第六節(jié)空間向量及其運算

?最新考綱，

1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解

及其坐標(biāo)表示.

2.掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示.

3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.

4.理解直線的方向向量與平面的法向量.

5.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系.

6.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）.

?考向預(yù)測?

考情分析：本節(jié)主要考查空間向量的線性運算、數(shù)量積及其坐標(biāo)運算，利用空間向量證

明空間中的平行與垂直關(guān)系，多出現(xiàn)在解答題中的第一小問.

學(xué)科素養(yǎng)：通過空間向量的運算及數(shù)量積運算考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

積累必備知識——基礎(chǔ)落實贏得良好開端

一、必記3個知識點

1.空間向量及其有關(guān)概念

語言描述

共線向量

表示空間向量的有向線段所在的直線互相________

（平行向量）

共面向量平行于________的向量

共線向

對空間任意兩個向量a,bSWO）,存在4GR,使_________

量定理

共面向若兩個向量a,力不共線，則向量p與向量?共面=存在唯一

量定理的有序?qū)崝?shù)對（x,y）,使。=________

定理：如果三個向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量p,存

在有序?qū)崝?shù)組y,z}使得p=________

空間向量

推論：設(shè)0、4、B、C是不共面的四點，則對平面ABC內(nèi)任一點

基本定理

P都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)X,Z,使麗=赤+），麗+z前且

x+y+z=\

2.數(shù)量積及坐標(biāo)運算

（1）兩個向量的數(shù)量積：

①a仍=|a||b|cos{a,b}.

?akb^（a,b為非零向量）.

?\a\2—a2,|a|=y/x2+y2+z2.

（2）向量的坐標(biāo)運算：

a=（"i，他，〃3），b=（bi，歷，Z?3）

向量和a+b=____________

向量差a-b=____________

數(shù)量積ab—____________

共線a〃)=____________(2￡R,bWO)

垂直a_Lbo____________

夾角公式cos{a,b)—____________________

3.直線的方向向量與平面的法向量

(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線I________或

,則稱此向量a為直線/的方向向量.

(2)平面的法向量：直線La,取直線/的向量a,則向量a叫做平面a的法向量.

二、必明3個常用結(jié)論

1.向量法判斷空間中平行與垂直

(1)平行關(guān)系

線線平行：I//m<=>a//b^>a—kb,*R；

線面平行：/〃aQa_L"Q<r"=O；

面面平行：a"P0u=ku,kWR.

(2)垂直關(guān)系

線線垂直：/J_wQa_Lb<=>e》=O；

線面垂直：/J_a<=>a〃"Qa=k",%GR；

面面垂直：a_L［u>"_Lo="W=0.

2.證明空間任意三點共線的方法

對空間三點P,A,8可通過證明下列結(jié)論成立來證明三點共線.

(1)PA=2PB(AeR)；

⑵對空間任一點O,OP=OA+rAB(z￡R)；

(3)對空間任一點O,OP=xOA+yOB(x+y=l).

3.證明空間四點共面的方法

對空間四點P,M,A,B可通過證明下列結(jié)論成立來證明四點共面.

(l)MP=xMA+yMB；

(2)對空間任一點O,OP=OM+xMA+yMB；

(3)對空間任一點O,OP=A：OM+>OA+zOB(x+y+z=l)；

(4)而〃麗(或畫〃而或而〃前).

三、必練3類基礎(chǔ)題

(一)判斷正誤

1.判斷下列說法是否正確(請在括號中打“J”或“X”).

(1)空間中任意兩非零向量a,萬共面.()

(2)對于向量a,b,若ab=O,則一定有a=0或》=0.()

⑶若“2<0,則〈a,b)是鈍角.()

(4)若｛a,b,c｝是空間的一個基底，則a,b,c中至多有一個零向量.()

(5)兩不重合直線6和L的方向向量分別為5=(1，0,-1),6=(-2,0,2),則/|與

6的位置關(guān)系是平行.()

(6)已知通=(2,2,1),肥=(4,5,3),則平面4BC的單位法向量是

(7)若"2分別是平面a,夕的法向量，則"I_L"2=。J■尸.()

(二)教材改編

2.［選修2—1D98習(xí)題17改編］已知a=(—2,—3,1),b=Q,0,4),c=(—4,一6,

2),則下列結(jié)論正確的是()

A.a//c,b//cB.a//byQ_LC

C.a//c,albD.以上都不對

3.

