專題13概率歸類

目錄

一、熱點題型歸納...............................................................................1

【題型一】互斥與對立事件..................................................................1

【題型二】獨立事件概率計算...............................................................3

【題型三】獨立事件應用：電路圖...........................................................5

【題型四】古典概型：基礎.................................................................7

【題型五】古典概型綜合...................................................................9

【題型六】概率模型1：取球模型..........................................................10

【題型七】概率模型2：傳球模型...........................................................12

【題型八】概率綜合.......................................................................13

二、最新模考題組練............................................................................15

蟠國拉支致型歸他

【題型一】互斥與對立事件

【例1】對于一個古典概型的樣本空間C和事件A,B,C,D,其中〃(Q)=60,“(4)=30,

〃(8)=10,〃(C)=20,〃⑷)=30,〃(AUB)=40,〃(4口。=10,〃(AU0=6O,則()

A.A與B不互斥B.A與￡)互斥但不對立

c.C與?；コ釪.A與C相互獨立

【答案】D

【分析】

由已知條件結合事件的運算判斷事件間的互斥、對立關系，根據(jù)尸(ACC),P(A)P(。的關系

判斷事件是否獨立.

【詳解】

由〃(A)=30,“(8)=10,"(AUB)=40,即〃(AU3)=〃(A)+〃(K),故4、8互斥，A錯誤;

n(AUD)=n(A)+n(D)=n(Q)=60,A、?；コ馇覍αⅲ珺錯誤;

又“(C)=20,“(Ano=10,則，?(￡>nc)=io,C與。不互斥，C錯誤；

〃(A)_1"(C)=1"(AcC)_1

由尸(A)=P(C)=P(AcC)=

〃(C)一2"(C)3”(C)6

所以P(AcC)=P(A)P(C),即A與C相互獨立，D正確.

故選：D

【例2】設A,B是兩個概率大于0的隨機事件，則下列論述正確的是()

A.若A,8是對立事件，則事件A,B滿足P(A)+P⑻=1

B.事件A,B,C兩兩互斥，則P(4)+P(B)+P(C)=1

C.若A和8互斥，則A和B一定相互獨立

D.P(A+B)=P(A)+P(B)

【答案】A

【分析】

A.該選項正確；B.事件A,B,C兩兩互斥，舉例說明該選項錯誤；C.若4和8互斥，則A

和8一定不相互獨立，所以該選項錯誤；D.只有當A和B互斥時，P(A+8)=P(A)+

P(8),所以該選項錯誤.

【詳解】

A.若A,8是對立事件，則事件A,8滿足尸(A)+P(B)=1,所以該選項正確；

B.事件4,B,C兩兩互斥，如：投擲一枚均勻的骰子，設人=｛向上的點數(shù)是1點｝,B=

響上的點數(shù)是2點｝,C=｛向上的點數(shù)是3點｝,則A,8,C兩兩互斥，P(A)=P(B)=P(C)=5,

PGA)+P(B)+P(C)<1,所以該選項錯誤；

C.若4和8互斥，則P(AB)=0*P(A).P(8)，則A和B一定不相互獨立，所以該選項錯誤；

D.只有當A和8互斥時，P(A+B)=P(A)+P(B),所以該選項錯誤.

故選：A

【例3】甲、乙兩個質(zhì)地均勻且完全一樣的正方體骰子,每個骰子的六個面上分別標有數(shù)字1,

2,3,4,5,6.同時拋擲這兩個骰子在水平桌面上，記事件A為“兩個骰子朝上一面的數(shù)字

之和為奇數(shù)”，事件B為“甲骰子朝上一面的數(shù)字為奇數(shù)”，事件C為“乙骰子朝上一面的數(shù)字

為偶數(shù)”，則下列結論不正確的是()

A.P(A)=P(8)=P(C)B.P(8C)=P(AC)=P(A8)

C.P(A)P(B)P(C)=1D.P(A8C)=(

【答案】D

【分析】

對于A：分別求出P(A),P(B),P(C),即可判斷；

對T-B：直接判斷出尸(BC)=P(AC)=P(A8),即可判斷；

對于C：由尸(A),P⑻,P(C)的值，即可求出尸(A).尸(5>P(C),即可判斷;

對于D：直接求出P(ABC)=(,即可判斷.

【詳解】

對于A：擲這兩個骰子，一共有6x6=36種基本事件.

1Q1

事件A發(fā)生，則兩個骰子的點數(shù)為一奇一偶，有3x3+3x3=18種，所以尸(A)=9=9；

362

3I31

因為擲骰子正面向上為奇數(shù)和偶數(shù)的方法種數(shù)相同，所以尸(8)=1=彳，P(C)=-=-.

