2.3.3點到直線的距離公式2.3.4兩條平行直線間的距離核心知識目標核心素養(yǎng)目標1.探索并掌握平面上點到直線的距離公式.2.掌握兩條平行直線間的距離公式.3.會求點到直線的距離和兩條平行直線間的距離.探索掌握點到直線的距離公式的體驗過程,提升學生的直觀想象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).在鐵路的附近,有一大型倉庫,現(xiàn)要修建一條公路與之連接起來,易知從倉庫垂直于鐵路方向所修的公路最短.將鐵路看作一條直線l,倉庫看作點P.探究:怎樣求得倉庫到鐵路的最短距離呢?答案:過點P作直線l的垂線,垂足為Q,則垂線段PQ的長度就是倉庫到鐵路的最短距離.(1)點P到直線l的距離,就是從點P到直線l的垂線段PQ的長度,其中Q是垂足.(2)點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0(A,B不同時為0)的距離d=|A[問題1]當d=0時,點P與直線l:Ax+By+C=0的位置關(guān)系是什么?答案:當d=0時,點P在直線l上.(1)兩條平行直線間的距離是指夾在這兩條平行直線間的公垂線段的長.(2)求法:兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為點到直線的距離.(3)公式:兩條平行直線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0間的距離為d=|C[問題2]直線l:Ax+By+C=0,常數(shù)d>0,平行于l且與l的距離為d的直線有幾條?答案:兩條.1.點(1,2)到直線y=2x+1的距離為(A)(A)55 (B)2(C)5 (D)25解析:點(1,2)到直線y=2x+1的距離d=|2-2+12.兩平行直線x+y+2=0與x+y-3=0的距離等于(A)(A)522(C)52 (D)2解析:直線x+y+2=0與x軸的交點是P(-2,0),點P到直線x+y-3=0的距離d=|-2+0-3|11:x+y-1=0,l2:x+y+a=0,且兩直線間的距離為2,則a=.

解析:由兩平行直線間的距離公式得d=|-1-a|1所以a=-3或a=1.答案:-3或1點到直線的距離[例1]求點P0(-1,2)到下列直線的距離:(1)2x+y-10=0;(2)x=2.解:(1)由點到直線的距離公式知d=|2×(-1)+2解:(2)法一直線方程化為一般式為x-2=0.由點到直線的距離公式知d=|-1+0×2法二因為直線x=2與y軸平行,所以由圖知d=|-1-2|=3.(1)在使用點到直線的距離公式時,首先把直線方程化為一般式,再利用公式求解.(2)在已知點到直線的距離求參數(shù)時,只需根據(jù)公式列方程求解參數(shù)即可.變式訓(xùn)練1:(1)(2020·遼寧凌源期中)若點M(-2,1)到直線x+2y+C=0的距離為1,則C的值為;

(2)求點P0(-1,2)到直線y-1=0的距離;(3)求過點A(-1,2)且到原點的距離等于22(1)解析:由點到直線的距離公式可知d=|-2+2+C|所以C=±5,所以C的值為±5.答案:±5(2)解:法一由點到直線的距離公式得d=|-1×0+2法二因為直線y-1=0與x軸平行,所以由圖知d=|2-1|=1.(3)解:顯然直線x=-1到原點的距離為1,所以所求直線的斜率是存在的.設(shè)所求直線的方程為y-2=k(x+1),化成一般式為kx-y+2+k=0.由題意得|2+k|解得k=-1或-7.故符合題意的直線方程為y-2=-(x+1)或y-2=-7(x+1),即x+y-1=0或7x+y+5=0.兩條平行直線間的距離[例2]求兩條平行直線l1:6x+8y=20和l2:3x+4y-15=0間的距離.解:法一在直線l1上任取一點A(2,1),則點A到直線l2的距離即為所求的兩條平行直線間的距離,則d=|3×2+4×1法二直接應(yīng)用兩條平行直線間的距離公式.l1:3x+4y-10=0,l2:3x+4y-15=0,故d=|-10求兩平行直線間的距離有兩種思路(1)利用“化歸”法將兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為求一條直線上任意一點到另一條直線的距離;(2)直接利用兩平行直線間的距離公式d=|C變式訓(xùn)練2-1:(2020·重慶沙坪壩月考)兩條直線3x+4y+1=0和6x+8y+3=0之間的距離為()(A)110 (B)1(C)25 (D)解析:直線方程6x+8y+3=0化為一般式為3x+4y+32所以兩平行直線間的距離d=|1-32變式訓(xùn)練2-2:已知直線l與直線3x+4y-1=0平行,且兩直線間的距離為4,則直線l的方程為.

