11.1.5旋轉(zhuǎn)體課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.了解圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的定義.2.了解柱體、錐體、臺(tái)體之間的關(guān)系.3.知道這四種幾何體的結(jié)構(gòu)特征,能識(shí)別和區(qū)分這些幾何體.4.了解圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積與側(cè)面積公式,球的表面積公式.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥舉世聞名的比薩斜塔是意大利的一個(gè)著名景點(diǎn).它的構(gòu)造從外形上看是由八個(gè)圓柱組合成的一個(gè)幾何體,我們周圍的很多建筑物和它一樣,也都是由一些簡單圖形通過旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體構(gòu)成.常見的旋轉(zhuǎn)體有圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球等,這些幾何體分別是由什么圖形旋轉(zhuǎn)而成的呢?激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)一:圓柱、圓錐、圓臺(tái)1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)圓柱可看成以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體;圓錐可看成以直角三角形一直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體;圓臺(tái)可看成以直角梯形垂直于底邊的腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將直角梯形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥用類似上述圓柱、圓錐、圓臺(tái)的形成方式構(gòu)成的幾何體都是旋轉(zhuǎn)體,其中,旋轉(zhuǎn)軸稱為旋轉(zhuǎn)體的軸,在軸上的邊(或它的長度)稱為旋轉(zhuǎn)體的高,垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面稱為旋轉(zhuǎn)體的底面,不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面.而且,無論旋轉(zhuǎn)到什么位置,不垂直于軸的邊都稱為母線.在旋轉(zhuǎn)體中,通過軸的平面所得到的截面通常簡稱為軸截面.由圓柱、圓錐、圓臺(tái)的形成方式可以看出,三者的軸截面分別是矩形、等腰三角形、等腰梯形.顯然,圓臺(tái)可以看成平行于圓錐底面的平面截圓錐所得到的幾何體.旋轉(zhuǎn)體側(cè)面的面積稱為旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,側(cè)面積與底面積之和稱為旋轉(zhuǎn)體的表面積(或全面積).激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考1圓柱、圓錐和圓臺(tái)這三類幾何體能通過平面圖形形成嗎?提示:能,這三類幾何體都是旋轉(zhuǎn)體,可以分別通過矩形、直角三角形、直角梯形繞一特定軸旋轉(zhuǎn)形成.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考2將圓柱、圓錐和圓臺(tái)的側(cè)面沿它們的一條母線剪開,在平面上展開得到它們的側(cè)面展開圖分別是什么圖形?請畫出來.提示:將圓柱、圓錐和圓臺(tái)的側(cè)面沿它們的一條母線剪開,然后在平面上展開,側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形和扇環(huán),如圖所示.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥

2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的相關(guān)特征

圓柱圓錐圓臺(tái)圖形表示圓柱O1O圓錐SO圓臺(tái)O1O底面兩底面平行且半徑相等的圓面圓面兩底面是平行且半徑不相等的圓面激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥

圓柱圓錐圓臺(tái)母線平行且相等相交于頂點(diǎn)延長線交于一點(diǎn)平行于底面的截面與兩底面平行且半徑相等的圓面平行于底面且半徑不相等的圓面與兩底面平行且半徑不相等的圓面矩形等腰三角形等腰梯形激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥3.幾種幾何體的表面積公式

圖形表面積公式圓柱底面積:S底=πr2側(cè)面積:S側(cè)=2πrl表面積:S=2πrl+2πr2圓錐底面積:S底=πr2側(cè)面積:S側(cè)=πrl表面積:S=πrl+πr2圓臺(tái)上底面面積:S上底=πr'2下底面面積:S下底=πr2側(cè)面積:S側(cè)=πl(wèi)(r+r')表面積:S=π(r'2+r2+r'l+rl)激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微判斷(1)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面.(

)(2)用平面去截圓錐,一定得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái).(

)答案:(1)√

(2)×激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)1圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為3和4,母線長為6,則其表面積等于(

)

A.72 B.42π

C.67π D.72π答案:C解析:S表=π(32+42+3×6+4×6)=67π.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)2下列圖形中是圓柱的序號(hào)為

.

答案:②解析:由圓柱的幾何特征知②為圓柱.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)3如圖所示,已知圓錐SO的母線長為5,底面直徑為8,則圓錐SO的高h(yuǎn)=

.

答案:3激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)4若圓柱OO'的底面半徑r=2cm,母線長l=3cm,則圓柱OO'的表面積等于

cm2.