6262

故A正確：

對于B：事件8C,事件AC,事件A8均表示甲為奇數(shù)，乙為偶數(shù)，所以

P(BC)=P(AC)=P(砌.故B正確;

對于C：因為尸(A)=g,P(B)=g,P(C)=；，所以尸(4>P(8)/(C)=

,故C

正確；

3x31

對TD：事:件ABC表示甲朝上一面為奇數(shù)，乙朝上一面為偶數(shù)，故P(A6c)=三二二；,故

6x94

D錯誤.

故選：D

【例4】口袋中裝有編號為①、②的2個紅球和編號為①、②、③、④、⑤的5個黑球，小

球除顏色、編號外形狀大小完全相同，現(xiàn)從中取出1個小球，記事件A為“取到的小球的編

號為②”，事件8為“取到的小球是黑球”，則下列說法正確的是()

A.A與8互斥B.A與8對立C.P(A+B)=1D.P(AB)=?

【答案】C

【分析】

利用互斥事件、對立事件的意義判斷A,B：利用古典概率求出立A),P(B),P(AB)判斷C,

D作答.

【詳解】

依題意，取到的小球為黑球且編號為②，事件A與8同時發(fā)生，則A與8不互斥，也不對立，

A,B都不正確；

9c1x

由古典概率得：P(A)=-,P(B)=-,P(AB)),于是得P(A+8)=尸(A)+P(B)-尸(AB)=],

C正確，D不正確.

故選：C

【題型二】獨立事件概率計算

【例1】甲、乙兩人各有一個袋子，且每人袋中均裝有除顏色外其他完全相同的2個紅球和

2個白球，每人從各自袋中隨機取出一個球，若2個球同色，則甲勝，且將取出的2個球全

部放入甲的袋子中；若2個球異色，則乙勝，且將取出的2個球全部放入乙的袋子中.則兩

次取球后，甲的袋子中恰有6個球的概率是()

A.—B.—C.—D.—

30156020

【答案】A

【分析】

先根據(jù)取球規(guī)則分析得到兩次取球后甲的袋子中有6個球時，兩次取球均為同色，然后分第

一次取球甲、乙都取到紅球和白球兩種情況求解即可.

【詳解】

由題，若兩次取球后，甲的袋子中恰有6個球，則兩次取球均為甲勝，即兩次取球均為同色.

若第一次取球甲、乙都取到紅球，概率為=則第一次取球后甲的袋子中有3個紅

球和2個白球，乙的袋子中有1個紅球和2個白球，第二次取同色球分為取到紅球或取到白

31227

球，概率為[乂]+l*]=西，故第一次取球甲、乙都取到紅球且兩次取球后，甲的袋子中

7

有6個球的概率為啟.同理，第一次取球甲、乙都取到白球且兩次取球后，甲的袋子中有6

60

7

個球的概率為二.

故選：A.

【例2】甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，已知兩人能破譯的概率分別是:，!，則()

34

7_5

A.兩人都成功破譯的概率為丘B(yǎng).兩人都成功破譯的概率為立

C.密碼被成功破譯的概率為塔D.密碼被成功破譯的概率為!

【答案】D

【分析】

應用獨立事件乘方公式求兩人都成功破譯的概率，結合對立事件、互斥事件的概率求密碼被

成功破譯的概率.

【詳解】

兩人都成功破譯的概率為=A、B錯誤；

密碼被成功破譯的概率為:x；+（l-；）x；+；x（lC錯誤，D正確.

JIJJJ

故選：D.

【例3】我們通常所說的A80血型系統(tǒng)是由A,B,。三個等位基因決定的，每個人的基因

型由這三個等位基因中的任意兩個組合在一起構成，且兩個等位基因分別來自父親和母親,

其中44,A0為A型血，BB,B0為B型血，AB為AB型血，00為。型血.比如：父親和母

親的基因型分別為40,AB,則孩子的基因型等可能的出現(xiàn)A4,AB,A0,80四種結果，

已知小明的爺爺、奶奶和母親的血型均為AB型，不考慮基因突變，則小明是A型血的概率

為（）

【答案】C

【分析】

根據(jù)給定條件求出父親所有可能血型的概率，再分情況求解小明是A型血的概率作答.

【詳解】

因小明的爺爺、奶奶的血型均為AB型，則小明父親的血型可能是AA,AB,BB,它們對應

的概率分別為m，

424

當小明父親的血型是A4時，因其母親的血型為A8,則小明的血型可能是A4,AB,它們的

概率均為9,

此時小明是A型血的概率為=

42o

當小明父親的血型是A8時、因其母親的血型為A8,則小明的血型是AA的概率為5，此時

小明是A型血的概率為=

當小明父親的血型是38時，因其母親的血型為A3,則小明的血型不可能是AA,

所以小明是A型血的概率為:+：=!，即C正確.

