論文題目：血液流量問題模型

血液流量問題模型【摘要】為了研究熱血動物血流量的問題。本文通過多次建立曲線擬合模型，給出了熱血動物在各種分類下（例：小型哺乳動），體重與血流量關(guān)系以及體重與脈搏關(guān)系的擬合曲線。針對問題(1)，討論體重與基礎(chǔ)血液流量的關(guān)系。對表一數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，建立了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，該模型所建立出的曲線幾乎通過了每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，并且可以對新增數(shù)據(jù)進(jìn)行完美的預(yù)測。對于表二，本文采用了多項(xiàng)式擬合模型來描述人的體重與基礎(chǔ)血液流量的關(guān)系。根據(jù)數(shù)據(jù)擬合出了四次函數(shù)曲線。針對問題(2)，討論體重與基礎(chǔ)血液流量的關(guān)系。對表二數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，關(guān)于人的體重與脈搏建立了多項(xiàng)式擬合模型，擬合出的曲線為四次函數(shù)。對于表三針對大鳥建立了形如的函數(shù)曲線，對于表四針對小鳥建立了三次函數(shù)來擬合數(shù)據(jù)。對于表五中的哺乳動物，根據(jù)對散點(diǎn)圖觀察，本文決定將其分為大動物和小動物兩類，均建立倒指數(shù)函數(shù)曲線來對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。針對問題(3),本文將人的脈搏與基礎(chǔ)血液流量聯(lián)系起來，建立了基礎(chǔ)血流量與脈搏關(guān)系的曲線，該曲線是分段多項(xiàng)式函數(shù)。由問題(1)(2)中建立的人的體重與血流量關(guān)系的函數(shù)和體重與脈搏關(guān)系的函數(shù)重新夠成一個(gè)復(fù)合函數(shù)。經(jīng)比較發(fā)現(xiàn)兩函數(shù)圖線存在較大差異，經(jīng)分析，人的基礎(chǔ)血液流量還應(yīng)該與年齡有關(guān)，從而建立了與體重和年齡兩個(gè)因素相關(guān)的二元函數(shù)。關(guān)鍵詞：BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最小二乘法曲線擬合模型MATLAB軟件

小哺乳動物與小鳥的心跳速度比大哺乳動物與大鳥的快。如果動物的進(jìn)化為每種動物確定了最佳心跳速度，為什么各種動物的最佳心跳速度不一樣呢？由于熱血動物的熱量通過身體表面散失，所以它們要用大量的能量維持體溫，而冷血動物在休息時(shí)只需要極少的能量，所以正在休息的熱血動物似乎在維持體溫?？梢哉J(rèn)為，熱血動物可用的能量與通過肺部的血液流量成正比。（1）試建立一個(gè)模型，將體重與通過心臟的基礎(chǔ)（即休息時(shí)的）血液流量聯(lián)系起來，用下面的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)愕哪Ｐ?。?）有許多可得到脈搏數(shù)據(jù)但沒有血液流量數(shù)據(jù)的動物，建立一個(gè)模型將體重與基礎(chǔ)脈搏聯(lián)系起來，用下面的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)愕哪Ｐ?。?）在檢驗(yàn)?zāi)阍冢?）和（2）中的模型時(shí)會出現(xiàn)不一致，試進(jìn)行分析。2.問題分析針問題(1),(2)，我們用Excel對所給的五個(gè)數(shù)據(jù)表進(jìn)行處理，畫出每個(gè)表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖。通過對所得散點(diǎn)圖的分析，本文決定采用曲線擬合的最小二乘法以及BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法來解決模型建立問題。下面給出這兩種方法在做曲線擬合時(shí)的原理。2.1．