1231233312312333西安電子高西全美第三版)數(shù)字信號(hào)處理課后答案1.2

教材第一章習(xí)題解答1.用單位脈沖序列解：

(n)及其加權(quán)和表示題1圖所示的序列

2

(n224(n

2

5,4n

12.給定信號(hào)：

n)

n4畫(huà)出列的波形，標(biāo)上各序列的值；試用延遲單位脈沖序列及其加權(quán)和表示

x(n)序列；（3令

xn)2x(n2)

，試畫(huà)出

波形；令令

xx

(n)(n)

2x(n2)2x(2n)

，試畫(huà)出，試畫(huà)出

波形；波形。解：（的波形如題2解圖（一）所示。（(n4)

3(6

xx

66(n6的波形是波形右移2位，在乘以2畫(huà)出圖形如題2解圖（二）所示。的波形是波形左移2位，在乘以2，畫(huà)出圖形如題2解圖三）所示。（畫(huà)

x

(n)時(shí)，先畫(huà)的波形，然后再右移

2位，

x

(波形如題2解圖（四）示。3.判斷下面的序列是否是周期的，若是周期的，確定其周期。（1n)n)A是常數(shù)；（）

x(n)

e

1j(n8

7)。

8解：1-----2'0000'1212121211112222121211'1121022'0000'1212121211112222121211'112102012（1

w

3

,

2

，這是有理數(shù)，因此是周期序列，周期是

T=14；（2

7w1

,

w2

3，這是無(wú)理數(shù)，因此是非周期序列。8w5.設(shè)系統(tǒng)分別用下面的差分方程描述，否是線性非時(shí)變的。

x(n)與分別表示系統(tǒng)輸入和輸出，

判斷系統(tǒng)是（1

n)

；3）（5

y(n)n0，為整常數(shù)；y(n)x；n（7

n)

m)

。m0解：（1令：輸入為

x(nn0，輸出為yn)2x(nn

n

nn)

n

0

n

0

2)y(n)故該系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。y(n)T[ax(n)(n)]axbx(n)(n1)(nn2)2))T[ax(n)]ax(n)n1)3ax(n2)T[bx(n)(n(n2)T[axbx(n)]aT[xx(n)]故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。（3）這是一個(gè)延時(shí)器，延時(shí)器是一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)，下面予以證明。令輸入為

x(n

，輸出為

(n)1nn，因?yàn)?x(nnn)y(n)y(nn故延時(shí)器是一個(gè)時(shí)不變系統(tǒng)。又因?yàn)門(mén)[n)ax故延時(shí)器是線性系統(tǒng)。（5

(nn)(nn)aT[(n)]bT[2y(n)x(n)2-----2'0021212122212'0'121212；x(n)0x(2'0021212122212'0'121212；x(n)0x(令：輸入為

x(nn0，輸出為

(n)

2

n0，因?yàn)閥(nn)(nny(n)故系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。又因?yàn)門(mén)bx(x((n)因此系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。n（7

m)令：輸入為

0x(nn0，輸出為y(n)，因?yàn)閙0y(n

n)

nn

0

x(m)y(n)故該系統(tǒng)是時(shí)變系統(tǒng)。又因?yàn)閍xm

n

m00故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。6.給定下述系統(tǒng)的差分方程，試判斷系統(tǒng)是否是因果穩(wěn)定系統(tǒng)，并說(shuō)明理由。（

y(

1N

Nk

10

x(nk)（3

y(n)

n

x(；（5）解：

kny(n)e。（1只要

N

1

，該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)，因?yàn)檩敵鲋慌c

n時(shí)刻的和

時(shí)刻以前的輸入有關(guān)。如果

x(n)M

，則

y(n)M

，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。（3如果

x(n)M，y(n)

n

x(k)2n

1M

，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)是非因果的，因?yàn)檩敵鲞€和

knx(n)的將來(lái)值有關(guān)

.（5）系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，因?yàn)榻y(tǒng)的輸出不取決于

x(n)的未來(lái)值。如果

x(n)則e

e

x(

e

M

，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。3-----4nn44nn4547.設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)和輸入序列

如題圖所示，要求畫(huà)出輸出輸出

的波形。解：解法（圖解法n)

m)m0圖解法的過(guò)程如

題7解所示。解法（解析法。按照

題7圖寫(xiě)出和的表達(dá)式:

2(n

2

2n)因?yàn)锳k)Ax(n

k)n)

(

1(n

所以

1

22x(n1)

x(n

2將的表達(dá)式代入上式，得到2)(n2(n1)3)2(n5)8.設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)和輸入分別有以下三種情況，分別求出輸出y(n)。（1

h(n)R(n),R(；45（2

h(n)

2R(n),x(n)n)(n2)

；（3

h(n)0.5u(n),x(n)

。解：（1

n)h(

R(nm先確定求和域，由

R

(m)和5(n

確定對(duì)于m的非零區(qū)間如下：0mn4mn4-----444nmn5m5nnn1nn4n5n444nmn5m5nnn1nn4n5nnn5根據(jù)非零區(qū)間，將

n分四種情況求解：

ny(0n0ny(1nm03

1③

4n

18nmn4④

7y(0最后結(jié)果為

n0,n1,8y(n)的波形如題8解圖（一）所示。（2）

04

n3n7y(n)2R(n)