884

故選：C

【例4】2021年神舟十二號、十三號載人飛船發(fā)射任務都取得圓滿成功，這意味著我國的科

學技術和航天事業(yè)取得重大進步.現(xiàn)有航天員甲、乙、丙三個人，進入太空空間站后需要派

出一人走出太空站外完成某項試驗任務，工作時間不超過10分鐘，如果10分鐘內(nèi)完成任務

則試驗成功結束任務，10分鐘內(nèi)不能完成任務則撤回再派下一個人，每個人只派出一次.已

知甲、乙、丙io分鐘內(nèi)試驗成功的概率分別為z4，43,2每個人能否完成任務相互獨立，

543

該項試驗任務按照甲、乙、丙順序派出，則試驗任務成功的概率為（）

【答案】D

【分析】

把試驗任務成功的事件拆成三個互斥事件的和，再求出每個事件的概率，然后用互斥事件的

概率加法公式計算作答.

【詳解】

試驗任務成功的事件M是甲成功的事件,甲不成功乙成功的事件A/2,甲乙都不成功丙

成立的事件的和，

4433

事件M-M2,互斥，P(M1)=g,P(M2)=(l--)x-=—,

4321

P(M3)=(l--)x(l--)x-=—.

43159

所以試驗任務成功的概率P(M)=P(M]++M,)=《+元+石=君

故選：D

【題型三】獨立事件應用：電路圖

【例1】一個電路如圖所示，A,B,C,D,E,F為6個開關，其閉合的概率為且是相

互獨立的，則燈亮的概率是()

【答案】B

【詳解】

設A與B中至少有一個不閉合的事件為T,E與尸至少有一個不閉合的事件為/?,則

113

p(r)=p(/?)=i--x-=-,所以燈亮的概率為P=1-P(T)-P(R)-

P(C)P(￡))=l-^x1xixl=H，故選B.

v7v7442264

【例2】如圖所示，用K、4、&三類不同的元件連接成一個系統(tǒng).當K正常工作且4、4

至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作.已知K、A、為正常工作的概率依次為0.9、0.8、

0.8,則系統(tǒng)正常工作的概率為()

A.0.576B.0.720C.0.864D.0.960

【答案】C

【分析】

先求出4、4至少有一個正常工作的概率，再利用概率乘法公式即可求解.

【詳解】

由題意知K、4、&正常工作的概率分別為P(K)=0.9、尸⑷=0.8、P(4)=0.8,

?:K、4、&相互獨立，A、&至少有一個正常工作的概率為：

P(*)+P(AW)+P(A4)=(l-0.8)x0.8+0.8x(l-0.8)+0.8x0.8=0.96,

.??系統(tǒng)正常工作的概率為P(K)1P(44)+P(A無)+P(A4)]=0.9x0.96=0.864.

故選：C.

【例3】如圖，某系統(tǒng)由A,B,C,D四個零件組成，若每個零件是否正常工作互不影響,

且零件A,B,C,。正常工作的概率都為。(O<p<l),則該系統(tǒng)正常工作的概率為()

C.[l-(l-p)(l-p2)]pD.[l-(l-p)2p\p

【答案】C

【分析】

要使系統(tǒng)正常工作，則A、8要都正?；蛘逤正常，Z)必須正常，然后利用獨立事件，對立

事件概率公式計算.

【詳解】

記零件或系統(tǒng)X能正常工作的概率為P(X),

該系統(tǒng)正常工作的概率為:P{[(AB)"[c。}=P[(AB)uC]尸(。)

=[1-P(C)]P(D)=(1-P(AOB)P(C))P(。)

=[I-(I-P(AB))(I-P(C))]P(D)=[I-(I-P2)(I-P)]P,

故選：c.

【例4】一個系統(tǒng)如圖所示，A,B,C,D,E,產(chǎn)為6個部件，其正常工作的概率都是

且是否正常工作是相互獨立的，當A,B都正常工作或C正常工作，或。正常工作，

或E,尸都正常工作時，系統(tǒng)就能正常工作，則系統(tǒng)正常工作的概率是()

A.—B.—C.-D.—

6464864

【答案】A

【分析】

并聯(lián)而成的四個支路，至少有一個支路正常工作系統(tǒng)就正常工作，求出四個支路都不能正常

工作的概率，再利用對立事件的概率公式即可得解.

【詳解】

設“C正常工作”為事件G,“。正常工作”為事件H,則尸(G)=P(H)=g

“A與B中至少有一個不正常工作”為事件T,“E與F中至少有一個不正常工作”為事件R,

I1a

則尸(7)=「(/?)=1-5'5=],

于是得系統(tǒng)不正常工作的事件為TRd77，而T，R，G，萬相互獨立，

所以系統(tǒng)正常工作的概率P=1-P（T），（R>P（②⑻=||.

