1.1.2空間向量的數量積運算

目標導航

課程標準課標解讀

1.理解空間向量的相關概念的基礎上進行與向量的加、

1.會進行空間向量的線性運算，空間向量

減運算、數量積的運算、夾角的相關運算及空間距離的

的數量積，空間向量的夾角的相關運算.

求解.

享、高頻考點

2二知識梳理

知識點1空間向量的夾角

如圖，已知兩個非零向量a,b,在空間任取一點O,作。A=a,dfe=b,則NAOB叫做向量

定義a,b的夾角，記作〈a,b>

范圍0—〈a,b）一冗

向量垂直如果〈a,b)=2，那么向量。，力互相垂直，記作唯以

拓展提升:

(1)當兩個非零向量同向時，它們的夾角為多少度？反向時，它們的夾角為多少度？

只有兩個非零空間向量才有夾角，當兩個非零空間向量共線同向時，夾角為0,共線反向時，夾角為兀(2)

〈a,b〉，(—a,b),〈a,—b>,〈一a,—b),它們有什么關系？

對空間任意兩個非零向量a,b有:

①〈a,b〉=〈瓦?！?；②〈一a,b)=〈a,~~b〉;③〈一a,~b)=〈a,b〉.

【即學即練1】在正四面體A5。中，瑟與仍的夾角等于()

A.30°B.60°C.150°D.120°

【解析】版,Cb)=180°-(Cb,Cb)=180。-60。=120。.故選口

知識點2空間向量的數量積運算

1.(1)空間向量的數量積

已知兩個非零向量a,b,則|a||b|cos(a,b)叫做a,b的數量積，記作a協，即a+=|a||升cos(a,b).零

向量與任意向量的數量積為0,即0也=必

(2)運算律

數乘向量與數量積的結合律(Aa)-b=Ma-b),xFR

交換律a*b=b*a

分配律a'(b+c)=a*b+a*c

2.投影向量及直線與平面所成的角

(1)如圖①，在空間，向量a向向量》投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面a

內，進而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c,c=|a|cos(a,b)卷，向量c稱為向量a在

向量b上的投影向量.類似地，可以將向量a向直線/投影(如圖②).

(2)如圖③，向量a向平面/?投影，就是分別由向量a的起點A和終點8作平面//的垂線，垂足分別為A，,

B,,得到向量KF+,向量力^稱為向量a在平面”上的投影向量.這時，向量“，不/的夾角就是向

量a所在直線與平面P所成的角.

①

(1)向量a,b的數量積記為a協，而不能表示為ax》或者。瓦

⑵向量的數量積的結果為實數，而不是向量，它可以是正數、負數或零，其符號由夾角〃的范圍決定.①

當，為銳角時，a協＞0;但當a協＞0時，，不一定為銳角，因為，也可能為0.

②當。為鈍角時，a-b＜^但當a協＜0時，。不一定為鈍角，因為〃也可能為兀

(3)空間向量的數量積運算不滿足消去律和結合律.

【即學即練2】在棱長為1的正方體4BCD-A4CQ中，設通=4,AD^b,AA；=c,貝!］日?(■+為的值為

()

A.1B.0C.-1D.-2

【解析】a(b+c)=db+a-c=O,故選民

【即學即練3】如圖，正方體ABCO-AB'C'D的棱長為1,設“=AD=b,A?=c,求:

(2)a(a+b+c).(3)(a+&)-(^+c).

AB±AD

[—>—>—?—>—>—>—>

故(Z?+c)=〃?人+〃?c=0

(2)由(1)知,〃?(〃+b+c)=a-a+0?(/?+c)=1

(3)由(1)及AD_LA4,知,

^+b)(b+^=a-(b+^)+b+b-Z=\【即學即練4】如圖，在三棱錐P—ABC中，ARAB,AC兩兩垂直,

AP=2,A8=AC=1,M為PC的中點，則北.3廟的值為(

C.

4

【解析】由題意得的=麗+麗/=麗+!(而+/)=麗+工麗+,/，故

ACBM=AC

故選：D.

