（考輪習(xí)準(zhǔn)練2020年考學(xué)擬卷三形軸匯．已知，等邊三角形過作∥AB，且CD連AC于O．（1如圖，求證：垂直平分BD；（2如圖2點(diǎn)MBC的長線上，點(diǎn)在段上且ND＝NM，連接．求證：＝．腰eq\o\ac(△,Rt)D為斜邊AB上中點(diǎn)在段上CDAHCE，垂足為H，交CD于G延長線交點(diǎn)．（1求證：△≌△．（2若點(diǎn)H恰為CE的點(diǎn)，求證：CGF＝∠．．如圖，在中AD⊥BC且BD垂直平分，交于F，BC于E．（1若＝32°，求∠C的數(shù)；（2若＝，DC，△周長．1

△△．如圖，在，∠ABC的分線相交于O，過點(diǎn)作EF∥交于F，于E，過點(diǎn)O作OD于D．（1求證：∠＝90°

∠；（2求證+BF＝；（3若＝a，+＝b請用含a的數(shù)式表示CEF的積，＝ab（直接寫出結(jié)果．如圖，在中，AB，AD邊上的中線⊥于．（1求證ADAC（2若AB，＝，求線段DE的長．（3在（）的條件下，求cos∠的．．如圖，在中，AB，AB為徑作半圓O交點(diǎn)D，交AC于．（1求證＝CD．（2若?。?，求∠的數(shù)．（3過點(diǎn)D作DF于，BC8，＝BF求弧長．2

．閱讀下面材料：數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問題：如圖，△ABC線，點(diǎn)E在AC上，交AD于，AE．證AC．經(jīng)過討論，同學(xué)們得到以下兩種思路：思路一如圖①，添加輔助線后依據(jù)SAS證得△ADC△，再利用＝EF以進(jìn)一步證得∠G∠＝∠AFE∠，而證明論．思路二如圖②，添加輔助線后并利用＝EF證得∠G∠＝＝∠，再依據(jù)可進(jìn)一步證得△≌GDB，從證明結(jié)論．3

完成下面問題：（1①思路一的輔助線的作法是：；②思路二的輔助線的作法是：．（2）請你給出一種不同以上兩種思路的證明方法（要求：只寫出輔助線的作法，并畫出相應(yīng)的圖形，不需要寫出證明過程．如圖，直線分與軸軸于、B兩平分交于點(diǎn)C，點(diǎn)為線段上點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE交y軸點(diǎn)，知AO＝mBO＝n，且m滿足﹣+16+|﹣2m＝0（1求、B兩的坐標(biāo)；（2若點(diǎn)D為中，求的；（3）如圖，若點(diǎn)P（x，﹣2+4）為直線AB在軸方的一點(diǎn)，點(diǎn)是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以E為角頂點(diǎn)作等腰直eq\o\ac(△,角)PEF，使點(diǎn)在第一象限，且F點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)始終相等，求點(diǎn)P坐標(biāo)．．在等邊△，線段邊的中線．動(dòng)點(diǎn)在線AM上時(shí)，以為邊在CD的方作等邊△，結(jié)．4

（1若點(diǎn)D在段上時(shí)（如圖1（填＞、＜或＝CAM＝

度；（2設(shè)直線BE與線的點(diǎn)為O①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在段AM的長線上時(shí)（如圖判斷AD與BE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；②當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上試判斷是為定值？若是請接寫出的度數(shù)；若不是，請說明理由．10數(shù)學(xué)課上，王老師出示了如下框中的題目．小明與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：（1特殊情況探結(jié)論：在等邊三角形中，當(dāng)點(diǎn)E為AB中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)延長線上EDEC1線段DB大小關(guān)系直寫出結(jié)論；（2特例啟發(fā)，解答題目王老師給出的題目中AEDB大小關(guān)系是：．理由如下：如圖，過點(diǎn)EEF∥，交于你成以下解答過程）（3拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題在△中，＝BC＝AC1；點(diǎn)E在的延長線上，AE2；點(diǎn)D在的長線上，＝，如圖，直接寫CD長．5