［選修2—1下97習(xí)題T2改編］如圖所示，在平行六面體A8C￡>-A1B|G￡>|中，M為4G與

BQi的交點.若屈=a,R「=b,AAi=c,則下列向量中與的相等的向量是()

A.--a+-Z>+cB.-a+-Z>+c

2222

C.--a--Z>+cD.-a--Z>+c

2222

(三)易錯易混

4.(二面角的范囹出錯)已知兩個平面的法向量分別為，”=(0,1,0),n=(0,1,1),則

這兩個平面所成的二面角的大小為.

5.(線面角的范同出錯)已知向量加，"分別是直線/的方向向量和平面a的法向量，若

cos</n,n}=一右則/與a所成的角為.

提升關(guān)鍵能力——考點突破掌握類題通法

考點一空間向量的線性運算［基礎(chǔ)性］

1.在空間四邊形A8CD中，若熊=(-3,5,2),而=(-7,-1,-4),點E,尸分別

為線段BC,AO的中點，則彈的坐標(biāo)為()

A.(2,3,3)B.(—2,—3,—3)

C.(5,-2,1)D.(-5,2,-1)

2.如圖所示，在長方體ABCD-A|8iG。中，。為AC的中點.用屈，AD,就表示函\

則碣=.

3.

在三棱錐O-ABC中，M,N分別是OA,8c的中點，G是^ABC的重心，用基向量加,

OB,OC表示

(1)MG；

(2)OG.

反思感悟用已知向量表示未知向量的解題策略

(1)用已知向量來表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.

(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義，首尾相接的若干向量之和，等于

由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量，我們可把這個法則稱為向量加法的多邊形法

則.

(3)在立體幾何中要靈活應(yīng)用三角形法則，向量加法的平行四邊形法則在空間中仍然成立.

考點二共線、共面向量定理的應(yīng)用［綜合性］

［例1］如圖所示，已知斜三棱柱48C-4BiG，點M,N分別在AG和8c上，且滿足前

=kAC7，BN=JlBC(O<A:<l).

(1)向量而是否與向量而，詞共面？

(2)直線MN是否與平面ABB\A\平行？

聽課筆記：

反思感悟證明三點共線和空間四點共面的方法比較

三點(P,A,8)共線空間四點(M,P,A,B)共面

PA=APBMP=xMA+.yMB

對空間任一點0，OP=OA+rAB對空間任一點0,OP=OM+xMA+>'MB

對空間任一點0,OP=xOM+}OA+(l-x-

對空間任一點0,OP=xOA+(l-x)OB?

y)OB

【對點訓(xùn)練】

1.若4—1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)三點共線，則〃?+〃=.

2.已知A,8,C三點不共線，對平面ABC外的任一點0,若點M滿足而三(嬴+0B+

0C).

(1)判斷逐，MB,嬴三個向量是否共面；

(2)判斷點M是否在平面ABC內(nèi).

考點三空間向量的數(shù)量積及應(yīng)用［綜合性］

［例2］如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1,點E,F,G

分別是AB,AD,CQ的中點.

⑴求樂?BA；

(2)求前?BD.

聽課筆記：

一題多變

1.(變問題)若例2中條件不變，求證：EG±AB.

2.(變問題)若例2中條件不變，求EG的長.

3.(變問題)若例2中條件不變，求異面直線AG和CE所成角的余弦值.

反思感悟

1.空間向量數(shù)量積的計算方法

(1)定義法:設(shè)向量a,b的夾角為仇則ab=|a|步|cos9.

(2)坐標(biāo)法：設(shè)a=(xi,%,zi),b=(x2,yz,Z2),則a歷=xiX2+yi)，2+ziZ2.

