝kx與f（x）的圖象在第四象限有2個交點；設直線y＝k2x與y＝（）x相切，切點為（m，n），則，解得m＝﹣log2e，k2＝﹣eln2，∴k＜﹣eln2時，直線y＝kx與f（x）的圖象在第二象限有2個交點．綜上，k的取值范圍是（﹣∞，﹣eln2）∪（﹣，0）∪[，2）．故答案為：（﹣∞，﹣eln2）∪（﹣，0）∪[，2）．3．（2017秋?朝陽區(qū)期中）某罐頭生產(chǎn)廠計劃制造一種圓柱形的密封鐵皮罐頭盒，其表面積為定值S．若罐頭盒的底面半徑為r，則罐頭盒的體積V與r的函數(shù)關(guān)系式為v＝sr﹣πr3，（0＜r＜）；當r＝時，罐頭盒的體積最大．【解答】解：由題意得：圓柱的高是h＝，故v＝πr2?＝sr﹣πr3，（0＜r＜）；v′（r）＝s﹣3πr2，令v′（r）＞0，解得：0＜r＜，令v′（r）＜0，解得：r＞，故v（r）在（0，）遞增，在（，）遞減，故當r＝時V最大，故答案為：v＝sr﹣πr3，（0＜r＜）；．4．（2017秋?海淀區(qū)期中）設在海拔x（單位：m）處的大氣壓強y（單位：kPa），y與x的函數(shù)關(guān)系可近似表示為y＝100eax，已知在海拔1000m處的大氣壓強為90kPa，則根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，在海拔2000m處的大氣壓強為81kPa．【解答】解：∵在海拔1000m處的大氣壓強為90kPa，∴90＝100e1000a，即a＝，當x＝2000時，y＝100eax＝100＝81，故答案為：815．（2017秋?海淀區(qū)期中）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當0＜x＜1時，，則＝﹣2．【解答】解：函數(shù)f（x）是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，可得f（0）＝0，且f（x+2）＝f（x），則＝﹣f（）+0＝﹣f（+2）＝﹣f（），由當0＜x＜1時，，可得f（）＝2，即＝﹣2．故答案為：﹣2．6．（2017秋?海淀區(qū)期中）已知函數(shù)（其中ω＞0，）的部分圖象如圖所示，則ω＝2，φ＝﹣．【解答】解：由圖象可知f（x）的周期為T＝＝π，∴＝π，解得ω＝2．由圖象可知f（）＝1，即＝1，∴+φ＝+kπ，k∈Z．∴φ＝﹣+kπ，又，∴φ＝﹣．故答案為：2，．7．（2017秋?東城區(qū)校級期中）若函數(shù)是奇函數(shù)，則f（x）＝x+1．【解答】解：設x＜0，則﹣x＞0，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可得：f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（﹣x﹣1）＝x+1．故答案為：x+1．8．（2017秋?豐臺區(qū)校級期中）設集合M＝{x|y＝}，集合N＝{y|y＝x2，x∈M}，則M∩N＝[4，+∞）．【解答】解：∵集合M＝{x|y＝}＝[2，+∞）∴集合N＝{y|y＝x2，x∈M}＝[4，+∞）∴M∩N＝[4，+∞）故答案為：[4，+∞）9．（2019秋?東城區(qū)校級期中）設函數(shù)f（x）的定義域為R，滿足f（x+1）＝3f（x），且當x∈（0，1]時，f（x）＝x（x﹣1）．若對任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣2，則m的取值范圍是m≤．【解答】解：∵f（x+1）＝3f（x），∴f（x）＝3f（x﹣1），∵x∈（0，1]時，f（x）＝x（x﹣1）∈[﹣，0]，∴x∈（1，2]時，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝3f（x﹣1）＝3（x﹣1）（x﹣2）∈[﹣，0]；∴x∈（2，3]時，x﹣1∈（1，2]，f（x）＝3f（x﹣1）＝9（x﹣2）（x﹣3）∈[﹣，0]；當x∈（2，3]時，由9（x﹣2）（x﹣3）＝﹣2，解得x＝或x＝；若對任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣2，則m≤．故答案為：m≤．10．（2019秋?西城區(qū)校級期中）若函數(shù)f（x）＝x2﹣（a﹣2）x+1為偶函數(shù)，則＝﹣2．【解答】解：∵f（x）為偶函數(shù)，∴a﹣2＝0，∴a＝2，∴＝＝1﹣log27﹣（﹣log27+3）＝1﹣3＝﹣2．故答案為：﹣2．11．（2018秋?