解析:設(shè)所求的直線方程為3x+4y+C=0(C≠-1),由題意得|C所以直線l的方程為3x+4y+19=0或3x+4y-21=0.答案:3x+4y+19=0或3x+4y-21=0距離公式的綜合應(yīng)用[例3]已知直線l過點A(2,4),且被平行直線l1:x-y+1=0與l2:x-y-1=0所截的線段中點M在直線x+y-3=0上,求直線l的方程.解:法一因為點M在直線x+y-3=0上,所以設(shè)點M坐標為(t,3-t),則點M到l1,l2的距離相等,即|t-(3-t所以M(32,32又l過點A(2,4),由兩點式得y-32即5x-y-6=0,故直線l的方程為5x-y-6=0.法二設(shè)與l1,l2平行且距離相等的直線l3:x-y+C=0(C≠±1),由兩平行直線間的距離公式得|C-1解得C=0,即l3:x-y=0.由題意得中點M在l3上,又點M在x+y-3=0上.解方程組x-y所以M(32,32又l過點A(2,4),故由兩點式得直線l的方程為5x-y-6=0.變式訓(xùn)練3:求過點M(-2,1)且與A(-1,2),B(3,0)兩點距離相等的直線方程.解:法一當斜率不存在時,不符合題意;當斜率存在時,設(shè)直線方程為y-1=k(x+2),即kx-y+2k+1=0.由條件得|-k-2+2解得k=0或k=-12故所求的直線方程為y=1或x+2y=0.法二設(shè)直線l滿足題意.由平面幾何知識知,l∥AB或l過AB中點.因為kAB=-12若l過AB的中點N(1,1),則直線方程為y=1,所以所求直線方程為y=1或x+2y=0.1.若點A(a,1)到直線3x-4y=1的距離d為1,則a的值為(C)(A)0 (B)10(C)0或103 (D)0或-解析:由d=|3a-4-2.已知兩直線3x+y-3=0與6x+my+1=0平行,則它們之間的距離為(D)(A)4 (B)21313 (C)5解析:因為直線3x+y-3=0與6x+my+1=0平行,所以63=m1≠所以兩條直線方程分別為6x+2y-6=0與6x+2y+1=0.所以兩條平行直線之間的距離為d=|-6-13.已知點A(1,3),B(3,1),C(0,0),則△ABC的面積為()(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:直線AC的方程為3x-y=0,|AC|=10,點B到直線AC的距離為d=|3×3-1|3則S△ABC=12|AC|·d=12×10×1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0平行且距離相等,則直線l的方程為.

解析:設(shè)所求的直線方程為2x-y+C=0(C≠3且C≠-1),分別在l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0上取點A(0,3)和B(0,-1),則這兩點到直線2x-y+C=0距離相等,即|C-3答案:2x-y+1=0[例1]已知在△ABC中,點A的坐標為(3,2),點B的坐標為(-1,5),點C在直線3x-y+3=0上,若△ABC的面積為10,求點C的坐標.解:設(shè)點C到直線AB的距離為d.由題意知|AB|=[3因為S△ABC=12|AB|×d=12×5直線AB的方程為y-25即3x+4y-17=0.因為點C在直線3x-y+3=0上,所以設(shè)點C的坐標為(x0,3x0+3),所以d=|3x0|3x0-1|=4,所以3x0-1=±4,解得x0=-1或53所以點C的坐標為(-1,0)或(53,8)[例2]求經(jīng)過兩直線l1:x-3y-4=0與l2:4x+3y-6=0的交點,且和點A(-3,1)的距離為5的直線l的方程.解:法一由x-3即直線l過點B(2,-23)①當l與x軸垂直時,直線方程為x=2,點A(-3,1)到l的距離d=|-3-2|=5,滿足題意;②當l與x軸不垂直時,設(shè)直線斜率為k,則l的方程為y+23=k(x-2),即kx-y-2k-2由點A到l的距離為5,得|-解得k=43所以直線l的方程為43x-y-83-即4x-3y-10=0.綜上,直線l的方程為x=2或4x-3y-10=0.法二設(shè)l的方程為4x+3y-6+λ(x-3y-4)=0,即(4+λ)x+(3-3λ)y-(6+4λ)=0.因為點A(-3,1)到l的距離為5,所以|-3解得λ=83所以直線l的方程為x=2或4x-3y-10=0.坐標法——解決幾何問題的利器數(shù)形結(jié)合、運動變化的思想和方法是數(shù)學中常用的思想方法.坐標法解決幾何問題就能很好地體現(xiàn)這兩種思想方法.[典例探究]如圖,在△ABC中,|AB|=|AC|,D是BC邊上異于B,C的任意一點,求證:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.證明:如圖,以BC的中點為原點O,BC所在的直線為x軸,建立平面直角坐標系.設(shè)A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b),則|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,|AD|2=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2,|BD|·|DC|=|m+b|·|b-m|=(b+m)(b-m)=b2-m2,所以|AD|2+|BD|·|DC|=a2+b2,所以|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.(1)結(jié)合圖形的特征,建立適當?shù)淖鴺讼?為后面減少運算打下基礎(chǔ).(2)當圖形中的元素運動變化時,我們能直觀觀察到一些量的變化情況,進而可求出這些量的變化范圍.[應(yīng)用探究]已知正三角形ABC的邊長為a,在平面上求一點P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求此最小值.解