知識點3空間向量數量積的性質

(1)若0,力為非零向量，則?？贐仍=0;

(2)。?。=|aF^\a\=y[a*a=y[^；

fi*h

(3)若a,5為非零向量，則cos(a,b)=而而;

(4)|a6|W|M網(當且僅當a，b共線時等號成立).

【即學即練5】已知在平行六面體A5CD-AiaGOi中，AAi=AB=AD=l,且這三條棱彼此之間的夾角

都是60。，則4G的長為（）

A.6B.祈C.3D.^3

【解析】設初=。，Ab=b9AA\=C9

則⑷=步|=匕|=1,

且〈*b）=〈仇c）=〈c,a）=60°,

因此a?b=b，c=c?a=不

由4&i=〃+b+c,

得J=a2+A2+c2+2a?o+25?c+2c,a=6.所以.故選B

【即學即練6】已知,其是夾角為60。的兩個單位向量，則1=1+^■與n1-2*的夾角是（）A.60°

B.120°C.30°D.90°

______13

【解析】由題意得癡=（弓+02）?（1-262）力；-4也k2-2工；=l-lxlx--2=--,

ml=+C2)2=Jei+2"I??2+?2=Jl+1+1=5/3，

\b1==J(ei-2=)2=\je\-4ei,以+4^2=x/1—2+4=y/3?

二.@5）=120。.

故選:B.

【即學即練7】在空間四邊形043。中，連接AC,OB,04=8,AB=69AC=4,BC=5,ZOAC=45°,

NO4B=60。，求向量宓與品所成角的余弦值.

ULUUUUUL1U

【解析】QBC=AC-AB9

B

...OA-BC=OA-AC—OA-AB=|OA|-|AC|-COS<OAyAC>—|(Z4|-|/A^|-cos<OA,AB>=8x4xcos135°—8x6xcos

1200=24-16V2,

?cos<OABC>-OA-8d_24-16^-3-2^

八°'°|網慳「8x5

故答案為：士工也

5

Ni考點精析

考點一空間向■數■積的概念辨析

解題方略:

注意空間向量的夾角的定義及熟練掌握數量積的運算律

【例1-1】對于空間任意兩個非零向量a,瓦“〃是“<a,b>=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】顯然〈a,b)=0=a〃兒但a〃。包括向量a,8同向共線和反向共線兩種情況，即當a〃人時，〈a,

b)=0或it,因此a〃。冷(a,b)=0.故“a〃b"是"(a,b)=0”的必要不充分條件.故選B

【例1-2】如圖，在正方體48。。一“十?！分校笙蛄砍浞謩e與向量百F,初，CD^,萬

的夾角.

【解析】連接8。(圖略),

則在正方體中，ACA.BD,NBAC=45。，AC=AD'=CD',

所以〈就，7TF+〉={At,Ah)=45°,(At,~B^>=180°-Ut,A&)=135°,{At,?'〉=ZD'AC

=60°,(At,加〉=180°-<CA,訪〉=180°-60°=120°,〈At,-?707>)=(At,Bb)=90°.

【例1-3】設￡、B為空間中的任意兩個非零向量，有下列各式：

①￡-=同；②^^=4；③倒.町=7方；@^a-h^=a'-2a-h+h2.

其中正確的個數為()

A.1B.2C.3D.4

【解析】對于①，?2=|?|2cosO=p|2,①正確；對于②，向量不能作比值，即:錯誤，②錯誤;

對于③，設入E的夾角為6,則(外盯=料卡卜。$。)=|u|?|^|cos2^<a--5',③錯誤；

對于④，由空間向量數量積的運算性質可得(2-石丫=7-275+方、④正確.

故選：B.

考點二空間向■數■積的運算

解題方略:

求空間向量數量積的步驟

(1)將待求數量積的兩向量的模長及它們的夾角理清；

(2)利用向量的運算律將數量積展開，轉化為已知模和夾角余弦值的乘積；

⑶代入。協=|〃|步|cos〈a,b)求解.

