快速搶答?。?！普遍的光振動(dòng)的復(fù)振幅表達(dá)式：U(P)=a(P)e

jj(P)光強(qiáng)分布:I=UU*球面波的復(fù)振幅表示（三維空間）：(P(x,y,z))0zyx源點(diǎn)S(rk球面波的復(fù)振幅表示（x-y

平面）：z對(duì)給定平面是常量隨x,y變化的二次位相因子球面波特征位相快速搶答！?。。ɡm(xù)）平面波的復(fù)振幅（三維空間）：線性位相因子常量振幅平面波的復(fù)振幅(在與原點(diǎn)相距為z

的平面上):光波的數(shù)學(xué)描述

平面波的空間頻率-信息光學(xué)中最基本的概念空間頻率的單位:cm-1,mm-1,周/mm,條數(shù)/mm等空間頻率的正負(fù):表示傳播方向與x(或y)軸的夾角小于或大于90在給定的座標(biāo)系,任意單色平面波有一組對(duì)應(yīng)的fx和fy,它僅決定于光波的波長(zhǎng)和傳播方向.反之,給定一組fx和fy,對(duì)于給定波長(zhǎng)的單色平面波就能確定其傳播方向cosa

=lfx,cosb

=lfy

要與光的時(shí)間頻率嚴(yán)格區(qū)分開空間是有形的,比時(shí)間更具體,更直觀.在xy

平面上的復(fù)雜的復(fù)振幅分布可以分解為許多簡(jiǎn)單的周期分布,即復(fù)雜的光振動(dòng)可以分解成許多簡(jiǎn)單平面波的疊加.二維F.T.在光學(xué)上的意義:光波的數(shù)學(xué)描述

平面波的空間頻率-信息光學(xué)中最基本的概念這樣平面波的復(fù)振幅即平面波方程可以寫為

:三個(gè)空間頻率不能相互獨(dú)立：因此

在任一距離z的平面上的復(fù)振幅分布，由在z=0平面上的復(fù)振幅和與傳播距離及方向有關(guān)的一個(gè)復(fù)指數(shù)函數(shù)的乘積給出。這說明了傳播過程對(duì)復(fù)振幅分布的影響，已經(jīng)在實(shí)質(zhì)上解決了最基礎(chǔ)的平面波衍射問題

§2-2復(fù)振幅分布的角譜及角譜的傳播

1、復(fù)振幅分布的角譜

AngularSpectrumofComplexAmplitudeDistribution即:把U(x,y,z)看作不同空間頻率的一系列基元函數(shù)exp[j2p(fxx+fyy)]

之和,各分量的疊加權(quán)重是A(fx,fy,z).

稱為x-y平面上復(fù)振幅分布的頻譜對(duì)在z處的x-y平面上單色光場(chǎng)的復(fù)振幅分布U(x,y,z)作傅里葉變換:物理上,exp[j2p(fxx+fyy)]

代表傳播方向余弦為cosa=lfx,cosb=lfy

的單色平面波在xy平面的復(fù)振幅分布,U(x,y,z)是不同平面波分量分布的線性疊加.每個(gè)分量的相對(duì)振幅和初位相由頻譜A(fx,fy,z)決定.其逆變換為：§2-2復(fù)振幅分布的角譜及角譜的傳播

1、復(fù)振幅分布的角譜根據(jù)可將頻譜函數(shù)A(fx,fy,z)用表示各平面波傳播方向的角度為宗量：稱為xyz平面上復(fù)振幅分布的角譜,表示不同傳播方向(a,b)的單色平面波的振幅(|A|)和初位相(arg{A})角譜是xyz平面上復(fù)振幅分布U(x,y,z)的空間頻譜,其空間頻率宗量用傳播矢量的方向余弦表示復(fù)振幅分布的角譜：例在x-y平面上,光場(chǎng)復(fù)振幅分布為余弦型:可以分解為:U(x,y)的空間頻譜函數(shù):U(x,y)的空間角譜函數(shù):復(fù)振幅分布的角譜

第一步:寫出屏的透過率函數(shù)t(x,y):第二步:寫出入射波的復(fù)振幅分布U0(x,y,0)

單位振幅的單色平面波垂直入射照明,U0(x,y,0)=1第三步:寫出緊靠屏后平面上的透射光場(chǎng)復(fù)振幅分布U

(x,y,0)U

(x,y,0)=U0(x,y,0)t(x,y)=t(x,y)第四步:求出U(x,y,0)的頻譜A(fx,fy,0)第五步:利用將A(fx,fy,0)改寫成角譜z§2-2復(fù)振幅分布的角譜及角譜的傳播