．定義：如果一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的兩倍，則稱這樣的三角形“倍角三角形．（1如圖，△中，＝，∠＝36°，求證：△倍角三角形；（2若△是倍角三角形A＞∠B＞∠CB＝AC求積；（3如圖，ABC外角平分線AD與的長線相交于點(diǎn)D延長CA到E，得＝AB，若AB＝BD請你找出圖中的倍角三角形，并進(jìn)行證明．12如圖，在平面直角坐標(biāo)系中＝，AC，已知兩點(diǎn)A（4，0（，D在一象限內(nèi)∠＝點(diǎn)B在線段OC上的長線與DC的長線交于點(diǎn)，與BD交于點(diǎn)．（1點(diǎn)B的標(biāo)為：；（2求點(diǎn)D的標(biāo)；（3求證＝CN．6

13如圖，在ABC中BDAC，垂足為C，且∠A＜∠C，是一動(dòng)點(diǎn)，其在上動(dòng)，連接，并過點(diǎn)作EF⊥，點(diǎn)在AB的長線上，連接DF交于點(diǎn)G（1請同學(xué)們根據(jù)以上提示，在上圖基礎(chǔ)上補(bǔ)全示意圖．（2當(dāng)與△全等，且ADFE，∠A，∠AFD，求∠的數(shù)．14如圖CP是等邊△ABC外角的平分線，點(diǎn)D在BC，以D為點(diǎn)DA為一條邊作∠ADF＝60°，另一邊交射線CP于F．（1求證＝；（2若AB，BD，DF，求y關(guān)的數(shù)解析式；（3聯(lián)結(jié)，△ADF的積為

時(shí)，求長．7

15如圖，是等邊三角形，是邊中點(diǎn)，以D頂點(diǎn)作一個(gè)的角，角的兩邊分別交直線、直線AC于M、N點(diǎn)．以點(diǎn)D為心旋轉(zhuǎn)∠MDN∠MDN的度數(shù)不變DM與垂時(shí)（如①所示證BM＝．（1如圖②當(dāng)AB不直點(diǎn)M邊上點(diǎn)在上+CNBD是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（2③DM與AB不直M在AB上在的長線上時(shí)+＝否仍然成立？若不成立，請寫出BM，CN，間的數(shù)量關(guān)系，不用證明．8

參考答案．已知，等邊三角形過作∥AB，且CD連AC于O．（1如圖，求證：垂直平分BD；（2如圖2點(diǎn)MBC的長線上，點(diǎn)在段上且ND＝NM，連接．求證：＝．（1證明：∵△ABC等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝，∵CD∥AB，且CDAB，∴CD＝＝，＝＝60°，∴BO＝，⊥BD∴AC垂平分；（2由（）知垂平分BD∴＝ND，∵ND＝，∴＝NM．腰eq\o\ac(△,Rt)D為斜邊AB上中點(diǎn)在段上CDAHCE，垂足為H，交CD于G延長線交點(diǎn)．（1求證：△≌△．（2若點(diǎn)H恰為CE的點(diǎn)，求證：CGF＝∠．9

證明）等腰eq\o\ac(△,Rt)ABC中∵點(diǎn)為邊AB上中點(diǎn)，∴CD∵＝

，CD⊥，，∴＝CD，∵CD⊥AB，∴∠ADG∠＝90°，∵⊥CE∴∠+＝90°∵∠AGD+GAD＝，又∵∠＝∠CGH∴∠GAD∠GCH，在△△和∵∠ADG∠＝90°AD＝，∠＝∠GCH∴△（（2∵⊥，點(diǎn)H為CE的點(diǎn)，∴＝，∴∠＝EAH，∵∠+＝90°，∠∠AGD＝90°，∴∠AFC∠，∵∠AGD∠CGH，10