(n2)]2R(n)2R(n2)2[(n)

(n1)

(n4)

(n5)]y(n)的波形如題8解圖（二）所示（3）y(n)x(n)*h(n)R(m)0.5u(n0.5

R(m)0.5u(nm

my(n)對(duì)于m的非零區(qū)間為ny(0①

0

mmn

。②

0n4,y(0.5

n

0.5

m

n10.50.5

(10.5)0.5

20.5m0

10.5

1③

5n,y(n)0.50.5m0

m

10.50.5110.5

310.5最后寫(xiě)成統(tǒng)一表達(dá)式：y(n)(20.5

)R(n)31n

u(n5)11.系統(tǒng)由下面差分方程描述：y(n22

x(n1)

；設(shè)系統(tǒng)是因果的，利用遞推法求系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)。5-----21n1a0021n1a00解：令：

n)

1

1

2n0,h(0)n1,h(1)

211h(1)(0)(2211h(0)(1)(0)

1)11n2,h(2)

1

h(1)1

2n3,h(3)

22h(2)22

2歸納起來(lái)，結(jié)果為一連續(xù)信號(hào)

x

n2(t)cos(2式中，f

2（1求出

a(t期。（2用采樣間隔

T

a采樣，試寫(xiě)出采樣信號(hào)

(t達(dá)式。（3畫(huà)出對(duì)應(yīng)

a的時(shí)域離散信號(hào))x(的波形，并求出x(n)的期。————二章————教材第二章習(xí)題解答1.設(shè)

Xe和Y(e分別是x(和y(n)的傅葉換試下面序列的傅葉換（1

x(n

；（2

n)解：（1

[nnn

jwn-----0''X)jwn''jw)jwnjwkjw0jwjwnjwjw0''X)jwn''jw)jwnjwkjw0jwjwnjwjwj(w)0jw0令

n

'

nnn

'

n

0

[

0

)]

jw(n)0

e

jwnjw0n（）

FTx(n)]

jwnx*(n)e[jwn

X

*

jw)（3

nn[x(n)]x(n令

n

n

，則jwn

'[X)n

'（4）證明：

[)*()](jw()jwFTnynXeYey(n)m[[enm令k=n-m，則FT[x(n)*y(n)][x(m)jwkekmy(k)ekmXjw)Y)

x(m)e

jwn2.

已知

X)

ww

0求

X(e

ww的傅里葉反變換x(n)。解：3.線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

n)1enw02wn傳輸函數(shù)HH)e如果單位脈沖響應(yīng)

為實(shí)序列，試證明輸入

x(n)Acos(wn

)

的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為n)AH)

(w-----jwnjw2jwjwjwy(n)jw00jwnjw2jwjwjwy(n)jw00j4解：假設(shè)輸入信號(hào)

x(n)e

0，系統(tǒng)單位脈沖相應(yīng)為，統(tǒng)輸出為y(n)h(n)*x(n)(m0

e

0

n

m)m0

H(e

0

jw0n)em上式說(shuō)明，當(dāng)輸入信號(hào)為復(fù)指數(shù)序列時(shí)，

m輸出序列仍是復(fù)指數(shù)序列，且頻率相同，

但幅度和相位決定于網(wǎng)絡(luò)傳輸函數(shù)，利用該性質(zhì)解此題。x(n)Acos(wn)102

jwejn00

]y(n)1ejwn(e)je001

jwnHjw00eenH(ejw)

(0

0

0

0

0

0上式中

2H(e是w的偶函數(shù)，相位函數(shù)是w的奇函數(shù)，H(e)He),(w)1Aj(wje00002AH(e0)cos(wn(w))

(0設(shè)

1,n0,1將以4為周期進(jìn)行周期延拓，

形成周期序列

，畫(huà)出

和其它的波形，求出x(n)的離散傅里葉級(jí)數(shù)解：

X和傅里葉變換。畫(huà)出和

x(n)的波形如題4解圖所示。3X(k)DFS[x(n)]x(n)e

2

4

kn

1

e

jkn2

1e

jk2n0

n0

,e

jk

(e

4

j

e

jk4

)2cos(k)4

jk4X以4周期，或者X(k)

1n0

e

jkn2

1e1e

jkjk2

ee

1j21j4

kk

(e(e

1j21j4

kk

ee

1j21jk4

k

)

)

e

j

14

k

1sink21k

,X以4周期8-----X(k)jkj0jwj0jwx（2X(k)jkj0jwj0jwx（23jw2jwn2jwjwnjwnn3jwX)FT[4kX(k

k)

2(wk)42

k

2cos(k)e

(w

k)k

4

25.設(shè)圖示序

FT用X(e)表示，不直接出X(e)，成下列運(yùn)算：（1

X(e)

；（2（5解：

X2X(e)dw

；（1

X)