2、平面波角譜的傳播

PropagationofPlane-WaveAngularSpectrum光場(chǎng)分布U0(x,y,0)光場(chǎng)分布U

(x,y,z)孔徑平面（z=0）P(x,y,0)觀察平面（z=z）P(x,y,z)U0(x,y,0)與U

(x,y,z)的關(guān)系如何？——傳播的問題先找到相應(yīng)的角譜A(fx,fy,0)和A(fx,fy,z)之間的關(guān)系——角譜的傳播角譜是xy平面上復(fù)振幅分布U(x,y)的空間頻譜,其空間頻率宗量用傳播矢量的方向余弦表示按角譜的觀點(diǎn):孔徑平面和觀察平面上的光場(chǎng),均看成許多不同方向傳播的單色平面波分量的線性組合.每一平面波的相對(duì)振幅和位相取決于相應(yīng)的角譜2、平面波角譜的傳播

角譜是傳播距離z的函數(shù)在孔徑平面(x,y,

0)的光場(chǎng)U0(x,y,

0):傳播距離z后到達(dá)z=z平面,光場(chǎng)變化為U(x,y,z),A是空間頻率(角度)的函數(shù),同時(shí)是z的函數(shù).傳播的效應(yīng)體現(xiàn)為角譜由變化為

.2、平面波角譜的傳播

思路:找出并求解A滿足的對(duì)z的微分方程,

從而得到角譜隨z變化的函數(shù)關(guān)系對(duì)任何x,y,z

均應(yīng)成立,故代入亥姆霍茲方程(2+k2)U(x,y,z)=0,并交換積分和微分的順序?qū)(x,y,z)的表達(dá)式2、平面波角譜的傳播

角譜沿z傳播遵循的規(guī)律方向余弦cos2a+cos2b<1的不同平面波,傳播過程中振幅不改變,但經(jīng)受不同的相移.方向余弦cos2a+cos2b=1的平面波,g=p/2,k

在xy

平面,不沿

z

軸傳播.cos2a+cos2b>1:代表倏逝波初始條件:z=0時(shí),

A=(孔徑平面).

微分方程的解為:2、平面波角譜的傳播

傳播現(xiàn)象作為線性空不變系統(tǒng)

表征系統(tǒng)頻譜特性的傳遞函數(shù)：系統(tǒng)的傳遞函數(shù):系統(tǒng)的輸出系統(tǒng)的輸入2、平面波角譜的傳播

傳播現(xiàn)象作為線性空不變系統(tǒng)

1/lfxfy0系統(tǒng)的傳遞函數(shù):把光波的傳播現(xiàn)象看作一個(gè)帶寬有限的空間濾波器。在頻率平面上的半徑為1/l的圓形區(qū)域內(nèi)，傳遞函數(shù)的模為1，對(duì)各頻率分量的振幅沒有影響。但要引入與頻率有關(guān)的相移。在這一圓形區(qū)域外，傳遞函數(shù)為零。對(duì)空域中比波長(zhǎng)還要小的精細(xì)結(jié)構(gòu)，或者說空間頻率大于1/l的信息，在單色光照明下不能沿z方向向前傳遞。光在自由空間傳播時(shí)，攜帶信息的能力是有限的?！?-2復(fù)振幅分布的角譜及角譜的傳播

3、衍射孔徑對(duì)角譜的作用

EffectofDiffractionApertureonAngularSpectrum孔徑的復(fù)振幅透過率：t(x0,y0)=1在∑內(nèi)0其它光場(chǎng)通過衍射屏后的變化：Ut(x0,y0)=Ui(x0,y0)t(x0,y0)角譜的變化：At(fx,fy)=Ai(fx,fy)T(fx,fy)F.T.由于卷積運(yùn)算具有展寬帶寬的性質(zhì)，因此，引入衍射孔徑使入射光波在空間上受到限制，其效應(yīng)就是展寬了光波的角譜?！?-2復(fù)振幅分布的角譜及角譜的傳播

3、衍射孔徑對(duì)角譜的作用Ui(x0,y0)Ut(x0,y0)例:單位振幅平面波垂直入射照明一矩孔,求角譜的變化At(fx,fy)=d(fx,fy)T(fx,fy)

