?復(fù)變函數(shù)與積分變換?期末試題（A）吉林大學(xué)南嶺校區(qū)2011年12月題號一二三四五六總分得分得分一．填空題（每小題3分，共計15分）1．1i3的幅角是（2）；2.Ln(1i)的主值是（）；11z2f(z)，f(5)(0)（3.）；zsinzz0是4．的（）極點；z45．f(z)1，Res[f(z),]（）；z得分二．選擇題（每小題3分，共計15分）1．解析函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)的導(dǎo)函數(shù)為（）；fzuiuy；；（B）f(z)uiux()（A）xy（C）f(z)uivy；（D）f(z)uiv.xyx2．C是正向圓周z3，如果函數(shù)f(z)（），則()d0．fzzC3z2；（B）3(z1)；（C）3(z1)；（D）z2(z2)3（A）.(z2)22共6頁第頁1czn在z2點收斂，則級數(shù)在3．如果級數(shù)nn1（A）z2點條件收斂；（B）z2i點絕對收斂；（C）z1i點絕對收斂；（D）z12i點一定發(fā)散．４．下列結(jié)論正確的是()fz（A）如果函數(shù)()在點可導(dǎo)，則()在fzz點一定解析；z00f(z)dz0fz(B)如果()在C所圍成的區(qū)域內(nèi)解析，則Cf(z)dz0，則函數(shù)()在C所圍成的區(qū)域內(nèi)一定解析；fz（C）如果C（D）函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)在區(qū)域內(nèi)解析的充分必要條件是u(x,y)、v(x,y)在該區(qū)域內(nèi)均為調(diào)和函數(shù)．5．下列結(jié)論不正確的是（）．(A)為sin1的可去奇點；為sinz的本性奇點；(B)z11(C)為1的孤立奇點;為的孤立奇點.sinz(D)sinz得分三．按要求完成下列各題（每小題10分，共計40分）a,b,c,d.（1）設(shè)fzxaxybyicx2dxyy2)是解析函數(shù)，求()(22（2）．計算dz其中C是正向圓周：ezCz(z1)2z2；（3）計算z15dzz3(1z2)2(2z4)3f(z)z(z21)(z2)3(z3)2（4）函數(shù)在擴充復(fù)平面上有什么類型的奇點？，(sinz)3如果有極點，請指出它的級.共6頁第頁21四得、（本題分14分）將函數(shù)f(z)z2(z1)在以下區(qū)域內(nèi)展開成羅朗級數(shù)；（1）0z11，（2）0z1，（3）1z得分五．（本題10分）用Laplace變換求解常微分方程定解問題y(x)5y(x)4y(x)exy(0)y(0)1()(0)的傅立葉變換，并由此證明：六、（本題6分）求ftet得分2e2costdt20?復(fù)變函數(shù)與積分變換?期末試題（A）答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一．填空題（每小題3分，共計15分）1．1i32的幅角是（2k,k0,1,2）；312ln2342.Ln(1i)的主值是（）；i11z2f(z)，f(5)(0)（0），3.zsinzz0是4．的（一級）極點；z4共6頁第3頁5．f(z)1，Res[f(z),]（-1）；z二．選擇題（每題4分，共24分）1．解析函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)的導(dǎo)函數(shù)為（B）；fzuiuy；；（B）f(z)uiuxf(z)uivx()（A）（C）xyy；（D）f(z)uiv.yxf(z)（D），則()d0．fzz2．C是正向圓周z3，如果函數(shù)C3z23(z1)；（C）3(z1)；（D）3(z2)2（A）；（B）.z2(z2)2czn在z2點收斂，則級數(shù)在（C）3．如果級數(shù)nn1（A）z2點條件收斂；（B）z2i點絕對收斂；（C）z1i點絕對收斂；（D）z12i點一定發(fā)散．４．