2.空間向量數(shù)量積的3個應(yīng)用

設(shè)向量a,力夾角為仇則cos。=熟，進(jìn)而可求兩異面直線所成的角

求夾角|a||b|

求長度(距

利用公式⑷2=aa可將線段長度的計算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題

離)

解決垂直

利用UbQ0b=O(aWO,后0),可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題

問題

【對點訓(xùn)練】

1.在棱長為1的正四面體ABCQ中，E是BC的中點，則靠?屈=()

A.0B.-

2

2.已知空間中三點A(—2,0,2),8(—1,1,2),C(-3,0,4),設(shè)向量a=麗，b^AC,

(1)若|c|=3,且c〃前，求向量c；

(2)求向量a與向量8的夾角的余弦值；

⑶若%+5與履一2力互相垂直，求實數(shù)k的值.

考點四利用空間向量證明平行或垂直［綜合性］

[例3]

如圖，在四棱錐P-ABCD^P,底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)面以。，底面ABCD,

且必=PZ)=?。，設(shè)E,F分別為PC,8。的中點.

(1)求證：EF〃平面辦力；

(2)求證：平面B4B_L平面PDC

聽課筆記：

反思感悟

1.用向量法證平行問題的類型及常用方法

線線平行證明兩直線的方向向量共線

①證明該直線的方向向量與平面的某一法向

量垂直

②證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的

線面平行

方向向量平行

③證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩

個不共線的向量表示

①證明兩平面的法向量平行(即為共線向量)

面面平行

②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題

2.利用向量法證垂直問題的類型及常用方法

線線垂直

證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零

問題

線面垂直直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明

問題線線垂直

面面垂直

兩個平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面垂直

問題

【對點訓(xùn)練】

已知直三棱柱ABC—ABC中，AABC為等腰直角三角形，NBAC=90。，且AB=AAj,

D,E,F分別為BN，GC,BC的中點.

(1)求證：OE〃平面ABC.

(2)求證：BiF,平面AEF.

第六節(jié)空間向量及其運算

積累必備知識

1.平行或重合同一平面a=2bxa+ybxa+yb+zc

2.(1)4協(xié)=0

(2)(。1+仇，做+岳，的+優(yōu))31-仇，。2一岳，的一加)〃151+。2岳+〃3岳。1=7仇，

=勸2，的=幺岳〃仍1+。2岳+。3b3=0。1如+。2?+吧3―

Ja：+a/碼J*+b升尺

3.⑴平行重合(2)方向

*.、

I.答案：(1)J(2)X(3)X(4)X(5)V(6)J(7)J

2.解析：因為c=(—4,—6,2)—2a,所以a〃c,又。3=0,故Q_LZ>.

答案：C

3.解析：前=甌+市=踞+*而—A5)=c+；S-a)=-p+/+c.

答案：A

4.解析：cosn)=詈4=^^="，即〈m,=45°,其補角為135°,所以這

|m||n|lxV22

兩個平面所成的二面角的大小為45?；?35°.

答案：45。或135。

5.解析：'.'cos{m,n)=一號且{m,n)G[0,TT]

(m,n>=120°

即直線/和平面a的法向量所在直線的夾角為180。-120。=60。.則/與a所成的角為90。

-60°=30°.

答案：30°

提升關(guān)鍵能力

考點一

1.解析：因為點E,F分別為線段2C,AQ的中點，設(shè)。為坐標(biāo)原點，所以樂=而一麗，

OF=|(OA+OD),OE=i(OB+OC).

所以說(嬴+0D)-i(0B+0C)=1(BA+CD)

=1[(3,-5,-2)+(—7,-1,-4)]

=[(-%-6,-6)=(—2,—3,—3).

答案：B

2.解析：V0C=iAC=|(AB+AD),

0C1=0C+CC1=：(AB+AD)+AA1=：AB+；AD+AA1.

答案：|AB+|AD+AA7

3.解析：(1)標(biāo)=加+前

=-0A+-AN=iOA+-(ON-OA)

2323、

=^OA+|[1(OB+OC)-OA]

=-i0A+i0B+i0C.

633

(2)0G=0M+MG

=i0A-i0A+i0B+i0C

2633

=-0A4—OBH—OC.