=T(fx,fy)角譜展寬孔徑限制了入射波面的范圍,展寬了入射角譜故角譜的展寬就是在出射波增加了與入射光波傳播方向不同的平面波分量，即增加了一些高空間頻率的波，這就是衍射波。Ui(x0,y0)=1=absinc(afx)sinc(bfy)t(x0,y0)=rect(x0/a)rect(y0/b)(2)衍射理論要解決的問題是：光場(chǎng)中任意一點(diǎn)為P的復(fù)振幅U(P)

能否用光場(chǎng)中各源點(diǎn)的復(fù)振幅表示出來。

§2-3標(biāo)量衍射的角譜理論

幾何陰影區(qū)平面波入射衍射現(xiàn)象§2-3標(biāo)量衍射的角譜理論

1、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式1.惠更斯包絡(luò)作圖法(1678):從某一時(shí)刻的波陣面求下一時(shí)刻波陣面的方法.把波陣面上每一面元作為次級(jí)子波的中心,后一時(shí)刻的波陣面是所有這些子波的包絡(luò)面.惠更斯原理不僅能解釋光的反射和折射,也能預(yù)見光在通過簡(jiǎn)單孔徑時(shí)的衍射現(xiàn)象.但它只能判斷光的傳播方向,不能定量計(jì)算.衍射理論要解決的問題是：光場(chǎng)中任意一點(diǎn)為P的復(fù)振幅U(P)能否用光場(chǎng)中其它各點(diǎn)的復(fù)振幅表示出來。

§2-3標(biāo)量衍射的角譜理論

1、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式2.菲涅耳子波干涉說(1818):

子波間應(yīng)當(dāng)互相干涉,并且應(yīng)當(dāng)考慮不同方向子波的差異.—惠更斯-菲涅耳原理惠更斯-菲涅耳原理:

波陣面上任意未受阻擋的點(diǎn),產(chǎn)生一個(gè)與原波頻率相同的子波.此后空間任何一點(diǎn)的光振動(dòng)是這些子波疊加的結(jié)果.其數(shù)學(xué)表述為:常數(shù)幅相因子傾斜因子球面子波表達(dá)式源點(diǎn)光擾動(dòng)U(P0)ds:球面子波的振幅相干疊加觀察點(diǎn)(場(chǎng)點(diǎn))復(fù)振幅

球面子波源§2-3標(biāo)量衍射的角譜理論

1、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式原波陣面源點(diǎn)處的面元法線場(chǎng)點(diǎn)源點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離所考慮的傳播方向與面元法線的夾角源點(diǎn)成功:可計(jì)算簡(jiǎn)單孔徑的衍射圖樣強(qiáng)度分布.局限:難以確定K(q).無法引入-p/2的相移惠-菲原理基爾霍夫衍射公式基爾霍夫邊界條件§2-3標(biāo)量衍射的角譜理論

1、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式在單色點(diǎn)光源照明平面孔徑的情況下:∑P0nP’Prr'常數(shù)幅相因子1/jl自動(dòng)出現(xiàn)，K(q)函數(shù)形式確定§2-3標(biāo)量衍射的角譜理論

1、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式隨近似程度的不同,將衍射現(xiàn)象分為菲涅耳衍射和夫瑯和費(fèi)衍射.在傍軸近似下基爾霍夫衍射公式§2-3標(biāo)量衍射的角譜理論

1、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式

菲涅耳衍射公式略去(x-x0)/z和(y-y0)/z的二次以上的項(xiàng),則在振幅部分取r的一級(jí)近似,位相因子用r的二級(jí)近似,代入基爾霍夫公式,即得菲涅耳衍射公式在菲涅耳衍射公式基礎(chǔ)上再做遠(yuǎn)場(chǎng)近似，可得夫瑯禾費(fèi)衍射公式?！?-3標(biāo)量衍射的角譜理論

2、基于平面波角譜的衍射理論從頻域的角度即用平面波角譜方法來討論衍射問題

xyz平面的光場(chǎng)分布的角譜與x0y00平面角譜的關(guān)系（角譜傳播）：注意fx=cosa

/l,fy=cosb

/l

，上式可寫為:這就是衍射現(xiàn)象的頻域（角譜）表達(dá)式。

衍射現(xiàn)象的傳遞函數(shù)：§2-3標(biāo)量衍射的角譜理論

2、基于平面波角譜的衍射理論從頻域的角度即用平面波角譜方法來討論衍射問題

xyz平面的光場(chǎng)分布按其角譜展開：xyz平面的光場(chǎng)分布的角譜與x0y00平面角譜的關(guān)系（角譜傳播）：綜合得到（注意fx=cosa