∴∠AFC∠，即∠＝．．如圖，在中AD⊥BC且BD垂直平分，交于F，BC于E．（1若＝32°，求∠C的數(shù)；（2若＝，DC，△周長．解）ADBC，BDDE直平分AC∴AB＝EC∴∠C∠CAE，∵∠＝∴∠AED

（180°﹣）＝74°∴∠C

∠＝37°；（2由（）知：AE＝EC＝，∵＝DE，∴AB+BD+DE＝，∴△周長＝+BC+，＝AB+BD+DC+，＝2DC＝2×＝（cm．如圖，在，∠ABC的分線相交于O，過點(diǎn)作EF∥交于F，于E，過點(diǎn)O作OD于D．（1求證：∠＝90°

∠；11

CEFCECEFCE（2求證+BF＝；（3若＝a，+＝b請用含a的數(shù)式表示CEF的積，＝ab（直接寫出結(jié)果證明）OA，OB平BAC和ABC，∴，，∴∠

＝

﹣∠

﹣∠OBA

＝

＝＝＝（2∵∥AB，∴∠OAB∠AOE，∠ABO＝∠又∠OAB∠EAO，∠OBA∠，∴∠AOE∠EAO，∠BOF∠，∴AEOEBF，∴EF＝＝+；（3∵點(diǎn)O在∠的平分線上，∴點(diǎn)到AC的離等于，∴＝（+）OD故答案為：ab．

?2ba＝ab，．如圖，在中，AB，AD邊上的中線⊥于．（1求證ADAC（2若AB，＝，求線段DE的長．（3在（）的條件下，求cos∠的．12

證明）＝AC，BDCD∴⊥BC∠B∠∵⊥，∴∠DEB∠，∴△BDE．∴，∴BAAD?CA（2∵＝AC，＝，∴⊥BC在eq\o\ac(△,Rt)ADB中AD

＝＝，∵

?BD＝

?DE，∴＝

．（3∵ADB＝∠AED＝，∴∠BDE∠BAD，∴∠BDEcos＝．．如圖，在中，AB，AB為徑作半圓O交點(diǎn)D，交AC于．（1求證＝CD．（2若?。?，求∠的數(shù)．（3過點(diǎn)D作DF于，BC8，＝BF求弧長．13

（1證明：如圖，連接．∵AB是的徑，∴⊥BD．又∵＝，∴＝CD．（2解：∵弧＝，∴∠EOD．∴∠DAE∠＝25°∵由（1）知，ADBD，則∠＝，∴∠ABD＝﹣25°＝65°∵AB，∴∠C∠ABD．（3∵＝，BDCD，∴＝．設(shè)半徑OD＝x．則＝2．由AF＝3得AF＝

＝

x，BF

AB＝

x，∵⊥BDDF，∴

＝BFAB，即4

＝

xx．解得x＝．∴OB＝＝＝4，∴△OBD等邊三角形，∴∠BOD．14

∴弧BD的是：＝．．閱讀下面材料：數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問題：如圖，△ABC線，點(diǎn)E在AC上，交AD于，AE．證AC．經(jīng)過討論，同學(xué)們得到以下兩種思路：思路一如圖①，添加輔助線后依據(jù)SAS證得△ADC≌△GDB，再利用AE可進(jìn)一步證得∠G∠＝∠AFE∠，而證明論．思路二如圖②，添加輔助線后并利用＝EF證得∠G＝∠BFG∠＝∠，再依據(jù)可進(jìn)一步證得△≌GDB，從證明結(jié)論．15

完成下面問題：（1①思路一的輔助線的作法是：延長AD至，DG＝AD連接；②思路二的輔助線的作法是：作BG＝BF交AD的長線于點(diǎn)G．（2）請你給出一種不同以上兩種思路的證明方法（要求：只寫出輔助線的作法，并畫出相應(yīng)的圖形，不需要寫出證明過程解）延AD至，DG＝AD連接BG如圖①，理由如下：∵ABC中，∴＝CD，在△和GDB中

