高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)列知識(shí)精講知識(shí)精講一、等差數(shù)列與前n項(xiàng)和1?等差數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：a丄一a=d(n^N*),d為常數(shù).n+1n等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式若等差數(shù)列｛a｝的首項(xiàng)是a,公差是d,則其通項(xiàng)公式為a=a|+(n-1)d.若等差數(shù)列｛a｝的第m項(xiàng)為a，則其第n項(xiàng)a可以表示為a=a+(n-m)d.nmnnm等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式n?a+a?n?n—1?s=?1+n?=na+—^—d?(其中nWN*,a為首項(xiàng)，d為公差，a為第n項(xiàng))n2121n等差數(shù)列及前n項(xiàng)和的性質(zhì)a+b若a.A，b成等差數(shù)列，則A叫做a,b的等差中項(xiàng)，且A=干.⑵若｛a｝為等差數(shù)列，當(dāng)m+n=p+q,a+a=a+a(m,n,p,q^N*).nmnpqTOC\o"1-5"\h\z⑶若｛a｝是等差數(shù)列，公差為d,則％ak+,&_,???(&meN*)是公差為md的等差數(shù)列.nkk+mk+2m⑷數(shù)列s,s—s,s—s,…也是等差數(shù)列.2mm3m2m(5)s=(2n—1)a.2n—1n⑹若n為偶數(shù)，則⑹若n為偶數(shù)，則s偶—s偶nd奇—2；若n為奇數(shù)，則s奇一S偶=a,中間項(xiàng)).奇偶中4?等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系(1)等差數(shù)列與一次函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系等差數(shù)列一次函數(shù)解析式a=kn+b(neN*)nf(x)=kx+b(kMO)不同點(diǎn)定義域?yàn)镹*,圖象是一系列孤立的點(diǎn)(在直線上)，k為公差定義域?yàn)镽,圖象是一條直線，k為斜率相同點(diǎn)數(shù)列的通項(xiàng)公式與函數(shù)解析式都是關(guān)于自變量的一次函數(shù).①kMO時(shí)，數(shù)列a=kn+b(neN*)圖象所表示的點(diǎn)均勻分布在函數(shù)f(x)=kx+b(kMO)的圖n象上；②k>0時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列，函數(shù)為增函數(shù)；③kVO時(shí)，數(shù)列為遞

減數(shù)列，函數(shù)為減函數(shù)是拋物線y=#x2+(ax上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的均勻分布的一群孤立的點(diǎn).⑵等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可變形為Sn=2n2+^ai—2j是拋物線y=#x2+(ax上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的均勻分布的一群孤立的點(diǎn).二、等比數(shù)列與前n項(xiàng)和1?等比數(shù)列的有關(guān)概念⑴等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q(qHO)表示.O數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：a^=q(n三2),q為常數(shù).an—1等比中項(xiàng)如果a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).即:G是a與b的等比中項(xiàng)?a,G，b成等比數(shù)列？G2=ab.2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式(1)若等比數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為％，公比是q,則其通項(xiàng)公式為an=a^；若等比數(shù)列｛a｝的第m項(xiàng)為a,公比是q,貝其第n項(xiàng)a可以表示為a=aqn-m.nmnnm⑵等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q=1時(shí)，S=na；當(dāng)口工1時(shí)，S=吟乎=節(jié)三已n1n1一q1一q3.等比數(shù)列及前n項(xiàng)和的性質(zhì)⑴若｛a｝為等比數(shù)列，且k+l=m+n(k,l,m,n^N*),則a?a=a?a.nkl~mn(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak,a~,a~,…仍是等比數(shù)列，公比為q.kk+mk+2m⑶當(dāng)qH—1,或q=—1且n為奇數(shù)時(shí)，S,S—S,S—S仍成等比數(shù)列，其公比為q.a｛a?b｝，會(huì)｝仍是等比數(shù)列.nna｛a?b｝，會(huì)｝仍是等比數(shù)列.nnbInJ⑷若｛a｝,｛b｝(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，貝畀入a｝(入工0),nnn三、數(shù)列求和公式法⑴等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:n?a+n?a+a12=na+1n?n—1?2d.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:na,q=1,qH1.S=1a—aqa?1—qnqH1.n^=^I1—q1—q數(shù)列求和的幾種常用方法