/l,fy=cosb

/l):§2-3標(biāo)量衍射的角譜理論

2、基于平面波角譜的衍射理論從頻域的角度即用平面波角譜方法來討論衍射問題

xyz平面的光場(chǎng)分布與x0y00平面光場(chǎng)分布的關(guān)系：即為普遍的衍射公式。使用時(shí)需要化簡(jiǎn)。在不同的近似條件下，可以得到菲涅耳衍射公式和夫瑯禾費(fèi)衍射公式x0y0yxz§3-3標(biāo)量衍射的角譜理論

3、菲涅耳衍射公式近似條件：孔徑和觀察平面之間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于孔徑的線度

只對(duì)軸附近的一個(gè)小區(qū)域內(nèi)進(jìn)行觀察

適合于菲涅耳衍射區(qū)§3-3標(biāo)量衍射的角譜理論

3、菲涅耳衍射公式衍射公式變?yōu)椋豪酶咚购瘮?shù)的傅里葉變換和F.T.的縮放性質(zhì)：

得到菲涅耳衍射的空域表達(dá)式：§3-3標(biāo)量衍射的角譜理論

3、菲涅耳衍射公式：卷積形式菲涅耳衍射的空域表達(dá)式：可以寫為：其中,脈沖響應(yīng)函數(shù)為:或?qū)懗删矸e式:§3-3標(biāo)量衍射的角譜理論

3、菲涅耳衍射公式：F.T.形式由菲涅耳衍射的空域表達(dá)式：把指數(shù)中的二次項(xiàng)展開，還可表示為

即為菲涅耳衍射的傅里葉變換表達(dá)式：§3-3標(biāo)量衍射的角譜理論

3、菲涅耳衍射公式：頻域形式由衍射現(xiàn)象的頻域（角譜）表達(dá)式：

衍射現(xiàn)象的傳遞函數(shù)：在菲涅耳近似下，傳遞函數(shù)可寫為:得到菲涅耳衍射的頻域表達(dá)式：§3-3標(biāo)量衍射的角譜理論

菲涅耳衍射公式菲涅耳近似或傍軸近似條件:即觀察距離z滿足：孔徑的最大尺寸

觀察的最大區(qū)域

FresnelDiffraction:Summary

菲涅耳衍射的三種表示U(x0,y0) *

hF

(x,y) = U(x,y)F.T.F.T.F.T.A0(fx,fy)

HF(fx,fy) = A

(fx,fy)F.T.表達(dá)

U(x,y)F.T.空域孔徑平面 脈沖響應(yīng) 觀察平面頻域菲涅耳衍射：泰伯效應(yīng)(例題)

余弦型振幅光柵的復(fù)振幅透過率為

式中，d為光柵周期，a>b>0。觀察平面與光柵相距z。當(dāng)z分別取下列各數(shù)值時(shí)，確定單色平面波垂直照明光柵，在觀察平面上產(chǎn)生的強(qiáng)度分布。

（式中zT稱作泰伯距離）（1）（2）（3）解：采用菲涅耳衍射的頻域表達(dá)式輸入頻譜：菲涅耳衍射的傳遞函數(shù):此傳遞函數(shù)對(duì)平面波分量只引起相移菲涅耳衍射：例題—泰伯效應(yīng)

P48:2.12解：采用菲涅耳衍射的頻域表達(dá)式輸入頻譜：菲涅耳衍射的傳遞函數(shù):此傳遞函數(shù)對(duì)平面波分量只引起相移輸出頻譜：故：菲涅耳衍射：例題—泰伯效應(yīng)

P48:2.12觀察平面的復(fù)振幅分布：在泰伯距離：與原物的復(fù)振幅分布只差一個(gè)常數(shù)位相因子——自成像像強(qiáng)度分布：與原物的強(qiáng)度分布完全相同菲涅耳衍射：例題—泰伯效應(yīng)

P48:2.12自成像發(fā)生在泰伯距離的整數(shù)倍上.泰伯距離:#原物：像：

A

(fx,fy)A0(fx,fy) U(x,y)U(x0,y0) 空域觀察平面 孔徑平面 頻域review！??！菲涅耳衍射的空域與頻域表示=*脈沖響應(yīng)hF

(x,y)hF

(x,y)HF(fx,fy)傳遞函數(shù)=HF(fx,fy)Review！?。》颇苌涞腇.T.表達(dá)U(x,y)觀察平面 孔徑平面線性不變系統(tǒng)基爾霍夫衍射公式菲涅耳衍射的脈沖響應(yīng)函數(shù)（空域）菲涅耳衍射的傳遞函數(shù)（頻域）菲涅耳衍射的F.T.表達(dá)式（空域）角譜的傳播奈奎斯特間隔review?。?！§2.4夫瑯禾費(fèi)衍射與傅里葉變換