曲線擬合的最小二乘法曲線擬合問題的提法是，已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上的n個(gè)點(diǎn)，互不相同，尋求一個(gè)函數(shù)（曲線），使在某種準(zhǔn)則下與所有數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近，即曲線擬合得最好。線性最小二乘法是解決曲線擬合最常用的方法，基本思路是，令（1）其中是事先選定的一組線性無關(guān)的函數(shù)，是待定系數(shù)。擬合準(zhǔn)則是使，與的距離的平方和最小，稱為最小二乘準(zhǔn)則。2.系數(shù)的確定記（2）為求使達(dá)到最小，只需利用極值的必要條件，得到關(guān)于的線性方程組即（3）記，，方程組（3）可表為：（4）當(dāng)線性無關(guān)時(shí)，列滿秩，可逆，于是方程組（4）有唯一解：2.．函數(shù)的選取面對一組數(shù)據(jù)，，用線性最小二乘法作曲線擬合時(shí)，首要的、也是關(guān)鍵的一步是恰當(dāng)?shù)剡x取。如果通過機(jī)理分析，能夠知道y與x之間應(yīng)該有怎么樣的函數(shù)關(guān)系，則容易確定。若無法知道y與x之間的關(guān)系，通?？梢詫?shù)據(jù)，作圖，直觀地判斷應(yīng)該用什么樣的曲線去作擬合，人們常用的曲線有（i）直線（ii）多項(xiàng)式（iii）雙曲線（一支）（iv）指數(shù)曲線對于指數(shù)曲線，擬合前需作變量代換，化為對的線性函數(shù)。已知一組數(shù)據(jù)，用什么樣的曲線擬合最好，可以在直觀判斷的基礎(chǔ)上，選幾種曲線分別擬合，然后比較，看哪條曲線的最小二乘指標(biāo)最小。.BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)BP網(wǎng)絡(luò)是一種單向傳播的多層前向網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)除輸入輸出節(jié)點(diǎn)外，還有一層或多層的隱層節(jié)點(diǎn)，節(jié)后如圖所示。對于輸入信號要先向前傳播到隱含層的節(jié)點(diǎn)上，經(jīng)過各單元的特性為Sigmoid型的激活函數(shù)（又稱作用函數(shù)、轉(zhuǎn)換函數(shù)或映射函數(shù)等）運(yùn)算后，把隱含節(jié)點(diǎn)的輸出信息傳播到輸出節(jié)點(diǎn)，最好給出輸出結(jié)果。BP算法網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)過程由正向和反向傳播兩部分組成。在正向傳播過程中，每一層神經(jīng)元的狀態(tài)只影響到下一層神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)。如果輸出層不能得到期望輸出，就是實(shí)際輸出值與期望輸出值之間有誤差，那么轉(zhuǎn)入反向傳播過程，將誤差信號沿原來的連接通路返回，通過修改各層神經(jīng)元的權(quán)值，逐次地向輸入層傳播去進(jìn)行計(jì)算，再進(jìn)過正向傳播過程，這兩個(gè)過程的反復(fù)運(yùn)用，使得誤差信號最小。實(shí)際上，誤差達(dá)到人們所希望的要求時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)過程就結(jié)束。BP算法步驟分兩階段：第一階段（正向過程）輸入信息從輸入層經(jīng)隱層逐層計(jì)算各單元的輸出值，第l層的第j個(gè)單元輸入為：，其中為對應(yīng)的權(quán)值；表示層，第個(gè)單元的輸出。根據(jù)下式計(jì)算第層的第個(gè)單元輸出值：第二階段（反向傳播過程）輸出誤差逐層向前算出隱層各個(gè)單元的誤差，并用此誤差修正前層的值。在BP算法中場采用梯度法修正權(quán)值，為此要求輸出函數(shù)可微，通常采用Sigmoid函數(shù)作為輸出函數(shù)。計(jì)算誤差，其中，是目標(biāo)輸出；是網(wǎng)絡(luò)輸出。定義按照梯度方向計(jì)算各層權(quán)重的修正值；其中，的計(jì)算公式為：修正各層權(quán)重，其中，為步長。重復(fù)上述過程直到算法收斂，即誤差小于給定的閾值。3.模型假設(shè)及符號的定義[1]題中所給數(shù)據(jù)真實(shí)可靠。[2]假設(shè)熱血動物的基礎(chǔ)血流量只與體重有關(guān)。[3]熱血動物的脈搏只與體重有關(guān)。