8.2.2兩角和與差的正弦、正切一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)1.[2020·山東德州高一期末]sin70°cos25°-sin20°sin25°的值為 ()A.-1 B.-22 C.22 D2.已知α為銳角,cosα=55,則tanα-π4= ()A.13 B.3 C.-13 D3.已知tan(α+β)=25,tanβ-π4=14,則tanα+π4的值為 ()A.16 B.322 C.2213 4.在△ABC中,若tanB=cos(C-B)A.銳角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形5.[2021·安徽馬鞍山高一期末]已知cosπ2-α=45,sin(π+β)=-513,α∈0,π2,β∈π2,π,則sin(α+β)= ()A.-6365 B.-3365 C.3365 6.函數(shù)y=sinx+cosx+2x∈0,π2的最小值是 ()A.2-2 B.2+2C.3 D.17.(多選題)[2020·山東濰坊高一期中]若tanα,tanβ是關(guān)于x的方程x2-kx+2=0的兩個(gè)不相等的正根,則下列結(jié)論正確的是 ()A.tanα+tanβ=-k B.tan(α+β)=-k C.k>22 D.k>22或k<-228.(多選題)已知函數(shù)f(x)=32sinx+12cosx+12,則f(x)在下列區(qū)間上單調(diào)遞增的是A.4π3,7π3 B.-π6,π2C.0,π6 D.-2π3,0二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)9.[2021·江蘇吳江中學(xué)高一月考]在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P(1,4)是角α終邊上一點(diǎn),將射線OP繞坐標(biāo)原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ(0<θ<π)角后到達(dá)了3π4角的終邊,則tanθ=10.若sinθ-π6=2sinθ+π3,則tanθ=.

11.[2021·重慶南開中學(xué)高一期末]已知α,β滿足π4<α<3π4,0<β<π4,cosπ4+α=-35,sinπ4+β=1213,則sin(α-β)12.若tanθ,tanπ4-θ是關(guān)于x的方程x2+ax-3=0的兩個(gè)不等實(shí)根,則a=.

三、解答題(本大題共2小題,共20分)13.(10分)已知sinα+cosα(1)求tanα﹔(2)若tan(α-β)=1,求tan(2α-β)的值.14.(10分)在銳角三角形ABC中,sin(A+B)=35,sin(A-B)=1(1)求證:tanA=2tanB;(2)設(shè)AB=3,求AB邊上的高.15.(5分)“無字證明”就是將數(shù)學(xué)命題用簡單、有創(chuàng)意而且易于理解的幾何圖形呈現(xiàn)出來.請(qǐng)根據(jù)圖L8-2-1寫出該圖所驗(yàn)證的一個(gè)三角恒等變換公式:.

圖L8-2-116.(15分)在△ABC中,tanB+tanC+3tanBtanC=3,且3tanA+3tanB+1=tanAtanB,試判斷△ABC的形狀.8.2.2兩角和與差的正弦、正切1.C[解析]sin70°cos25°-sin20°sin25°=sin70°cos25°-cos70°sin25°=sin(70°-25°)=sin45°=22.故選C2.A[解析]∵α為銳角,cosα=55,∴sinα=255,∴∴tanα-π4=tanα-11+tanα=13.B[解析]因?yàn)閠an(α+β)=25,tanβ-π4=14,所以tanα+π4=tan(α+β)-β-π4=tan(α+β)-tanβ-π41+tan4.B[解析]在△ABC中,A+B+C=π,則tanB=cos(C-B)sinA+sin(C-B)=cosCcosB+sinCsinBsin(B∴A=π2,∴這個(gè)三角形一定是直角三角形5.B[解析]由誘導(dǎo)公式可得cosπ2-α=sinα=45,sin(π+β)=-sinβ=-513,則sinβ=513.∵α∈0,π2,β∈π2,π,∴cosα=1-sin2α=35,cosβ=-1-sin2β=-1213,則sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=45×-6.C[解析]y=sinx+cosx+2=2sinx+π4+2.∵x∈0,π2,∴x+π4∈π4,34π,∴ymin=2×22+2=7.BC[解析]因?yàn)閠anα,tanβ是關(guān)于x的方程x2-kx+2=0的兩個(gè)不相等的正根,所以Δ=k2-8>0,tanα+tanβ=k>0,tanα·tanβ=2,所以k>22,tan(α+β)=tanα+tanβ18.ACD[解析]f(x)=32sinx+12cosx+12=sinx+π6+12.令2kπ-π2≤x+π6≤2kπ+π2,k∈Z,可得2kπ-2π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z.當(dāng)k=0時(shí),函數(shù)f(x)在-2π3,π3上單調(diào)遞增.又-2π3,0?-2π3,π3,0,π6?-2π3,π3,所以C,D滿足題意.當(dāng)k=1時(shí)9.53[解析]由題意可知tanα=4,α+θ=3π4,則θ=3π4-α(0<θ<π),所以tanθ=tan3π4-α=-1-tan10.-8-53[解析]由sinθ-π6=2sinθ+π3,得sinθ-π6=2sinπ2+θ-π6=2cosθ-π6,所以tanθ-π6=2,則tanθ=tanθ-π6+π6=2+331-233=-8-53.11.5665[解析]因?yàn)棣?<α<3π4,所以π2<π4+α<π.因?yàn)?<β<π4,所以π4<π4+β<π2,所以sinπ4+α=1-cos2(π4+α)=45,cosπ4+β=1-sin2(π4+β)=513,所以sin(α-β)=sin(π4+α)-(12.-4[解析]因?yàn)閠anθ,tanπ4-θ是關(guān)于x的方程x2+ax-3=0的兩個(gè)不等實(shí)根,所以tanθ+tanπ4-θ=-a,tanθtanπ4-θ=-3,所以tanπ4=tanθ+π4-θ=tanθ+tanπ4-θ1-tanθtanπ413.解:(1)因?yàn)閟inα+cosαsinα-cosα=(2)tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]=tanα+tan(14.解:(1)證明:∵sin(A+B)=35,sin(A-B)=1∴sinAcos則sinAcosB=2cosAsinB.又A,B為銳角,∴cosB≠0,cosA≠0,∴tanA=2tanB.(2)過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D,則AB=AD+BD=CDtanA+CDtanB=CD2tanB+CDtanB=3CD2tanB.∵π2<A+B<π,sin(A+B)=35,∴cos(A+B)=-45,∴tan(A+B)=-34∴2tan2B-4tanB-1=0,tanB>0,解得即AB邊上的高為2+6.15.cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(或sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ)[解析]如圖,AC=1,∠ACB=α,∠BCE=∠ABF=β,則BC=cosα,AB=sinα,CE=cosαcosβ,BE=cosαsinβ,BF=sinαcosβ,AF=sinαsinβ,所以CD=CE-DE=CE-AF=cosαcosβ-sinαsinβ,AD=EF=BF+BE=sinαcosβ+cosαsinβ.在直角三角形ADC中,CD=cos(α+β)·AC=cos(α+β),AD=sin(α+β)·AC=sin(α+β),所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,sin(α+β