333

考點二

例1解析：(1)因為前=函\前，

所以麗=加+品+就

=^C^A+AB+)tBC

=^(C^A+BC)+AB

=k(序+)+AB

=/：B7A+AB

=AB-kAB^=AB-k(AA^+AB)

=(l-k)AB-kAA^.

所以由共面向量定理知向量而與向量熊，磯共面.

(2)當(dāng)上=0時，點M,A重合，點N,8重合，在平面48BN1內(nèi)，當(dāng)04W1時，MN

不在平面4881Al內(nèi)，又由(1)知所與魂，海共面，所以MN〃平面ABBiAi.

對點訓(xùn)練

1.解析：VAB=(3,-1,1),AC=(/n+l,n~2,~2),且4,B,C三點共線，

存在實數(shù)九使得配=2通.

即(加+1,n—2,—2)=z(3,—1,1)=(3九-A,2),

m4-1=3A,

n—2=—A,解得2=—2,m=—7t〃=4.

-2=A,

?-3.

答案：一3

2.解析：(1)由已知得6X+而+玩=3而，

所以質(zhì)-OM=(OM-OB)+(OM-OC),

即加=筋+前=一而-前

所以兩，MB,前共面.

(2)由(1)知血，MB,就共面且過同一點

所以M,A,B,C四點共面，從而點”在平面ABC內(nèi).

考點三

例2解析：設(shè)品=a,AC=b,AD=c,

則同=|b|=|c|=L(。，b)=(b,c)=(%a)=60°.

(l)EF=-BD=-c--a,BA=-a,EF?BA=f-c--aY(—a)=-a2-

⑵前?BD=(EA+AD+DG)?(AD-AB)

=(-|AB+AD+AG-AD)?(AD-AB)

=(-|AB+|AC+|AD)?(AD-AB)

=(一；a+：b+]}(c-a)

=i(-ixixi+ixixi+l+l-ixixi-lXIXi)=i

2、2222，2

一題多變

1.證明：由本例知前=X前+前一源)=：(b+c-a),

所以EG?AB=|(a6+ac—a2)

=-(lX1xi+1X1xi-1)=0.

2k22)

故而J_靠，即EG±AB.

2.解析:由本例知EG=一3+，+*,|EG|2-^6r2+^Z>2+^c2—，.辦+?c—則|EG|

=四，即EG的長為四.

22

3.解析：由本例知前=/+3，CE=CA+AE=-i>+1a,

得cos〈溫源〉=器=-1.

由于異面直線所成角的范圍是(0,1],

所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為|.

對點訓(xùn)練

1.解析：AE?CD=|(AB+AC)?(AD-AC)=1(AB?AD+AC?AD-AB-AC-AC?AC)=

答案：D

2.解析：(l)；c〃前，BC=(-3,0,4)-(-1,1,2)=(-2,-1,2),

?\c=fnBC=m(—2,—1,2)=(—2加，—加，2tn).

于是

|c|=J(_2m)2+(-m)2+(2m)2

=3依|=3,

即m=土1.故c=(—2,—1,2)或c=(2,19—2).

(2)Va=(L1,0),)=(—1,0,2),

：.ab=(l91,0)*(-1,0,2)=-1,

又\a\=V124-l24-02=V2,

|ft|=V(-l)2+02+22=V5,

./\ab_1V10

..cos\a,bL)=——=-==——,

|a||b|A/1010

即向量a與向量6的夾角的余弦值為一嚕.

解析:(3)方法一'：ka+b^(k-l,k,2),

ka—2b=(攵+2,k,-4),

且ka+b與ka~2b互相垂直，

:?(k-1,k,2)?(4+2,k,-4)=(攵-1)(女+2)+3—8—0.

解之，可得％=2或k=一|.

故當(dāng)ka+b與總一2b互相垂直時,

實數(shù)上的值為2或一|.

方法二：由（2）知|a|=&,\b\=V5,ab=-\,

：?（ka+b>（ka——2b）

=3/—kab—2b2

=2必+%—10=0,

從而可解得％=2或&=一|