7

6（2

n3X(e)dwx(0)242（5X(e)dw2

7

2x(n)28n36.試求如下序列的傅里葉變換1(n22

:(1(n2（3

x

(n)

ann),0a1解：（2X(e)

x

1

e

jw

11

e

jwn

2

211e

jw

)

12（3

X(e)aeann0

jwn

11ae7.設(shè)（1x(n)是實(shí)偶函數(shù)，-----jwjwnjw*jwjwnjwjwjwjwnjwjwjwjwjwjwjwjwnjw*jwjwnjwjwjwjwnjwjwjwjwjwjw（2x(n)是實(shí)奇函數(shù)，分別分析推導(dǎo)以兩種假設(shè)下，解：

x(n)的里葉變換性質(zhì)。令

X(e

en（1是實(shí)、偶函數(shù)，

X)

jwnn兩邊取共軛，得到X(e)

j(w

X)n

n因此X(e)X(上式說(shuō)明x(n)是實(shí)序列，

)(

jw

)

具有共對(duì)稱性質(zhì)。X)wnjnn由于是偶函數(shù)，

是奇函數(shù)，那么

0n因此

X)

該式說(shuō)明

nX(e是實(shí)函數(shù)，且是w偶函數(shù)?？偨Y(jié)以上x(chóng)(n)是實(shí)、偶函數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的傅里葉變換（2是實(shí)、奇函數(shù)。

X(e是實(shí)、偶函數(shù)。上面已推出，由于

x(n)是實(shí)序列，X(e具有共軛對(duì)稱性質(zhì)，即Xjw)

X

*

jw)X)

jwn

jn

n由于是奇函數(shù)，上式中

是奇函數(shù)，那么

0n因此

X)jn

10-----jwReeeejwcosnnnjwjwa0sjwReeeejwcosnnnjwjwa0s這說(shuō)明

X

jw

是純虛數(shù)，且是

w的奇數(shù)。序列h(n)是因果序列，其傅里葉變換的實(shí)部如下式

:

H

R

)1cosw求序列及其傅里葉變換解：

Hjw。H)1w

1

1

e

jw

1

e

jw

[h

h(n)eh

1,n1201,n12n0

220

nh(n01n0

nH)

n

1ejwjwnjw

w2系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)完成下面各題：（1求出系統(tǒng)輸出序列

h(n)a入序列為；

(22)（2分別求出x(n)h(y(里葉換解：（1a2(na

2

（2X(e)

[(n)2(n

jwn

12e

jH(e)

n

ajwn

aen

jwn

1Y(ejw)

njwjw

n011ae

j2wjw

1ae

jw知

x

(t)f0，式中

f

100Hz

，以采樣頻率

f

400Hz對(duì)(t采樣，得到采樣信號(hào)

a(t離散信號(hào)，試完成下面各題：-----aaa)(0ss000naaa)(0ss000n（1）寫(xiě)出

a(t里葉變換表示式

X

a

(j（2）寫(xiě)出

a(t的表達(dá)式；（3）分別求出解：（1

a的傅里葉變換和

x(n)序列的傅里葉變換。X

a

(j)x(t2cos(

0

ttjdt00上式中指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換不存在，引入奇異函數(shù)表示成：

函數(shù)，它的傅里葉變換可以X

a

(j

)2[(

0

)(

0

)])（2

?()x

n

x

()(t

t

)

n

0

tnT

)x(n)2cos(

0

nT),

n0

2f

1,Tf（3?

1

)X

a

(

T

k

X

a

(jjk

s2T

k

[(

0

k

s

)(

0

k

s

)]式中

s

2f

800rad/sX(ejw)

x(n)e

jwn

2cos(

0

nT)e

jwn

2cos(wn)e

jwnn

n

njwnejwjwn00

2

[(ww

0

2k)(ww

2k)]n

kT式中

w

0

0.5rad上式推導(dǎo)過(guò)程中，

指數(shù)序列的傅里葉變換仍然不存在，

只有引入奇異函數(shù)函數(shù)，

才能寫(xiě)出它的傅里葉變換表達(dá)式。14.以下序列的

換及收斂域：（2

2u(n12-----nnnnnn1n11nnnnnn1n111112（3）

2

n

un)

；（6）解

2[u(n)u(n10)]（2

n

n

2

n

n

2

n

z

n

1112

1

,z12（32n

2

n

n

n

2

n

z

n

2zn

1

n

1

1

n111

2

1

z

1

,z

2（6）9ZT[2u(n)u(n10)]2

n

z

nn01210121

z101

,0z16.知:3

2X(z)

1

z

1

1

1求出對(duì)應(yīng)

X(可能的序列的表達(dá)式。解：有兩個(gè)極點(diǎn)，因?yàn)槭諗坑蚩偸且詷O點(diǎn)為界，因此收斂域有以下三種情況：三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的原序列。（1當(dāng)收斂域

z0.5

時(shí)，1

X)zdz2j

c令

F(z)X(z)z

57z

zn1

5z7

z

n(10.5z)