[4]熱血動物可用的能量與通過肺部的血液流量成正比。3.2.符號定義：w:體重；v:基礎(chǔ)血液流量；n:每分鐘脈搏次數(shù)；t:年齡；4.模型的建立求解及檢驗(yàn)問題(1).模型一動物的基礎(chǔ)血流量與體重之間的函數(shù)采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對表一數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，利用MATLAB軟件（見附錄三程序一）得到擬合函數(shù)，擬合函數(shù)圖形如圖1所示：圖1模型檢驗(yàn)：經(jīng)計(jì)算的仿真誤差為1.1864%，所該擬合效果較好。.模型二人類的基礎(chǔ)血流量與體重之間的函數(shù)采用多項(xiàng)式擬合模型對表二數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，利用MATLAB軟件（附錄三程序二）得到擬合函數(shù)，得到四次多項(xiàng)式擬合函數(shù)為：擬合函數(shù)圖形如圖2所示：圖2模型檢驗(yàn)：表A1人的基礎(chǔ)血流量（分升/分）擬合數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù)相對誤差123335251434046由表A1可以看出每個(gè)基礎(chǔ)血流量數(shù)據(jù)的相對誤差都很小，所以該函數(shù)模型對原始數(shù)據(jù)擬合的很好。比較分析人類與動物之間的差異以上擬合出來動物和人類的函數(shù)在它們的公共定義域上的圖形如下圖3所示：圖3從圖形上可以看出人類與動物之間的差異：4.2.問題（2）模型三人類的基礎(chǔ)脈搏與體重之間的函數(shù)采用多項(xiàng)式擬合模型對表二數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，利用MATLAB軟件（附錄三程序三）得到擬合函數(shù)，得到四次多項(xiàng)式擬合函數(shù)為：擬合函數(shù)圖形如圖4所示：圖4模型檢驗(yàn)：:表A2人體脈搏（次/分）擬合數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù)相對誤差18166667316668707270由表A2可以看出每一個(gè)人體脈搏數(shù)據(jù)的相對誤差都很小，所以該函數(shù)模型對原始數(shù)據(jù)擬合的很好。.模型四小鳥的基礎(chǔ)脈搏與體重之間的函數(shù)采用多項(xiàng)式擬合模型對表三數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，利用MATLAB軟件（附錄三程序四）得到擬合函數(shù)，得到四次多項(xiàng)式擬合函數(shù)為：擬合函數(shù)圖形如圖5所示：圖5模型檢驗(yàn)：表A3小鳥脈搏（次/分）已知數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù)相對誤差615450514350135由表A3可以看出每一個(gè)小鳥的脈搏數(shù)據(jù)相對誤差都很小，所以該函數(shù)模型對原始數(shù)據(jù)擬合的很好。.模型五大鳥的基礎(chǔ)脈搏與體重之間的函數(shù)采用最小二乘法對表四數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，利用MATLAB軟件（附錄三程序五）得到擬合函數(shù)，得到擬合函數(shù)為：擬合函數(shù)圖形如圖6所示：圖6模型檢驗(yàn)：表A4大鳥的體重（克）擬合后數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)的相對誤差3881980276483101164687507966880000由表A4可以看出出第一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)外，大鳥的每一個(gè)體重?cái)?shù)據(jù)相對誤差都比較小，所以該函數(shù)模型對原始數(shù)據(jù)擬合的比較好。.