由面積產(chǎn)生的函數(shù)關系問題例1 2013年菏澤市中考第21題3如圖1,△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，點A、C分別是一次函數(shù)y=-3%+3的圖像與y軸、x軸的交點，點B在二次函數(shù)y=112+bx+c的圖像上，且該二次函數(shù)圖像上存在一點D使四邊形ABCD能構成平行四邊形.(1)試求b、c的值，并寫出該二次函數(shù)的解讀式；(2)動點P從A到D,同時動點Q從C到A都以每秒1個單位的速度運動，問：①當P運動到何處時，由PQXAC?②當P運動到何處時，四邊形PDCQ的面積最??？此時四邊形PDCQ的面積是多少？動感體驗請打開幾何畫板文件名“13菏澤21”，拖動點P由A向D運動，觀察S隨P變化的圖像，可以體驗到，當S最小時，點Q恰好是AC的中點.請打開超級畫板文件名“13菏澤21”，拖動點P由A向D運動，觀察S隨P變化的圖像,可以體驗到，當S最小時，點Q恰好是AC的中點.思路點撥.求拋物線的解讀式需要代入B、D兩點的坐標，點B的坐標由點C的坐標得到，點D的坐標由AD=BC可以得到..設點P、Q運動的時間為t,用含有t的式子把線段AP、CQ、AQ的長表示出來..四邊形PDCQ的面積最小，就是4APQ的面積最大.滿分解答3(1)由y=-—%+3，得A(0,3),C(4,0).由于B、C關于OA對稱，所以B(—4,0),BC=8.因為AD//BC,AD=BC,所以D(8,3).將B(—4,0)、D(8,3)分別代入y=-x2+bx+c,得\ 40+c0,將B(—4,0)、8 |8+8b+c=3.解得b=-4,c=—3.所以該二次函數(shù)的解讀式為y=1x2-4x-3.(2)①設點P、Q運動的時間為t.如圖2,在^APQ中，AP=t,AQ=AC—CQ=5—t,cosZPAQ=cosZACO=4.TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 333由于S=AP-QH=-AP-AQsin/PAQ=—t(5-1)x=——12+—t,△APQ2 2 2 5 10 2△ACD-AD.OA=-x8x3=12,2△ACD3 3 3 5 81所以S=S -S =12-(--12+3t)=—(t-5)2+81.四邊形PDCQ△ACD△APQ 10 2 10 2 8\o"CurrentDocument"5 81所以當AP=5時，四邊形PDCQ的最小值是81.2 8考點伸展如果把第(2)①題改為“當P運動到何處時，4APQ是直角三角形？”除了PQXAC這種情況，還有QPXAD的情況.AP4t4 20這時AP=4，所以-L-=4.解得t='(如圖4所示).AQ5 5-15 9圖4例22012年廣東省中考第22題如圖1,拋物線J=1%2-3%-9與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，聯(lián)結BC、AC22(1)求AB和OC的長；(2)點E從點A出發(fā)，沿x軸向點B運動(點E與點A、B不重合)，過點E作BC的平行線交AC于點D.設AE的長為m,^ADE的面積為s,求s關于m的函數(shù)關系式，并寫出自變量m的取值范圍；(3)在(2)的條件下，聯(lián)結CE,求4CDE面積的最大值；此時，求出以點E為圓心，與BC相切的圓的面積(結果保留n).圖1圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“12廣東22”，拖動點E由A向B運動，觀察圖象，可以體驗到，△ADE的面積隨m的增大而增大，4CDE的面積隨m變化的圖象是開口向下的拋物線的一部分，E在AB的中點時，4CDE的面積最大.思路點撥1.△ADE與4ACB相似，面積比等于對應邊的比的平方.2.4CDE與4ADE是同高三角形，面積比等于對應底邊的比.