10-3相關關系、回歸分析與獨立性檢驗基礎鞏固強化1.(文)某商品銷售量y(件)與銷售價格x(元/件)負相關，則其回歸方程可能是()A.eq\o(y,\s\up6(^))＝－10x＋200 B.eq\o(y,\s\up6(^))＝10x＋200C.eq\o(y,\s\up6(^))＝－10x－200 D.eq\o(y,\s\up6(^))＝10x－200[答案]A[解析]由于銷售量y與銷售價格x成負相關，故x的系數應為負，排除B、D；又當x＝10時，A中y＝100，C中y＝－300顯然C不合實際，故排除C，選A.(理)(2012·湖南)設某大學的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關關系，根據一組樣本數據(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，則下列結論中不正確的是()A．y與x具有正的線性相關關系B．回歸直線過樣本點的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))C．若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg[答案]D[解析]本題考查線性回歸方程．D項中身高為170cm時，體重“約為”58.79，而不是“確定”，回歸方程只能作出“估計”，而非確定“線性”關系．2．(2012·東北三校模擬)某校為了研究學生的性別和對待某一活動的態(tài)度(支持和不支持兩種態(tài)度)的關系，運用2×2列聯表進行獨立性檢驗，經計算χ2＝7.069，則所得到的統(tǒng)計學結論是：有()的把握認為“學生性別與支持活動有關系”．()A．0.1% B．1%C．99% D．99.9%附：P(χ2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828[答案]C[解析]由題意得，從給出的附表中可得P(χ2≥6.635)＝0.010，又7.069∈(6.635,10.828)，所以有99%的把握性認為學生性別與支持該活動有關系，故選C.3．(2012·新課標全國，3)在一組樣本數據(x1，y1)、(x2，y2)、…、(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝eq\f(1,2)x＋1上，則這組樣本數據的樣本相關系數為()A．－1 B．0C.eq\f(1,2) D．1[答案]D[解析]樣本相關系數越接近1，相關性越強，現在所有的樣本點都在直線y＝eq\f(1,2)x＋1上，樣本的相關系數應為1.要注意理清相關系數的大小與相關性強弱的關系．4．(2012·廣州市檢測)某中學高三從甲、乙兩個班級各選出7名學生參加數學競賽，他們取得的成績(滿分100分)的莖葉圖如圖，其中甲班學生的平均分是85，乙班學生成績的中位數是83，則x＋y的值為()A.7B．8C．9D．10[答案]B[解析]由莖葉圖得，甲班學生的平均分是eq\f(78＋79＋80＋80＋x＋85＋92＋96,7)＝85，解得x＝5.因為乙班學生成績的中位數是83，故只有80＋y＝83，解得y＝3.所以x＋y＝8.故選B.5．(文)(2011·山東文，8)某產品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數據如下表廣告費用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954根據上表可得回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))為9.4，據此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為()A．63.6萬元 B．65.5萬元C．67.7萬元 D．72.0萬元[答案]B[解析]此題必須明確回歸直線方程過定點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．易求得eq\x\to(x)＝3.5，eq\x\to(y)＝42，則將(3.5,42)代入eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中得：42＝9.4×3.5＋eq\o(a,\s\up6(^))，即eq\o(a,\s\up6(^))＝9.1，則eq\x\to(y)＝9.4x＋9.1，所以當廣告費用為6萬元時銷售額為9.4×6＋9.1＝65.5萬元．(理)(2012·石家莊市二模)從某高中隨機選取5名高三男生，其身高和體重的數據如下表所示：身高x(cm)160165170175180體重y(kg)6366707274根據上表可得回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.56x＋eq\o(a,\s\up6(^))，據此模型預報身高為172cm的高三男生的體重為()A．70.09kg B．70.12kgC．70.55kg D．71.05kg[答案]B[解析]eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(160＋165＋170＋175＋180,5)＝170，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(63＋66＋70＋72＋74,5)＝69.