，∴△≌GDB（∴＝BG∵AE，∴∠＝，∵∠BFGGG∠，∴∠G∠BFG，∴BG＝BF，∴＝BF．故答案為：延長至點(diǎn)，DG＝，連接BG②作BG＝BF交的延長線于點(diǎn)，如圖②．理由如下：∵BG＝BF，16

∴∠G∠BFG，∵AE，∴∠EAF∠EFA，∵∠＝∠BFG∴∠G∠，在△和GDB中，∴△≌GDB（∴＝BG∴＝BF；故答案為：作BGBF交AD的長線于點(diǎn)；（2作BGACAD延長線于G，圖所示：則∠G∠，∵ABC中，∴＝CD，在△和GDB中，∴△≌GDB（∴＝BG∵AE，∴∠＝，∵∠BFGGG∠，∴∠G∠BFG，∴BG＝BF，∴＝BF．17

．如圖，直線分與軸軸于、B兩平分交于點(diǎn)C，點(diǎn)為線段上點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE交y軸點(diǎn)，知AO＝mBO＝n，且m滿足﹣+16+|﹣2m＝0（1求、B兩的坐標(biāo)；（2若點(diǎn)D為中，求的；（3）如圖，若點(diǎn)P（x，﹣2+4）為直線AB在軸方的一點(diǎn)，點(diǎn)是y軸正半軸18

上一動(dòng)點(diǎn)，以E為角頂點(diǎn)作等腰直eq\o\ac(△,角)PEF，使點(diǎn)在第一象限，且F點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)始終相等，求點(diǎn)P坐標(biāo)．解）2

﹣8n+16+|﹣m＝0，∴（﹣4+|﹣2m＝，∵（﹣42，n≥0，∴（﹣4＝0n﹣m＝，∴＝，n＝4∴點(diǎn)為（，0為，（2延長DE交軸點(diǎn)F，長FD到G使得DG＝DF連接BG設(shè)OE＝x，∵OC平∠AOB，∴∠＝∠，∵∥OC∴∠EFO∠FEO＝∠BEG＝∠＝∠AOC＝45°，∴OE＝＝x，在△ADF和△BDG中，∴△≌△（SAS∴BG＝AF＝2+x，∠G∠AFE＝，∴∠G∠BEG＝，∴BG＝BE4﹣，∴4＝，解得x＝，∴OE＝1；19

（3如2分過點(diǎn)F作FM⊥y軸點(diǎn)⊥y軸點(diǎn)設(shè)E（m∵點(diǎn)的坐標(biāo)為x，﹣2x+4∴＝x，EN＝﹣4，∵∠PEF，∴∠PEN+∠＝90°，∵⊥y軸∴∠MFE+＝90°，∴∠PEN＝∠，在△和△PEN中，∴△≌（AAS∴ME＝xFM＝＝m+2﹣4∴點(diǎn)為m﹣，m∵點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，∴+2x﹣4＝+，解得：x＝4∴點(diǎn)為（，﹣420

．在等邊△，線段邊的中線．動(dòng)點(diǎn)在線AM上時(shí)，以為邊在CD的方作等邊△，結(jié)．（1若在段上（如圖1AD＝BE填＞＜或＝＝30度（2設(shè)直線BE與線的點(diǎn)為O①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在段AM的長線上時(shí)（如圖判斷AD與BE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；②當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上試判斷是為定值？若是請接寫出的度數(shù)；若不是，請說明理由．解△ABC與都等邊三角形∴＝BC＝CE＝＝∴∠+＝DCB+BCE∴∠＝BCE．在△和BEC中21

