株洲市第二中學2023屆第二次月考數(shù)學試題(理)一、選擇題：每題5分，總分值40分，每題四個選項中，只有一項為哪一項符合要求的．1.全集，集合,那么A. B. C. D.2.如果函數(shù)上單調遞減，那么實數(shù)滿足的條件是A．B．C．D．3.以下函數(shù)中，滿足的是A． B．C． D．4.函數(shù)，下面結論錯誤的選項是A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)的圖象關于直線對稱D．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)5.給出如下四個命題：①假設“且〞為假命題，那么、均為假命題；②命題“假設且，那么〞的否命題為“假設且，那么〞；③在中，“〞是“〞的充要條件。④命題“〞是真命題.其中正確的命題的個數(shù)是A.3B.26.定義運算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a1a2,a3a4))＝a1a4－a2a3；將函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(3)sinx,1cosx))的圖象向左平移n(n>0)個單位，所得圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù)，那么n的最小值為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(5π,6)D.eq\f(2π,3)7.函數(shù)的一段圖象是8.設函數(shù)其中表示不超過的最大整數(shù)，如=-2，=1，=1，假設直線y=與函數(shù)y=的圖象恰有三個不同的交點，那么的取值范圍是A．B．C．D．二、填空題：本大題共7小題，每題5分，總分值35分．9.函數(shù)，那么.10.，那么_____________.11.曲線所圍成的封閉圖形的面積為．12.函數(shù)假設命題“〞為真，那么m的取值范圍是___.13α∈(0，π)，且sinα＋cosα＝eq\f(1,2)，那么cos2α的值為.14.設，且，那么_________.15.假設關于的方程有四個不同的實數(shù)解，那么實數(shù)k的取值范圍是.三、解答題：本大題共6小題，總分值75分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．16．〔12分〕函數(shù)〔=1\*ROMANI〕求函數(shù)的最小正周期；〔=2\*ROMANII〕確定函數(shù)在上的單調性并求在此區(qū)間上的最小值.17.某品牌的汽車4S店,對最近100位采用分期付款的購車者進行統(tǒng)計,統(tǒng)計結果如下表所示:付款方式分1期分2期分3期分4期分5期頻數(shù)402010分3期付款的頻率為0.2,4S店經銷一輛該品牌的汽車,顧客分1期付款,其利潤為1萬元;分2期或3期付款,其利潤為1.5萬元;分4期或5期付款,其利潤為2萬元.用表示經銷一輛汽車的利潤.(1)求上表中的值;(2)假設以頻率作為概率,求事件:“購置該品牌汽車的3位顧客中,至多有1位采用3期付款〞的概率;(3)求的分布列及數(shù)學期望.18.正三棱柱的所有棱長都為4,D為的中點.(1)求證:⊥平面;(2)求二面角余弦值.19.統(tǒng)計說明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y〔升〕關于行駛速度x〔千米/小時〕的函數(shù)解析式可以表示為：x+8〔0＜x≤120〕．甲、乙兩地相距100千米．〔I〕當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？〔Ⅱ〕當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？20.〔此題總分值13分〕函數(shù)的圖象如圖，直線在原點處與函數(shù)圖象相切，且此切線與函數(shù)圖象所圍成的區(qū)域(陰影)面積為eq\f(27,4).〔1〕求的解析式〔2〕假設常數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.21．〔本小題總分值13分〕函數(shù)，.(Ⅰ)假設，求函數(shù)在區(qū)間上的最值；(Ⅱ)假設恒成立，求的取值范圍.注：是自然對數(shù)的底數(shù)株洲市第二中學2023屆第二次月考數(shù)學試題(理)答案一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，總分值40分，在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合要求的．1.全集，集合，那么CA. B. C. D.2.如果函數(shù)上單調遞減，那么實數(shù)滿足的條件是〔A〕A．B．C．D．3.以下函數(shù)中，滿足的是CA． B．C． D．4.函數(shù)，下面結論錯誤的選項是CA．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)的圖象關于直線對稱D．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)5.給出如下四個命題：①假設“且〞為假命題，那么、均為假命題；②命題“假設且，那么〞的否命題為“假設且，那么〞；③在中，“〞是“〞的充要條件。④命題“〞是真命題.其中正確的命題的個數(shù)是(D)A.3B.26.