FraunhoferDiffractionandFourierTransform夫瑯和費(fèi)衍射公式及其成立的條件菲涅耳衍射的F.T.表達(dá)式:上式成立的條件:如果進(jìn)一步對(duì)系統(tǒng)施加限制,

使得則衍射過渡到夫瑯和費(fèi)衍射區(qū)d為孔徑的最大線度#§2.4夫瑯禾費(fèi)衍射與傅里葉變換

夫瑯和費(fèi)衍射公式除了一個(gè)與傳播距離z及觀察面坐標(biāo)有關(guān)的位相因子以外,在給定距離z的平面上衍射場(chǎng)的分布正比于衍射屏透射光場(chǎng)的傅里葉變換,其振幅及變換的尺度與距離z有關(guān).衍射圖樣及光強(qiáng)的分布正比于孔徑透射函數(shù)的功率譜:§2.4夫瑯禾費(fèi)衍射與傅里葉變換

夫瑯和費(fèi)衍射公式:討論夫瑯和費(fèi)衍射區(qū)的條件苛刻=632.8nm,Rmax=31mm菲涅耳衍射區(qū)z>>1.2m

夫瑯和費(fèi)衍射區(qū)要求z>>6.3m=532nm,夫瑯和費(fèi)衍射區(qū)要求z>>7.5m與菲涅耳衍射的關(guān)系菲涅耳衍射區(qū)包括了夫瑯和費(fèi)衍射區(qū)夫瑯和費(fèi)衍射是菲涅耳衍射的進(jìn)一步近似§2.4夫瑯禾費(fèi)衍射與傅里葉變換

2、一些簡(jiǎn)單孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射照明條件：振幅為A的單色平面波垂直照明孔徑：復(fù)振幅透過率孔徑函數(shù)的頻譜

t(x0,y0) T(fx,fy)F.T.屏后光場(chǎng)復(fù)振幅U(x0,y0)=A

t(x0,y0)衍射公式(觀察面的光場(chǎng)分布):我們更關(guān)心衍射圖樣的強(qiáng)度分布：#§2.4夫瑯禾費(fèi)衍射與傅里葉變換

簡(jiǎn)單孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射：圓孔方向嚴(yán)格沿z方向傳播的無窮大平面波,在受到孔徑限制后,角度展寬為q=0.61l/a.孔徑越小,角度展寬越大.AiryPattern第一暗環(huán)半徑：Dr2pa/lz=3.83,Dr=0.61lz/aDr/z=0.61l/a§2.4夫瑯禾費(fèi)衍射與傅里葉變換

簡(jiǎn)單孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射：矩孔ax/lzI/I(0)01-11中央亮斑寬度:Dx

=2lz/a,Dy

=2lz/b∴x,y方向的角展寬:孔尺寸越小,角展寬越大若b>>a,成為單縫,可僅作一維處理#§2.4夫瑯禾費(fèi)衍射與傅里葉變換

簡(jiǎn)單孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射：雙縫fxasinc(afx)01/aa*F.T.F.T.F.T.rect(x0/a)0a/2-a/21x00d/2-d/2d(x0-d/2)+d(x0-d/2)1x01x0t(x0)0d/2-d/22cos(pfxd)f02雙縫的頻譜是兩個(gè)單縫的頻譜以一定的位相關(guān)系互相干涉的結(jié)果#§2.4夫瑯禾費(fèi)衍射與傅里葉變換衍射光柵

DiffractionGratings

線光柵有限縫數(shù)的線光柵復(fù)振幅透過率函數(shù):單個(gè)狹縫有限尺寸陣列函數(shù)觀察面上的復(fù)振幅分布(忽略了常數(shù)幅相因子):分立的無限細(xì)譜線,間隔為1/d(即光柵基頻）受基元孔徑衍射的調(diào)制光柵有限尺寸引起的譜線展寬寬度為1/Lx譜線的概念:comb(dfx)的周期性結(jié)構(gòu)形成譜線,∵Lx>>d,∴1/Lx<<1/d,各譜線的sinc函數(shù)互不重疊.#§2.4夫瑯禾費(fèi)衍射與傅里葉變換

衍射光柵：線光柵強(qiáng)度分布是|T(x)|2,并附加傳播引起的振幅衰減因子若要進(jìn)行數(shù)