滿分解答13 1(1)由y=—%2——％-9=—(%+3)(%-6)，得A(—3,0)、B(6,0)、C(0,—9).22 2所以AB=9,OC=9.(2)如圖2,因為DE//CB,所以AADEs^ACB.所以—)2所以—)2.ABAACBAE=m,1 81AE=m,而S=AB-OC=—AACB2 2所以s=S =(3^)2xSAADE AB KACBm的取值范圍是0Vm<9.圖m的取值范圍是0Vm<9.圖2圖3CD9—mADm(3)如圖2,因為DE//CB,所以CD=BE=9CD9—mADm因為^CDE與^ADE是同高三角形，所以SCDESAADE所以SACDETOC\o"1-5"\h\z9—m 1 1 9 1/ 9、 所以SACDE x—m2=——m2+—m=——(m——)2h \o"CurrentDocument"m 2 2 2 2 2 8當m=9時，^CDE的面積最大，最大值為812 8此時E是AB的中點，BE=9.2如圖3,作EH^CB,垂足為H.在RtABOC中，OB=6,OC=9,在RtABEH中，EH=BE-sinB=9x3^3=27%’13.2 13 26當。E與BC相切時，r=EH.所以S=兀r2=729兀.52考點伸展在本題中，4CDE與4BEC能否相似？如圖2,雖然NCED=NBCE,但是NB>NBCANNECD,所以4CDE與4BEC不能相似.例32012年河北省中考第26題如圖1,圖2,在4ABC中，AB=13,BC=14,cos/ABC=5-.13探究如圖1,AH±BC于點H,貝°AH= ,AC= ,△ABC的面積S^abc= .拓展如圖2,點D在AC上（可與點A、C重合），分別過點A、C作直線BD的垂線，垂足為E、F.設BD=x,AE=m,CF=n.（當點D與點A重合時，我們認為S.=0）△ABD（1）用含x,m或n的代數(shù)式表示Saabd及Sacbd；（2）求（m+n）與x的函數(shù)關系式，并求（m+n）的最大值和最小值；（3）對給定的一個x值，有時只能確定唯一的點D,指出這樣的x的取值范圍.發(fā)現(xiàn)請你確定一條直線，使得A、B、C三點到這條直線的距離之和最?。ú槐貙懗鲞^程）,并寫出這個最小值．動感體驗請打開幾何畫板文件名“12河北26”，拖動點D由A向C運動，觀察（m+n）隨x變化的圖象，可以體驗到，D到達G之前，（m+n）的值越來越大；D經(jīng)過G之后，（m+n）的值越來越小.觀察圓與線段AC的交點情況，可以體驗到，當D運動到G時（如圖3）,或者點A在圓的內(nèi)部時（如圖4）,圓與線段AC只有唯一的交點D.答案探究AH=12,AC=15,Saabc=84.拓展(1)S=—mx,S =—nx.△ABD2 △CBD2(2)由S=S+S 得mxnx+n-nx=84.所以m+n=坦^.△ABC △ABD △CBD22 x

由于AC邊上的高BG由于AC邊上的高BG 56，所以x的取值范圍是56WxW14.所以(m+n)的最大值為15,最小值為12.x的取值范圍是x=56或13<xW14.發(fā)現(xiàn)A、B、C三點到直線AC的距離之和最小發(fā)現(xiàn)A、B、C三點到直線AC的距離之和最小最小值為56.5例42011年淮安市中考第28題如圖1,在Rt△ABC中，NC=90°,AC=8,BC=6,點P在AB上，AP=2.點E、F同時從點P出發(fā)，分別沿PA、PB以每秒1個單位長度的速度向點A、B勻速運動，點E到達點A后立刻以原速度沿AB向點B運動，點F運動到點B時停止，點E也隨之停止.在點E、F運動過程中，以EF為邊作正方形EFGH使它與4ABC在線段AB的同側.設E、F運動的時間為t秒(t>0),正方形EFGH與4ABC重疊部分的面積為S.(1)當t=1時，正方形EFGH的邊長是；當t=3時，正方形EFGH的邊長是(2)當1<tW2時，求S與t的函數(shù)關系式；(3)直接答出：在整個運動過程中，當t為何值時，S最大？