下列結(jié)論正確的是(B)fz（A）如果函數(shù)()在點可導(dǎo)，則()在點一定解析；z0fzz0f(z)dz0fz(B)如果()在C所圍成的區(qū)域內(nèi)解析，則Cf(z)dz0，則函數(shù)()在C所圍成的區(qū)域內(nèi)一定解析；fz（C）如果C（D）函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)在區(qū)域內(nèi)解析的充分必要條件是u(x,y)、v(x,y)在該區(qū)域內(nèi)均為調(diào)和函數(shù)．5．下列結(jié)論不正確的是（D）．1(A)、為sin的可去奇點；(B)、為sinz的本性奇點；z11(C)、為1的孤立奇點.(D)、為sinz的孤立奇點；sinz共6頁第4頁三．按要求完成下列各題（每小題10分，共40分）a,b,c,d.fzxaxybyicx2dxyy2)是解析函數(shù)，求()(（1）．設(shè)解：因為22f(z)解析，由C-R條件uvuvxyyx2xaydx2yax2by2cxdy,a2,d2,，a2c,2bd,c1,b1,給出C-R條件6分，正確求導(dǎo)給2分，結(jié)果正確2分。（2）．計算C(z1)2zdz其中C是正向圓周：ez解：本題可以用柯西公式\柯西高階導(dǎo)數(shù)公式計算也可用留數(shù)計算洛朗展開計算，僅給出用前者計算過程在復(fù)平面內(nèi)只有兩個奇點z0,z1，分別以z,z2為圓(z1)z2ez因為函數(shù)f(z)121c,c1心畫互不相交互不包含的小圓且位于c內(nèi)2ezezdz(z1)2dzezz(z1)2dzC2C(z1)2zzC1eez2i()2i(z1)2z2izz1z0無論采用那種方法給出公式至少給一半分，其他酌情給分。（3）．z15dzz3(1z2)2(2z4)3z3內(nèi)，由留數(shù)定理f(z)在有限復(fù)平面內(nèi)所有奇點均在：解：設(shè)z15dz2iRes[f(z),]-----（5分）z3(1z2)2(2z4)3共6頁第5頁2iRes[f(1)1]zz----（8分）2(1)15f(1)1zz1z(11)2(2(1)4)32z2z2zf(1)1z(1z2)2(2z41)3有唯一的孤立奇點z0,1zz2Res[f(1)1,0]zf(1)11(1z2)2(2z41)31limlimzzzz22z0z0z3(1z2)2(2z4)3dz2iz15--------（10分）f(z)z(z21)(z2)3(z3)2在擴充復(fù)平面上有什么類型的奇點？，（4）函數(shù)(sinz)3如果有極點，請指出它的級.解：f(z)z(z21)(z2)3(z3)2的奇點為zk,k0,1,2,3,，(sinz)3zk,k0,1,2,3,為（）0的三級零點，sinz（1）3（2）z0，z1,為f(z)的二級極點，z2是f(z)的可去奇點，z3為f(z)的一級極點，（3）z2,3,4，為f(z)的三級極點；（4）（5）為f(z)的非孤立奇點。備注：給出全部奇點給5分，其他酌情給分。1四、（本題14分）將函數(shù)f(z)z2(z1)在以下區(qū)域內(nèi)展開成羅朗級數(shù)；（1）0z11，（2）0z1，（3）1z解：（1）當(dāng)0z11共6頁第頁6111f(z)z2(z1)(z1)(z11)[]1而[(z11)][(1)n(z1)]nn0(1)nn(z1)n1n0f(z)(1)n1n(z1)n2-------6分n0（2）當(dāng)0z1111f(z)z2(z1)z2(1z)=zzn2n0zn2-------10分n0（3）當(dāng)1z11z3(11)f(z)z2(z1)zf(z)1z3()11n------14分zzn3n0n0每步可以酌情給分。五．