第二章插值法/*Interpolation*/第一講§1.引言§2.拉格朗日插值

很多實(shí)際問(wèn)題都用函數(shù)

來(lái)表示某種內(nèi)在規(guī)律的數(shù)量關(guān)系,其中相當(dāng)一部分函數(shù)是通過(guò)試驗(yàn)或觀測(cè)得到的：§1引言雖然在某個(gè)區(qū)間[a,b]上是存在的，有的還是連續(xù)的，但卻只能給出[a,b]上一系列點(diǎn)

有的函數(shù)雖然有解析表達(dá)式,但由于計(jì)算困難,運(yùn)用不便利,通常也構(gòu)造一個(gè)函數(shù)表。如三角函數(shù)表、對(duì)數(shù)表、平方根表、立方根表等等。由此構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)潔易算的近似函數(shù)P(x)f(x)，滿(mǎn)足條件：P(xi)=f(xi)(i=0,…n)。這里的P(x)稱(chēng)為f(x)的插值函數(shù)。最常用的插值函數(shù)是…?多項(xiàng)式x0x1x2x3x4xP(x)

f(x)設(shè)已知f(x)滿(mǎn)足§1引言根據(jù)給定的函數(shù)表，做一個(gè)既能反映函數(shù)的特性，又便于計(jì)算的簡(jiǎn)單函數(shù)近似f(x)。有關(guān)概念插值函數(shù)插值節(jié)點(diǎn)插值區(qū)間若存在一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)P(x)，使得

P(xi)=yi(i=0,1,2,…,n)成立，就稱(chēng)P(x)為f(x)的插值函數(shù)點(diǎn)x0,x1,x2,…,xn稱(chēng)為插值節(jié)點(diǎn)。[a,b]稱(chēng)為插值區(qū)間插值法求插值函數(shù)P(x)的方法稱(chēng)為插值法。多項(xiàng)式插值分段插值三角插值§1引言2.1拉格朗日插值

§2.拉格朗日插值

2.2插值余項(xiàng)及誤差估計(jì)niyxLiin,...,0,)(==求n

次多項(xiàng)式使得條件：無(wú)重合節(jié)點(diǎn)，即n=1已知xk-1

,xk

;

yk-1

,

yk

，求使得kk1K-1K-1)(,)(yxLyxL==可見(jiàn)L1(x)是過(guò)(xk-1,yk-1

)和(xk,yk

)兩點(diǎn)的直線。)()(K-1K-1kK-1kK-11xxxxyyyxL---+=kK-1kxxxx--K-1kK-1xxxx--=yk-1+yklk-1(x)lk(x)==kK-1)(iiiyxl稱(chēng)為拉氏基函數(shù)/*LagrangeBasis*/，滿(mǎn)足條件li(xj)=ij/*KroneckerDelta*/2.1拉格朗日插值

n

1希望找到li(x)，i=0,…,n

使得

li(xj)=ij

；然后令==niiinyxlxL0)()(，則顯然有Ln(xi)=

yi

。li(x)每個(gè)li有n

個(gè)根x0…

xi…xn=-=---=njjijiniiixxCxxxxxxCxl00)())...()...(()(-==jijiiiixxCxl)(11)(與有關(guān)，而與無(wú)關(guān),稱(chēng)為n次插值基函數(shù)。節(jié)點(diǎn)f2.1拉格朗日插值

LagrangePolynomial若引入記號(hào)

，則

有：定理(唯一性)滿(mǎn)足的n

階插值多項(xiàng)式是唯一存在的。證明：(利用Vandermonde

行列式論證)反證：若不唯一，則除了Ln(x)外還有另一n階多項(xiàng)式Pn(x)滿(mǎn)足Pn(xi)=yi?？疾靹tQn

的階數(shù)n而Qn有個(gè)不同的根n+1x0…xn注：若不將多項(xiàng)式次數(shù)限制為n

，則插值多項(xiàng)式不唯一。例如也是一個(gè)插值多項(xiàng)式，其中可以是任意多項(xiàng)式。2.1拉格朗日插值

插值余項(xiàng)/*Remainder*/設(shè)節(jié)點(diǎn)在[a,b]內(nèi)存在,考察截?cái)嗾`差，且f

滿(mǎn)足條件,Rolle’sTheorem:若充分光滑，，則存在使得。推廣：若使得使得存在使得Rn(x)至少有個(gè)根n+1=-=niinxxxKxR0)()()(任意固定x

xi(i=0,…,n),考察=-=niixtxKtRnt0)()()()(j(x)有n+2

個(gè)不同的根x0…

xn

x!)1()()()1(+-+nxKfxnx留意這里是對(duì)t求導(dǎo)=+--++!)1)(()()()1()1(nxKLfxnnxnxx!)1()()()1(+=+nfxKxnx2.2插值余項(xiàng)及誤差估計(jì)注：

通常不能確定x

,而是估計(jì),x(a,b)

將作為誤差估計(jì)上限。當(dāng)

f(x)為任一個(gè)次數(shù)n

的多項(xiàng)式時(shí)，,可知，即插值多項(xiàng)式對(duì)于次數(shù)n的多項(xiàng)式是精確的。Quiz:

給定xi=i+1,i=0,1,2,3,4,5.

下面哪個(gè)是l2(x)的圖像？

y

0

-

-

-

1

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

x

y

0

-

-

-

1

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

x

y

0

-

-

-

1

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

x

ABC例1：已知分別利用sinx的1次、2次Lagrange插值計(jì)算sin50

并估計(jì)誤差。解：n=1分別利用x0,x1

以及x1,x2

計(jì)算利用這里而sin50=0.7660444…)185(50sin10pL0.77614外推

/*extrapolation*/

的實(shí)際誤差0.01001利用sin500.76008,內(nèi)插

/*interpolation*/

的實(shí)際誤差0.00596內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇要計(jì)算的x

所在的區(qū)間的端點(diǎn)，插值效果較好。n=2)185(50sin20pL0.76543sin50=0.7660444…2次插值的實(shí)際誤差0.00061高次插值通常優(yōu)于低次插值但確定不是次數(shù)越高就越好，嘿嘿……關(guān)于Langrange插值的幾點(diǎn)說(shuō)明

僅與