最大面積是多少?圖1圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“11淮安28”，拖動點F由P向B運動，可以體驗到，點E在向A運動時，正方形EFGH越來越大，重疊部分的形狀依次為正方形、五邊形、直角梯形；點E折返以后，正方形EFGH的邊長為定值4,重疊部分的形狀依次為直角梯形、五邊形、六邊形、五邊形.在整個運動過程中，S的最大值在六邊形這個時段.請打開超級畫板文件名“11淮安28”，拖動點F由P向B運動，可以體驗到，點E在向A運動時，正方形EFGH越來越大，重疊部分的形狀依次為正方形、五邊形、直角梯形；點E折返以后，正方形EFGH的邊長為定值4,重疊部分的形狀依次為直角梯形、五邊形、六邊形、五邊形.在整個運動過程中，S的最大值在六邊形這個時段.思路點撥.全程運動時間為8秒,最好的建議就是在每秒鐘選擇一個位置畫8個圖形,這叫做磨刀不誤砍柴工..這道題目的運算太繁瑣了,如果你的思路是對的,就堅定地、仔細地運算,否則放棄也是一種好的選擇.

滿分解答(1)當t=1時，EF=2；當t=3時，EF=4.(2)①如圖1,當0V/W—時，EF=2t.所以S=412.11②如圖2,當6-VtW6時，EF=EH=2t，AE=2-1，NE=3AE=3(2-1).TOC\o"1-5"\h\z11 5 4 4\o"CurrentDocument"3 113于是NH=EH-NE=21--(2-1)=—t--，1 1 4 2 2(11 3\2S△NHQ二-NHxQH=-HHx-NH二一NH2= S△NHQ2 2 3 3 314 2)2(11一2(11一t--I42)252411十2③如圖3,③如圖3,當6VtW2時，5EF=4,AE=t-2,AF=t+2.33所以S二S-33所以S二S-S 二一AF2--AE2=3t.△AFM △AEN8 8圖2(3)如圖4,圖5,圖6,圖3 圖4圖7,重疊部分的最大面積是圖6所示的六邊形EFNDQN,S考點伸展第(2)題中t的臨界時刻是這樣求的：如圖8,當H落在AC上時，AE=2-1,EH=EF=21，由2-=3，得t=—2-14 11如圖9,當G落在AC上時，AF=2+1,GF=EF=2t，由工=3，得t=6，2+14 5圖8圖9圖8圖9例52011年山西省中考第26題如圖1,在平面直角坐標系中，四邊形OABC是平行四邊形.直線l經(jīng)過0、C兩點，點A的坐標為(8,0)，點B的坐標為(11,4)，動點P在線段0A上從0出發(fā)以每秒1個單位的速度向點A運動，同時動點Q從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度沿A-B-C的方向向點C運動，過點P作PM垂直于x軸，與折線0—C—B相交于點M.當P、Q兩點中有一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設點P、Q運動的時間為t秒(t>0),4MPQ的面積為S.(1)點C的坐標為，直線l的解讀式為；(2)試求點Q與點M相遇前S與t的函數(shù)關系式，并寫出相應的t的取值范圍.(3)試求題(2)中當t為何值時，S的值最大？最大值是多少？圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“11山西26”，拖動點P由0向A運動，可以體驗到，點Q先到達終點.從S隨t變化的跟蹤軌跡可以看到，整個運動過程中，S隨t變化的圖象是“N”字型，由四段組成．請打開超級畫板文件名“11山西26”，拖動點P由0向A運動，可以體驗到，點Q先到達終點.點擊按鈕“函數(shù)表達式”，S隨t先增大后減少。當t=2.67時，S=14.22.思路點撥.用含有t的式子表示線段的長，是解題的關鍵..第(2)題求S與t的函數(shù)關系式，容易忽略M在0C上、Q在BC上的情況.