（本題10分）用Laplace變換求解常微分方程定解問題：y(x)5y(x)4y(x)exy(0)1y(0)1Laplace變換記做Laplace變換性質(zhì)有L(s)，依據(jù)y(x)的解：對1s1s2L(s)s15(sL(s)1)4L(s)…（5分）整理得共6頁第7頁11L(s)(s1)(s1)(s4)s1111110(s1)6(s1)15(s4)s1…（7分）15110(s1)6(s1)15(s4)151…（10分）y(x)exexe4x10615()(0)的傅立葉變換，并由此證明：六、（6分）求ftetet2costd220F()tedt(0)ite解：--------3分ititF()(0)0eetdteetdt0(it0)(0edt0edt)it()(i)t0(i)tee(0)ii1012F()(0)i------4分i221f(t)eitF()d(0)--------5分2212ed(0)22it1(costisint)d(0)222costisint22d(0)d220222costd(0)，f(t)-------6分0共6頁第8頁cost22et2d0?復(fù)變函數(shù)與積分變換?期末試題（B）吉林大學(xué)南嶺校區(qū)2011年12月題號一二三四五六總分共6頁第9頁得分一．填空題（每小題3分，共計15分）1．1i的幅角是（2）；2.Ln(i)的主值是（）；3.a=（），f(z)x22xyy2i(ax22xyy2)在復(fù)平面內(nèi)處處解析．4．z0zsinz是的（）極點；z3f(z)1z5．，Res[f(z),]（）；二．選擇題（每小題3分，共計15分）1．解析函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)的導(dǎo)函數(shù)為（）；fzuiuy；()()y（A）fzuiv；（B）xxf(z)uivxxfzuiu()（C）y；（D）.y），則2．C是正向圓周z2，如果函數(shù)f(z)（()d0．fzzC3z13z；（C）3z(z1)3(z1)（A）；（B）；（D）.z1223．如果級數(shù)czn在zin2點收斂，則級數(shù)在n1z2點條件收斂；（B）z2i點絕對收斂；（A）（C）z1i點絕對收斂；z12i點一定發(fā)散．（D）４．下列結(jié)論正確的是()共6頁第10頁fz（A）如果函數(shù)()在點可導(dǎo)，則()在fzz點一定解析；z00(B)如果0,其中C復(fù)平面內(nèi)正向封閉曲線,則()在C所圍成的區(qū)域fzf(z)dzC內(nèi)一定解析；fz（C）函數(shù)()在點解析的充分必要條件是它在該點的鄰域內(nèi)一定可以展開成為z0zz的冪級數(shù)，而且展開式是唯一的；0（D）函數(shù)()(,)fzuxyivxy(,)在區(qū)域內(nèi)解析的充分必要條件是u(x,y)、v(x,y)在該區(qū)域內(nèi)均為調(diào)和函數(shù)．5．下列結(jié)論不正確的是（）．（A）、lnz是復(fù)平面上的多值函數(shù)；(B)、cosz是無界函數(shù)；(C)、sinze是復(fù)平面上的有界函數(shù)；（D）、z是周期函數(shù)．得分三．按要求完成下列各題（每小題8分，共計50分）f(0)0，求f(z)u(x,y)i(x2g(y)))是解析函數(shù)，且（1）設(shè)g(y),u(x,y),f(z)．（2）．計算．其中C是正向圓周zzC(z21)(zi)2dz2；共6頁第頁11（3）．計算C(1z)z21ezdz，其中C是正向圓周z2；1C(z1)(z2)2dz．其中C是正向圓周（4）．利用留數(shù)計算z3；共6頁第12頁)(z)212（5）函數(shù)f(z)z(z3在擴充復(fù)平面上有什么類型的奇點？，如果有極(sinz)3點，請指出它的級.1f(z)z2(z1)在以下區(qū)域內(nèi)展開成羅朗級數(shù)；得分四、（本題12分）將函數(shù)（1）0z11，（2）0z1，（3）1z共6頁第13頁五．（本題10分）用Laplace變換求解常微分方程定解問題得分y(x)5y(x)4y(x)exy(0)y(0)1共6頁第14頁()(0)的傅立葉變換，并由此證明：六、（本題8分）求ftet得分et2costd220共6頁第15頁?復(fù)變函數(shù)與積分變換?