(z0.5)(z

2)n0

，因?yàn)閏內(nèi)無(wú)極點(diǎn)，x(n)=0；n1

，C內(nèi)有極點(diǎn)0但z=0是一個(gè)n階極點(diǎn)，改為求圓外極點(diǎn)留數(shù)，圓外極點(diǎn)有z0.5,z

2

，那么13-----nnz0.5nn3()nnz0.5nn3()nnnnx(n)Res[F(z),0.5]Res[F(z),2](5z7)z(5z7)z(z(z0.5)(z(z0.5)(z2)

(z2)z2[3)2

22]u(n1)（2當(dāng)收斂域

0.5z2

時(shí)，n0

，C內(nèi)有極點(diǎn)；

(5z7)F(z)(z0.5)(z2)s[F(

1

nn0

2，C內(nèi)有極點(diǎn)，但0是一個(gè)階極點(diǎn)，改成求c極點(diǎn)留數(shù)，極點(diǎn)只有一個(gè)，即最后得到

x(n)Res[F(z),2]2u(13()2nn

1)（3當(dāng)收斂域

22z

時(shí)，F(xiàn)(z)

(5z7)(z0.5)(z2)n0

，C內(nèi)有極點(diǎn)，；1s[FReF()2]22n<0，由收斂域判斷，這是一個(gè)因果序列，因此

x(n)=0?；蛘哌@樣分析，

C有極點(diǎn)

，，，但0是一個(gè)

階極點(diǎn)，改成求

c外極留數(shù)，無(wú)極點(diǎn)，所以

。最后得到

1

n

222知

x(n)a，分別求：（1）

x(n)的Z變；（2）nx的Z變換；（3）解：

anun)

的z換。14-----nnnnnnnn1nnnnnnnnn1nn12znn（1）

X(ZT

a

1

1

,zan

1（2）

ZT[nx(n)]

z

ddz

X(z)

az1(1az

2

,za（3

[au(azaz1,zan0

n0

1az知

X

25z

1

z

2

，分別求：（1收斂域

0.5z2

對(duì)應(yīng)的原序列

x(n)；（2）收斂域解：

z的原序列。n)1

X(2j

cF(z)(z)z

25z

3z1

z

n1

32(z0.5)(z2)（1當(dāng)收斂域

0.5z2

時(shí)，

n0

，c內(nèi)有極點(diǎn)，x(n)Res[F(z),0.5]

2

n

,

nc內(nèi)有點(diǎn)

是一個(gè)

n階極點(diǎn)c外極點(diǎn)留數(shù)外極點(diǎn)只有x(n)Res[F(z),2]2,

2,最后得到x(n)2u(n)

n

n1)（2當(dāng)收斂域

z

2

時(shí)，n0,

c內(nèi)極點(diǎn)0.5,2,s[FF(0.

n5

3z2)z(2(z(2)z2n

nn2c內(nèi)極點(diǎn)但極點(diǎn)0是一個(gè)n階極點(diǎn)成求c外點(diǎn)留數(shù)可是c外沒(méi)有極點(diǎn)15-----nmmnmmnmmnmm1a1n1n11因此x(n)

n)2)u(n)

,最后得到25.知網(wǎng)絡(luò)的輸入和單位脈沖響應(yīng)分別為x(n)

n

bu(n),01,0b1

，試：用卷積法求網(wǎng)絡(luò)輸出用ZT法求網(wǎng)絡(luò)輸出解：

y(n)；。（1用卷積法求

h(ba

，

n0

,my(n)

nnabanm0m0

aamm

n

n1nn1n1bab，1abab

n00最后得到

a

n1

b

n1u(n)ab（2用ZT法求

X

11,H(z)111Y(z)X(z)H(z)

1az

1

1

1bz

11Y2j

c令

Fz)z

z

n1

zn11az

1

1

(zzn內(nèi)有極點(diǎn)

s[F

a

n1

b

n1

a

n1

b

n1abbaab因?yàn)橄到y(tǒng)是因果系統(tǒng)，

n0,y(n)0

，最后得到-----jw2jwjw2jw1jwjw211en1212n1ejw2jwjw2jw1jwjw211en1212n1en21eee

a

n1

b

n1

ab28.序列因果序列，其傅里葉變換的實(shí)部如下式：H

R

1a,a11

a求序列及其傅里葉變換解：

H(e。H

R

)

1acosw10.5a(ee

jw

)1

2

2acosw1aa(e

e

jw

)H

R

(z)

1

10.5a(z)10.5a(eeaa(zz)(1)(1az)

)求上式

，得到序列

的共軛對(duì)稱序列

h(n)

。eh1

H

R

(2j

cF(z)

R

1

0.5azz

0.5a

z

n1a(za)(a)因?yàn)槭且蚬蛄校?/p>

he(n)必定是雙邊序列，收斂域取：

a

za

1

。n時(shí)，內(nèi)極點(diǎn)a,0.5azz0.5ah(n)Res[F(z),a]z(z1a(za)(za)

a)z

1aa2n=0，c有極點(diǎn)

a

F(z)