故選：A

【題型四】古典概型：基礎

【例1】盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個.若從中隨機

取出2個球，則所取出的2個球顏色相同的概率等于（）

【答案】C

【分析】

將5個球進行編號，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典

概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】

記3個紅色球分別為。、b、c,記2個黃色球分別為A、B,

從這5個球中隨機抽取2個，所有的基本事件有：ab、碇、必、aB、be、bA,bB、cA、

cB、AB,共10個，

其中，事件”所取出的2個球顏色相同”包含的基本事件有：ab、ac,be,AB,共4個.

42

故所求概率為尸=歷=歹

故選：C.

【例2】投擲兩枚骰子，分別得到點數(shù)a,b,向量（。力）與向量（L-l）的夾角為銳角的概率

為（）

【答案】C

【分析】

由向量夾角公式可得，向量（。力）與向量（L-1）的夾角為銳角得到a<6,利用列舉法和古典

概型即可得到所求概率.

【詳解】

設向量（a㈤與向量（1,一1）的夾角為。，則cos0=/,"一"廠,

、，-Ja2+b2xV2

又因為向量6）與向量（1,-1）的夾角為銳角，則8se<0na-b<0na<》：

可知，投擲兩枚骰了一，分別得到點數(shù)。，6共有36種等可能情況；

當a<b時，即有：

。=1時，。=2,3,4,5,6,有5種情況;4=2時，*=3,4,5,6,有4種情況；a=3時，==4,5,6,

有3種情況；。=4時，8=5,6,有2種情況；a=5時，b=6,有1種情況；所以a<6,共

有1+2+3+4+5=15種等可能情況，

則向量（。㈤與向量。,-1）的夾角為銳角的概率尸=要=盤.

3612

故選：C.

【例3】我國古代為了進行復雜的計算，曾經(jīng)使用“算籌”表示數(shù)，后漸漸發(fā)展為算盤.算籌有

縱式和橫式兩種排列方式，0~9各個數(shù)字及其算籌表示的對應關系如下表：排列數(shù)字時，

個位采用縱式，十位采用橫式，百位采用縱式，千位采用橫式……縱式和橫式依次交替出現(xiàn).

如表示2i,“T°"UP"”表示609,在“O”、“卜、“三”、||||\'|”

按照一定順序排列成的無重復數(shù)字的三位數(shù)中任取一個，取到奇數(shù)的概率是（）

0123456789

縱

式1IIIIIIlliHillTTnrHIT

O

橫^^5春

式11

【答案】B

【分析】

利用列舉法，結合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.

【詳解】

所有情況列舉如下：

百位十位個位備注百位十位個位備注

134偶數(shù)431奇數(shù)

130偶數(shù)430偶數(shù)

184偶數(shù)481奇數(shù)

180偶數(shù)480偶數(shù)

104偶數(shù)401奇數(shù)

3

所以取到奇數(shù)的概率是1.

故選：B.

【例4】先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的股子，骰子朝上面的點數(shù)分別為“，〃，構成一個基本事

件記“這些基本事件中，滿足log/>「為事件E,則E發(fā)生的概率是（）

A.-B.—C.—D.g

1836122

【答案】A

【分析】

求出基本事件的總數(shù)以及事件E包含的基本事件的個數(shù)，由古典概率公式即可求解.

【詳解】

先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的股子，骰子朝上面的點數(shù)分別為。，b,構成一個基本事件（凡與，

基本事件總數(shù)"=6*6=36,

記”這些基本事件中，滿足log/>1”為事件E,

則事件E包含的基本事件（。,與有：

（3,2）,（4,2）,（4,3）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,共10個，

則事件E發(fā)生的概率是2=瞿=亮.

36\o

故選：A.

【題型五】古典概型綜合

【例1】已知數(shù)據(jù)1,2,3,4,x(0<x<5)的平均數(shù)與中位數(shù)相等，從這5個數(shù)中任取2

個，則這2個數(shù)字之積大于5的概率為

【答案】B

【詳解】

分析：由題意首先求得實數(shù)x的值，然后列出所有可能的結果，從中挑選滿足題意的結果結

合古典概型計算公式即可求得最終結果.

詳解：由數(shù)據(jù)1,2,3,4,x(0<x<5)的平均數(shù)！4§1=2+\?2,3),

可得2+1=x,所以產(chǎn);，從這5個數(shù)中任取2個，結果有：

(1,2),(1,3),(1,4),

2,|）,（2,3）,（2,4）,

加，加,(3,4)

共10種，這2個數(shù)字之積大于5的結果有：

(2,3),(2,4),(|,3)(|,4),(3,4),共5種,

所以所求概率為P='=

本題選擇8選項.