∵回歸直線過點(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，∴將點(170,69)代入eq\o(y,\s\up6(^))＝0.56x＋eq\o(a,\s\up6(^))中得eq\o(a,\s\up6(^))＝－26.2，∴回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.56x－26.2，代入x＝172cm，則其體重為70.12kg.6．(2011·山東煙臺一模、江西吉安質檢)下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后在生產A產品過程中記錄的產量x(t)與相應的生產能耗y(t)的幾組對應數據：x3456y2.5t44.5根據上表提供的數據，求出y關于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋0.35，那么表中t的值為()A．3 B．3.15C．3.5 D．4.5[答案]A[解析]樣本中心點是(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，即(4.5，eq\f(11＋t,4))．因為回歸直線過該點，所以eq\f(11＋t,4)＝0.7×4.5＋0.35，解得t＝3.7．(2011·合肥模擬)已知x、y之間的一組數據如下表：x13678y12345對于表中數據，甲、乙兩同學給出的擬合直線分別為l1：y＝eq\f(1,3)x＋1與l2：y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)，利用最小二乘法判斷擬合程度更好的直線是________(填l1或l2)．[答案]l2[解析]用y＝eq\f(1,3)x＋1作為擬合直線時，所得y值與y的實際值的差的平方和為s1＝eq\f(7,3)；用y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)作為擬合直線時，所得y值與y的實際值的差的平方和為s2＝eq\f(1,2).∵s2<s1，故用直線y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)擬合程度更好．8．(2012·浙江調研)某工廠對一批元件進行了抽樣檢測，根據抽樣檢測后的元件長度(單位：mm)數據繪制了頻率分布直方圖(如圖)．若規(guī)定長度在[97,103)內的元件是合格品，則根據頻率分布直方圖估計這批產品的合格率是________．[答案]80%[解析]依題意，可估計這批產品的合格率是1－(0.0275×2＋0.0450)×2＝80%.9．以下四個命題：①從勻速傳遞的產品生產流水線上，質檢員每20min從中抽取一件產品進行某項指標檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；②兩個隨機變量相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于1；③在線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.2x＋12中，當解釋變量x每增加一個單位時，預報變量eq\o(y,\s\up6(^))平均增加0.2個單位；④對分類變量X與Y，它們的隨機變量χ2的觀測值k來說，k越小，“X與Y有關系”的把握程度越大．其中正確命題的序號是________．[答案]②③10．(2012·揚州模擬)為了分析某個高三學生的學習狀態(tài)，對其下一階段的學習提供指導性建議．現對他前7次考試的數學成績x、物理成績y進行分析．下面是該生7次考試的成績：數學888311792108100112物理949110896104101106(1)他的數學成績與物理成績哪個更穩(wěn)定？請給出你的證明；(2)已知該生的物理成績y與數學成績x是線性相關的，若該生的物理成績達到115分，請你估計他的數學成績大約是多少？并請你根據物理成績與數學成績的相關性，給出該生在學習數學、物理上的合理性建議．[解析](1)eq\o(x,\s\up6(－))＝100＋eq\f(－12－17＋17－8＋8＋12,7)＝100；eq\o(y,\s\up6(－))＝100＋eq\f(－6－9＋8－4＋4＋1＋6,7)＝100；∴seq\o\al(2,數學)＝eq\f(994,7)＝142，seq\o\al(2,物理)＝eq\f(250,7)，從而seq\o\al(2,數學)>seq\o\al(2,物理)，∴物理成績更穩(wěn)定．(2)由于x與y之間具有線性相關關系，根據回歸系數公式得到eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,7,x)\o\al(2,i)－7\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(497,994)≈0.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝100－0.5×100＝50，∴回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.5x＋50.