R

1

0.5azz

0.5a

z

1a(za)()所以h(n)Res[F(a]Res[F(又因?yàn)閔(n)

h(n)所以17-----ennennejwknNNennennejwknNNh

0

0,n0h(n0

0n)n0a,n0an00,n0H(e)

an

jwn

1n0

1

jw3.2

教材第三章習(xí)題解答1.計(jì)算以下諸序列的(n)；（2

N點(diǎn)DFT,在變換區(qū)間

0nN1

內(nèi)列定義為（4（6（8

x(n)Rn),0mN；2mNNx(n)0n)；

；（10）解：

x(n)nRN。N1

N1（2

X(

N

kn

(k0,1,N1n0n0）(

N1n0

km1W1Wk

e

jk(

sin(mk)Nsin(m)N

,k0,1,,N11N121(m)neN22n0n0

e

2j(mkN11e21e

2jN2jN

(mk)(mk)

1e1e

j

2N2jN

(mk)Nm)1

且kNmN

,0kN1或0,kmkNm18-----n)e80NNn02j）00227000N80N7n)e80NNn02j）00227000N80N78700002NNNN（6

X(k)

N1n0

N

mnW

N

kn

N10

(e

N

2jmn

e

2jN

mnj

2N

kn（8解法

1直接計(jì)算xR

1jw0

e

jw0

R2jX

8

(k)

N1n0

x(n)W

N

kn

N1j

0

jwn0

e

j

2N

kn解法2

221N1een0由DFT的共軛對(duì)稱性求解

）n

110N1eN2jNj(k)1ejk)1eN因?yàn)閤(n)

ejwR(n)N

cos(wn)jn)R(n)x(n)sin(wn)(x(n)所以DFTjxDFTjImx(n)

即

X

8

70

(

j

1

X7

)

7

(Nk)2j

eN1ejwNe()(j2k)j(Nk)2jj2k)j(0NNN1e1e1ee

2N

)k)結(jié)果與解法1所結(jié)果相同。此題驗(yàn)證了共軛對(duì)稱性。（）解法1N1XnW

N

kn

k,N

1n0上式直接計(jì)算較難，可根據(jù)循環(huán)移位性質(zhì)來(lái)求解

因?yàn)?/p>

x(n)

nR(n)所以

x(n)x((n

N

R(n)N(n)

n)等式兩邊進(jìn)行DFT得到X(k)

X(k)W

k

NN(k)-----N1k(N1)kNknN1k(N1)kNknN,kNj故

X(N[(k,k

,N11W

N

k當(dāng)

k0

時(shí)，可直接計(jì)算得出

X（）XnWn0

N

0

N1n0

nN(N1)2這樣，X（）可寫(xiě)成如下形式：N(N1)X(k)

2

,k

0N,k1,2,N11W

N

k解法2k0

時(shí)，X)

N1n0

n

N(N2k0

時(shí)，X)0

N

W

N

2k

N

3k

(NW

N

kn

X)

N

2k

N

3k

N

4k

2)W

N

(N1)k

N1

N1X)WX)W

N

kn

W

N

kn

Nn1

n0所以，X)N,kk1WN

0即N(N

1)

02.

已知下列

2X(k)N,k1,2,N1k1WX[XN2

e,k

m（1

X(N

e

j

,kN

;

m2k20-----j2eNknNNj2eNknNNN

,km（2

X(

N

je

j

,kNm2k解：（1）N12x(n)IDFT[X(kW1je

N

e

j

e

2N

n1

e

2j(mn)

e

2j(mn

N

n0)

N222cos(mn),n0,1,N12

N（2n)1N

N2

jej

W

N

mn

N2

eWj

N

(Nm)nej

2j(N

mn

)

e

j(

2N

mn)

2N

nN13.長(zhǎng)度為N=10兩個(gè)有限長(zhǎng)序列xn)

1,0n4

xn)

1,0

40,5n

91,5n9作圖表示解：

、(y(n)(n)2。1、和y(n)

1

2分別如圖（）、（）、）所示。個(gè)有限長(zhǎng)序列

和的零值區(qū)間為:0,nnnn對(duì)每個(gè)序列作

點(diǎn)DFT,即X(DFT[k)[k,19如果FX((kk0,1,,19f[F(-----l20llmaxp3l20llmaxp3試問(wèn)在哪些點(diǎn)上解：

f(什么？如前所示，記

ff[Fy(。f長(zhǎng)度為

f度為

。已推出二者的關(guān)系為f

f(nRm只有在如上周期延拓序列中無(wú)混疊的點(diǎn)上，才滿足

f(n)f(n)

所以f(n)fx(n)n

19微處理機(jī)對(duì)實(shí)數(shù)序列作譜分析確定以下各參數(shù)：T；pmin（1最小記錄時(shí)間T；max（2最大取樣間隔N；

