考點36雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)考向一雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫作雙曲線.這兩個定點叫作雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫作雙曲線的焦距.

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2b2焦點在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2-x2b2=1.【2020興安縣第三中學(xué)開學(xué)考試】若曲線SKIPIF1<0表示雙曲線，則SKIPIF1<0的取值范圍是_________________.【答案】SKIPIF1<0【解析】∵曲線SKIPIF1<0表示雙曲線，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．2.【2020重慶市廣益中學(xué)校期末】過點（﹣4，2），且與雙曲線y2SKIPIF1<01有相同漸近線的雙曲線的方程是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由題,設(shè)雙曲線的方程是SKIPIF1<0,又雙曲線過SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：A考向二雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2-y2b2y2a2-x2b2圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤-a,y∈R

y≤-a或y≥a,x∈R

對稱性對稱軸:坐標(biāo)軸.對稱中心:原點頂點A1(-a,0)A2(a,0)A1(0,-a)A2(0,a)漸近線y=±bay=±ab離心率e=ca,e∈(1,+∞a,b,c的關(guān)系c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)

實、虛軸線段A1A2叫作雙曲線的實軸,它的長|A1A2|=2a;線段B1B2叫作雙曲線的虛軸,它的長|B1B2|=2b;a叫作雙曲線的實半軸長,b叫作雙曲線的虛半軸長