注：在幾何體中求空間向量的數量積，首先要充分利用向量所在的圖形，將各向量分解成已知模和夾角的

向量的組合形式;其次利用向量的運算律將數量積展開，轉化為已知模和夾角的向量的數量積;最后利用數量

積的定義求解即可.注意挖掘幾何體中的垂直關系或特殊角.

【例2-1］已知a=3p—2q,b=p+q,p和q是相互垂直的單位向量，則a?b=()

A.1B.2C.3D.4

【解析】且|p|=|q|=l,.二。仍=(3p—2g)?(p+q)=3p2+p?q-2q2=3+。一2=1.故選A

［^J2-2］已知四面體A-BCD的所有棱長都是2,點E,F分別是AD,DC的中點，則存?麗=()

A.1B.-1C.6D.Y

【解析】由題意可得喬所以麗?麗?麗=gx2x2xcosl2(r=—l.

故選B.

變式1：已知正四面體Q45C的棱長為1,如圖所示.求：°

(2)(0A+7)B)-CCA+~CB)./\\

【解析】在正四面體0ABe中，|次|=|而|=|萬己=1.

(~0A,~OB>=(~OA,~0C)={OB,~0C)=60°.

(DIM~OB=\OA\\OB|cosNA05=1x1xcos60。=；.

(2)(oT+~OB)-(CA+~CB)

=(OA+~dB)-(OA-~dc+~dB-~dc)

=(OA+OB)?(OA+OB-2OC)

=OX2+2OA-OB-2OA-OC+OB2~2OB-OC

=12+2x1x1xcos60°—2x1x1xcos600+12—2x1x1xcos60°

=14-1-1+1-1

=1.

變式2：已知正四面體04BC的棱長為1,若E,尸分別是04,OC的中點，求值:

(DEF-TO；(2)￡F-^4C；(iy'EF-'CB.

［解析］⑴瓦?而二；1??而

=||7CIIAC7|COS<~AC,To>

=1cos60。=；.

(2)EF-ACAC?AC=1|ACp=1.

=|TC--CB=1|7c||"CB|cos{AC,~CB)=|cos120°=-1.

變式3：已知棱長為1的正方體ABB-AiBiGU的上底面AiBiGDi的中心為Q,則M?京的值為()

A.-1B.0

C.1D.2

【解析】和=誦+兀57=疝+；(彳屈+卻/1)=常+［(弁+不?)，~AC=~AB+^D,則而?衣

=!(|4^|2+|40|2)=1,故選C.

【例2-3】已知空間向量a,A,c滿足a+b+c=0,團=3,網=1,|c|=4,則a協+b?c+c-a的值為.

【解析】?.?。+方+c=0,；?(a+b+c)2=0,

；?出+〃+c2+2(a?b+b*c+c*a)=0,

32+12+42

??。6+》?c+c'a=——=——13.

考點三利用空間向■的數?積求夾角

解題方略:

1、求兩個向量的夾角有兩種方法：

①結合圖形，平移向量，利用空間向量夾角的定義來求，但要注意向量夾角的范圍；

a?b

②先求。仍，再利用公式cos〈a,b)=廠而求出cos(a,b)的值，最后確定(a,b)的值.

\a\\b\

夾角定義確定夾角是銳角、直角還是鈍角.

【例3-1】如圖，在正方體ABCD-AIBIGOI中，求力日與前夾角的大小.

【解析】不妨設正方體的棱長為1,則反點*

=(BC+CCi)-(AB+BC)=(AD+AAi)-(AB+AD)

=^D'AB+~AD2+^-~AB+~AAi^AD

=0+AD2+0+0=AD2=1,

又招|=6，\AC\=yf2,

./\5C].AC]

-C0S<C1*4"前/『

.--?-->、.-->-->.7T

V<BC1,AC>e[0,n\,：.{BCi,AC>=亍

即招與前夾角的大小為全

變式1：已知空間四邊形0A3C中，OB=OC,ZAOB=ZAOC=^,則cos(殖,鼠〉的值為()

A]B.乎C.—1D.0

【解析】O\BI=oX(dt-oh)=dXot-oXdh=\oXliotlcosZAOC-|OA\\oh\cosZAOB

4兩波T兩防1=0,

所以加JL就.

