第二章等式與不等式2.1等式2.1.2一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系素養(yǎng)目標(biāo)·定方向課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)法解讀掌握等式的性質(zhì)及常用的恒等式，會用因式分解法解一元二次方程．求解一元二次方程的方法：利用等式性質(zhì)及恒等關(guān)系式求解，進而探求解方程的方法.必備知識·探新知關(guān)鍵能力·攻重難課堂檢測·固雙基素養(yǎng)作業(yè)·提技能必備知識·探新知1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解集基礎(chǔ)知識思考2：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解題時，需要注意什么條件？提示：先把方程化為ax2＋bx＋c＝0的形式，然后驗證，是否滿足a≠0，Δ＝b2－4ac≥0這兩個條件，同時滿足這兩個條件才能用根與系數(shù)關(guān)系解題．1．用配方法解方程x2－2x－5＝0時，原方程應(yīng)變形為(

)A．(x＋1)2＝6

B．(x＋2)2＝9C．(x－1)2＝6

D．(x－2)2＝9解析：因為x2－2x－5＝x2－2x＋1－6＝0，所以(x－1)2＝6.C

基礎(chǔ)自測解析：公式法解一元二次方程只能解標(biāo)準(zhǔn)形式的方程．D

3

(－∞，4]

－2

關(guān)鍵能力·攻重難

用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笙铝蟹匠痰慕饧?1)x2－2x－8＝0；(2)2x2－7x＋6＝0；(3)(x－1)2－2x＋2＝0.思路探究：根據(jù)方程的特征，合理選用配方法、公式法或因式分解法解方程．求一元二次方程的解集類型一典例剖析典例1解析：(1)方法一：移項，得x2－2x＝8，配方，得(x－1)2＝9，由此可得x－1＝±3，∴x1＝4，x2＝－2，∴方程的解集為{－2,4}．方法二：原方程可化為(x－4)(x＋2)＝0，∴x－4＝0或x＋2＝0，∴x1＝4，x2＝－2，∴方程的解集為{－2,4}．②移項：把常數(shù)項移至方程右邊，將方程化為x2＋px＝－q的形式；③配方：方程兩邊同時加上“一次項系數(shù)一半的平方”，使方程左邊成為含有未知數(shù)的完全平方形式，右邊是一個常數(shù)，把方程化為(x＋m)2＝n(n≥0)的形式；④用直接開平方法解變形后的方程．(3)因式分解法①平方差公式法；②完全平方公式法；③提取公因式法；④十字相乘法．1．求下列方程的解集：(1)4x2－4x－1＝0；(2)x2－7x＋10＝0.對點訓(xùn)練(2)∵x2－7x＋10＝(x－2)(x－5)，∴原方程可化為(x－2)(x－5)＝0，從而可知x－2＝0或x－5＝0，即x＝2或x＝5.∴方程的解集為{2,5}．

已知關(guān)于x的一元二次方程x2－mx－3＝0.(1)對于任意的實數(shù)m，判斷方程根的情況，并說明理由；(2)若x＝－1是這個方程的一個根，求m的值和方程的另一個根．思路探究：(1)根據(jù)判別式的意義判斷根的情況；(2)根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系求方程的另一個根．一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用類型二典例剖析典例2解析：(1)Δ＝m2－4×1×(－3)＝m2＋12，∵m2≥0，∴Δ>0，∴方程有兩個不相等的實根．(2)設(shè)方程的另一個根為x2，∴－1×x2＝－3，解得x2＝3.∵－1＋3＝m，∴m＝2.歸納提升：一元二次方程根的情況1．一元二次方程的判別式方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為實數(shù)，且a≠0)：當(dāng)Δ＝b2－4ac>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝b2－4ac＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝b2－4ac<0時，方程沒有實數(shù)根．2．(1)已知實數(shù)x1，x2滿足x1＋x2＝7，x1x2＝12，則以x1，x2為根的一元二次方程是(

)A．x2－7x＋12＝0

B．x2＋7x＋12＝0C．x2＋7x－12＝0

D．x2－7x－12＝0對點訓(xùn)練A

已知關(guān)于x的方程x2－(k－1)x＋k＋1＝0的兩個實數(shù)根的平方和等于4，求實數(shù)k的值．錯因探究：本題在求出k＝5或k＝－1后，容易忽略對Δ＝b2－4ac的檢驗．忽略Δ＝b2－4ac≥0而導(dǎo)致錯誤易混易錯警示典例剖析典例3誤區(qū)警示：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是以一元二次方程有兩個實數(shù)根為前提條件的．利用根與系數(shù)的關(guān)系解答問題時，只有在Δ≥0的前提下才有意義，所以求得的字母的值要代入Δ＝b2－4ac來驗證．運用一元二次方程根與系數(shù)