分組求和法一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減.裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的.倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列n的前n項(xiàng)和可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的.并項(xiàng)求和法在一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.形如a=(—1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解.n例如，S=1002—992+982—972——22—12=(1002—992)+(982—972)——(22—12)=(100+99)+(98n+97)——(2+1)=5050.常見的拆項(xiàng)公式(1)11(1)11n?n+1?n1

n+1;丄肩=麗—如.四、數(shù)列的綜合應(yīng)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合等差數(shù)列中最基本的量是其首項(xiàng)％和公差d,等比數(shù)列中最基本的量是其首項(xiàng)％和公比q,在等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問題中就是根據(jù)已知的條件建立方程組求解出這兩個(gè)數(shù)列的基本量解決問題的.數(shù)列和函數(shù)、不等式的綜合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式是在公差dM0的情況下關(guān)于n的一次或二次函數(shù).等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在公比qH1的情況下是公比q的指數(shù)函數(shù)模型.數(shù)列常與不等式結(jié)合，如比較大小、不等式恒成立、求參數(shù)范圍等，需熟練應(yīng)用不等式知識(shí)解決數(shù)列中的相關(guān)問題.數(shù)列的應(yīng)用題(1)解決數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟是：根據(jù)實(shí)際問題的要求，識(shí)別是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，用數(shù)列表示問題的已知；根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識(shí)以及實(shí)際問題的要求建立數(shù)學(xué)模型；求出數(shù)學(xué)模型，根據(jù)求解結(jié)果對(duì)實(shí)際問題作出結(jié)論.(2)數(shù)列應(yīng)用題常見模型：等差模型：如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定量，該模型是等差數(shù)列模型，增加(或減少)的量就是公差；等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)，該模型是等比數(shù)列模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比；遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化時(shí)，應(yīng)考慮是a與na的遞推關(guān)系，或前n項(xiàng)和S與S之間的遞推關(guān)系.n—1nn—經(jīng)典題型【例1】在等差數(shù)列｛a｝中，a=1，a=—3.n13(1)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；n⑵若數(shù)列｛a｝的前k項(xiàng)和Sk=—35，求k的值.k【例2】若數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,且滿足a+2SS=0(n±2),a=;.nnnnn—1121求證：t成等差數(shù)列；、n求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式.n【例3】(1)設(shè)S為等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和，S=4a,a=—2，則a=().TOC\o"1-5"\h\znn8379A.—6B.—4C.—2D.2(2)在等差數(shù)列｛a｝中，前m項(xiàng)的和為30,前2m項(xiàng)的和為100,則前3m項(xiàng)的和為.n【例4】(2013?濟(jì)寧測試)設(shè)數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,若對(duì)于任意的正整數(shù)n都有S=2a—3n，設(shè)bnnnnn=a+3.n【例5】已知等比數(shù)列｛a｝滿足：|a—a|=10,aaa=125.n23123求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；n是否存在正整數(shù)m,使得a+a—a三1?若存在，求m的最小值；若不存在，說明理由.aaa2m【例6】(1)(2012?新課標(biāo)全國卷)已知｛a｝為等比數(shù)列，a+a=2,aa=—8，則a+a=().n4756110A.7B.5C.—5D.—7S31⑵等比數(shù)列｛a｝的首項(xiàng)a=—1,前n項(xiàng)和為S,若芒=石，則公比q=.1nS325【例7】已知數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式是a=2?3n-1+(—1)n(ln2—ln3)+(—1)nnln3,求其前n項(xiàng)和S.nnn【例8】(2014?