所以cos<dA,Bt>=0.

故選D

變式2：在邊長及對角線都為1的空間四邊形ABC。中，E,F分別是8C,AD的中點，則直線AE和CF

夾角的余弦值為（）

A.--B.|C.-D.

3342

【解析】如圖，連接對角線3C,AD,則可構成棱長均為1的正四面體A-BCD

UUD1/HimUUD\1._\

由E,尸分別是BC,AO的中點，.?.AE=Q（AB+ACj,CF=-（C4+CD）

:.AECF=^（AB+AC）（CA+CD）=^（ABCA+ACCA+ABCD+AC-CD）

=；（_；_]+被①_；）=*2+而.①）=_g+；宿前又

ABCD=AB-^AD-AC^ABAD-ABAC=^-^=O,:.AECF=-^

,______.I

______\AE-CF\彳2

則"6=阿可叵西=

3

2X2

所以直線AE和CF夾角的余弦值為|.

故選：B

如圖，在平行六面體A88-ABCR中，以頂點A為端點的三條棱長度都為

1＞且兩兩夾角為60.求:

（1）AG的長;

(2)西與撫夾角的余弦值.

【解析】⑴記福=￡,AD=b,麗="，則問=忖=忖=1,<a,b>=<b,c>=<a,c>=60,

.?.西[=?+2）2=@+用+同+20a-b印+b-c+a-c^=3+2x^=6,

宿卜"，即AG的長為指

（2）-：BD[=b+c-a9AC=a+h>

...甌=懷+用+同2+2(“國2=用+|邛+2￡石=3,

bc-ab-ac]=3-\=29

.?.|網=0,AC=y/3f又西./=,+￡一斗（￡+可用2一仲+/+72=1,

cos〈聽*>=氤筒=心邛，即岫與恁夾角的余弦值為器.

【例3-2】已知￡,石是空間兩向量，若同=3,向=2,忖-4=療，則￡與B的夾角為

【解析】設￡與右的夾角為

所以根據,一〃(=同+忸『一2問.臥85。,

7=9+4—2x3x2xcos8,

BPcos^=—,

2

7T

XO<0<7U,：.d=~.

故答案為：!

—>—>—>—>

變式1：已知:是兩個空間單位向量，它們的夾角為60,設向量a=2m+n9b=-3m+2n?求:

⑴標;

⑵向量；與X的夾角.

【解析】(1)因為蔡，:是兩個空間單位向量，它們的夾角為60,

—>=；,

所以旅”Imcos60

所以f。?-/>?=[2m—?+—〃>J[-3〃—>?+2—〃>J=-6眄F+加f〃T+2卜|二—6+；+2=—g；

2I?

->T、2TTTH=4+4Xy4-1=79

(2)因為2m+n4bn+4nvn+

2

>-3〃計2〃]9H—>-12n—>l?—〃>+4卜]二9-12xg+4=7所以卜卜近，卜卜療,

b

一_Z

又因為"=[所以。叫四—>—>a-b_2_1

麻瓜VTN

—>—>

因為功)e[0,司，所以(a，。即向量；與了的夾角為爺.

【例3?3】已知空間向量〃、6滿足同=2,忸卜1,但刀二60。，若向量萬+篇與府一2加的夾角為鈍角,

求實數力的取值范圍.

【解析】因為向量a+肪與熱-26的夾角為鈍角,

所以（&+幾5）?（/1萬—25）<o,且萬+4與力不共線，

因為M石=1,

所以k+（公-2）無6-2步<0,即把+2>—2<0,

解得-I-G<4<-I+G①；

當。+義5與府一2行平行時，則存在實數h使得d+4=M，d-25）,

即（&/1一1）1=（/1+2人）5,

因為。、5不平行，

fu-i=o,…

所以，八即分=一2,貝！Me0②.

由①@得，實數義的取值范圍是（T-右,T+/）.