東城區(qū)校級期中）滿足f（﹣x）＝f（x）且f（2﹣x）＝﹣f（x）的函數(shù)f（x）可以是f（x）＝cos（x）（答案不唯一）（寫出一個即可）【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）＝f（x），則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，又由f（2﹣x）＝﹣f（x），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（1，0）中心對稱，則f（x）的解析式可以為f（x）＝cos（x），故答案為：f（x）＝cos（x）（答案不唯一）12．（2018秋?西城區(qū)校級期中）設D是含數(shù)1的有限實數(shù)集，f（x）是定義在D上的函數(shù)．（1）若f（x）的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則f（1）是（填是或否）可能為1．（2）若f（x）的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則f（1）可能取值只能是②．①②③④0【解答】解：由題意得到：問題相當于圓上由4個點為一組，每次繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)個單位后與下一個點會重合．我們可以通過代入和賦值的方法當f（1）＝1通過代入，當f（1）＝，，0時此時得到的圓心角為，，0，然而此時x＝0或者x＝1時，都有2個y與之對應，而我們知道函數(shù)的定義就是要求一個x只能對應一個y，因此只有當x＝，此時旋轉(zhuǎn)，此時滿足一個x只會對應一個y，因此答案就選：②．故選；②．13．（2018秋?朝陽區(qū)期中）已知函數(shù)y＝f（x）滿足下列條件：①定義域為R；②函數(shù)y＝f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；③函數(shù)y＝f（x）的導函數(shù)y＝f'（x）有且只有一個零點，寫出函數(shù)f（x）的一個表達式y(tǒng)＝x2．【解答】解：結(jié)合題意，y＝x2滿足條件，故答案為：y＝x2．14．（2018秋?通州區(qū)期中）設函數(shù)，若f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（0，1]．【解答】解：；∵a＞0；∴f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞減；又f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；∴a的取值范圍是（0，1]．故答案為：（0，1]．15．（2018秋?通州區(qū)期中）設函數(shù)，若f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（0，1]．【解答】解：；∵a＞0；∴f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞減；又f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；∴a的取值范圍是（0，1]．故答案為：（0，1]．16．（2018秋?通州區(qū)期中）能說明“若f（x）是奇函數(shù)，則f（0）＝0”為假命題的一個函數(shù)是（答案不唯一）．【解答】解：根據(jù)題意，若f（x）是奇函數(shù)，且0在函數(shù)定義域中，則必有f（0）＝0，“若f（x）是奇函數(shù)，則f（0）＝0”為假命題，則0不在函數(shù)的定義域，則能說明“若f（x）是奇函數(shù)，則f（0）＝0”為假命題，只需函數(shù)的定義域不包含0即可，故這個函數(shù)可以是f（x）＝，故答案為：f（x）＝，（答案不唯一）17．（2017秋?西城區(qū)校級期中）若f（x）＝ax2﹣ax﹣4＜0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（﹣16，0]．【解答】解：當a＝0時，f（x）＝﹣4＜0恒成立，符合題意；當a≠0時，f（x）＝ax2﹣ax﹣4＜0恒成立，則，解得：﹣16＜a＜0．綜上所述，﹣16＜a≤0，即實數(shù)a的取值范圍是（﹣16，0]．故答案為：（﹣16，0]．18．（2017秋?