模型六小哺乳動物的基礎(chǔ)脈搏與體重之間的函數(shù)采用最小二乘法對表五數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，利用MATLAB軟件（附錄三程序六）得到擬合函數(shù)，得到倒指數(shù)擬合函數(shù)為：擬合函數(shù)圖形如圖7所示：圖7模型檢驗(yàn)：表A5小動物重量（千克）擬合數(shù)據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)想對誤差由表A5可以看出，除了一個(gè)相對誤差數(shù)據(jù)比較大以外，每一種小動物重量的相對誤差數(shù)據(jù)都比較小，所以該函數(shù)模型對原始數(shù)據(jù)擬合的很好。.模型七大哺乳動物的基礎(chǔ)脈搏與體重之間的函數(shù)采用最小二乘法對表五數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，利用MATLAB軟件（附錄三程序七）得到擬合函數(shù)，得到倒指數(shù)擬合函數(shù)為：擬合函數(shù)圖形如圖8所示：圖8模型檢驗(yàn)：表A6大動物體重(千克)已知數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù)相對誤差33501000.286724155002500由表A6可以看出每一種大動物的體重相對誤差數(shù)據(jù)都比較小，所以該函數(shù)模型對原始數(shù)據(jù)擬合的很好。4.3.問題(3)模型八人的基礎(chǔ)血液流量與基礎(chǔ)脈搏之間函數(shù)采用最小二乘法對表二數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，利用MATLAB軟件（附錄三程序八）得到擬合函數(shù)，為了提高擬合效果，本模型采用分段擬合函數(shù)，得到擬合函數(shù)為：擬合函數(shù)圖形如圖9所示：圖9模型檢驗(yàn)：表A7人的基礎(chǔ)血流量（分升/分）擬合后數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)的相對誤差23335251434046由表A7可以看出每一個(gè)人的基礎(chǔ)血流量相對誤差數(shù)據(jù)都很小，所以該函數(shù)模型對原始數(shù)據(jù)擬合的很好。.模型九人的基礎(chǔ)血液流量與基礎(chǔ)脈搏之間復(fù)合擬合函數(shù)和直接擬合函數(shù)的對比由模型二和模型三所得擬合函數(shù)經(jīng)變換得到人的基礎(chǔ)血液流量與基礎(chǔ)脈搏之間復(fù)合擬合函數(shù)，函數(shù)如下：圖形比較如圖10所示：圖10分析：由上圖可以看出，兩者有較大的差異。原因是前面的假設(shè)【2】不合理，或不夠完善。所以我們假設(shè)人類的的基礎(chǔ)血液流量是體重和年齡的二元函數(shù)，用表二中的數(shù)據(jù)來擬合該函數(shù)。用二元二次多項(xiàng)式來擬合（附錄三程序九）。得到擬合函數(shù)為：模型分析：表A8人的基礎(chǔ)血流量（分升/升）擬合數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù)23515251434640數(shù)據(jù)的相對誤差由表A7可以看出人的每一個(gè)基礎(chǔ)血流量相對誤差數(shù)據(jù)都很小，所以該二元函數(shù)模型對原始數(shù)據(jù)擬合的很好。．模型的優(yōu)點(diǎn)【1】.針對表一應(yīng)用了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法進(jìn)行曲線擬合，該方法不需要知道任何先驗(yàn)知識，且擬合精度比較高。【2】.根據(jù)所做出的擬合曲線，可以對估測出某一熱血動物在某個(gè)重量下的基礎(chǔ)血液流量。從而可以避免用熱血動物進(jìn)行試驗(yàn)來測其基礎(chǔ)血液流量?！?】.對所給數(shù)據(jù)表進(jìn)行了合理的分類，針對各分類分別建立較優(yōu)的擬合模型，并用MATLAB來實(shí)現(xiàn)曲線的擬合，操作簡單?！?】.題中所給數(shù)據(jù)太少，若通過擬合出的曲線，根據(jù)體重來估計(jì)某一熱血動物的基礎(chǔ)血液流量或脈搏將會存在很大的誤差?！?】.采用最小二乘曲線擬合的方法所得到的擬合曲線形式固定，若有新增的樣本，則需建立新的曲線擬合模型?！?】.所建模型的誤差雖然已經(jīng)很小，但還是存在一定的誤差，需要嘗試更多更好的方法進(jìn)行擬合，使誤差更小的同時(shí)擬合達(dá)到更優(yōu)。