【例3-4】如圖，三棱柱ABC-AMG中，底面邊長和側棱長都相等，NBA4,=NCAA=60°,則異面直

線AB1與BC,所成角的余弦值為

A___________________C

【解析】三棱柱ABC-AgG中，底面邊長和側棱長都相等,

NA4A=NOU,=60°,設棱長為1,

貝!]A3-AC=lxlxcos60'=—,AB-AA^=1x1xcos60°=—,

——..1

r2

又麗=麗+甌，％=研+總-通，

所以福.%=（瓶+麗）.（麗+正—南）

",?1????2?2,,,?||||

=ABAAl+ABAC-AB+A4,+胡SC-A4,.鉆.+耳-l+l+n=l而

同=’（通+福）2=‘啟+2詬?麗+麗=5

阿卜J（福+/-Afi）:=V1+1+1-1-1+1=&，

所以cos〈福.西>=普的=4r=逅

所以|AB,|-|BC,|0X66-

故答案為：逅.

6

考點四利用空間向■的數量積證明垂直

解題方略:

利用空間向量解決垂直問題的方法

(1)證明線線垂直的方法：證明線線垂直的關鍵是確定直線的方向向量，看方向向量的數量積是否為0來判

斷兩直線是否垂直.

(2)證明與空間向量a,b,c有關的向量〃?，"垂直的方法：先用向量”，仇c表示向量,〃，

”,再求解向量機，〃的數量積并判斷是否為0.

【例4-1】已知空間四邊形ABCD中，AB±CD,AC1BD,求證：ADLBC.

【證明】'：AB±CD,ACrBD,

.,.7B*CD=0,=0.

:.^W~BC=CAB+^D)-(AC-~AB)

=^8^+~BD~AC-~AB2-^B~BD=^B'AC-~AB2-^B~BD

=~AB-(AC-~Aii-^D)=~AB：DC=^.

：.~ADLBC,從而ADLBC.

變式1：如圖，四面體。48c各棱的棱長都是1,D,E分別是0C,A3的中點，記以1，辦=小慶二.

(1)用向量表示向量i)E;

(2)求證DE_LA8.

—>—>—>—>1—>—>1—>1—>—>1/—>—>

OC+AB=C+A+

【解析】⑴根據題意，=DO+OA+-2~2°°2i

=g(o\+0%_o2)=*+W_q.

(2)根據題意，WE1相互之間的夾角為且模均為1,由(1)

—>—>|/—>—>—/—>-?、]f—>2_>2TT_>_>

DE-AB==—I1-1l=—I-a+b-h-c+a-c

=—|-l+l-lxlx—+lxlx—|=0,

2122)

所以DELAB.

變式2：如圖所示,三棱柱ABC-ABC中，CA=a，CB^b，CC；=c,C4=CB=CQ=1,例率0=年,

(1)用3，b>之表示向量AN;

⑵在線段C聲上是否存在點〃，使AM,入川？若存在，求出M的位置，若不存在，說明理由.

【解析】(1)而=不+而=束+；麗=-%+；(而_函=

⑵假設存在點M,使AM_LAN,設G祈=4函,(2e[0/D，

顯然m=2礪=加

AM=A4,+A￡+C|A/=c-a+4,

因為AM_LAN,所以如_14月=>應4齊=0,

即(c-a+Ab)?(一+—c)=0,

]一一]一7*-21-21-]一一1.一]1、廠2-r-八

—c?67H—c?b—cH—a—a?b+c?a—A,ci,bH—AZ?—A,b?c=()?

222222

因為CA=CB=CC|=1,==1，=

1一一一21-211-一1一2

所以有：3c?a-c+——(―+—A)ci,Z?+—Ab=0,

即一x1x1x(—)—1~H—xp—(—I—A)x1x1x(—)H—Z,P=0

22222229

解得2=；,所以當GM=：C4時，AMLA、N.

【例4-2］如圖所示，在正方體ABCD-A181Goi中，。為AC與8。的交點，G為CG的中點，求證：AtO±

平面GBD.

證明：設48t=a,AiDt=b,A\A=c,則。6=0,"c=0,a?c=0,|a|=|〃|=|c|.

