第十五講直線形平面圖形（學(xué)生版）理論部分面圖形有長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形、圓形、扇形。它們的特征、周長及面積計算公式，以及它們之間的聯(lián)系與區(qū)別請參看下表。面圖形有長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形、圓形、扇形。它們的特征、周長及面積計算公式，以及它們之間的聯(lián)系與區(qū)別請參看下表。小學(xué)數(shù)學(xué)競賽中的求平面圖形的周長和面積的競賽題，涉及面廣，類型多，要正確、迅速地解答這些題，必須熟練掌握有關(guān)概念、法則和公式，要具有一定的空間觀念、空間想象力和初步邏輯思維能力。同時還必須掌握并靈活運用分割法、割補法、添補法、平移法、旋轉(zhuǎn)法、翻折法等方法，才能運用自如，進行正確計算。典型例題與練習(xí)例1、一個長方形，如果長減少5厘米，寬減少2厘米，那么面積就減少66平方厘米，這時剩下的部分恰好成為一個正方形。求原來長方形的面積?！舅悸贩治觥浚篠1+S2+S3=66平方厘米，S3=2×5=10平方厘米，S1和S2可拼成一個長方形，寬為（5+2）=7厘米，長正好是剩下的正方形的邊長，用除法求出剩下正方形的邊長。進而求出原長方形的面積。解：[（66－5×2）÷（5+2）]2+66=[（60－10）÷7]2+66=82+66=130平方厘米答：原長方形的面積是130平方厘米。例2、如右圖，ABCD是長方形，長（AD）7.2厘米，寬（AB）5厘米，CDEF是平行四邊形。如果（BH）長3厘米，那么圖中陰影部分面積是多少平方厘米？【思路分析】：長方形ABCD和平行四邊形CDEF等底、等高，它們的面積均為（7.2×5=）36平方厘米。BC=7.2厘米，BH=3厘米，HC=7.2－3=4.2厘米，三角形CDH的面積為4.2×5÷2=10.5平方厘米，陰影部分面積等于平行四邊形CDEF的面積與三角形CDH的面積的差。解：7.2×5－5×（7.2－3）÷2=36－5×4.2÷2=36－10.2=25.5平方厘米答：陰影部分面積是25.5平方厘米。練習(xí)1、一塊長方形紙片，沿長的方向剪去寬5厘米的一條后，它的面積減少150平方厘米；再沿它的寬的方向剪去寬5厘米的一條后，它的面積又減少了100平方厘米。那么，原長方形的面積是多少平方厘米？2、已知一個四邊形的兩條邊的長度和三個角，如下圖所示，那么這個四邊形的面積是多少平方厘米？（1994年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）3、把一個正方形的一邊縮短20%，另一邊增加2米，得到一個長方形，它與原來正方形的面積相等。那么，正方形的面積是多少平方米？（1922年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽B卷試題）例3、右圖中的四邊形土地總面積是52公頃，對角線把它分成四個小三角形，其中兩個小三角形的面積分別是6公頃和7公頃，那么最大的一個三角形面積是多少公頃？（上海市第四屆小學(xué)六年級數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽試題）【思路分析】：為了便于思考可先畫右示意圖。長方形紙一片沿長的方向剪去寬5厘米的一條后，它的面積減少150平方厘米，可見原長方形的長是（150÷5=）30厘米。再沿寬的方向剪去5厘米的一條后，它的面積又減少100平方厘米，可以求出原長方形的寬是（100÷5+5）=25厘米，進而求出原長方形的面積。解：最大三角形ECD的面積：（公頃）答：最大一個三角形面積是21公頃。例4如下圖：梯形面積為45平方米，高6米，三角形AED的面積為5平方米，求陰影部分的面積。（第四屆營口市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）【思路分析】：先求梯形上底長，再求三角形ADE的底AD上的高，然后求三角形EBC底BC上的高，最后求陰影部分的面積。解：設(shè)梯形上底為x米。x=5設(shè)三角形AED的底AD上的高為x厘米。x×5÷2=5x=26-2=4（米）△BEC的底BC上的高4×10÷2=20平方厘米答：陰影部分的面積為20平方厘米。練習(xí)如右圖，長方形面積為35平方厘米，左邊直角三角形的面積為5平方厘米，右上角直角三角形的面積為7平方厘米，那么中間三角形（陰影部分）的面積是多少平方厘米。（1996年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽B卷試題）例5、右圖的三角形ABC被分成了甲（陰影部分）、乙兩部分。BD=DC=4，BE=3，AE=6。求甲部分面積占乙部分面積的幾分之幾？（第三屆《小學(xué)生數(shù)學(xué)報》小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽決賽試題）【思路分析】：連結(jié)AD。因為BE=AE，所以，S△AED=2×甲部分面積，S△ABD=3×甲部分面積。又因為BD=DC=4，所以，S△ABD=S△ADC。因此，答：甲部分面積占乙部分面積的五分之一。例6如圖，長方形ABCD，AE=ED，DF=FC，EG=2GF，求陰影部分的面積。（AB=6厘米，BC=10厘米）【思路分析】：取EG的中點H，連結(jié)BE、BH。先求長方形ABCD的面積，再分別求三角形ABE、三角形DEF、三角形BCF的面積，長方形的面積減去三個三角形面積之和，差就是三角形EBF的面積。在三角形EBF中，EH=HG=GF，所以三角形EBH、三角形HBG、三角形GBF的面積相等（等底、等高的三角形面積相等），陰影部分的面積等于△EBF面積的。解：=答：陰影部分的面積為7.5平方厘米。例7、如圖，已知長方形ADEF的面積是16，三角形ADB的面積是3，三角形ACF的面積是4，那么三角形ABC的面積是多少？（北京市第十屆小學(xué)生“迎春杯”數(shù)學(xué)競賽試題）解：三角形ADB面積=，AD×DB=6。