，∴△≌BCE（SAS∴＝；∵△等邊三角形，∴∠BAC＝．∵線段AM為BC邊的中線∴∠＝∠BAC，∴∠＝．故答案為：＝，30；（2①＝BE理由如下：∵△和△都是等邊三角形∴AB，DC＝，ACB＝∠DCE，∵∠＝ACB﹣∠DCB，∠＝∠﹣，∴∠＝BCE，∴△≌BCE（SAS）∴＝．②∠是值，∠AOB，理由如下：當(dāng)點(diǎn)在段AM上時(shí)，如圖1，由①知△ACD△BCE，則∠＝∠CAD，又∠ABC＝，∴∠CBE+∠ABC＝，22

∵△等邊三角形，線段AM為邊的中線∴平∠BAC即∴∠BOA﹣30°＝．當(dāng)點(diǎn)在段AM的延長線上時(shí)，如圖，

，∵△都是等邊三角形∴＝BC＝CE＝＝∴∠ACB+∠DCB∠DCB+∠DCE∴∠＝BCE在△和BCE中，∴△≌BCE（SAS）∴∠CBE＝∠＝30°，同理可得：∠BAM＝30°∴∠BOA＝90°﹣30°60°．10數(shù)學(xué)課上，王老師出示了如下框中的題目．小明與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：（1特殊情況探索結(jié)論：在等邊三角形中當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)延長線上，且ED＝；如圖1確定線段AE與DB大小關(guān)系．請你直接寫出結(jié)論＝DB；（2特例啟發(fā)，解答題目王老師給出的題目中AEDB大小關(guān)系是：＝．由如下：23

如圖，過點(diǎn)EEF∥，交于你成以下解答過程）（3拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題在△中，＝BC＝AC1；點(diǎn)E在的延長線上，AE2；點(diǎn)D在的長線上，＝，如圖，直接寫CD長1．解）圖，過點(diǎn)EEF∥，交于F，∵△等邊三角形，∴∠AFE∠ACBABC，△AEF等邊三角形，∴∠EFCEBD＝120°＝，∵＝EC∴∠EDB＝∠ECB，＝∠，∴∠EDB∠FEC，在△和△FEC，，∴△BDE△FEC（AAS∴＝EF，24

∴AE，故答案為：＝；（2解答過程如下：如圖2，過點(diǎn)作EF∥，交于F，∵△等邊三角形，∴∠AFE∠ACBABC，△AEF等邊三角形，∴∠EFC＝∠EBD120°＝，∵＝EC∴∠EDB∠ECB，∠ECB＝∠FEC∴∠EDB∠FEC，在△和△FEC，∴△BDE△FEC（AAS∴＝EF，∴AE．故答案為：AE＝DB．（3解：分為四種情況：如圖，∵AB＝，＝2∴是的點(diǎn)，25

∵△等邊三角形，∴AB＝BC1eq\o\ac(△,，)ACE是角角根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半∴∠ACE＝，∠＝，∴∠＝ECB＝∠BEC＝，∠＝∠＝，∴∠DEB＝180°﹣﹣60°90°，即△是直角三角形．∴＝＝2（所對的直角邊等于斜邊的一半即＝1+2＝3．如圖，過作ANBC于，過E作⊥M∵等邊三角形，ECED，∴＝＝

＝，CMMD＝

CD，AN∥EM∴△BAN∽△BEM∴，∵△長是，AE＝，∴，∴＝1，∴＝﹣CN＝1﹣＝，∴CD＝＝1；如圖，26

∵∠＞EBC（∠EBC＝∠不大于120°，否則△EDC不合三角形內(nèi)角和定理，∴此時(shí)不存在＝；如圖，∵∠＜ABC，∠ECB＞∠，又∵∠ABC∠ACB＝，∴∠＞，即此時(shí)ED，∴此時(shí)情況不存在，答：的是3或1故答案為：1或3．定義：如果一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的兩倍，則稱這樣的三角形“倍角三角形．（1如圖，△中，＝，∠＝36°，求證：△倍角三角形；（2若△是倍角三角形A＞∠B＞∠CB＝AC求積；（3如圖，ABC外角平分線AD與的長線相交于點(diǎn)D延長CA到E，得＝AB，若AB＝BD請你找出圖中的倍角三角形，并進(jìn)行證明．27