答案:20π解析:S表=2πr(r+l)=2π×2×(2+3)=20π(cm2).激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)二:球1.球的相關(guān)概念球面可以看成一個(gè)半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面;球面圍成的幾何體,稱為球.球也是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體.形成球面的半圓的圓心稱為球的球心,連接球面上一點(diǎn)和球心的線段稱為球的半徑,連接球面上兩點(diǎn)且通過球心的線段稱為球的直徑.一個(gè)球可以用表示它的球心的字母來表示,如球O.由球面的形成過程可看出,球面可以看成空間中到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.球的截面是一個(gè)圓面(圓及其內(nèi)部).球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓稱為球的大圓,被不經(jīng)過球心的平面截得的圓稱為球的小圓.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥2.球的表面積設(shè)球的半徑為R,則球的表面積S=4πR2,即球的表面積等于它的大圓面積的4倍.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)1球的任意兩條直徑不具有的性質(zhì)是(

)A.相交 B.互相平分C.互相垂直 D.都經(jīng)過球心答案:C解析:球的任意兩條直徑相交、互相平分、都經(jīng)過球心,不一定互相垂直.故選C.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)2有下列說法:①球的半徑是連接球面上任意一點(diǎn)與球心的線段;②球的直徑是連接球面上任意兩點(diǎn)的線段;③用一個(gè)平面截一個(gè)球,得到的是一個(gè)圓.其中說法正確的序號(hào)是

.

答案:①解析:利用球的結(jié)構(gòu)特征判斷:①正確;②不正確,因?yàn)橹睆奖剡^球心;③不正確,因?yàn)榈玫降氖且粋€(gè)圓面.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征例1判斷下列各命題是否正確.①一直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周,所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺(tái);②圓錐、圓臺(tái)中過軸的截面是軸截面,圓錐的軸截面是等腰三角形,圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形;③空間中到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合是球.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:①錯(cuò)誤.直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是由一個(gè)圓柱與一個(gè)圓錐組成的簡單組合體,如圖所示.②正確.③錯(cuò)誤.應(yīng)為球面.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練

1(1)給出下列說法:①圓柱的底面是圓面;②經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個(gè)矩形面;③圓臺(tái)的任意兩條母線的延長線可能相交,也可能不相交;④夾在圓柱的兩個(gè)截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體.其中正確的是

.(填序號(hào))

(2)(2020河北博野中學(xué)高一開學(xué)考試)將直角梯形繞其一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周,所得的幾何體可能是(

)A.棱錐 B.棱臺(tái)C.球 D.圓臺(tái)探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案:(1)①②

(2)D解析:(1)①正確;②正確;③不正確,圓臺(tái)的母線延長相交于一點(diǎn);④不正確,夾在圓柱兩個(gè)平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉(zhuǎn)體,其他的兩截面間的幾何體不是旋轉(zhuǎn)體.(2)由旋轉(zhuǎn)體的定義,將直角梯形繞其垂直底邊的邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周,形成的幾何體是圓臺(tái).故選D.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測旋轉(zhuǎn)體中的基本計(jì)算例2如圖所示,用一個(gè)平行于圓錐SO底面的平面截這個(gè)圓錐,截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為1∶16,截去的圓錐的母線長是3.(1)求圓臺(tái)O'O的母線長;(2)若圓臺(tái)上底面的半徑為1,求該圓的表面積.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(1)設(shè)圓臺(tái)的母線長為l,由截得圓臺(tái)上、下底面面積之比為1∶16,可設(shè)截得圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為r、4r.過軸SO作截面,如圖所示.則△SO'A'∽△SOA,SA'=3.即圓臺(tái)的母線長為9.(2)若圓臺(tái)上底面的半徑為1,則下底面的半徑為4,故它的表面積為S=π(12+42+1×9+4×9)=62π.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練

2一個(gè)圓臺(tái)的母線長為12cm,兩底面的面積分別為4πcm2和25πcm2.求:(1)圓臺(tái)的高;(2)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長.解:(1)如圖,將圓臺(tái)恢復(fù)成圓錐后作其軸截面,設(shè)圓臺(tái)的高為h

cm,由條件可得圓臺(tái)上底半徑r'=2

cm,下底半徑r=5

cm.由勾股定理得探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積或表面積

(3)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10cm和20cm,它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角是180°,那么圓臺(tái)的表面積是多少?(結(jié)果中保留π)探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案:(1)A

(2)A解析:(1)由題意,母線長l=2,底面半徑為1,所以側(cè)面積為

(2)設(shè)底面圓的半徑為r,母線為l,由已知得S=πr2,又l=2πr,∴側(cè)面積S'=2πrl=4π2r2=4πS.故選A.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(3)解:如圖,設(shè)圓臺(tái)的上底面周長為c,因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角為180°,所以c=π·SA.又c=2π×10=20π,所以SA=20

cm.同理SB=40

cm,所以AB=SB-SA=20(cm).S表面積=S側(cè)+S上底+S下底=π(O1A+OB)·AB+π·O1A2+π·OB2=π(10+20)×20+π×102+π×202=1

100π(cm2).所以圓臺(tái)的表面積是1

100π

cm2.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練

3(1)圓錐的母線長為5,底面半徑為3,則其側(cè)面積等于(

)A.15 B.15π C.24π D.30π(2)圓柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為6π和4π的矩形,則圓柱的表面積為(

)A.6π(4π+3)B.8π(3π+1)C.6π(4π+3)或8π(3π+1)D.6π(4π+1)或8π(3π+2)(3)圓臺(tái)的上、下底半徑和高的比為1∶4∶4,母線長為10,則圓臺(tái)的側(cè)面積為(