3．第(2)題建立在第(2)題的基礎上，應用性質判斷圖象的最高點，運算比較繁瑣．滿分解答(1)點C的坐標為(3,4),直線l的解讀式為V=4%.3(2)①當M在OC上，Q在AB上時，0<tW5.2在Rt△OPM中，OP=t,tan/OMP-43在Rt△AQE中，AQ=2t,cos/qae-3所以PM所以AE61 1在Rt△OPM中，OP=t,tan/OMP-43在Rt△AQE中，AQ=2t,cos/qae-3所以PM所以AE61 1于是PE=8+61-1-8+-1.因止匕S--PE-PM-4——t36——t521615②當M在OC上,因為BQ=21—5Q在BC上時，5<tW3.2所以PF-11-1-(21-5)-16-3t.1 32因止匕S--PF-PM--212+—t.③當M、Q相遇時，根據(jù)P、Q的路程和t+21-11+5,因此當M、Q都在BC上，相遇前，3<tW16，PM=4,3MQ=16-1—21=16—3t.1所以S-2MQ.PM--6t+32.圖2圖4圖3(3)①當0<tW5時2因為拋物線開口向上，16一12H——15 32t-15(t+20)2160.3在對稱軸右側，S隨t的增大而增大,TOC\o"1-5"\h\z所以當t-5時，S最大，最大值為85.2 65 32 8 128②當一<tW3時，S--212+1--2(t—)2+ 2 3 39因為拋物線開口向下，所以當t-8時，S最大，最大值為128.39③當3<tW136時，S—2MQ-PM--61+32.因為S隨t的增大而減小，所以當t-3時，S最大，最大值為14.綜上所述，當t--時，S最大，最大值為128.39

考點伸展第(2)題中，M、Q從相遇到運動結束，S關于t的函數(shù)關系式是怎樣的?1MQ=t+2t-16=3t-16.因此匕S=-MQ.PM=61—32.圖5圖5例62011年重慶市中考第26題如圖1,矩形ABCD中，AB=6,BC=2<3，點O是AB的中點，點P在AB的延長線上，且BP=3.一動點E從O點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿OA勻速運動，到達A點后，立即以原速度沿AO返回；另一動點F從P點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線PA勻速運動，點E、F同時出發(fā)，當兩點相遇時停止運動，在點E、F的運動過程中，以EF為邊作等邊△EFG,使4EFG和矩形ABCD在射線PA的同側.設運動的時間為t秒(后0).(1)當?shù)冗?EFG的邊FG恰好經(jīng)過點C時，求運動時間t的值；(2)在整個運動過程中，設等邊4EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S,請直接寫出S與t之間的函數(shù)關系式和相應的自變量t的取值范圍；(3)設EG與矩形ABCD的對角線AC的交點為H,是否存在這樣的t,使4AOH是等腰三角形？若存在，求出對應的t的值；若不存在，請說明理由. 圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“11重慶26”，拖動點A由P向A運動，可以體驗到，重疊部分的形狀依次為直角梯形、五邊形、等腰梯形和等邊三角形，S隨t變化的圖象分為四段；觀察4AOH的形狀，可以體驗到，4AOH有5個時刻成為等腰三角形.請打開超級畫板文件名“11重慶26”，拖動點t,當t=1時，F(xiàn)G恰好經(jīng)過點C。重疊部分的形狀依次為直角梯形、五邊形、等腰梯形和等邊三角形，這說明S隨t變化的圖象需要分四段進行分析；觀察4AOH的形狀，可以體驗到，4AOH有5個時刻成為等腰三角形.思路點撥

.運動全程6秒鐘，每秒鐘選擇一個點F畫對應的等邊三角形EFG,思路和思想以及分類的規(guī)范盡在圖形中．.用t表示OE、AE、EF、AH的長，都和點