【例2】齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中

等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)雙方各出

上、中、下等馬各一匹分組分別進行一場比賽，勝兩場及以上者獲勝，若雙方均不知道對方

馬的出場順序，則田忌獲勝的概率為()

【答案】D

【分析】

將齊王與田忌的上、中、下等馬編號，列出雙方各出上、中、下等馬各一匹分組分別進行一

場比賽的基本事件即可利用古典概率計算作答.

［詳解】

齊王的上等馬、中等馬、下等馬分別記為A,B,C,田忌的上等馬、中等馬、下等馬分別

記為a,h,c,

雙方各出上、中、下等馬各一匹分組分別進行一場比賽，勝兩場及以上者獲勝，依題意，共

賽3場，所有基本事件為：

(Aa,Bb,Cc),(Aa,Be,Cb),(Ab,Ba,Cc),{Ab,Be,Cd),(Ac,Bb,Ca),(Ac,Ba,Cb),共6個基本事件,

它們等可能，

田忌獲勝包含的基本事件為：(Ac,Ba,Cb),僅只1個，

所以田忌獲勝的概率P=，

故選：D

【例3】甲、乙二人玩猜數(shù)字游戲，先由甲任想一數(shù)字，記為“，再由乙猜甲剛才想的數(shù)字，

把乙猜出的數(shù)字記為6,且a,be{1,2,3,4},若|a-6區(qū)1,則稱甲乙“心有靈犀”.現(xiàn)任意找兩

個人玩這個游戲，則他們“心有靈犀''的概率為()

【答案】B

【分析】

利用列舉法根據(jù)古典概型公式計算即可.

【詳解】

B兩人分別從1,2,3,4四個數(shù)中任取一個，共有16個樣本點，為：(1,1),(1,2),(1,

3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),

(4,2)(4,3),(4,4),這16個樣本點發(fā)生的可能性是相等的.

其中滿足1。-蚱1的樣本點有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,

4),(4,3),(4,4),共10個，故他們“心有靈犀”的概率為尸=與=：.

168

故選：B

【例4】《列子》中《歧路亡羊》的內(nèi)容為：楊子之鄰亡羊(亡：丟失)，既率其黨，又請楊子

之豎(豎：書童)追之.楊子曰：“嘻!亡一羊，何追者之眾？”鄰人日：“多歧路(歧路：岔路口)

既反，問："獲羊乎？”日：“亡之矣曰：“奚亡之？”曰：“歧路之中又有歧焉，吾不知所

之，所以反也這是一篇古人楊子的鄰居尋羊的故事，寓意深刻，假定所有分岔口都有兩條

新的歧路，且歧路等距離出現(xiàn)，丟失的這只羊在每個分岔口走兩條新歧路的可能性是相等的，

當羊走過5個岔路口后，楊子的鄰人動員了7個人去找羊，則找到羊的可能性為()

【答案】A

【分析】

由題可得規(guī)律為：第〃個分岔口時，共有2"條歧路，當羊走過〃個分岔口后，找到羊的概

率為然后根據(jù)題中數(shù)據(jù)進行計算即可得解.

【詳解】

當?shù)降凇▊€分岔口時，共有2"條歧路，當羊走過〃個分岔口后，找到羊的概率為J，

當〃=5時，每個人找到羊的概率為最《，故派出7個人去找羊，找到羊的概率為

故選：A.

【題型六】概率模型1：取球模型

【例1】甲、乙兩個袋中各有3只白球，2只黑球，從甲袋中任取一球放入乙袋中，則再從

乙袋中取出一球為白球的概率是()

【答案】B

【分析】

把求概率的事件分拆成兩個互斥事件的和，再求惘每個事件的概率即可計算作答.

【詳解】

從乙袋中取出一球為白球的事件A是甲袋中取出一白球，再在乙袋中取出白球的事件8

及甲袋中取出一黑球，再在乙袋中取出白球的事件C的和，B,C互斥，

3422313

/>(fi)=-x-=-,P(C)=-x-=-,則P(A)=P(B)+P(C)==,

5655655

所以再從乙袋中取出一球為白球的概率是3:

故選：B

【例2】袋中共裝有8個小球，其中有1個白球4，3個紅球4，九,仇和4個黑球.從

袋中任取一球，確定顏色后放回袋中，再從袋中取一球，確定顏色后放回袋中，則兩次取球

顏色為一白一紅的概率等于（）

【答案】B

求出基本事件空間中事件的個數(shù)，再列舉出兩次取球顏色為一白一紅的基本事件，得基本事

件的個數(shù)后計算出概率.

