2.3函數(shù)的單一性穩(wěn)固·夯實基礎(chǔ)一、自主梳理單一性的定義設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I:假如對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的隨意兩個自變量x1、x,當(dāng)x<x2時,都有f(x)<f(x2),那么就說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù);假如對于屬于定211義域I內(nèi)某個區(qū)間的隨意兩個自變量x、x,當(dāng)x<x時,都有f(x)>f(x),那么就說f(x)在121212這個區(qū)間上是減函數(shù).判斷函數(shù)單一性的方法定義法.利用基本函數(shù)的單一性,如:二次函數(shù)y=x2-2x在(-∞,1)上是減函數(shù).利用復(fù)合函數(shù)同增異減這個結(jié)論判斷.利用函數(shù)圖象上漲增降落減進(jìn)行判斷.此外利用導(dǎo)數(shù)值的符號也能判斷函數(shù)的單一性.二、點擊雙基1．以下函數(shù)中，在區(qū)間(0，2)上為增函數(shù)的是()A.y=-x+1B.y=xC.y=x2-4x+5D.y=2答案:Bx2．函數(shù)y=loga(x2+2x-3)，當(dāng)x=2時，y＞0，則此函數(shù)的單一遞減區(qū)間是()A.(-∞，-3)B.(1，+∞)C.(-∞，-1)D.(-1，+∞)分析:當(dāng)x=2時，y=loga5＞0，∴A＞1.由x2+2x-3＞0x＜-3或x＞1，易見函數(shù)t=x2+2x-3在(-∞，-3)上遞減，故函數(shù)y=loga(x2+2x-3)(此中a＞1)也在(-∞，-3)上遞減.答案:A3．若函數(shù)f(x)=1,則該函數(shù)在(-∞,+∞)上是()12xA.單一遞減無最小值B.單一遞減有最小值C.單一遞加無最大值D.單一遞加有最大值分析：因為x+1在R上遞加且大于1,則f(x)=1在R上遞減,無最小值,選A.u(x)=2答案：A2x14．函數(shù)y=lgsin(-2x)的單一增區(qū)間是()54A.(kπ-,kπ-)(k∈Z)B.［kπ-,kπ+］(k∈Z)8888C.(kπ-3,kπ-)(k∈Z)D.［kπ-,kπ+3］(k∈Z)8888分析:令y=lgμ,μ=sin(-2x).4依據(jù)復(fù)合函數(shù)單一區(qū)間的求法,只需使2kπ+≤-2x<2kπ+π即可.24∴-kπ-3<x≤-kπ-.應(yīng)選C.88答案:C誘思·實例點撥【例1】假如二次函數(shù)f(x)=x2-(a-1)x+5在區(qū)間(1，1）上是增函數(shù)，求f(2)的取值范圍.2-(a-1)×2+5=-2a+11,2分析:因為f(2)=2求f(2)的取值范圍就是求一次函數(shù)y=-2a+11的值域，自然就應(yīng)先求其定義域.解:二次函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，1)上是增函數(shù)，因為其圖象(拋物線)張口向上，故其對稱軸2x=a1或與直線x=1重合或位于直線x=1的左邊，于是a1≤1,解之得a≤2,故f(2)22222-2×2+11=7,即f(2)≥7.【例2】議論函數(shù)f(x)=xax(a>0)在x∈(-1,1)上的單一性.21解:設(shè)-1<x12<x<1,則f(x1)-f(x2)=ax1ax2x121x221ax1x22ax1ax2x12ax2=(x121)(x221)a(x2x1)(x1x21).=1)(x22(x121)-1<x1<x2<1,2x2-x1>0,x1x2+1>0,(x1-1)(x2-1)>0.又a>0，f(x1)-f(x2)>0,函數(shù)f(x)在(-1，1)上為減函數(shù).【例3】求函數(shù)y=x+1的單一區(qū)間.x分析:求函數(shù)的單一區(qū)間(亦即判斷函數(shù)的單一性)，一般有三種方法:(1)圖象法；(2)定義法；(3)利用已知函數(shù)的單一性.但此題圖象不易作，利用y=x與y=1的單一性(一增一減）也難以確立，故只實用單一性定義來確立，即判斷f(x2)-f(x1)x的正負(fù).解:第一確立定義域:{x|x≠0},∴在(-∞,0)和(0，+∞)兩個區(qū)間上分別議論.任取x1、x2∈(0,+∞)且x1<x2,則f(x)-f(x)=x11=(xx1x2=(x-x)(1-1212x212121x1x2x1x1x2定1的正負(fù)即可.1-x1x2這樣，又需要判斷1大于1，仍是小于1.因為x1、x2的隨意性，考慮到要將(0，+x1x2∞)分為(0，1)與(1，+∞)(這是此題的重點).(1)當(dāng)x1、x2∈(0,1)時，1-1<0,x1x2∴f(x2)-f(x)<0為減函數(shù).1(2)當(dāng)x1、x2∈(1,+∞)時，1-1>0,x1x2f(x2)-f(x1)>0為增函數(shù).同理可求(3)當(dāng)x1、x2∈(-1,0)時，為減函數(shù);(4)當(dāng)x1、x2∈(-∞,-1)時，為增函數(shù).講評:解答此題易出現(xiàn)以下錯誤結(jié)論:f(x)在(-1，0）∪(0，1）上是減函數(shù)，在(-∞,-1)(1,+∞)上是增函數(shù)，或說f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上是單一函數(shù).防止錯誤的重點是要正

∪確理解函數(shù)的單一性觀點交區(qū)間的并.鏈接·拓展

:函數(shù)的單一性是對某個區(qū)間而言的，而不是兩個或兩個以上不相求函數(shù)

y=x+

a(a>0)

的單一區(qū)間

.x提示:函數(shù)定義域的關(guān)系獲得在(-∞,0)

x≠0，可先考慮在上的單一性.

(0,+

∞)上函數(shù)的單一性，再依據(jù)奇偶性與單一性答案:在(-

∞,-

a)，(

a

,+

∞)上是增函數(shù)，在

(0,

a),(-

a

,0)

上是減函數(shù)

.【例系f(x

4】（20041+x2)=f(x

北京東城模擬）1)+f(x2)+2.

已知定義在

R上的函數(shù)

f(x)

對隨意的實數(shù)

x1、x2知足關(guān)證明f(x)的圖象對于點(0,-2)成中心對稱圖形;(2)若x>0,則有f(x)>-2,求證:f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù).分析:對于(1),只需證明f(x)f(x)=-2即可;對于(2),注意到f(x)是抽象函數(shù),欲證單2調(diào)性,需對f(x)進(jìn)行適合的變形.證明:(1)令x1=x2=0,則f(0+0)=f(0)+f(0)+2,因此f(0)=-2.對隨意實數(shù)x,令x=x,x=-x,有f(x-x)=f(x)+f(-x)+2,12即f(0)-2=f(x)+f(-x),得f(x)f(x)=-2.2又x(x)=0,2這表示點M(x,f(x))與點N(-x,f(-x))的中點是(0,-2),即點M1N對于點(0,-2)成中心對稱.由點M的隨意性知:函數(shù)f(x)的圖象對于點(0,-2)成中心對稱.對隨意實數(shù)x1、x2,且x1<x2.由x2-x1>0,有f(x2-x1)>-2.于是f(x)=f［(x-x)+x］=f(x2-x)+f(x)+2.221111因此f(x