導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性核心知識(shí)目標(biāo)核心素養(yǎng)目標(biāo)1.理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系.2.掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法.3.會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)的圖象對(duì)其加以理解,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象素養(yǎng).進(jìn)一步理解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和其單調(diào)性的關(guān)系,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)與直觀想象素養(yǎng).知識(shí)探究·素養(yǎng)啟迪課堂探究·素養(yǎng)培育知識(shí)探究·素養(yǎng)啟迪豎直上拋一個(gè)小沙袋,沙袋的高度h是時(shí)間t的函數(shù),設(shè)為h(t),其圖象如圖所示.橫軸表示時(shí)間t,縱軸表示沙袋的高度h,設(shè)沙袋的最高點(diǎn)為A,其橫坐標(biāo)為t=t0.小沙袋從a到t0這段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)速度越來(lái)越小,從t0到b這段時(shí)間內(nèi),運(yùn)動(dòng)速度越來(lái)越大.探究:怎樣才能更深刻地研究速度變化的各區(qū)間呢?提示:我們可以利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而可研究速度變化的各個(gè)區(qū)間.情境導(dǎo)入1.函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系一般地,在區(qū)間(a,b)內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性有如下關(guān)系:知識(shí)探究增導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性f′(x)>0單調(diào)遞

.f′(x)<0單調(diào)遞

.f′(x)=0常函數(shù)減[問(wèn)題1]在區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增是f′(x)>0的什么條件?提示:必要不充分條件.[問(wèn)題2]若函數(shù)f(x)的增區(qū)間是A,且f(x)在區(qū)間B上單調(diào)遞增,那么A與B是什么關(guān)系?提示:B?A2.函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)與導(dǎo)函數(shù)值大小的關(guān)系一般地,如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大,那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得

,這時(shí)函數(shù)的圖象就比較“

”(向上或向下);反之,函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得

,函數(shù)的圖象就比較“

”.較快陡峭較慢平緩小試身手1.函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則在區(qū)間(1,3)內(nèi),有(

)(A)f′(x)>0(B)f′(x)<0(C)f′(x)=0(D)f′(x)的符號(hào)不確定解析:在區(qū)間(1,3)內(nèi),函數(shù)y=f(x)的圖象是下降的,函數(shù)單調(diào)遞減,所以f′(x)<0.故選B.B解析:由題意可知x<0或x>2時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)是增函數(shù),x∈(0,2),f′(x)<0,函數(shù)f(x)是減函數(shù).答案:(-∞,0),(2,+∞)

(0,2)3.設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),y=f′(x)的圖象如圖所示,則y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

,單調(diào)遞減區(qū)間為

.

4.若函數(shù)f(x)=x-klnx在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,則k的取值范圍是

.答案:(-∞,1]課堂探究·素養(yǎng)培育探究點(diǎn)一函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系[例1](1)設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo),y=f(x)的圖象如圖所示,則導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象可能為(

)解析:(1)由函數(shù)的圖象可知,當(dāng)x<0時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,導(dǎo)數(shù)始終為正;當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)先增后減再增,即導(dǎo)數(shù)先正后負(fù)再正,對(duì)照選項(xiàng),應(yīng)選D.(2)已知f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),f′(x)的圖象如圖所示,則f(x)的圖象只可能是(

)研究函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間關(guān)系的方法研究一個(gè)函數(shù)的圖象與其導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系時(shí),注意抓住各自的關(guān)鍵要素,對(duì)于原函數(shù),要注意其圖象在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;而對(duì)于導(dǎo)函數(shù),則應(yīng)注意其函數(shù)值在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)大于零,在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)小于零,并分析這些區(qū)間與原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是否一致.方法總結(jié)解析:(1)y=f(x)的單調(diào)變化情況為先增后減、再增再減,因此y=f′(x)的符號(hào)變化情況為大于零、小于零、大于零、小于零,四個(gè)選項(xiàng)只有A符合,故選A.即時(shí)訓(xùn)練1-1:(1)(2021·四川綿陽(yáng)期中)如果函數(shù)y=f(x)的圖象如圖,那么導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象可能是(

)解析:(2)由y=f′(x)圖象可得在(-∞,b]上f′(x)≥0,在(b,+∞)上f′(x)<0,根據(jù)原函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)系可得y=f(x)圖象在(-∞,b]上為增函數(shù),在(b,+∞)上為減函數(shù),可排除A,D,且在x=0處,f′(x)=0,即在x=0處,y=f(x)的切線的斜率為0,可排除B.故選C.(2)(2021·天津河?xùn)|區(qū)期末)若函數(shù)y=f′(x)圖象如圖所示,則y=f(x)圖象可能是(