【詳解】

基本事件空間中基本事件數(shù)為8x8=64.

兩次取球顏色為一白一紅的基本事件有:（。,4）,（。,次）,（。，4），（4，a）,（4,a）,（b3,a）

共六個，

故所求概率為/>=二=植.

6432

故選：B.

【例3］從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球，則所取的3個球中至少有1個白球的

概率是（）

【答案】D

【詳解】

試題分析：從裝有3個紅球，2個白球的袋中任取3個球，共有基本事件C；=10種，則全取

10

紅球的基本事件只有一種，所以所取3個球中至少有1個白球的概率為1-億=三，故選D.

【例4】一個不透明的袋子中裝有4個完全相同的小球，球上分別標有數(shù)字為0,1,2,3.

現(xiàn)甲從中摸出1個球后放回，乙再從中摸出1個球，誰摸出的球上的數(shù)字大誰獲勝，則甲、

乙各摸一次球后，甲獲勝且乙摸出的球上數(shù)字為偶數(shù)的概率為（）

【答案】A

先受得甲、乙各摸一次球所包含的基本事件，在列舉出甲、乙各摸一次球后，甲獲勝且乙摸

出的球上數(shù)字為偶數(shù)所包含的基本事件的個數(shù)，結合古典概型的概率計算公式，即可求解.

【詳解】

由題意，甲、乙各摸?次球，所有可能的結果有4x4=16（種），

甲摸的數(shù)字在前，乙摸的數(shù)字在后，則甲獲勝的情況有（1,0）,（2,0）,（2,1）,（3,0）,（3,1）,

（3,2）,共6種，

其中甲、乙各摸一次球后，甲獲勝且乙摸出的球上數(shù)字為偶數(shù)有（L0），（2,0）,（3,0）,（3,2）,

共有4種，

41

所求概率為尸=；7=:.

164

故選：A.

【題型七】概率模型2：傳球模型

【例1】為提高學生的身體素質(zhì)，加強體育鍛煉，高三（1）班A,B,C三位同學進行足球

傳球訓練，約定：球在某同學腳下必須傳出，傳給另外兩同學的概率均為不考慮失球，

球剛開始在A同學腳下，經(jīng)過5次傳球后，球回到A同學腳下的概率為（）

A§R5r11口13

8163232

【答案】B

【分析】

由題可知傳球共有32種可能，其中開始在A同學腳下，經(jīng)過5次傳球后，球回到A同學腳

下的有10種，即求.

【詳解】

由題可知，開始在A同學腳下，5次傳球共有32種可能，

ABABAB,ABABAC,ABABCA,ABABCB,ABACAB,ABACAC,ABACBA,ABACBC,

ABCABA,ABCABC,ABCACA,ABCACB,ABCBAB,ABCBAC,ABCBCA,ABCBCB,

ACABAB,ACABAC,ACABCA,ACABCB,ACACAB,ACACAC,ACACBA,ACACBC,

ACBABA,ACBABC,ACBACA,ACBACB,ACBCAB,ACBCAC,ACBCBA,ACBCBC,

其中開始在A同學腳下，經(jīng)過5次傳球后，球回到A同學腳下的有10種，

球回到A同學腳下的概率為4）5x10=21

23216

故選:B.

【例2】A,B,C三人站成三角形相互傳球，由A開始傳球，每次可傳給另外兩人中的任何

一人，按此規(guī)則繼續(xù)往下傳，傳球4次后，球又回到A手中的傳球方式有種.

【答案】6

【分析】

列舉出所有可能的傳球方式即可.

【詳解】

經(jīng)4次傳球又回到A手中的基本事件有：（8454）,（8AC4）,（8C84）,（C4c4）,（C4BA）,

（CBC4）,共6種

本題正確結果：6

【例3】甲、乙、丙三人互相傳球,由甲開始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過4次傳球后，球仍

回到甲手中的概率為.

3

【答案】f

O

【詳解】

本題可用樹形圖去求基本事件空間及滿足條件的基本事件的個數(shù).

從圖中可以得到:基本事件總數(shù)為16,回到甲手中的基本事件為6個，所以滿足條件的概率為

故答案為：3

【例4】甲、乙、丙三人進行傳球練習，共傳球三次，球首先從甲手中傳出，則第3次球恰

好傳回給甲的概率是.

【答案】7

4

【詳解】

用甲T乙一丙T甲表示一種傳球方法

所有傳球方法共有：

甲一乙一甲一乙；甲T乙一甲一丙；甲T乙T丙T甲；甲T乙一丙一?乙；

甲一丙一甲一乙；甲一丙一甲一丙；甲一丙一乙一甲；甲一丙一乙一丙；

則共有8種傳球方法.