VAit>=AiA+AO=AM+1(AB+AD)=c+1a+1z>,

BD=AD—AB=b-a,

~OG=~OC+'CG>=|(AP)+|cG

1,1.1

=2a+2b~2c-

'.Aid-BD=(c+；a+，)(A-a)

,,1,1,1,1,

=c-b—c-a-v-ja-b-2^+^2—^b-a

=1(ft2—a2)=|(|Z?|2—|a|2)=0.

于是布_L而，即4O_LB。.

同理可證NZJ_忘，

即AiO_LOG.又BDQOG=O,

于是有40_1_平面GBD.

考點五利用空間向■的數曜積求距離(即線段長度)

解題方略:

求兩點間的距離或線段長的方法

(1)將相應線段用向量表示，通過向量運算來求對應向量的模.

(2)用其他已知夾角和模的向量表示該向量；

(3)因為az=|aF，所以|a|=d，這是利用向量解決距離問題的基本公式.另外，該公式還可以推廣

為|a±〃=d(a±力)一=y/a2+2a-b+b2.

(4)可用依e|=|a||cos例(e為單位向量，，為a,e的夾角)來求一個向量在另一個向量所在直線上的投影.

【例5-1】已知空間向量瓦5忑兩兩夾角均為60,其模均為1,則卜+6-2@=()

A.&B.GC.2D.石

2

［解析1\a+b-2c\=Jm+b-2仃2=+p+4c+2a-b-4a-c-4b-c

=./l+l+4+2xlxlx--4xlxlx-?-4xlxlx—

V222

=>/3.

故選：B

【例5-2】如圖所示，在。48co中，AO=4,CD=3,ZADC=60°,B4_L平面A8CZ),PA=6,求線段PC

【解析】V7C=-RT+AD+DC,

：.\TcF=(鉗+AD+DC)2

=\PA|2+\ADp+|DC\2+2~PA~AD+2AD~DC+2DCGRT=62+42+32+2|AD\\DC|cos120°=

61-12=49.AlPC|=7,即尸C=7.

變式1：如圖，平行六面體ABC。-4與￡。中，AB=AD=AAl=\,ZBAD=ZBAAi=120°,

ND4A=60°，則AG=()

B.2C.百D.V2

【解析】?.?猬=麗+南+麗，

222

=AB+AD+AA^+2ABAD+2ABAA^+2ADAA^

=l+l+l+2xlxlx|--|+2xlxlx(--|+2xlxlx—=2,.-.AC、=五.

故選：D

變式2：如圖，已知一個60。的二面角的棱上有兩點4,B,AC,80分別是在這兩個面內且垂直于A8的

線段.又知A5=4,AC=6,BD=S,求。的長.

【解析］\'CA±AB,BD±AB,

：.(CX,Bb)=120°.

'：Cb=cA+Ab+Bb,且就?盛=0,

：.\cb^=cbcb=(cA+Ah+Bb)(cA+Ah+Bb)=\cA\1+\Ah\1+\Bb\2+2CABb+2CAAh+2AhBb

=|由F+|A^F+|前F+2|力||筋|cos(cA,Bi)>

=62+42+82+2x6x8x^—1^=68,

：.\cb\=2y/V7,故CD的長為2，萬.

變式3：如圖，在平行四邊形A3CZ)中，AZ)=4,CD=3,ZBAD=120°,ABCD,且Bl=6.求

PC的長.

【解析】因為前=而+而+配，所以

2..._?,|2I,|2I,|2,..■,.

M=(PA+AD+DC)2=\PA\+即+|DC+2PAAD+2PADC+2ADDC

=62+42+32+2X4X3XCOS120°=49,

所以園=7.

故PC的長為7.

變式4：如圖，三棱錐O-ABC各棱的棱長都是1,點。是棱48的中點，點E在棱OC上，且龍=2近,

記OA=a>OB-b>OC=c-

⑴用向量，，b>C表示向量詼;

⑵求1。臼的最小值.