要求譜分辨率

F

，信號(hào)最高頻率為

1kHZ，試最少采樣點(diǎn)數(shù)min在頻帶寬度不變的情況下，將頻率分辨率提高一倍的解：

N值。（1已知

FT

pmin

1

1

sF

（）

T

max

111

fmin

2f

3（3）

N

min

TT

s

（4頻帶寬度不變就意味著采樣間隔

T不變，應(yīng)該使記錄時(shí)擴(kuò)大一倍為0.04s

實(shí)現(xiàn)頻率分辨率提高一倍（

F變?yōu)樵瓉?lái)的

N

min

們希望利用長(zhǎng)度為

N=50濾波器對(duì)一段很長(zhǎng)的數(shù)據(jù)序列進(jìn)行濾波處理，

要求采用重疊保留法通過(guò)

DFT來(lái)實(shí)現(xiàn)。所謂重疊保留法，就是對(duì)輸入序列進(jìn)行分段（本題設(shè)每段長(zhǎng)度為

M=100個(gè)采樣點(diǎn)），但相鄰兩段必須重疊V個(gè)，然后計(jì)算各段與

的L點(diǎn)（本題取L=128）循環(huán)卷積，得到輸出序列

y，表第m段計(jì)算輸出。后，從

y-----mlm128ym3121mlm128ym3121中取出Ｂ個(gè)，使每段取出的Ｂ個(gè)采樣點(diǎn)連接得到濾波輸出（1）求；（2）求；

y(n)。（3）確定取出的解：

個(gè)采樣應(yīng)為

ym中的哪些采樣點(diǎn)。為了便于敘述，規(guī)定循環(huán)卷積的輸出序列

m的序列標(biāo)號(hào)為

0，1，，?。先以

與各段輸入的線性卷積

考，

中第0點(diǎn)到48點(diǎn)（共49個(gè)）不正確，不能作為濾波輸出，第點(diǎn)到第

點(diǎn)（共51個(gè)點(diǎn)）為正確的濾波輸出序列

的一段，即B=51。所以，為了去除前面

49個(gè)不正確點(diǎn)，取出

51個(gè)正的點(diǎn)連續(xù)得到間斷又無(wú)多余點(diǎn)的

y(n)，必須重疊100-51=49個(gè)點(diǎn)，即V=49。下面說(shuō)明，對(duì)

128點(diǎn)的循環(huán)卷積

，述結(jié)果也是正確的。們道yy(n)r

R(n)因?yàn)?/p>

lm

長(zhǎng)度為所以從

到127區(qū)，

N+M-1=50+100-1=149ym(n)(然，第點(diǎn)第99點(diǎn)者相，以所取出的第51點(diǎn)為從第49到99點(diǎn)的

y

m

(n)。綜上所述，總結(jié)所得結(jié)論選取

y

V=49,B=51中第49~99點(diǎn)作為濾波輸出。5.2教材第五章習(xí)題解答1.設(shè)系統(tǒng)用下面的差分方程描述：

1

1

n483試畫(huà)出系統(tǒng)的直接型、級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。解：

3

1y(nn)

1

483將上式進(jìn)行

變換

Y(

3

z)z

1

Y(z

X

1

X(483-----111111z

1H(z)

3

1

1

2（1按照系統(tǒng)函數(shù)

48H(根據(jù)Masson公式，畫(huà)出直接型結(jié)構(gòu)如

題1解圖（一）所示。（2將的分母進(jìn)行因式分解H(z)

113

z

131

z

1

21按照上式可以有兩種級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)：

481z31(1z1124

z)(a)

H(z)

z1113(1z

14畫(huà)出級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)如

題1解（二）（）所示(b)

H(z)

113(1z1)(1

z1z1畫(huà)出級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)如

24題1解（二）（）所示（3將進(jìn)行部分分式展開(kāi)1

1

z

1H(z)

(1

31)(1112

4H(z)

z

13

A

Bz

(z

1)(z)4

z

z

14A

z131)(z

(z)

1032424-----)111)112111111)111)112111111B

z1311(z)(z24

(z)

14z

14

73H(z)z

1073311zz24H(z)

10710333z1z11z

1

1

73z

1

2424題1解（三）所示。根據(jù)上式畫(huà)出并聯(lián)型結(jié)構(gòu)如2.設(shè)數(shù)字濾波器的差分方程為(a試畫(huà)出該濾波器的直接型、級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。解：將差分方程進(jìn)行Z變換，得到

，Y(z)

(ab)Y(z)

abY(z)H(z)

(2(ab)X(z)(z)ab(ab)zX(z)1b)abz

22（1按照

公式直接畫(huà)出直接型結(jié)構(gòu)如

題2解圖（一所。（2將

H的分子和分母進(jìn)行因式分解：(az)(bz)H(z)(1bz1

H(z)H(z)按照上式可以有兩種級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)：(a)

H(

z1

a

1H

2

z(1bz

b1畫(huà)出級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)如

題2解（二）（）所示。(b)

H(z)

z1

a

1H

2

z(1

b

125-----1122111234512131122111234512134521342222222畫(huà)出級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)如

題2解（二）（）所示●。3.設(shè)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為H(z)

4(11.414z

1

z

2

)

，(10.5z)(10.9z0.18z)試畫(huà)出各種可能的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)。解：由于系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母各有兩個(gè)因式，可以有兩種級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)。H(z)

