9/92019-2021北京高三（上）期中數(shù)學匯編平面解析幾何一、單選題1．（2021·北京師大附中高三期中）“”是“直線與直線相互垂直”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2021·北京師大附中高三期中）已知圓截直線所得弦的長度為，則實數(shù)（

）A． B． C． D．3．（2020·北京八中高三期中）已知曲線C：的離心率，則實數(shù)m值為（

）A．6 B．-6 C． D．4．（2020·北京八中高三期中）已知直線：和直線：，拋物線上一動點P到直線和直線的距離之和的最小值是（

）A． B． C． D．5．（2020·北京市第一六一中學高三期中）以橢圓上任意一點與焦點所連接的線段為直徑的圓與以長軸為直徑的圓的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)切 B．相交 C．相離 D．無法確定6．（2020·北京市第一六一中學高三期中）圓心在直線上且與y軸相切于點的圓的方程是（

）A． B．C． D．二、填空題7．（2020·北京八中高三期中）直線l：，直線l交x軸于點A，交y軸于點B，若的面積為4，則滿足條件的直線有______條．8．（2020·北京八中高三期中）雙曲線C過點，且與雙曲線有共同的漸近線，則雙曲線C的方程為______．9．（2020·北京市第一六一中學高三期中）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且焦距大于4，則雙曲線的標準方程可以為______．（寫出一個即可）10．（2020·北京市第一六一中學高三期中）已知點，若曲線上存在兩點，，使為正三角形，則稱為型曲線．給定下列三條曲線：①；②；③．其中，是型曲線的有__________．11．（2019·北京·北師大二附中高三期中）在平面直角坐標系中，若雙曲線經(jīng)過點（3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是_____.三、雙空題12．（2020·北京四中高三期中）圓與直線相切于點，則圓的半徑為_________，直線的方程為_________.四、解答題13．（2020·北京八中高三期中）1.已知橢圓的短軸長為，直線l：與x軸交于點A，橢圓的右焦點為F，，過點A的直線與橢圓交于P，Q兩點．(1)求橢圓的方程及離心率；(2)若，求直線PQ的方程；(3)過點P且平行于y軸的直線交橢圓于另一點M，求面積的最大值．14．（2020·北京市第一六一中學高三期中）如圖，已知橢圓:，直線:交橢圓于兩點．過左焦點且斜率為（）的直線交橢圓于兩點，線段的中點為．（1）求橢圓的離心率及實軸長；（2）若點在直線上，試求的關(guān)系式；（3）在（2）的前提下，是否存在實數(shù),使得的面積是面積的6倍？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