定義行列式運算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a1a2,a3a4))＝a1a4－a2a3；將函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(3)sinx,1cosx))的圖象向左平移n(n>0)個單位，所得圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù)，那么n的最小值為(C)A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(5π,6)D.eq\f(2π,3)7.函數(shù)的一段圖象是B8.設函數(shù)其中表示不超過的最大整數(shù)，如=-2，=1，=1，假設直線y=與函數(shù)y=的圖象恰有三個不同的交點，那么的取值范圍是DA．B．C．D．二、填空題：本大題共6小題，每題5分，總分值30分．9.函數(shù)，那么.10.，那么_____________.11.曲線所圍成的封閉圖形的面積為eq\f(10,3)．12.函數(shù)假設命題“〞為真，那么m的取值范圍是________.〔—∞，-2〕13.設，且，那么_________14.假設關于的方程有四個不同的實數(shù)解，那么的取值范圍是.三、解答題：本大題共6小題，總分值80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．15．〔本小題總分值12分〕函數(shù)〔=1\*ROMANI〕求函數(shù)的最小正周期；〔=2\*ROMANII〕確定函數(shù)在上的單調性并求在此區(qū)間上的最小值.15解，…………3分 那么的最小正周期是；……………4分解:取BC中點O,連AO,∵為正三角形,∴,∵在正三棱柱中,平面ABC平面,∴平面,取中點為,以O為原點,,,的方向為,軸的正方向,建立空間直角坐標系,那么.∴,∵,.∴,,∴面(2)設平面的法向量為,.,∴,∴,,令,得為平面的一個法向量,由(1)知面,∴為平面的法向量,,∴二面角的余弦值為17.(1)由得,因為,所以，……2分(2)“購置該品牌汽車的3位顧客中至多有1位采用3期付款〞的概率:……6分(3)記分期付款的期數(shù)為,依題意得……10分因為的可能取值為1,1.5,2(單位萬元),并且……13分11.520.40.40.2所以的分布列為所以的數(shù)學期望為(萬元)…16分19.〔此題總分值13分〕函數(shù)的圖象如圖，直線在原點處與函數(shù)圖象相切，且此切線與函數(shù)圖象所圍成的區(qū)域(陰影)面積為eq\f(27,4).(1)求〔2〕假設常數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.解析：由f(0)＝0得c＝0，….2分f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由f′(0)＝0得b＝0，………4分∴f(x)＝x3＋ax2＝x2(x＋a)，由eq\a\vs4\al(∫eq\o\al(－a,0))[－f(x)]dx＝eq\f(27,4)得a＝－3.∴f(x)＝x3－3x2………………8分〔2〕由〔1〕知.的取值變化情況如下：2單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增又,①當時,；……………11分②當時,綜上可知解:取BC中點O,連AO,∵為正三角形,∴,∵在正三棱柱中,平面ABC平面,∴平面,取中點為,以O為原點,,,的方向為,軸的正方向,建立空間直角坐標系,那么.∴,∵,.∴,,∴面(2)設平面的法向量為,.,∴,∴,,令,得為平面的一個法向量,由(1)知面,∴為平面的法向量,,∴二面角的余弦值為解：〔I〕當x=40時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，要耗油〔升〕．答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升．〔II〕當速度為x千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設耗油量為h〔x〕升，依題意得，．令h'〔x〕=0，得x=80．當x∈〔0，80〕時，h'〔x〕＜0，h〔x〕是減函數(shù)；當x∈〔80，120〕時，h'〔x〕＞0，h〔x〕是增函數(shù)．∴當x=80時，h〔x〕取到極小值h〔80〕=11.25．因為h〔x〕在〔0，120]上只有一個極值，所以它是最小值．答：當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升…………………14分21．〔本小題總分值14分〕函數(shù)，.(Ⅰ)假設，求函數(shù)在區(qū)間上的最值；(Ⅱ)假設恒成立，求的取值范圍.注：是自然對數(shù)的底數(shù).解：(Ⅰ)假設，那么.當時，，，所以函數(shù)在上單調遞增；當時，，.所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，所以在區(qū)間上有最小值，又因為，，而，所以在區(qū)間上有最大值………………….5分(Ⅱ)函數(shù)的定義域為．由，得．〔*〕〔ⅰ〕當時，，，不等式〔*〕恒成立，所以；……….7分〔ⅱ〕當時，①當時，由得，即，現(xiàn)令，那么，因為，所以，故在上單調遞增，從而的最小值為，因為恒成立等價于，所以；………………….11②當時，的最小值為，而，顯然不滿足題意……….13分綜上可得，滿足條件的的取值范圍是.…………………14分考場號：班級：考場號：班級：學生姓名：座位號：—–——–—–—––—–—–—密—–—–—–—–—–—–—–—–封—–—–—–—–—–—–—–—–線—–—–—–—–—–——–—–—