)探究點(diǎn)二利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間角度1求不含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間[例2]求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1)f(x)=3x2-2lnx;(2)f(x)=x2·e-x;方法總結(jié)求不含參數(shù)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域.(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x).(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0),解出相應(yīng)的x的范圍.當(dāng)f′(x)>0時(shí),f(x)在相應(yīng)的區(qū)間上是增函數(shù);當(dāng)f′(x)<0時(shí),f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù).(4)結(jié)合定義域?qū)懗鰡握{(diào)區(qū)間.注意:當(dāng)單調(diào)區(qū)間有多個(gè)時(shí),不要寫(xiě)成并集,用“,”隔開(kāi)即可.解:(1)由f(x)=x+ax2+3lnx過(guò)點(diǎn)P(1,0),得1+a=0,即a=-1,所以f(x)=x-x2+3lnx.即時(shí)訓(xùn)練2-1:(2020·四川成都高二期中)已知函數(shù)f(x)=x+ax2+3lnx,曲線y=f(x)過(guò)點(diǎn)P(1,0).(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.角度2求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間方法總結(jié)求含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域.(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x).(3)解方程f′(x)=0,此時(shí)可能要對(duì)參數(shù)討論,一般有三個(gè)討論點(diǎn):(4)結(jié)合定義域,畫(huà)數(shù)軸、標(biāo)根;(5)判定方程f′(x)=0的根的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào),寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間.注意:①討論參數(shù)要全面,做到不重不漏.②若涉及分式不等式要注意通分,結(jié)合定義域化簡(jiǎn),也可轉(zhuǎn)化為二次不等式求解.即時(shí)訓(xùn)練3-1:已知函數(shù)f(x)=ax2ex-1(a≠0),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.解:f′(x)=2axex+ax2ex=axex(2+x),令f′(x)=0,則x=0或x=-2,①若a>0,當(dāng)x<-2時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)-2<x<0時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>0時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;②若a<0,當(dāng)x<-2時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)-2<x<0時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>0時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.綜上所述,當(dāng)a>0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-2)和(0,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-2,0);當(dāng)a<0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,0),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-2)和(0,+∞).探究點(diǎn)三已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍[例4](1)若函數(shù)f(x)=(x2-cx+5)ex在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)c的取值范圍是(

)(A)(-∞,2] (B)(-∞,4](C)(-∞,8] (D)[-2,4](2)已知函數(shù)f(x)=x3-ax-1為單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(2)解:由已知得f′(x)=3x2-a,因?yàn)閒(x)在(-∞,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),所以f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即a≤3x2對(duì)x∈R恒成立,因?yàn)?x2≥0,所以只需a≤0.又因?yàn)閍=0時(shí),f′(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函數(shù),所以a≤0.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,0].變式訓(xùn)練4-1:若函數(shù)f(x)=x3-ax-1的單調(diào)減區(qū)間為(-1,1),求a的值.解:由f′(x)=3x2-a,①當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)≥0,所以f(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù).變式訓(xùn)練4-2:若函數(shù)f(x)=x3-ax-1在(-1,1)上單調(diào)遞減,求a的取值范圍.方法總結(jié)(1)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減)的充要條件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a,b)上恒成立,且f′(x)在(a,b)的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.(2)已知f(x)在區(qū)間(a,b)上的單調(diào)性,求參數(shù)范圍的方法①利用集合的包含關(guān)系處理f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增(減)的問(wèn)題,則區(qū)間(a,b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集;②利用不等式的恒成立處理f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增(減)的問(wèn)題,則f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a,b)內(nèi)恒成立,注意驗(yàn)證等號(hào)是否成立.備用例題[例2]設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),將y=f(x)和y=f′(x)的圖象畫(huà)在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中,錯(cuò)誤的是(

)解析:對(duì)于A,若曲線C1為函數(shù)f(x)的圖象,由于函數(shù)在(-∞,0)內(nèi)是單調(diào)遞減的,所以f′(x)<0,因此f′(x)的圖象在x軸的下方;又函數(shù)在(0,+∞)內(nèi)是單調(diào)遞增的,因此f′(x)>0,故f′(x)的圖象在x軸的上方,因此A符合題意.同理,B,C中若C2為f(x)的圖象,C1為f′(x)的圖象也符合題意.對(duì)于D,若曲線C1為函數(shù)f′(x)的圖象,則函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)是單調(diào)遞增的,與曲線C2不相符;若曲線C2為函數(shù)f′(x)的圖象,則函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)是單調(diào)遞減的,與曲線C1不相符.故選D.[例3](1)設(shè)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù),f(-1)=0,當(dāng)x>0時(shí),xf′(x)-f(x)<0,則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(

)(A)(-∞,-1)∪(0,1) (B)(-1,0)∪(1,+∞)(C)(-∞,-1)∪(-1,0) (D)(0,1)∪(1,+∞)答案:(1)A(2)已知f(x)為R上的可導(dǎo)函數(shù),且?x∈R,均有f(x)>f′(x),則有(

)(A)e2019f(-2019)<f(0),f(2019)>e2019f(0)(B)e2019f(-2019)<f(0),f(2019)<e2019f(0)(C)e2019f(-2019)>f(0),f(2019)>e2019f(0)(D)e2019f(-2019)>f(0),f(2019)<e2019f(0)答案:(2)D(3)設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集為

.

解析:(3)借助導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0?[f(x)g(x)]′>0,所以函數(shù)y=f(x)g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增.又由題意知函數(shù)y=