參考答案1．A【分析】直線與直線相互垂直得到，再利用充分必要條件的定義判斷得解.【詳解】因為直線與直線相互垂直，所以，所以.所以時，直線與直線相互垂直，所以“”是“直線與直線相互垂直”的充分條件；當直線與直線相互垂直時，不一定成立，所以“”是“直線與直線相互垂直”的非必要條件.所以“”是“直線與直線相互垂直”的充分非必要條件.故選：A【點睛】方法點睛：充分必要條件的判定，常用的方法有：（1）定義法；（2）集合法；（3）轉(zhuǎn)化法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.2．D【分析】先計算圓心到直線距離的表達式，再結(jié)合弦長公式求解即可．【詳解】圓圓心為半徑為點到直線的距離為則弦長為，得解得故選：D．3．D【分析】由曲線C：的離心率，得出是雙曲線，進而得出，，由離心率，即可得出答案．【詳解】因為曲線C：的離心率，所以曲線C：為雙曲線，即，所以，，所以離心率，解得，故選：D．4．A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的定義，可得點P到直線和直線的距離之和，當B，P，F(xiàn)三點共線時，最小，再結(jié)合點到直線的距離公式，即可求解．【詳解】∵拋物線，∴拋物線的準線為，焦點為，∴點P到準線的距離PA等于點P到焦點F的距離PF，即，∴點P到直線和直線的距離之和，∴當B，P，F(xiàn)三點共線時，最小，∵，∴，∴點P到直線和直線的距離之和的最小值為．故選：A．5．A【解析】畫出圖形，分別是橢圓的左右焦點，點是橢圓上的任意一點，則，以為直徑的圓的圓心是C，連接、，然后根據(jù)由三角形中位線定理可得出兩圓圓心的長，進而判斷出位置關(guān)系.【詳解】分別是橢圓的左右焦點，點是橢圓上的任意一點，則，以為直徑的圓的圓心是C，連接、，由三角形中位線定理可得：，即兩圓的圓心距離等于兩圓的半徑之差，因此，以橢圓上任意一點與焦點所連線的線段為直徑的圓與以長軸為直徑的圓的位置關(guān)系是內(nèi)切.故選：A.【點睛】兩圓的位置關(guān)系的判定方法：設(shè)兩個圓的半徑為R和r，圓心距為d，（1）d>R+r兩圓外離，（2）d=R+r兩圓外切；（3）d=R-r兩圓內(nèi)切，（4）d<R-r兩圓內(nèi)含，（5）R-r＜d<R+r兩圓相交6．A【解析】根據(jù)圓的標準方程得到圓心坐標，代入直線方程驗證是否滿足，再把點代入所給的選項驗證是否滿足，逐一排除可得答案.【詳解】A.圓心為，滿足，即圓心在直線，代入，即成立，正確；B.圓心，滿足，即圓心在直線，代入，錯誤；C.圓心，滿足，即圓心在直線，代入，錯誤；D.圓心，滿足，即圓心在直線，代入，錯誤.故選：A.【點睛】本題考查圓的標準方程，圓與直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.7．3【分析】求出直線在兩坐標軸上的截距，由三角形的面積公式可求解直線的斜率，即可得出結(jié)果．【詳解】解：當時，顯然不成立．當，對直線l：，時，；時，，∴，，∵，∴，解得或，∴共三條，故答案為：3．8．【分析】由雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線，則設(shè)雙曲線C的方程為，把點代入，解得λ，即可得出答案．【詳解】因為雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線，所以設(shè)雙曲線C的方程為，又因為雙曲線C過點，所以，解得，所以，所以雙曲線C的方程為．故答案為：．9．（滿足或即可）.【分析】由題意結(jié)合雙曲線的漸近線可設(shè)雙曲線的標準方程為，按照、討論，結(jié)合雙曲線的焦距分別求得的取值范圍即可得解.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，設(shè)雙曲線的標準方程為，當時，該雙曲線的焦距為即，解得；當時，該雙曲線的焦距為即，解得；雙曲線的標準方程為或，令可得雙曲線的標準方程為.故答案為：（滿足或即可）.【點睛】本題考查了雙曲線性質(zhì)的應用，考查了運算求解能力，關(guān)鍵是對于雙曲線相關(guān)概念的熟練應用，屬于基礎(chǔ)題.10．①③【詳解】對于①，到直線的距離為，若直線上存在兩點，，使為為正三角形，則，以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯(lián)立，解得或，所以①是．對于②，化為，圖形是第二象限內(nèi)的四分之一圓弧，此時連接點與圓弧和兩坐標軸交點構(gòu)成的三角形頂角最小為，所以②不是．對于③，根據(jù)對稱性，若上存在兩點存在兩點，，使為正三角形，則兩點連線的斜率為1，設(shè)，所在直線方程為，由題意知到直線距離為直線被所截弦長的倍，列方程解得，所以曲線③是T型線．故答案為①③．【點睛】本題是新定義問題，解題的關(guān)鍵是讀懂題目的意思，并且能夠把形的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方法解決，同時需要注意的是每條曲線的范圍．11．.【分析】根據(jù)條件求，再代入雙曲線的漸近線方程得出答案.【詳解】由已知得，解得或，因為，所以.因為，所以雙曲線的漸近線方程為.【點睛】雙曲線的標準方程與幾何性質(zhì)，往往以小題的形式考查，其難度一般較小，是高考必得分題.雙曲線漸近線與雙曲線標準方程中的密切相關(guān)，事實上，標準方程中化1為0，即得漸近線方程.12．

【解析】（1）首先求，再寫成圓的標準方程，求圓的半徑；（2）利用圓的切線的幾何性質(zhì)，求直線的斜率，再求直線方程.【詳解】（1）由條件可知點在圓上，即，解得：，圓的方程，所以圓的半徑；（2）設(shè)圓的圓心，，由條件可知直線與直線垂直，所以直線的斜率，所以直線的方程，即.故答案為：；13．(1)；(2)或(3)【分析】（1）由，求得，由，即可求得a的值，求得橢圓方程；（2）設(shè)直線PQ的方程，代入橢圓方程．利用韋達定理及向量的坐標運算即可求得k的值；（3）運用向量的共線的坐標運算和韋達定理，計算化簡即可得證Q，F(xiàn)，M三點共線，則面積，代入，利用基本不等式即可求得面積的最大值．(1)由題意，，則，，則，則，由，則，，所以橢圓的方程為；(2)由（1）可得，設(shè)直線PQ的方程為，，整理得，依題意，得，設(shè)，則①，②，由直線PQ的方程得，于是③，由，則，④由①②③④得，從而，所以直線m的方程為或；(3)設(shè)，即有，即，，設(shè)，即有，則，，，，∴，由于，等價為，由韋達定理代入可得，則有，故有，∴Q，F(xiàn)，M三點共線，∴面積，，當且僅當，即時取等號，滿足，∴面積的最大值．【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：（1）注意觀察應用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；（2）強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．14．（1）；4；（2）；（3）存在，.【解析】（1）由題意可知,，可得答案；（2）設(shè)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達定理求出P點坐標，代入直線方程化簡可得答案；（3）知點A到直線CD的距離與點B到直線CD的距離相等，的面積是面積的6倍，?BCP的面積是?ACP面積的3倍，推得P為OA中點，聯(lián)立直線方程和橢圓方程后結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求得P坐標，由P的坐標相等列式求得k的值.【詳解】（1）由題意可知,所以，于是，實軸長2a=4.

（2）設(shè)，，，即，所以，，，，于是，又因為點在直線上，所以.化簡得關(guān)系式：.

（3）若的面積是面積的6倍，則?BCP