【解析】(1)根據題意，連接CD,點。是棱A3的中點，點￡在棱0C上，如下圖:

由題意可得,0E-A.OC?120A=a>OB=b?OC=c>

__,_,—1_,_,_1_1_

：?DE=OE-OD=^OC--(OA-vOB)=［一］萬一耳匕.

(2)根據題意，點。是棱45的中點，三棱錐。-A5C的各個面是邊長為1,

巧

易得，|0。|=|。0|=上，

2

在△OOC中，由余弦定理可得，cosNDOC=cos/DOE=!°。上［"TTCO「=立,

2\OD\\OC\3

->-?—>->2—>—>—>2311

|DE|2=|OE-OD^=OE-2OE.OD+OD=22-2xlx/lx—cosZDOE+-=(A--)2+-,

2422

當人;時，la產取得最小值*

則IoZI的最小值為乎.

變式5：已知正方形ABC。，1的邊長均為1,且平面ABQ?_L平面A8E凡點M在AC上移動,

點N在B尸上移動，若|CM|=|5N|=a(0VaV收).

(1)求線段MN的長;

⑵當a為何值時，線段MN最短？

【解析】⑴由已知得I就尸般,I"1=啦,

：.~AM=~AC,~NF

：.~NM=~NF+~FA-\-~AM

鉗+0-寶)

［AC

福+/廠福+(YA

=(Y)BA+BC)

=(1-匍就+(一匍宿

(2)由(1)知當a=孚，即M,N分別是4C,8尸的中點時，的長度最小，最小值為孚.

考點六利用空間向■的數?積求投影

ab

解題方略:向量。在向量力上的投影數量|〃|cos(a,b)而

Aab

向量〃在向量力上的投影向量|〃|cos(a,b)網F

【例6-1】如圖，在長方體A5CD—A'B'C'Z)'中，已知|A@=1,|A￡)|=2,|AA]=3,分別求向量近7在荏、

AD.打方向上的投影數量.

【解析】非零向量￡在非零向量B方向上的投影數量為|』cos<a,b>=

由空間向量的平行六面體法則可得^^而十而+府,

在長方體ABC。—A'&CD中，ABM)=ABM'=ADM'=O,

47s.AR(AB+AD+AA!YAB._.

因此，向量而在瓦方向上的投影數量為一^「=1---------阿」一=\AB\=\,

4?^.Tn(AB+AD+AAYAD.一,

向量而在而方向上的投影數量為國=A-----呵'一=\AD\=2,

AC.AA!（岫+AD+AA]AA,—.

向量而在打方向上的投影數量為=」

回=M=3.

AA

變式1:如圖，已知正方體ABC。-A4GA的棱長為1,E為BC的中點.

（1）求（函,前），（南,西）的大小;

（2）求向量女在向量近方向上的投影的數量.

【解析】（I）在正方體ABCO-AAGQ中，

因為。RJ.8C,

所以（西配）=90。,

因為0C|//DC,

所以〈和，聲）=（反,5）=135。；

（2）連接EC,

因為。C,平面8CCM，

所以￡>C_LCE,

又因為AO_LZ）C,

所以衣在向量反方向上的投影為反，

因為DC=1）

所以向量檢在向量配方向上的投影的數量為1

【例6-2】已知正方體ABCO-A4GR的棱長為1，E為棱上的動

點.求向量亦在向量正方向上投影的數量的取值范圍.

【解析】由已知E為棱8?上的動點，設4E=/tqG(04/l41).

ULMIUUUllUUUUULltlLUlLlLAlULU1UULU

因為AE=+gE=Ag+/L5G=AB+BB1+AB.Q

UUUIILWUUUUUUIIUUUUlKIUlllUlMIUUUUUIUUUUUUUU

所以AC=(AB+BB]+)-AC=AB-AC+BBt-AC+AC

=lx夜xcos45°+4xlx夜xcos45°=l+/l所以向量檢在向量/方向上投影的數量為宏,

又0W/IW1,.-.1<1+A<2,—<-^i<V2

2V2

所以向量女在向量/方向上投影的數量的取值范圍為

2

◎分層提分

題組A基礎過關練

1.在正方體ABCO-A用G。中，有下列命題：

①(羽+而+而)2=31而『；②4/(4區(qū)一4?=0；③皿與胃3的夾角為60:

其中正確的命題有().