當y＝115時，x＝130，即該生物理成績達到115分時，他的數學成績大約為130分．建議：進一步加強對數學的學習，提高數學成績的穩(wěn)定性，將有助于物理成績的進一步提高.能力拓展提升11.(2012·東北三校聯考)某校為了研究學生的性別和對待某一活動的態(tài)度(支持和不支持兩種態(tài)度)的關系，運用2×2列聯表進行獨立性檢驗，經計算χ2＝7.069，則所得到的統(tǒng)計學結論是：有()的把握認為“學生性別與是否支持該活動有關系”．eq\a\vs4\al(附：,)P(χ2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828A．0.1% B．1%C．99% D．99.9%[答案]C[解析]因為7.069與附表中的6.635最接近，所以得到的統(tǒng)計學結論是：有1－0.010＝0.99＝99%的把握認為“學生性別與是否支持該活動有關系”，選C.12．下列說法：①將一組數據中的每個數據都加上或減去同一個常數后，方差恒不變；②設有一個回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝3－5x，變量x增加一個單位時，y平均增加5個單位；③線性相關系數r和相關指數R2都是描述線性相關強度的量，r和R2越大，相關強度越強．④在一個2×2列聯表中，計算得χ2＝13.079，則有99%的把握確認這兩個變量間有關系．其中錯誤的個數是()A．0B．1C．2D．3本題可以參考獨立性檢驗臨界值表：P(χ2≥k0)0.500.400.250.150.10k00.4550.7081.3232.0722.706P(χ2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828[答案]C[解析]方差反映的是波動大小的量，故①正確；②中由于－5<0，故應是負相關，當x每增加1個單位時，y平均減少5個單位，∴②錯誤；相關系數r是描述線性相關強度的量，|r|越接近于1，相關性越強，在線性相關的兩個變量的回歸直線方程中，R2是描述回歸效果的量，R2越大，模型的擬合效果越好，故③錯誤；④顯然正確．13．(2012·湖南文，13)下圖是某學校一名籃球運動員在五場比賽中所得分數的莖葉圖，則該運動員在這五場比賽中得分的方差為________.(注：方差s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2－(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]，其中eq\o(x,\s\up6(－))為x1，x2，…，xn的平均數)[答案]6.8[解析]本題考查莖葉圖、方差的概念．由莖葉圖知eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(8＋9＋10＋13＋15,5)＝11，∴s2＝eq\f(1,5)[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.814．(2011·遼寧文，19)某農場計劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種(分別稱為品種甲和品種乙)進行田間試驗．選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙．(1)假設n＝2，求第一大塊地都種植品種甲的概率；(2)試驗時每大塊地分成8小塊，即n＝8，試驗結束后得到品種甲和品種乙在各小塊地的每公頃產量(單位：kg/hm2)如下表：品種甲403397390404388400412406品種乙419403412418408423400413分別求出品種甲和品種乙的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差；根據試驗結果，你認為應該種植哪一品種？附：樣本數據x1，x2，…，xn的樣本方差s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，其中eq\x\to(x)為樣本平均數．[解析](1)設第一大塊地中的兩小塊地編號為1,2，第二大塊地中的兩小塊地編號為3,4.令事件A＝“第一大塊地都種品種甲”．從4塊小地中任選2小塊地種植品種甲的基本事件共6個：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．而事件A包含1個基本事件：(1,2)．所以P(A)＝eq\f(1,6).(2)品種甲的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差分別為：eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,8)(403＋397＋390＋404＋388＋400＋412＋406)＝400seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)(32＋(－3)2＋(－10)2＋42＋(－12)2＋02＋122＋62)＝57.25.