6.附件附錄一參考文獻(xiàn)：楊云升，《Matlab曲線擬合及其在試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用》，電腦有信息技術(shù)，2009年4月；熊裕文，《利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對數(shù)表進(jìn)行曲線擬合》，湖北：鄂州大學(xué)學(xué)報(bào)，2005年5月；韓中庚，宋明武，邵廣紀(jì)，《數(shù)學(xué)建模競賽》，北京：科學(xué)出版社，2007年；施麗飛,彭明婷，《差值核查法在血液學(xué)檢驗(yàn)中的應(yīng)用》，北京：臨床檢驗(yàn)雜志，2005年；附錄二表一關(guān)于某些哺乳動物的數(shù)據(jù)哺乳動物名稱兔山羊狗狗狗體重（千克）4.12416126.4基礎(chǔ)血液流量（分升/分）5.331221211表二關(guān)于人類的數(shù)據(jù)年齡5101625334760體重（千克）18316668707270基礎(chǔ)血液流量（分升/分）23335251434046脈搏（次/分）96906065687280表三關(guān)于小鳥類的數(shù)據(jù)表四關(guān)于大鳥類的數(shù)據(jù)鳥類體重（克）脈搏（次/分）鳥類體重（克）脈搏（次/分）蜂鳥4615海鷗388401鷦鷯11450雞1980312金絲雀16514禿鷹8310199麻雀28350火雞875093鴿子130135駝鳥8000065表五關(guān)于哺乳動物的數(shù)據(jù)名稱名稱小蝙蝠0.006588海豹20~25100小家鼠0.017500山羊3381倉鼠0.103347綿羊5070~80小貓0.117300豬10060~80大家鼠0.252352馬380~45034~55天竺鼠0.437269牛50046~53兔1.34251象2000~300025~50附錄三程序一：p=[4.1 24 16 12 6.4];t=[5.3 31 22 12 11];net=newff(minmax(p),[51],{'tansig''purelin'},'trainlm');inputWeights=net.IW{1,1};inputbias=net.b{1};layerWeights=net.LW{2,1};layerbias=net.b{2};net.trainParam.show=50;net.trainParam.lr=0.05;net.trainParam.mc=0.9;net.trainParam.epochs=1000;net.trainParam.goal=1*exp(-3);[net,tr]=train(net,p,t);TRAINLM,Performancegoalmet.p=[4.1:0.1:24];y=sim(net,p);plot(p,y,'-')holdonp=[4.1 24 16 12 6.4];t=[5.3 31 22 12 11];plot(p,t,'*k')p=[4.1 24 16 12 6.4];y=sim(net,p);E=t-y;MSE=mse(E)legend('神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合函數(shù)','原始數(shù)據(jù)','location','northwest')title('動物的基礎(chǔ)血液流量與體重之間函數(shù)和原始數(shù)據(jù)圖形')xlabel('體重w(千克)');xlabel('體重w(千克)');ylabel('基礎(chǔ)血液流量v(分升/分)')程序二：w=[18 31 66 68 70 72 70];v=[23 33 52 51 43 40 46];plot(w,v,'*k')holdonA=polyfit(w,v,4)w=[18:0.1:72];v=-2.4893e-005*w.^4+0.003506*w.^3-0.17275*w.^2+4.3398*w-16.978;plot(w,v,'-')legend('原始數(shù)據(jù)','四次多項(xiàng)式擬合函數(shù)','location','northwest')title('人的基礎(chǔ)血液流量與體重之間函數(shù)和原始數(shù)據(jù)圖形');xlabel('體重w(千克)');ylabel('基礎(chǔ)血液流量v(分升/分)')程序三：n=[96 90 60 65 68 72 80];w=[18 31 66 68 70 72 70];plot(n,w,'*')holdonA=polyfit(n,w,4)A=0.00035358-0.1096412.541-62811700n=[60:0.1:96];w=0.00035358*n.