記求第3次球恰好傳回給甲的事件為A,可知共有兩種情況，，而總的事件數(shù)是8,

.\P(A)=-=-.

84

故答案為:

4

【題型八】概率綜合

【例1】已知集合A={-2,0,3},且QEA,beA,則函數(shù)/(?=以2+3x+?有零點的概率是

()

7542

A.—B.—C.-D.—

9999

【答案】A

【分析】

運用列舉法列出所有基本事件，再分a=0和awO兩種分別求出事件，由古典概率公式"I得

選項.

【詳解】

由題意可得總的基本事件數(shù)為9,記這個基本事件為(。/)，其基本事件是：

(-2,-2),(-2,0),(-2,3),(0,-2),(0,0),(0,3),(3,-2),(3,0),(3,3),

當a=0時.函數(shù)/(x)=3x+8有零點，符合條件的基本事件有(0,-2),(0,01(0,3),共3個；

Q

當a#0時，/(*)有零點，則9一4h20,即曲4“從而符合條件的基本事件有(-2,0),(-2,3),

(3,-2b(3,0),其4個.

故所求概率「=%3+—4二§7.

故選：A.

【例2】己知正六邊形A&A34AA的邊長為I,在這6個頂點中任意取2個不同的頂點A，

得到線段AA，則44t{1,2}的概率為()

A.-B.-C.-D.-

6355

【答案】C

【分析】

先分析AA產(chǎn){1,6,2}(1力＜/46),然后列舉基本事件，根據(jù)古典概型的概率公式直接求得.

【詳解】

由已知得，A4e{l,G,2}(W</V6),4V{1,2}O4A,=G(WV6),在這6個頂點中任

意取2個不同的頂點A,,A(14ivj46),得到以下15條線段：4^2.A4,A4.AA，

AA，44，44,4A，4A，A3A4，A3A，4A…A4，A4A,4A，其中涵,足

k聞=G(ivi</s6)的有以下6條線段：A4，AA，44，44，AA，44,根據(jù)古

典概型的計算公式得，|4聞/{1,2}的概率為2=|.

故選c.

【例3】素數(shù)分布是數(shù)論研究的核心領域之一，含有眾多著名的猜想.19世紀中葉，法國數(shù)

學家波利尼亞克提出了“廣義攣生素數(shù)猜想”：對所有自然數(shù)上，存在無窮多個素數(shù)對

(p,p+2江其中當)=1時,稱(p,p+2)為“李生素數(shù)”,2=2時,稱(P，夕+4)為“表兄弟素

數(shù)”.在不超過30的素數(shù)中，任選兩個不同的素數(shù)P、4(P<4),令事件A={(p,q)為李生素

數(shù)},3={(p,q)為表兄弟素數(shù)},C={(p,q)\q-p<4},記事件A、8、C發(fā)生的概率分別

為P(4)、P(B)、P(C),則下列關系式成立的是()

A.P(A)P(B)=P(C)

B.P(A)+P(8)=P(C)

C.P(A)+P(B)>P(C)

D.P(A)+P(8)<P(C)

【答案】D

根據(jù)索數(shù)的定義，一一列舉出不超過30的所有素數(shù)，共10個，根據(jù)組合運算，得出隨機選

取兩個不同的素數(shù)p、q(p〈q),有。=45(種)選法，從而可列舉出事件A、B、c的所

有基本事件，最后根據(jù)古典概率分別求出P(A),P(B)和P(C),從而可得出結果.

【詳解】

解：不超過30的素數(shù)有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29,共10個，

隨機選取兩個不同的素數(shù)p、q(p<q),有c1=45(種)選法，

事件A發(fā)生的樣本點為(3,5)、(5,7)、(11,13)、(17,19)共4個,

事件8發(fā)生的樣本點為(3,7)、(7,11)、(13,17)、(19,23)共4個，

事件C發(fā)生的樣本點為(2,3)、(2,5)、(3,5)、(37)、(5,7)、

(7,11)、(11,13)、(13,17)、(17,19)、(19,23),共10個，

P(A)=P(B)=士，尸(C)=《=3，

45459

故P(A)+P(B)<P(C).

故選：D.

【例4】數(shù)學與文學有許多奇妙的聯(lián)系，如詩中有回文詩：“垂簾畫閣畫簾垂，誰系懷思懷

系誰？”既可以順讀也可以逆讀，數(shù)學中有回文數(shù)，如343、12521等，兩位數(shù)的回文數(shù)有

11、22、33.........99共9個，則三位數(shù)的回文數(shù)中為偶數(shù)的概率是()

【答案】D

【分析】

利用列舉法列舉出所有的三位回文數(shù)的個數(shù)，再列舉出其中所有的偶數(shù)的個數(shù)，由此能求出

結果

【詳解】

解：三位數(shù)的回文數(shù)為A84,

A共有1到9共9種可能，即181、2B2、363...