1.【2020浙江月考】已知點SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0右支上一點，SKIPIF1<0是雙曲線的左焦點，且雙曲線的一條漸近線恰是線段SKIPIF1<0的中垂線，則該雙曲線的漸近線方程是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如圖所示，雙曲線的漸近線為SKIPIF1<0，對于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0垂直，所以直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.設(shè)直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0原點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的距離得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中垂線，則根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，根據(jù)雙曲線的定義得SKIPIF1<0，因此可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則雙曲線的線近線為SKIPIF1<0.故選：D2.【2020湖北沙區(qū)沙市中學(xué)期末】橢圓與雙曲線共焦點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，它們的交點為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.若橢圓的離心率為SKIPIF1<0，則雙曲線的離心率為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】不妨設(shè)P為第一象限的點，在橢圓中：SKIPIF1<0①,在雙曲線中:SKIPIF1<0②,聯(lián)立①②解得,SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中由余弦定理得：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0橢圓的離心率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0雙曲線的離心率SKIPIF1<0，故選：B3.【2020河南月考（理）】已知雙曲線SKIPIF1<0的左右焦點為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，過左焦點SKIPIF1<0作垂直于SKIPIF1<0軸的直線交雙曲線的兩條漸近線于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0是鈍角，則雙曲線離心率的取值范圍是______.【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)雙曲線的焦距為SKIPIF1<0，雙曲線的漸近線方程為SKIPIF1<0，由題意可知，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0為鈍角，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題組一（真題在線）1.【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】設(shè)F為雙曲線C：SKIPIF1<0的右焦點，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點，以SKIPIF1<0為直徑的圓與圓SKIPIF1<0交于P，Q兩點．若SKIPIF1<0，則C的離心率為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<02.【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】雙曲線C：SKIPIF1<0=1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點，若SKIPIF1<0，則△PFO的面積為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03.【2019年高考浙江卷】漸近線方程為x±y=0的雙曲線的離心率是A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．24.【2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知雙曲線C：SKIPIF1<0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則C的離心率為____________．5.【2019年高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，若雙曲線SKIPIF1<0經(jīng)過點（3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是.6.【2020年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】設(shè)雙曲線C：SKIPIF1<0（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為SKIPIF1<0．P是C上一點，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面積為4，則a=A．1 B．2 C．4 D．87.【2020年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】設(shè)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點，直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0的兩條漸近線分別交于SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0的面積為8，則SKIPIF1<0的焦距的最小值為A．4 B．8 C．16 D．328.【2020年高考天津】設(shè)雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，過拋物線SKIPIF1<0的焦點和點SKIPIF1<0的直線為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0的一條漸近線與SKIPIF1<0平行，另一條漸近線與SKIPIF1<0垂直，則雙曲線SKIPIF1<0的方程為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09.【2020年高考全國I卷理數(shù)】已知F為雙曲線SKIPIF1<0的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為.10.【2020年高考北京】已知雙曲線SKIPIF1<0，則C的右焦點的坐標(biāo)為_________；C的焦點到其漸近線的距離是_________．11.【2020年高考江蘇】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線SKIPIF1<0的一條漸近線方程為SKIPIF1<0，則該雙曲線的離心率是．題組二1.【2020江蘇泰州中學(xué)高二開學(xué)考試】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為雙曲線SKIPIF1<0的兩個焦點，點P在雙曲線上，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為（）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．12.【2020山西大同高三月考（理）】如圖，雙曲線SKIPIF1<0的左，右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作直線與C及其漸近線分別交于Q，P兩點，且Q為SKIPIF1<0的中點．若等腰三角形SKIPIF1<0的底邊SKIPIF1<0的長等于C的半焦距．則C的離心率為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03.【2020遼寧高三其他（理）】若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0表示雙曲線的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4.【2019河北衡水中學(xué)期末】如圖，已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點，A、B為雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則雙曲線的離心率為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05.【2020江蘇高三月考】已知曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，則下列選項正確的是（）A．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0一定是橢圓 B．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0是雙曲線C．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0是圓 D．當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0是直線6.【2020全國高三開學(xué)考試】雙曲線SKIPIF1<0的焦點在圓SKIPIF1<0上，圓SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0的漸近線在第一、二象限分別交于點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點），則（）A．雙曲線SKIPIF1<0的一條漸近線方程為SKIPIF1<0 B．雙曲線SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的面積為67.【2020肥城市教學(xué)研究中心高三】雙曲線SKIPIF1<0的右支上一點SKIPIF1<0在第一象限，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點，SKIPIF1<0為△SKIPIF1<0的內(nèi)心，若內(nèi)切圓SKIPIF1<0的半徑為1，則直線SKIPIF1<0的斜率等于_____.8.【2020全國高三三模】設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C:SKIPIF1<0的左、右焦點，M是C上的第一象限的一點，若△MF1F2為直角三角形，則M的坐標(biāo)為_____________.9.【2020遼寧丹東高三二?！恳阎p曲線SKIPIF1<0經(jīng)過點SKIPIF1<0，兩個焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）設(shè)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一點，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，與直線SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，證明：當(dāng)SKIPIF1<0點在SKIPIF1<0上移動時，SKIPIF1<0為定值，并求此定值．10.【2020江蘇泰州中學(xué)高二考試】在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，已知雙曲線C的焦點為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，實軸長為SKIPIF1<0.（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點SKIPIF1<0的直線l與曲線C交于M，N兩點，且Q恰好為線段SKIPIF1<0的中點，求直線l的方程.題組一1.A【解析】設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0，由對稱性可知SKIPIF1<0軸，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為以SKIPIF1<0為直徑的圓的半徑，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0點在圓SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，故選A．2.A【解析】由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又P在C的一條漸近線上，不妨設(shè)為在SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選A．3.2【解析】因為雙曲線的漸近線方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以雙曲線的離心率SKIPIF1<0.故選C.4.B【解析】如圖，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0又SKIPIF1<0得OA是三角形SKIPIF1<0的中位線，即SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又OA與OB都是漸近線，得SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0又漸近線OB的斜率為SKIPIF1<0，∴該雙曲線的離心率為SKIPIF1<0．5.SKIPIF1<0【解析】由已知得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以雙曲線的漸近線方程為SKIPIF1<0.6.A【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)雙曲線的定義可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選：A．7.B【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0雙曲線的漸近線方程是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0的兩條漸近線分別交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點不妨設(shè)SKIPIF1<0為在第一象限，SKIPIF1<0在第四象限，聯(lián)立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0面積為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0雙曲線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0其焦距為SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0取等號，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的焦距的最小值：SKIPIF1<0.故選：B．8.D【解析】由題可知，拋物線的焦點為SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即直線的斜率為SKIPIF1<0，又雙曲線的漸近線的方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．9.2【解析】聯(lián)立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.依題可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，變形得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,因此，雙曲線SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0．10.SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【解析】在雙曲線SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則雙曲線SKIPIF1<0的右焦點坐標(biāo)為SKIPIF1<0，雙曲線SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，雙曲線SKIPIF1<0的焦點到其漸近線的距離為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.11.SKIPIF1<0【解析】雙曲線SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.由于雙曲線的一條漸近線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以雙曲線的離心率為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0題組二1.D【解析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0.故選：D2.C【解析】連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0為等腰三角形且Q為SKIPIF1<0的中點，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0．由雙曲線的定義知SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0（負(fù)值舍去）．故選：C3.B【解析】因為方程SKIPIF1<0表示雙曲線，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0表示雙曲線的必要不充分條件，故選：B4.D【解析】連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0及雙曲線的對稱性知SKIPIF1<0是矩形，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴離心率為SKIPIF1<0，故選：A．5.BCD【解析】對于A，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0變?yōu)镾KIPIF1<0，不表示橢圓，故A錯誤；對于B，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0，表示雙曲線，故B正確.對于C，若SKIPIF1<0，方程變?yōu)镾KIPIF1<0，表示圓，故C正確.對于D，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0變?yōu)镾KIPIF1<0，表示直線；同理，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也表示直線，故D正確.故選：BCD.6.ABD【解析】如圖：設(shè)雙曲線SKIPIF1<0的焦距為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0，由題可知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得點SKIPIF1<0為三角形SKIPIF1<0的重心，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.雙曲線SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選：ABD.7.SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0與圓的切點分別為SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0連接SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.8.SKIPIF1<0【解析】圓SKIPIF1<0化為SKIPIF1<0，圓心坐標(biāo)為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0.如圖，SKIPIF1<0所求的圓與圓SKIPIF1<0相切于原點，SKIPIF1<0兩圓圓心的連線在直線SKIPIF1<0上，可設(shè)所求圓的圓心為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所求圓SKIPIF1<0