品種乙的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差分別為：eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,8)(419＋403＋412＋418＋408＋423＋400＋413)＝412.seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)(72＋(－9)2＋02＋62＋(－4)2＋112＋(－12)2＋12)＝56.由以上結果可以看出，品種乙的樣本平均數大于品種甲的樣本平均數，且兩品種的樣本方差差異不大，故應該選擇種植品種乙．15．(2011·福建普通高中質檢)某中學將100名高一新生分成水平相同的甲、乙兩個“平行班”，每班50人．陳老師采用A、B兩種不同的教學方式分別在甲、乙兩個班級進行教改實驗．為了了解教學效果，期末考試后，陳老師分別從兩個班級中各隨機抽取20名學生的成績進行統(tǒng)計，作出莖葉圖如下．記成績不低于90分者為“成績優(yōu)秀”．(1)在乙班樣本中的20個個體中，從不低于86分的成績中隨機抽取2個，求抽出的兩個均“成績優(yōu)秀”的概率；(2)由以上統(tǒng)計數據填寫下面列聯表，并判斷是否有90%的把握認為：“成績優(yōu)秀”與教學方式有關.甲班(A方式)乙班(B方式)總計成績優(yōu)秀成績不優(yōu)秀總計附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(此公式也可寫成χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)P(χ2≥k)0.250.150.100.050.025k1.3232.0722.7063.8415.024[解析](1)設“抽出的兩個均‘成績優(yōu)秀’”為事件A.從不低于86分的成績中隨機抽取2個的基本事件為(86,93)，(86,96)，(86,97)，(86,99)，(86,99)，(93,96)，(93,97)，(93,99)，(93,99)，(96,97)，(96,99)，(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共15個．而事件A包含基本事件：(93,96)，(93,97)，(93,99)，(93,99)，(96,97)，(96,99)，(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共10個．所以所求概率為P(A)＝eq\f(10,15)＝eq\f(2,3).(2)由已知數據得甲班(A方式)乙班(B方式)總計成績優(yōu)秀156成績不優(yōu)秀191534總計202040根據列聯表中數據，χ2＝eq\f(40×1×15－5×192,6×34×20×20)≈3.137，由于3.137>2.706，所以有90%的把握認為“成績優(yōu)秀”與教學方式有關．16．(文)某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此作了四次試驗，得到的數據如下：零件的個數x(個)2345加工的時間y(小時)2.5344.5(1)在給定的坐標系中畫出表中數據的散點圖；(2)求出y關于x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，并在坐標系中畫出回歸直線；(3)試預測加工10個零件需要多少時間？(注：b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－)))[解析](1)散點圖如圖．(2)由表中數據得eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝52.5，eq\o(x,\s\up6(－))＝3.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝3.5，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝54，∴b＝0.7.∴a＝1.05.∴eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋1.05.回歸直線如圖所示．(3)將x＝10代入回歸直線方程得，y＝0.7×10＋1.05＝8.05(小時)，∴預測加工10個零件需要8.05小時．(理)(2012·河南新鄉(xiāng)、許昌、平頂山調研)在某醫(yī)學實驗中，某實驗小組為了分析某藥物用藥量與血液中某種抗體水平的關系，選取六只實驗動物進行血檢，得到如下資料：動物編號123456用藥量x(單位)134568抗體指標y(單位)3.43.73.84.04.24.3記s為抗體指標標準差，若抗體指標落在(eq\o(y,\s\up6(－))－s，eq\o(y,\s\up6(－))＋s)內，則稱該動物為有效動物，否則稱為無效動物．研究方案規(guī)定先從六只動物中選取兩只，用剩下的四只動物的數據求線性回歸方程，再對被選取的兩只動物數據進行檢驗．(1)求選取的兩只動物都是有效動物的概率；(2)若選取的是編號為1和6的兩只動物，且利用剩余四只動物的數據求出y關于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.17x＋a，試求出a的值；(3)若根據回歸方程估計出的1號和6號動物抗體指標數據與檢驗結果誤差都不超過抗體指標標準差，則認為得到的線性回歸方程是可靠的．試判斷(2)中所得線性回歸方程是否可靠．