高三第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)多面體一、教目標(biāo)了解多面體、正多面體的概面的歐拉公用拉公式解決有關(guān)問題；二、教重點(diǎn)：三、教過程：

１、歐拉公式（何運(yùn)用）、割補(bǔ)法求體積（一）主要知識：、若干個平面多邊形圍成的幾何體，叫多面體２把面體的任何一個面伸展為平面果所有其他各面都在這個平面的同側(cè)樣的多面體叫凸面．表面經(jīng)過連續(xù)變可變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w叫做簡單多面體切凸多面體都是簡單面。、每個面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，且以每個頂點(diǎn)為其一端都有相同的數(shù)目的棱凸多面體，叫做正面．、如果簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)為Ｖ，面數(shù)為Ｆ，棱數(shù)為Ｅ，那么Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２，這公式叫做歐公．、五種正多面體的頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)和面數(shù)項目

過頂點(diǎn)

各

面類型正四面體正六面體正八面體

Ｆ４６８

Ｖ４８６

Ｅ６１２１２

的棱數(shù)３３４

邊３４３

數(shù)面特征正三角形正方形正三角形正十二面體１２２３正二十面體２０１３

３５

５３

正五邊形正三角形思方空間想象及轉(zhuǎn)化思想特注研究多面體時不要脫離棱柱棱錐的概念性質(zhì)要以它們?yōu)榛A(chǔ)去認(rèn)識多面體，并討論多面體的特點(diǎn)和性質(zhì)．歐拉公式的適用范圍為簡單多面體．（二）例題分析：例1１）給出下列命題①正四棱柱是正多面體②直四棱柱是簡單多面體③簡單多面體就是凸多面體④以正四面體各面中心為頂點(diǎn)的四面體仍為正四面體，其中真命題個數(shù)為（）Ａ．１Ｂ２Ｃ３Ｄ４(2)一個凸多面體的棱數(shù)為，面數(shù)為12則它的各面多邊形的內(nèi)角總和為＿＿解：B（２）同歐拉公式Ｖ＝Ｅ－Ｆ＋２，所以角總和為）×360°=6480°．思題一個多面體，每個面的邊數(shù)相同且小于，每個頂點(diǎn)出發(fā)的棱數(shù)也相同，若各個面的內(nèi)角總和為3600°求個多面體的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)及棱數(shù)20,12,30）思點(diǎn)：用式＋Ｆ－Ｅ＝２例已某金屬元素的單晶體外形是簡單幾何體此體有三角形和八邊形兩種晶面如果此晶體有24個,以每個頂點(diǎn)為一端都有三條,計算此晶體的兩種晶面的數(shù)目．解由晶體各面不都是邊數(shù)相同的多邊形此面數(shù)是兩種多邊形面數(shù)之和數(shù)仍然是各面邊數(shù)總和的一半一面頂點(diǎn)數(shù)及每一頂點(diǎn)發(fā)出的棱數(shù)也可求出多面體的棱數(shù)，設(shè)三角形晶面?zhèn)€，八邊形晶面有y個則Ｆ＝，同時Ｖ＝４，∴Ｅ＝３６，由歐拉公式：24+(x+y)-36=2,

12

(3x+8y)=36,∴．/

說明：

每個面為邊形則E

kV,過一2例：連結(jié)正方體相鄰面的中心，得到一正八面體，那么這個正八面體與正方體的體積之比是＿＿＿＿＿＿解設(shè)正方體棱長為１則八體的棱長為

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體為

112)36

所以體積之比為１:６．思點(diǎn)：究多面體時，不要脫離棱柱棱,特是計算體積時．挖（）八面體相鄰兩個面所成二面角的大?。撸撸撸撸?/p>

13

）（２）棱長為１正八面體的對角線長為＿＿＿＿＿）例：三個12×12正方形圖都被連接相鄰兩邊中點(diǎn)的直線分成兩（圖６片粘在一個正六邊形的外面，然后折成多面體（如圖多面體的體積．ＢＡ解）補(bǔ)成一個正方體，如圖

12

=864（二）補(bǔ)成一個直三棱錐，如圖-3V．思點(diǎn)：補(bǔ)是多體積常方．思題如圖，在多面體中，已面ABCD是長為正方形，∥AB，EF

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，與AC的離為2則該多面體的體積為（）（A）

915（B5（）6（D22解：（三）鞏固練習(xí)：給出下列命題①正棱柱是正多面體②直四棱柱是簡單多面體③簡單多面體就是凸多面體④以正四面體各面中心為頂點(diǎn)的四面體仍為正四面體，其中真命題個數(shù)為（）個Ａ．１Ｂ２Ｃ３Ｄ４(２)每個頂點(diǎn)處棱都是3的正多面體共有_______種(３)一個凸多面體的棱數(shù)為３，面數(shù)為１２，則它的各面多邊形的內(nèi)角總和為＿＿解：B（２）3（３）由歐拉公式Ｖ＝Ｅ－Ｆ＋２＝２０，所以內(nèi)角總和為V-2）×360°°已知某金屬元素的單晶體形是簡單幾何,晶體有三角形和八邊形兩種晶,果此晶體有24個點(diǎn)以個頂點(diǎn)為一端都有三條計算此晶體的兩種晶的數(shù)目．/

2323解由晶體各面不都是邊數(shù)相同的多邊形此面數(shù)是兩種多邊形面數(shù)之和棱數(shù)仍然是各面邊數(shù)總和的一半，另一方面，由頂點(diǎn)數(shù)及每一頂點(diǎn)發(fā)出的棱數(shù)也可求出多面體的棱數(shù)，設(shè)三角形晶面?zhèn)€，八邊形晶面有y個則Ｆx+y，同時Ｖ＝４，∴Ｅ＝３６，由歐拉公式：

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(3x+8y)=36,∴．、一個簡單多面體，每個面的邊數(shù)相同，每個頂點(diǎn)出發(fā)的棱數(shù)也相同，若各個面的內(nèi)角總和為°求這個多面體的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)及棱數(shù)．解：設(shè)每個面的邊數(shù)為x，每個出發(fā)的棱數(shù)為y則，F(xiàn)(2)20

………①

Fx2x

……②代入歐拉公式得20xxx又

E

V2x代上式y(tǒng)(x有x

y

得

思點(diǎn)：用式＋Ｆ－Ｅ＝２：連正方體相鄰的中心，得到一個正八面體，那么這個正八面體與正方體的體積之比是＿＿＿＿＿＿解設(shè)正方體棱長為１則八體的棱長為

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體為

112)36

所以體積之比為１:６．思點(diǎn)：究多面體時，不要脫離棱柱棱,特是計算體積時．挖（）八面體相鄰兩個面所成二面角的大?。撸撸撸撸?/p>

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）（２）棱長為１正八面體的對角線長為＿＿＿＿＿

）：圖在棱長為的正四面體ABCD內(nèi),作個正三棱柱ABCB當(dāng)A取在11221什么位置時,棱柱的體積最解設(shè)AA(0<x<a)∵面A∥面BCD又四面體ABCD為正四面體11

A∴四面體AABC也正四面,則A=B=A=x,這四面體的高分別為111111166a和x則柱的高等于()336x2∴V=()2)](當(dāng)x取號)4322273

A1BA

2

B

1

BC

2

C1C2

D∴當(dāng)點(diǎn)A為AB上的

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2分點(diǎn)時體最