（1證明：∵ABAC∴∠B＝∠，∵∠A∠B+∠C＝，∠＝，∴∠B＝∠＝72°∴∠A＝2，即△倍角三角形，（2解：∵∠＞∠B∠，∠B＝30°①當(dāng)∠B＝2∠C，得∠C，過作CH⊥直線，垂足為H可得∠＝45°，∴＝CH＝

AC4．∴＝，∴AB﹣＝﹣4，∴＝．②當(dāng)∠A＝2∠B或∠A＝2∠C時(shí)與＞∠B∠C矛盾，故不存在．綜上所述，△ABC面為．（3∵分∠，∴∠BAD∠EAD，∵AB，ADAD∴△ABD△AED（SAS28

∴∠ADE∠ADB，＝DE．又∵+AC＝，∴AE+ACBD，即CEBD∴＝DE．∴∠C∠BDE2∠ADC∴△是倍角三角形．12如圖，在平面直角坐標(biāo)系中＝，AC，已知兩點(diǎn)A（4，0（，D在一象限內(nèi)∠＝點(diǎn)B在線段OC上的長線與DC的長線交于點(diǎn)，與BD交于點(diǎn)．（1點(diǎn)B的標(biāo)為：（0，4；（2求點(diǎn)D的標(biāo)；（3求證＝CN．解）（4∴OA＝OB4，∴（，4故答案為，4（2∵（，7∴OC＝7，過點(diǎn)作DEy軸垂為E，29

∴∠＝AOC＝，∵∠＝，∴∠+BCA＝∠ECD+＝90°∴∠BCA＝∠，∴△≌COA（∴＝OC＝，EC＝＝4∴OE＝＝11∴（7，（3證明：∵BEOE﹣OB11﹣＝7∴BE，∴△是等腰直角三角形，∴∠DBE＝，∵OA＝OB∴∠OBA＝45°，∴∠DBA＝，∴∠BAN+∠ANB，∵∠＝，∴∠CDN+DNC90°，∵∠DNC＝∠ANB∴∠CDN＝∠BAN∵∠＝，∴∠＝∠DCN＝90°30

∴△DCN≌△（∴＝CN13如圖，在ABC中BDAC，垂足為C，且∠A＜∠，是一動(dòng)點(diǎn)，其在上動(dòng)，連接，并過點(diǎn)作EF⊥，點(diǎn)在AB的長線上，連接DF交于點(diǎn)G（1請同學(xué)們根據(jù)以上提示，在上圖基礎(chǔ)上補(bǔ)全示意圖．（2當(dāng)與△全等，且ADFE，∠A，∠AFD，求∠的數(shù)．解）全意圖如圖所示，（2⊥EFBDAC∴∠＝∠ADB＝90°．∵△與△全，∴ABDF，又∵＝FE∴∠ABD∠FDE，∴＝DE．在eq\o\ac(△,Rt)ABD中，ABD＝﹣∠＝60°∴∠＝60°∵∠ABD∠BDF∠，∵∠＝40°∴∠＝20°∴∠BDE∠BDF∠＝＝．∵＝DE，31

∴∠DBE∠BED＝（﹣∠）＝50°．在eq\o\ac(△,Rt)BDC中，∠C＝90°∠DBE＝﹣＝40°14如圖CP是等邊△ABC外角的平分線，點(diǎn)D在BC，以D為點(diǎn)DA為一條邊作∠ADF＝60°，另一邊交射線CP于F．（1求證＝；（2若AB，BD，DF，求y關(guān)的數(shù)解析式；（3聯(lián)結(jié)，△ADF