^4-0.10964*n.^3+12.541*n.^2-628*n+11700;plot(n,w,'-g') legend('原始數(shù)據(jù)','四次多項(xiàng)式擬合函數(shù)');title('人的基礎(chǔ)脈搏與體重之間函數(shù)和原始數(shù)據(jù)圖形');xlabel('基礎(chǔ)脈搏n(次/分)');ylabel('體重w(千克)')程序四：w=[4111628130];n=[615450514350135];plot(w,n,'*k')holdonA=polyfit(w,n,3)A=w=[0:0.1:130];n=-0.00056855*w.^3+0.15362*w.^2-14.342*w+652.51;plot(w,n,'-')legend('原始數(shù)據(jù)','三次多項(xiàng)式擬合函數(shù)');title('小鳥的基礎(chǔ)脈搏與體重之間函數(shù)和原始數(shù)據(jù)圖形');xlabel('體重w(克)');ylabel('基礎(chǔ)脈搏n(次/分)')程序五：n=[4013121999365];w=[38819808310875080000];plot(n,w,'*k')holdonx=n.^(-6)x=polyfit(x,w,1)ans=n=[65:0.1:401];x=n.^(-6);w=5.8071e+015*x+2670.5;plot(n,w,'-g')legend('原始數(shù)據(jù)','擬合函數(shù)');title('大鳥的基礎(chǔ)脈搏與體重之間函數(shù)和原始數(shù)據(jù)圖形');xlabel('基礎(chǔ)脈搏n(次/分)');ylabel('體重w(克)')程序六：n=[588500347300352269251];1.34];y=log(w);x=n.^(-1);polyfit(x,y,1)ans=a=exp(-8.3548)a=n=[240:0.1:600];w=0.00023526*exp(2099.9./n);plot(n,w,'-')holdonn=[588500347300352269251];1.34];plot(n,w,'*k')title('小哺乳動物的基礎(chǔ)脈搏與體重之間函數(shù)和原始數(shù)據(jù)圖形');xlabel('基礎(chǔ)脈搏n(次/分)');ylabel('體重w(千克)')legend('倒指數(shù)曲線','原始數(shù)據(jù)');程序七：n=[10081757044.549.537.5];w=[22.533501004155002500];plot(n,w,'*k')holdony=log(w);x=n.^(-1);polyfit(x,y,1)ans=a=exp(0.32802)a=n=[35:0.1:100];w=1.3882*exp(275.75./n);plot(n,w,'-g')title('大哺乳動物的基礎(chǔ)脈搏與體重之間函數(shù)和原始數(shù)據(jù)圖形')xlabel('基礎(chǔ)脈搏n(次/分)');ylabel('體重w(千克)')legend('倒指數(shù)曲線','原始數(shù)據(jù)');程序八：n=[96 90 60 65 68 72 80];v=[23 33 52 51 43 40 46];plot(n,v,'*')holdonn=[96 90 68 72 80];v=[23 33 43 40 46];polyfit(n,v,4)ans=0.00052318-0.1730421.294-1155.923402n=[65:0.1:96];v=0.00052318*n.^4-0.17304*n.^3+21.294*n.^2-1155.9*n+23402;plot(n,v,'-r')v=0.00052318*65^4-0.17304*65^3+21.294*65^2-1155.9*65+23402v=v=a=[60^2601;65^2651;2*6510];b=[52;53.63;-6.2488];c=inv(a)*bc=n=[60:0.1:65];v=-1.315*n.^2+164.7*n-509