參考公式：樣本數據x1，x2，…，xn的標準差：S＝eq\r(\f(1,n)[x1－\o(x,\s\up6(－))2＋x2－\o(x,\s\up6(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up6(－))2])，其中eq\o(x,\s\up6(－))為樣本平均數．[解析](1)eq\o(y,\s\up6(－))＝3.9，s≈0.31.故1、6號為無效動物，2、3、4、5號為有效動物．記從六只動物中選取兩只為事件A.所有可能結果為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15種．滿足題意的有(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共6種．故P(A)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).(2)對于2、3、4、5號動物，eq\o(x,\s\up6(－))＝4.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝3.925，代入eq\o(y,\s\up6(^))＝0.17x＋a得a＝3.16.(3)由eq\o(y,\s\up6(^))＝0.17x＋3.16得eq\o(y,\s\up6(^))1＝3.33，eq\o(y,\s\up6(^))6＝4.52.誤差e1＝0.07，e6＝0.22，均比標準差s≈0.31小，故(2)中回歸方程可靠．1．(2011·濟南模擬)對于回歸分析，下列說法錯誤的是()A．在回歸分析中，變量間的關系是非確定性關系，因此因變量不能由自變量唯一確定B．線性相關系數可以是正的或負的C．回歸分析中，如果r＝±1，說明x與y之間完全線性相關D．樣本相關系數r∈(－1,1)[答案]D[解析]∵相關系數|r|≤1，∴D錯．2．(2012·湖北武漢市訓練)已知一個樣本容量為10的樣本數據，它們組成一個公差不為0的等差數列{an}，若a3＝8，且a1，a3，a7成等比數列，則此樣本的平均數和中位數分別是()A．13,12 B．13,13C．12,13 D．13,14[答案]B[解析]設數列{an}的公差為d，由a1，a3，a7成等比數列，得aeq\o\al(2,3)＝a1a7，則82＝(8－2d)(8＋4d)，解得d＝0(舍去)或d＝2.故a1＝a3－2d＝4，an＝a1＋(n－1)d＝2n＋2.故此樣本數據的平均數為eq\f(a1＋a2＋…＋a10,10)＝eq\f(104＋22,2×10)＝13，中位數為eq\f(a5＋a6,10)＝eq\f(12＋14,2)＝13.3．有甲、乙兩個班級進行數學考試，按照大于等于85分的優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績，得到如下所示的列聯表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10b乙班c30總計105已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為eq\f(2,7)，則下列說法正確的是()參考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)附表：P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828A.列聯表中c的值為30，b的值為35B．列聯表中c的值為15，b的值為50C．根據列聯表中的數據，若按95%的可靠性要求，能認為“成績與班級有關系”D．根據列聯表中的數據，若按95%的可靠性要求，不能認為“成績與班級有關系”[答案]C[解析]由題意知，成績優(yōu)秀的學生數是30，成績非優(yōu)秀的學生數是75，所以c＝20，b＝45，選項A、B錯誤．根據列聯表中的數據，得到K2＝eq\f(105×10×30－20×452,55×50×30×75)≈6.109>3.841，因此有95%的把握認為“成績與班級有關系”，選項C正確．4．某市居民2005～2009年家庭年平均收入x(單位：萬元)與年平均支出Y(單位：萬元)的統(tǒng)計資料如下表所示：年份20052006200720082009收入x11.512.11313.315支出Y6.88.89.81012根據統(tǒng)計資料，居民家庭平均收入的中位數是________，家庭年平均收入與年平均支出有________線性相關關系．[答案]13正[解析]找中位數時，將樣本數據按大小順序排列后奇數個時中間一個是中位數，而偶數個時須取中間兩數的平均數，由統(tǒng)計資料可以看出，年平均收入增多時，年平均支出也增多，因此兩者正相關．5．考察黃煙經過藥物處理跟發(fā)生青花病的關系，得到如下數據，在試驗的470珠黃煙中，經過藥物處理的黃煙有25珠發(fā)生青花病，60株沒有發(fā)生青花?。唇涍^藥物處理的有185株發(fā)生青花病，200株沒有發(fā)生青花病，試推斷藥物處理跟發(fā)生青花病是否有關系．[解析]由已知得到下表經藥物處理未經藥物處理合計患青花病25185210無青花病60200260合計85385470根據公式k2＝eq\f(470×25×200－185×602,210×260×85×385)≈9.788.由于9.788>7.879