長方形ADEF的面積=AD×DE=16，DB∶DE=6∶16=3∶8。用同樣的方法可知FC=2FE=8∶16=1∶2。三角形BEC的面積=（8-3）×（2-1）÷2=2.5答：三角形ABC的面積為6.5平方單位。練習(xí)1、如圖，左面是一個等腰直角三角形（正方形一半），右面是一個梯形，它們恰好拼成一個長方形。如果梯形的上底長是下底長的，那么三角形面積是梯形面積的%。（百分?jǐn)?shù)）2、圖中ABCD為等腰梯形，其中AD平行BC，AB=DC。如果BD垂直AC，AD=6厘米，BC=8厘米，求陰影部分的總面積。（1993年新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題）例8、如圖，甲、乙、丙、丁四個長方形拼成正方形EFGH。已知，甲、乙、丙、丁四個長方形面積的和是32cm2，四邊形ABCD的面積是20cm2。求甲、乙、丙、丁四個長方形周長的總和是多少厘米？（北京市小學(xué)生第十一屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競賽初賽試題）解：正方形EFGH的總面積是20+32÷2=36平方厘米。所以正方形EFGH的周長是：6×4=24厘米。甲、乙、丙、丁四個長方形周長的總和正好等于正方形EFGH周長的2倍，是48厘米。答：甲、乙、丙、丁四個長方形周長總和是48厘米。練習(xí)1、兩個長方形疊放在一起（如下圖），小長方形的寬是2米，A點是大長方形的一邊的中點，那么圖中陰影部分的總面積等于多少平方米？（1994年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克總決賽第一試A卷試題）2、下圖中，在長方形內(nèi)畫一些直線，已知邊上有三塊面積分別是13，35，49。那么，圖中陰影部分的面積是多少？（第一屆亞洲區(qū)城市小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽試題）綜合練習(xí)1、一個正方形（如圖），被分成四個長方形，它們的面積分別是平方米、平方米、平方米和平方米。圖中的陰影部分是一個正方形。那么它的面積是多少平方米？2、一張長方形紙片，把它的右上角往下折疊如甲圖，陰影部分面積占原紙片面積的；再把左下角往上折疊如乙圖，則乙圖中陰影部分面積占原紙片面積的幾分之幾？（1995年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽A卷試題）3、一個長方形如圖，被兩條直線分成三個長方形和一個正方形。其中上方的兩個長方形的面積之和為23cm2，右方兩個長方形的面積之和為44cm2。且圖中各長方形的邊長均為整數(shù)，求正方形的面積。（無錫市北塘區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）課堂驗收1、如圖，梯形面積為45平方米，高6米，三角形AED的面積為5平方米，求陰影部分的面積。（第四屆營口市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）2、由9個正方形組成面積為144平方厘米的圖形（見下圖），此圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？（四川省第四屆小學(xué)生數(shù)學(xué)夏令營試題）家庭作業(yè)★1、四個一樣的長方形和一個小的正方形拼成一個大正方形。大正方形的面積是49平方米，小正方形的面積是4平方米。長方形的短邊長度是幾米？（首屆“華羅庚金杯“少年數(shù)學(xué)邀請賽復(fù)賽試題）2、如圖，ABCD是梯形，其中△OBC的面積是多少？（上海市第七屆小學(xué)數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題）3、正方形ABCD邊長是7厘米，它的內(nèi)部有一個三角形BEF（如右圖），線段AE=4厘米，DF=2厘米，那么三角形BEF的面積等于多少平方厘米。（1994年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克總決賽第一試B卷試題）4、同樣大小的長方形小紙片擺成如圖的圖形。已知小紙片的寬是12厘米，求陰影部分的總面積。（首屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽初賽試題）解：從第一排與第二排看，5個小紙片的長等于3個小紙片的長，即2個小紙片的長等于3個小紙片的寬，3個小紙片的寬是36厘米，因此一個小紙片的長為36÷2＝18厘米。一個陰影部分的小正方形的邊長是18-12=6厘米，因此一個陰影正方形的面積是36平方厘米，3個陰影部分小正方形的面積總和是108平方厘米。5、一個矩形分成4個不同的三角形，綠色三角形面積占矩形面積的15%，黃色三角形面積是21平方厘米。問：矩形的面積是多少平方厘米？（第三屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽初賽試題）★★6、如圖，長方形的面積是小于100的整數(shù)，它的內(nèi)部有三個邊長是整數(shù)的正方形。正方形②的邊長是長方形長的，正方形①的邊長是寬的。那么，圖中陰影部分的面積是多少？（1992年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克A卷試題）7、右圖是邊長為1的正方形和一個梯形拼成的“火炬”。梯形上底1.5米，A為上底中點，B為下底中點，線段AB恰好是梯形的高，長為0.5米，CD長為米，那么圖中陰影部分的面積是多少平方米？8、如圖，ABCG是4×7的長方形，DEFG是2×10的長方形，那么三角形BCM的面積與三角形DEM的面積之差是多少？（1995年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）9、如圖，在一個梯形內(nèi)有兩個三角形的面積分別為10和12，已知梯形的上