A.1個B.2個C.3個D.0個

【解析】對于①，

(羽+AD+AB)2=(麗門+(AD)2+(AB)2+2福?AD+2麗?AB+2AD-AB=3通：所以①正確;

對于②，A。(A4-AA)=(AB+AD-A41A(AB-AA)=AB—=0>所以②正確；

UUU______

對于③，因為A8〃RC,AA，AC,RC分別為面的對角線，

______UUU-

所以ZAD,C=60。,所以物與A,B的夾角為120。，所以③錯誤

故選：B

2.四邊形ABC。為矩形，SA_L平面A8CO,連接AC,BD,SB,SC,SD,

下列各組運算中，不一定為零的是（）

A.SCBDB.DASBC.SDABD.SACD

【解析】根據題意，依次分析選項：

對于A：若SC與8。垂直，又SA與BD垂直，則平面SAC與BO垂直，則AC與BO垂直，與AC與8。不

一定垂直矛盾，所以SC與80不一定垂直，即向量寬、而不一定垂直，則向量無、麗的數量積不一定

為0；

對于B：根據題意，有SA_L平面ABCZ）,則SA1AD,又由AD±AB,則有4）_L平面SAB,進而有J_S3,

UliLiu

即向量D4、SB一定垂直，則向量SB的數量積一定為（）；

對于C：根據題意，有SA_L平面A8CD,則SA_L4?,又由">_L,則有45_L平面SW,進而有AB_L，

即向量而、荏一定垂直，則向量而、麗的數量積一定為0;

對于D：根據題意，有SAJ-平面ABC。，則SA_LCD,即向量文、前一定垂直，則向量立、前的數量

積一定為0.

故選：A.

3.已知正三棱錐P-ABC的底面ABC的邊長為2,M是空間中任意一點，則宓?（麗+碇）的最小值為（

D.

2

【解析】設3C中點為。，連接MO,設MO中點為凡則=；6二F=￥

MA-[MB+/0C)=AM.(2MC)=2(MH++H())

2

2(MH+7M^A7/2-7M]=[MH-H^\=(而2_3)

_______3

當M與H重合時，MH1取最小值0.此時MA(MB+MC)有最小值-1,

故選：A

4.棱長為1的正四面體A8CD中，點E,尸分別是線段8C,A。上的點，且滿足礪=；及，AF=^AD,

則荏?函=()

A.—B.—C.；D.-----

242212

【解析】由已知福?/=而?標=/?而=lxlxcos6(r=J,

因為麗/肥，AF=^AD,

所以荏=通+麗=麗+(而=福+；(衣-通)=1ABLAC,

33+

CF=AF-AC=-AD-AC

2f

______2___1___1_____1_____

AECF=(-AB+-AC)(-AD-AC)=-ABAb-1AB，ACLAC.AD--AC2

33233+63

=(l_2+l)xl-lxP=-A.

3362312

Jv

故選：D.////\

c

5.如圖，P為圓錐的頂點，0是圓錐底面的圓心，圓錐尸0的軸截面B1E是邊長為2的等邊三角形，△ABC

是底面圓的內接正三角形.則尸入.尸2=<)

579

B?一C.-D.-

/IK--222

“代三二比二E

B

【解析】由題得尸0=72匚F=7§,ZBOC=120,

P》P2=（P3+O%｝（P》+O"）=訪+O%o"=3+lxlx（-g）=|.

故選：B

6.我國古代數學名著《九章算術》商功中記載“斜解立方，得兩

塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱.在塹堵A8C-A8G中，AB=AC=AAl=2,尸為B,G的中

點，則相?麗=().

A.6B.-6C.2D.-2

【解析】根據塹堵的幾何性質知：ABLAC,AAtlAB,懼，AC.

因為AC；=AC+AAf,BP=BBi+—BtCt=AA^+5（AC—AB）,

所以離.而=（恁+羽）?［麗+）（/_詬）］=*.