B共有0到9共10種可能，即4OA、AA、A2A、A3A、…

共有9x10=90個，

其中偶數(shù)為A是偶數(shù)，共4種可能，即2破，484,686,888,

B共有0到9共10種可能，即AOA、AA、A2A.A3A、

其有4x10=40個，

，三位數(shù)的回文數(shù)中，偶數(shù)的概率P=?40=24；

9（）9

故選：D.

次③.景新?？捡g俎稱

I,假定生男孩和女孩是等可能的，現(xiàn)考慮有2個小孩的家庭，隨機選擇一個家庭，則下列

說法正確的是（）

A.事件“該家庭2個小孩中至少有1個女孩”和事件“該家庭2個小孩中至少有1個男孩”是

互斥事件；

B.事件“該家庭2個小孩全是女孩”和事件“該家庭2個小孩全是男孩”是對立事件；

C.該家庭2個小孩中只有1個女孩的概率為:

D.該家庭2個小孩中有2個男孩的概率為J；

4

【答案】D

【分析】

A.利用互斥事件的定義判斷；B.利用對立事件的定義判斷；CD.利用古典概型的概率求解判

斷.

【詳解】

A.事件“該家庭2個小孩中至少有1個女孩”是一個女孩一個男孩或2個女孩，事件“該家庭

2個小孩中至少有1個男孩”是一個男孩和一個女孩或2個男孩，故不是互斥事件，故錯誤；

B.事件“該家庭2個小孩全是女孩”和事件“該家庭2個小孩全是男孩”是互斥事件，但不對

立，故錯誤；

C.該家庭2個小孩有男男，男女，女男，女女4種情況，只有1個女孩有男女，女男2種情

況，所以該家庭2個小孩中只有1個女孩的概率為《，故錯誤；

D.由C知：該家庭2個小孩中有2個男孩的概率為!，故正確；

故選：D

2.袋中有紅、黃兩種顏色的球各一個，這兩個球除顏色外完全相同，從中任取一個，有放回

地抽取3次,記事件A表示“3次抽到的球全是紅球”,事件B表示“3次抽到的球顏色全相同”,

事件C表示“3次抽到的球顏色不全相同”，則（）

A.事件A與事件B互斥B.事件B與事件C不對立

C.P（A）=-D.尸（4uC）=j

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意，結合互斥事件，對立事件概念以及概率公式依次討論各選項即可得答案.

【詳解】

解：對于A,因為3次抽到的球全是紅球為3次抽到的球顏色全相同的一種情況，所以事件

A與事件8不互斥，故A錯誤；

對于B,事件B與事件C不可能同時發(fā)生，但一定有一個會發(fā)生，所以事件B與事件C互為

對立事件，故B錯誤；

對于C,因為尸（4）=6,所以尸（&=l-P（A）=m，故C正確；

OO

,2I3

對于D,因為事件A與事件C互斥，P（B）=-=-,所以尸（C）=1-P（B）=；,所以

137

P（AuC）=P（A）+P（C）=*="故D錯誤.

故選：C

3.某地為方便群眾接種新冠疫苗，開設了A,B,C,。四個接種點，每位接種者可去任一

個接種點接種.若甲，乙兩人去接種新冠疫苗，則兩人不在同一接種點接種疫苗的概率為

（）

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意列出甲，乙兩人去A,B,C,。四個接種點接種新冠疫苗的所有選擇，然后再

求出甲，乙兩人不在同一個接種點接種的情況有多少利I從而可求出概率.

【詳解】

甲，乙兩人去A,B,C,。四個接種點接種新冠疫苗的所有選擇共有16種，

分別為：A4，AB,AC,AD,BA,BB，BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,

DC,DD-.

其中兩人不在同一個接種點接種的情況有12種，從而有P=￡12==3.

164

故選：C.

4.某大街在甲、乙、丙三處設有紅綠燈，汽車在這三處遇到綠燈的概率分別是則汽

車在這三處共遇到兩次綠燈的概率為（）

【答案】D

【分析】

把汽車在三處遇兩次綠燈的事件M分拆成三個互斥事件的和，再利用互斥事件、對立事件、

相互獨立事件的概率公式計算得解.

【詳解】

112

汽個/：甲、乙、內(nèi)一處遇結燈一的j中分別R為A.B、（:I.===

汽乍在三處遇兩次綠燈的事件則M=A3e+A》c+Mc，旦ABe，ABC＞入BC互斥，

而事件A,B,C相互獨