1

z)H(z)（1

H

1

(z)

41z1

，H

2

(z)

1

1

z

21

2畫(huà)出級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)如

題3解（）所示●。1z

1

z

2（2

H

1

(

1

1

,H

2

(z)

41z

110.9z0.81z

2畫(huà)出級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)如

題3解（）所示。圖中畫(huà)出了四個(gè)系統(tǒng)，試用各子系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)分別表示各總系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，并求其總系統(tǒng)函數(shù)。圖d解：(d)

h(n)hh(n)]h(n)h((n)h(n)h

(n)h(n)H(z)

1

(H(z)Hz)H

5

(z)5.寫(xiě)出圖中流圖的系統(tǒng)函數(shù)及差分方程。解：H(d)

圖d

rz

11rz

1

r

z

1

r

z

2

r

z

2r

z

11z

1

rzn)2rcosr2)26-----1NNNppssspsp0.31NNNppssspsp0.36.寫(xiě)出圖中流圖的系統(tǒng)函數(shù)。解：

圖f21z12

2

1

z

1(f)

H(z)

4z

3

z

2

1

2

3

z

248

4

88已知

濾波器的單位脈沖響應(yīng)為

(1)

，試用頻率采樣結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)該濾波器。

設(shè)采樣點(diǎn)數(shù)

，要求畫(huà)出頻率采樣網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，

寫(xiě)出濾波器參數(shù)的計(jì)算公式。解：已知頻率采樣結(jié)構(gòu)的公式為H(z)(1z)

1N

Nk

H(k)11Wk0

z

1式中，N=5N

1

4H

kn

[

N

kn2jk1ee5

n08j5

k

n0,k0,1,2,3,4它的頻率采樣結(jié)構(gòu)如

題8解所示。6.2

教材第六章習(xí)題解答1.設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃斯低通濾波器，

要求通帶截止頻率

f

6kHz

，通帶最大衰減

a

阻帶截止頻率

12f

kHz

，阻帶最小衰減

a

。求出濾波器歸一化傳輸函數(shù)

H

a

(及實(shí)際的

H。解：（1求階數(shù)。N

lgklgk

10

p

1

101sp

100.1as

1

10

2.5

1

0.0562sp

sp

22

1210363

2將和sp值入N的算公式得-----3222kkaa543222kkaa542

N所以取N=5（實(shí)際應(yīng)用中，根據(jù)具體要求，也可能取N=4，指標(biāo)稍微差一點(diǎn)，但階數(shù)低一階，使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)電路得到簡(jiǎn)化。）（2求歸一化系統(tǒng)函數(shù)

H

a

(由階數(shù)N=5直接查表得到

5階巴特沃斯歸一化低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)

H(H

a

(

1p

5

4

p

1或

H

a

(

(p

1ppp當(dāng)然，也可以按（

）式計(jì)算出極點(diǎn):p

k

e

j12k1(22N

)

,k

0,1,2,3,4按（）式寫(xiě)出

H

a

(表達(dá)式1H

a

(

4

(p

p)代入

p

k0值并進(jìn)行分母展開(kāi)得到與查表相同的結(jié)果。（3去歸一化（即H(a

LP-LP頻率變換），由歸一化系統(tǒng)函數(shù)

H

a

(到實(shí)際濾波器系統(tǒng)函數(shù)由于本題中

a

p

3

dB

，即

c

32610rad，因此H(s)H(p)p

sc5css3.2361對(duì)分母因式形式，則有

c

s5.2361

2

c

s

3

5.2361

3

c

s

2

3.2361

4

c

5H

a

H

a

(p)p

sc28-----cccspp3ss3kkkcccspp3ss3kkk5c2222(s0.610ss)(1.610s)()cc如上結(jié)果中，

c

的值未代入相乘，這樣使讀者能清楚地看到去歸一化后，

3dB截止頻率對(duì)歸一化系統(tǒng)函數(shù)的改變作用。f

p

kHz

，通帶最在衰減速2.

設(shè)計(jì)一個(gè)切比雪夫低通濾波器，要求通帶截止頻率

3a

p

0.2dB

，阻帶截止頻率12kHz，阻帶最小衰減

a

50dB

。求出歸一化傳輸函數(shù)H

a

(際的a。解：（1確定濾波器技術(shù)指標(biāo)：a0.2dB

，

p

2f

610rad/sa

50dB,

s

2f24

10rad/sp

1,

s

s

4p（2求階數(shù)N和：Arch(1)k

1

N1010

Arch(0.1a1sp1

s

)1456.65N

為了滿足指標(biāo)要求，取

N=4。10p1

0.2171（2求歸一化系統(tǒng)函數(shù)

a

(

)H

a

(

1N

142

N1

(pp)(

p)k1

k1其中，極點(diǎn)

p

由求出如下：p

k

(2k1)

)

(2k1)k1,2,3,4

29-----335577aksp34132162112224824335577aksp34132162112224824822appp

p

1

111()Arsh()N4)88))j88))j88))88（3將

Hp

H

a

(s)()