湖州質(zhì)檢)在等比數(shù)列｛a｝中，已知a=3，公比q工1,等差數(shù)列｛b｝滿足b=a,b=1n114a,b=a.133⑴求數(shù)列｛a｝與｛b｝的通項(xiàng)公式；nn⑵記c=(—1)nb+a，求數(shù)列｛c｝的前n項(xiàng)和S.nnnnn【例9】已知等差數(shù)列｛a｝的公差不為零，a=25，且a,a,a成等比數(shù)列.TOC\o"1-5"\h\zn111113求｛a｝的通項(xiàng)公式；n求a+a+a+???+a.1473n-2【例10】已知數(shù)列｛a｝是公差為2的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為S,且a+1,a+1,a+1成等比數(shù)nn137列.求｛a｝的通項(xiàng)公式；n[1〕求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.、n課堂測評(píng)SS1?記S為等差數(shù)列｛a｝前n項(xiàng)和，若皆=1,則其公差d=().TOC\o"1-5"\h\z321A.B.2C.3D.4在等差數(shù)列｛a｝中，a+a+a=15，那么a+a+…+a等于().n567349A.21B.30C.35D.40在等差數(shù)列｛a｝中，首項(xiàng)a=0,公差dM0,若8=8+8a,則m的值為().n1m129A.37B.36C.20D.19f1〕(1)已知｛a｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，S是｛a｝的前n項(xiàng)和，且9S=S，貝燉列上｝的前5項(xiàng)和為nnn36a、n⑵設(shè)｛a｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S為其前n項(xiàng)和.已知aa=1,S=7,則5=.nn2435(1)已知x,y,zGR,若一1,x,y,z,—3成等比數(shù)列，貝Vxyz的值為().A.-3B.±3C.-^.'3D.±3咧(2)(2014?昆明模擬)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛a｝中，a=、'2—1,a=p'2+1,貝Va2+2aa+aa=n3532637().A.4B.6C.8D.8—4p2已知點(diǎn)(1,2)是函數(shù)f(x)=ax(a>0,且aM1)的圖象上一點(diǎn)，數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S=f(n)—1.nn求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；n求數(shù)列｛a｝前2013項(xiàng)中的第3項(xiàng)，第6項(xiàng)，…，第3k項(xiàng)刪去，求數(shù)列｛a｝前2013項(xiàng)中剩余項(xiàng)的和.nn正項(xiàng)數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S滿足：S2—(n2+n—1)S—(n2+n)=0.nnnn⑴求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式a；nn+15(2)令b=?n,2?a，數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和為T,證明：對(duì)于任意的n^N*，都有TV喬n?口十2?2a2nnn64n已知數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和是S,且S+~a=1(nWN*).nnn2n(1)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；n⑵設(shè)bn=log1(l-Sn+i)(nWN*),令「冑+僉+…+占，求'1223nn+1&設(shè)數(shù)列｛a｝滿足a=2,a+a=8,且對(duì)任意nGN*,函數(shù)f(x)=(a—a+a)x+acosx-asinn124nn+1n+2n+1n+2X滿足f仔)=0.(1)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；nJ「⑵若b=2j+丁，求數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和S.TOC\o"1-5"\h\znJnJnn9.已知正項(xiàng)數(shù)列｛a｝的首項(xiàng)a=1,前n項(xiàng)和S滿足a=VS+耳廠(n±2).1nnnn—1求證：｛、/S｝為等差數(shù)列，并求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；nnf1〕一記數(shù)列｛—、的前n項(xiàng)和為T,若對(duì)任意的nGN*,不等式4TVa2—a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.aann、nn+1-課后作業(yè)在等差數(shù)列｛an｝中，a15=33,a25=66，則a35=.已知等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)a1=1,前三項(xiàng)之和S3=9，則｛a”｝的通項(xiàng)a=.若等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為S”(nGN*),若a2:a3=5:2，則S3:S5=.在數(shù)列｛an｝中，已知a1=—1,且a”+1=2an+3n—4(nGN*).求證：數(shù)列｛an+1—an+3｝是等比數(shù)列；求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn.已知等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a2=4,a3+a4=17.(1)求｛an｝的通項(xiàng)公式；⑵設(shè)bn=2an+2,證明數(shù)列｛bn｝是等比數(shù)列并求其前n項(xiàng)和T“.設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且S4=4S2，a2n=2a“+1.求數(shù)列｛an｝的