期末試題簡答及評分標(biāo)準(zhǔn)（B）吉林大學(xué)南嶺校區(qū)2011年12月題號一二三四五六總分得分得分一．填空題（每小題3分，共計15分）1．1i的幅角是（2k,k01,2,）；24的主值是（12ln2i2.Ln(1i)）；411z2f(z)，f(7)(0)（0）；3.4．f(z)zsinz，Res[f(z),0]（0）；z3f(z)1，Res[f(z),]（05．）；z2二．選擇題（每小題3分，共計15分）得分1．x2y2是解析函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)的實部，則（A）；（A）f(z)2(xiy)；（B）f(z)2(xiy)；（C）f(z)2(yix)；（D）f(z)2(yix).f(z)dz0．2．C是正向圓周z2，如果函數(shù)f(z)（A），則Csinz111z1（A）；（B）；（C）(z3)2；（D）(z1)2.z3．如果級數(shù)czn在z2i點收斂，則級數(shù)在(C)nn1共6頁第16頁z2點條件收斂；（B）z2i點絕對收斂；（A）（C）z1i點絕對收斂；z12i點一定發(fā)散．（D）４．下列結(jié)論正確的是(Cfz（A）如果函數(shù)()在)點可導(dǎo)，則()在fzz點一定解析；z00(B)如果0,其中C復(fù)平面內(nèi)正向封閉曲線,則()在C所圍成的區(qū)域fzf(z)dzC內(nèi)一定解析；fz（C）函數(shù)()在點解析的充分必要條件是它在該點的鄰域內(nèi)一定可以展開成為z0zz的冪級數(shù)，而且展開式是唯一的；0（D）函數(shù)()(,)fzuxyivxy(,)在區(qū)域內(nèi)解析的充分必要條件是u(x,y)、v(x,y)在該區(qū)域內(nèi)均為調(diào)和函數(shù)．5．下列結(jié)論不正確的是（C）．（A）lnz是復(fù)平面上的多值函數(shù)；（B）cosz是無界函數(shù)；（C）sinz是復(fù)平面上的有界函數(shù)；（D）ez是周期函數(shù)．得分三．按要求完成下列各題（每小題10分，共計40分）（1）求a,b,c,d使fzxaxybyicx2dxyy2)是解析函數(shù)，()(22解：因為f(z)解析，由C-R條件uvuvxyyx2xaydx2yax2by2cxdy,a2,d2,，a2c,2bd,c1,b1,給出C-R條件6分，正確求導(dǎo)給2分，結(jié)果正確2分。共6頁第17頁1Cz(z1)2dz．其中C是正向圓周（2）．z2；解：本題可以用柯西公式\柯西高階導(dǎo)數(shù)公式計算也可用留數(shù)計算洛朗展開計算，僅給出用前者計算過程在復(fù)平面內(nèi)只有兩個奇點z0,z1，分別以z,z2為圓1因為函數(shù)f(z)(z1)2z121c,c1心畫互不相交互不包含的小圓且位于c內(nèi)2111dz(z1)2dz(z1)2dzz(z1)zz2CC1C211(z1)2z0i2()2i0zz11（3）．計算C(1z)z3ezdz，其中C是正向圓周z2；z2內(nèi)，由留數(shù)定理解：設(shè)f(z)在有限復(fù)平面內(nèi)所有奇點均在：1f(z)dz2iRes[f(z),]2ic-----（5分）z21z1z3ez1z(111)(11111z2e1)z2(1z)z2!z23!zzzz2331z)(1111)111(zz22!3!z4!z2zzz23c(11)8112!3!318f(z)dz2i3z2共6頁第18頁f(z)(z21)(z2)3（4）函數(shù)在擴充復(fù)平面上有什么類型的奇點？，如果有極點，(sinz)3請指出它的級.f(z)的奇點為zk,k0,1,2,3,，zk,k0,1,2,3,為（sinz）30的三級零點，z1,為f(z)的二級極點，z2是f(z)的可去奇點，z0,2,3,4，為f(z)的三級極點；為f(z)的非孤立奇點。給出全部奇點給5分。其他酌情給分。得分1f(z)z2(z1)在以下區(qū)域內(nèi)展開成羅朗級數(shù)；四、（本題14分）將函數(shù)（1）