)A.81π B.100π C.14π D.169π探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案:(1)B

(2)C

(3)B解析:(1)S側(cè)=πrl=π×3×5=15π.故選B.(2)圓柱的側(cè)面積S側(cè)=6π×4π=24π2.由于圓柱的底面周長和母線長不明確,因此進(jìn)行分類討論:①長為6π的邊為母線時(shí),4π為圓柱的底面周長,則2πr=4π,即r=2,∴S底=4π,∴S表=S側(cè)+2S底=24π2+8π=8π(3π+1);②長為4π的邊為母線時(shí),6π為圓柱的底面周長,則2πr=6π,即r=3.∴S底=9π,∴S表=S側(cè)+2S底=24π2+18π=6π(4π+3).故選C.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(3)圓臺(tái)的軸截面如圖,設(shè)上底半徑為r,則下底半徑為4r,高為4r.因?yàn)槟妇€長為10,所以在軸截面等腰梯形中,有102=(4r)2+(4r-r)2.解得r=2.所以S圓臺(tái)側(cè)=π(r+4r)·10=100π.故選B.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測旋轉(zhuǎn)體的截面與側(cè)面展開例4已知一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是1cm,2cm,截得圓臺(tái)的圓錐的母線長為12cm,求圓臺(tái)的母線長.解:如圖是圓臺(tái)的軸截面,由題意知AO=2

cm,A'O'=1

cm,SA=12

cm.所以AA'=SA-SA'=12-6=6(cm).所以圓臺(tái)的母線長為6

cm.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究

本例條件不變,若將此圓臺(tái)沿一條母線展開,得到一個(gè)扇環(huán)(如圖).(1)求扇環(huán)的圓心角;(2)求扇環(huán)的面積.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練

4圓臺(tái)的上底面面積為π,下底面面積為16π,用一個(gè)平行于底面的平面去截圓臺(tái),該平面自上而下分圓臺(tái)的高的比為2∶1,求這個(gè)截面的面積.解:圓臺(tái)的軸截面如圖所示,O1,O2,O3分別為上底面、下底面、截面圓心,過D作DF⊥AB于點(diǎn)F,交GH于點(diǎn)E.由題意知DO1=1,AO2=4,所以AF=3.所以圓O3的半徑為3,所以這個(gè)截面的面積為9π.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測球中的計(jì)算問題例5(1)已知A,B,C是球O上的三點(diǎn),AB=10,AC=6,BC=8,球O的半徑等于13,則球心O到△ABC所在小圓的距離為

.

探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案:(1)12

(2)D解析:(1)因?yàn)锳B=10,AC=6,BC=8,所以△ABC為直角三角形且AB為點(diǎn)A,B,C所在小圓的直徑.所以r=5.軸截面圖如圖,所以d2=R2-r2=132-52=122.所以球心O到△ABC所在小圓的距離為12.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(2)如圖,設(shè)截面圓的圓心為O',M為截面圓上任一點(diǎn),探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

解決有關(guān)球的問題時(shí)常用到的性質(zhì)(1)用任意平面截球所得的截面是一個(gè)圓面,球心和截面圓圓心的連線與這個(gè)截面垂直.(2)若分別用R和r表示球的半徑和截面圓的半徑,用d表示球心到截面的距離,則R2=r2+d2.球的有關(guān)計(jì)算問題,常歸結(jié)為解這個(gè)直角三角形問題.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(1)答案:9π探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(2)解:作出圓錐及其內(nèi)切球的軸截面,如圖,設(shè)底面圓半徑為r,母線長為l,因?yàn)閳A錐側(cè)面積是底面積的2倍,所以πrl=2πr2,解得l=2r,故∠ADC=30°,圓錐的軸截面為正三角探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測旋轉(zhuǎn)體中的最短長度問題典例如圖,圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為5cm和10cm,母線長AB=20cm,從圓臺(tái)母線AB的中點(diǎn)M處拉一條繩子繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)A.求:(1)繩子的最短長度;(2)在繩子最短時(shí),上底圓周上的點(diǎn)到繩子的最短距離.思路分析求幾何體表面最短路徑問題一般是把側(cè)面展開,轉(zhuǎn)化為平面幾何知識(shí)求解.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(1)如圖,將圓臺(tái)側(cè)面展開,則繩子的最短長度即為側(cè)面展開圖中A1M的長度,設(shè)∠AOA1=n°,則由已知及弧長公式得探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(2)如圖,過點(diǎn)O作OQ⊥A1M于點(diǎn)Q,交弧BB1于點(diǎn)P,則PQ為所求最短距離.因?yàn)镺A1·OM=A1M·OQ,即40×30=50·OQ,所以O(shè)Q=24

cm,所以PQ=OQ-OP=OQ-OB=24-20=4(cm),即上底圓周上的點(diǎn)到繩子的最短距離為4

cm.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法點(diǎn)睛求解旋轉(zhuǎn)體表面上距離最短問題,要“化曲為直”,這一點(diǎn)與多面體的“化折為平”相似,體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想,即將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來處理.探究一探究二探究三探究