東城區(qū)校級期中）設函數(shù)，則使得f（x2﹣2x）＞（3x﹣6）成立的x的取值范圍是（﹣∞，2）∪（3，+∞）．【解答】解：∵函數(shù)為奇函數(shù)，當x＞0時，，可得f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴由奇函數(shù)的性質(zhì)，可得f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，且函數(shù)f（x）在x＝0處連續(xù)，所以，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．∴由f（x2﹣2x）＞（3x﹣6），可得x2﹣2x＞3x﹣6，即x2﹣5x+6＞0，解得x＜2或x＞3，因此，x的取值范圍是（﹣∞，2）∪（3，+∞）．故答案為：（﹣∞，2）∪（3，+∞）．19．（2017秋?東城區(qū)校級期中）已知函數(shù)f（x）＝ax2+bx+1（a、b為實數(shù)，a≠0，x∈R），若f（﹣1）＝0，且函數(shù)f（x）的值域為（0，+∞），則f（x）的表達式f（x）＝x2+2x+1．當x∈[﹣2，2]時，g（x）＝f（x）﹣kx是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．【解答】解：∵f（x）＝ax2+bx+1（a≠0），f（﹣1）＝a﹣b+1＝0，∴a＝b﹣1①，又∵＝，②，聯(lián)立①②解出a＝1，b＝2，∴f（x）＝x2+2x+1．（2）因為g（x）＝f（x）﹣kx＝x2+2x+1﹣kx＝x2+（2﹣k）x+1＝（x+）2+1﹣，所以當≥2或≤﹣2時，函數(shù)g（x）在∈[﹣2，2]上單調(diào)，即k的范圍是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）時，g（x）是單調(diào)函數(shù)，故實數(shù)k的取值范圍是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．20．（2017秋?東城區(qū)校級期中）函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），若對于定義域內(nèi)任意x1，x2（x1≠x2），有＝f（）恒成立，則稱f（x）為恒均變函數(shù)，給出下列函數(shù)：①f（x）＝2x+3；②f（x）＝x2﹣2x+3；③f（x）＝；④f（x）＝ex．其中為恒均變函數(shù)的序號是①②．（寫出所有滿足條件的函數(shù)的序號）【解答】解：①f（x）＝2x+3，，．符合要求．②f（x）＝x2﹣2x+3，＝，．符合要求．③，，．不符合要求．④f（x）＝ex，．不符合要求．綜上所述，符合要求有①②，故答案為：①②．21．（2017秋?西城區(qū)校級期中）設Ω為平面直角坐標系中的點集，從Ω中的任意一點P作x軸、y軸的垂線，垂足分別為M，N，記點M的橫坐標的最大值與最小值之差為x（Ω），點N的縱坐標的最大值與最小值之差y（Ω）．若Ω是邊長為1的正方形，給出下列三個結(jié)論：①x（Ω）的最大值為；②x（Ω）+y（Ω）的取值范圍是；③x（Ω）﹣y（Ω）恒等于0．其中所有正確結(jié)論的序號是①②③．【解答】解：由題意，可得Ω為平面直角坐標系中的點集的圖形；∵正方形的邊長為1，∴正方形的對角線為，則x（Ω）的最大值為；①正確；如圖：當正方形的對角線在x軸上時，x（Ω）＝，y（Ω）＝，那么x（Ω）+y（Ω）＝2，當正方形的邊長有一邊位于坐標軸上時，如圖，此時x（Ω）＝1，y（Ω）＝1，此時x（Ω）+y（Ω）＝2為最小值．∴②x（Ω）+y（Ω）的取值范圍是；②正確．由于x（Ω）＝y(tǒng)（Ω）恒成立，故x（Ω）﹣y（Ω）恒等于0，故③正確；故所有正確結(jié)論的序號是①②③，故答案為：①②③．22．（2017秋?西城區(qū)校級期中）若函數(shù)則f（f（2））等于3．【解答】解：∵函數(shù)∴f（2）＝8，f（f（2））＝f（8）＝3，故答案為：3二．解答題23．（2017秋?豐臺區(qū)校級期中）已知定義在（0，+∞）上的兩個函數(shù)f（x）＝x2+2ax（a＞0），g（x）＝3a2lnx+b圖象有公共點，且在公共點處的切線相同．（Ⅰ）用a表示b．（Ⅱ）求證：f（x）≥g（x）（x＞1）．【解答】解：（Ⅰ）設y＝f（x）與y＝g（x）（x＞0）公共點（x0，y0）處的切線相同．f′（x）＝x+2a，g′（x）＝．由題意知f（x0）＝g