去歸一化，求得實(shí)際濾波器系統(tǒng)函數(shù)H

a

(s)H

a

(p)p

sc4

4p

p1.7368

4

(s

p

p)k

41.7368(s

s)k

1

k1,p其中

kpk

610,，因?yàn)?/p>

p

p

1

3

p

2

，所以s

4

s

,s

s

2

。將兩對(duì)共軛極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的因子相乘，得到分母為二階因子的形式，其系數(shù)全為實(shí)數(shù)。H

a

(

1022]ss]ss

2

)(s

ss

1610s)4.已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)

：

a

sa

；

b

2

a

b

b

2

。式中，a,b為數(shù)，設(shè)

Hs(果穩(wěn)定，試采用脈沖響應(yīng)不變法，分別將其轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器解：

H(該題所給

H正是模擬濾波器二階基本節(jié)的兩種典型形式。所以，求解該題具有代表性，30-----21212211212121221121222122ssT解該題的過(guò)程，就是導(dǎo)出這兩種典型形式的

H

a

的脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換公式，設(shè)樣周期為。sa（）

H

a

(s)

2

b

2Hs

1

a

(點(diǎn)為：a，

ajb將

Ha(分式展開(kāi)（用待定系數(shù)法）：H

a

(s)

s

a2

A1bss

A2ssAsAs(AA)s

2b

b

2比較分子各項(xiàng)系數(shù)可知：A、B應(yīng)滿足方程：A

1

A

2

1AsAs

a解之得

A

1

1

12

2所以H(

2A1ekk1

kT

z

1

1ez(ajb)T1

1ez(ajb)T1

1H

a

(

s

2(ajb)s

2

)H(

2k1

Ak1z

1

1ez(ajb)T1

1ez(ajb)T按照題目要求，上面的

H(達(dá)式就可作為該題的答案。但在工程實(shí)際中，一般用無(wú)復(fù)數(shù)乘法器的二階基本結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。由于兩個(gè)極點(diǎn)共軛對(duì)稱，所以將整理，可得

H(z)的兩項(xiàng)通分并化簡(jiǎn)1

aT

cos(bT)H(z)12e

aT

cos(bT)

e

2aT

z

231-----a2a2a2a2a2a2用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器時(shí)，直接套用上面的公式即可，且對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)圖中無(wú)復(fù)數(shù)乘法器，便于工程實(shí)際中實(shí)現(xiàn)。b（2

a

(s)

(s2

b

2H

a

(點(diǎn)為：s

1

a

jba

jb將

Ha(分式展開(kāi)：1j1jH

a

(

22s(ajb)s(a)H(

j1ez1ez(ajb)T1(ajb)1通分并化簡(jiǎn)整理得H(z)

z1e

aT

sin(bT)12e

aT

cos(bT)

e2aT25.已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)為：（1

H

1

；（器，設(shè)

H(。

s

s11試用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法分別將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波1解：（1用脈沖響應(yīng)不變法1H①ss12方法1直接按脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)公式，

H

a

s(極點(diǎn)為：s

1

3j

，

s

3j2

2

33H

a

3s(

)

3s(32

232-----1112221111122211122H(

3j33(0.5j)T1e2z1e

j3(0.5j

332

)Tz

1代入T=2sH

j

3j33

31ez(1j3)1

1ez(1j3)123ze

1

3312ze

1

cos3ez方法2

直接套用4題所得公式，為了套用公式，先

H

a

s(母配方，將

H

a

(s)化成4題中的標(biāo)準(zhǔn)形式：H

a

(

b2b

2

數(shù)，由于s

2

s1(s

1

)2

3(s

1

)

2

(22422所以H

a

(s)

1

s

3/223ss1(s

1

2

(

3

2

322對(duì)比可知，

a

1

,b

3

，套用公式得22H(z)

23

ze1aT

sin(bT)312e

aT

cos(bT)

1

z

ez22

T=223ze

1

sin3312zecos3ez②

H

a

2

11-11s+0.5+s+1H(z)==

1-1+-0.5T-1-T-11-ez1-ezT=21+1-e1-ez-1-1-2-1或通分合并兩項(xiàng)得33-----212111221a122212111221a122121aasH(z)=

-11-(e+e)z-1-2-1-3

2（2）用雙線性變換法①

H(z)

a

(s)

21z

1s

T1z

1

,T

211z1z()11z1z

11

1(11

(1z)(1z)(1z)(11

1

z

2②

3zH(z)H(s)s2z,T21T1z1111z3z1z1z

11

12(1z112z16

z

(1z)3(1z)(127.假設(shè)某模擬濾波器

H

s(一個(gè)低通濾器，又知

H(z)H(s)

z1

，數(shù)字濾波器z1H(z)的通帶中心位于下面的哪種情況？并說(shuō)明原因。

w0w

低通；（高通）；（3）除0或外的某一頻率（帶通）。解：34-----apsspsspsppapsspsspspp按題意可寫(xiě)出H(H(s)

z1z1故

cos

wsj

z