11212a11212a雙曲線二結(jié)論大全PFPF2a2.準方程3.a21．點P處切線PT平eq\o\ac(△,PF)eq\o\ac(△,)在點處內(nèi)角.1．平eq\o\ac(△,PF)eq\o\ac(△,)F在P處內(nèi)角，則焦點在線PT上的射影H的軌跡是以實軸為直徑的圓，除去實1軸的兩個端點.．以焦點弦PQ為徑的圓必與對應(yīng)準線相．以焦點半徑PF為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓外1．設(shè)P為曲線上一點，則eq\o\ac(△,)的切圓必切于在側(cè)的頂.1．雙曲線（＞0,b0的兩個頂點為(,0),A(a,0)，y軸行的直線交雙曲線于Pa2

1時A與A交的跡方程是2ab2．P(x,)在曲線＞＞0）上，則過的雙曲線的切線方程是00220

xy0a2

11若

(x,y000

在雙曲線

ab2

（＞＞）外，則Po雙曲線的兩條切線切點為P，則1切點弦的線方程是12

xy00ab2

．是曲線

a2

（＞＞0）不平行于對稱軸且過原點的弦，M為的中點，則kOMAB

22

．若

(x,)00

在雙曲線

ab2

（a＞0,b＞0）內(nèi)，則被Po所平分的點的方是xyy2002b2a2

．若

(,)00

在雙曲線

a2

（＞＞）內(nèi)，則過的弦中點的軌跡方程是x2xy22ab．若是雙曲線

a2

（b＞＞）上對中心張直角的弦，則1(r|,rOQrr2b2

．雙曲線

ab2

（ba＞0）上中心張直角的弦L所在直線方程為

Ax(

則(1a2

2

2

;(2)

24A2A2

．定雙曲線C：b

2xy2

（＞＞）：b2

2x2

2222

2

則(i)C上任意第頁共頁

0'''1120'''112給定的點

(xy)00

它的任一直角弦必須經(jīng)過

2

上一定點M

(

22

222xy)20a

(ii)對C上一點P2

(0

,y0

)在上在唯一的點M使的任一直角弦都過P.．

(xy)0

為雙曲線

a2

（＞0,b＞0）上一點P為線C的動弦且,斜率存在，11記為kk,則線P通過定點11

M(mx,)(m0

的充要條件是

k12

ba

22

．過雙曲線

a2

（＞＞）上任一點

(xy)0

任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點，則直線有向且

k

BC

2x0y0

（常數(shù)．曲線

ab2

（＞＞）的左右焦點分別為，F(xiàn)，P為雙曲線上任意一點1

1

，則雙曲線的焦點角形的面積為

cot

2，(ccotcot)2cc

若為曲線

＞0,b＞0（左上除頂點外的任一點,F,是點,a2

PF1

PF21

，則

cccot（tancotc22c2

）．曲線

ab2

（＞＞）的焦半徑公式：

(,0)(12當當

(xy)0(xy)0

在右支上時，在左支上時，

|MF|,MF|ex102||,||120

．雙曲線

a2

（＞0,b0的左、右焦點分別為F、，準線為L，則當＜≤時，1可在雙曲線上求一點，得PF是到對應(yīng)準線距離與的比例中12．為雙曲線（＞）上任一點,F為焦點，A為曲線左支內(nèi)一定點，則a2|AFPA|PF21

當且僅當

AFP2

三點共線且

P

在左支時，等號成立.．雙曲線

a2

（＞0,b＞存在兩點關(guān)于直線

l

：

y(x)0

對稱的充要條件是x0

2

(a2)2a2k2

k且k

ab

．過雙曲線焦半徑的點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直．雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應(yīng)準線于一點，則該點焦點的連線必與焦半徑互相垂．是雙曲線

xy

（a＞0，b＞）上一點，則點P對曲兩焦點張直角的充要條件是

2

11tan

2

．A,B為曲線

a2b

（＞0,b＞0，

k

）上兩點，其直線雙曲線

ab2

相第頁共頁

xy2b2xy2b2交于

P,

則

AP

．雙曲線

a2

中，定長為2m

m

）的弦中點軌跡方程為22t2t,cotht,xt弦兩點在支上2m上S為曲線

0,b＞徑線段L的端點在曲線右支上移動AB|=a2

l

，x,y)00

是中，當

l時有(x)0

2l(c2c2e

ce);當la

時，有a(x)4b0min

2

2

．曲線

ab2

（＞＞）與直線

Ax

有公共點的充要條件是

2a

．雙曲線

()(y)2002b

（＞＞0）與直線

Ax

有公共點的要條件是A

2

2

2

2

Ax)0

2

．雙曲線

a2

（＞0）的兩個焦點為、F,P（異于軸端點）為雙曲線上任意一點，在1eq\o\ac(△,PF)eq\o\ac(△,)中，記1

PF12

PFF12

F12

，則有

a

．過雙曲線

a2

（＞0,b＞0）實軸的兩端點A和A的線，與雙曲線上任一點的切線相交1于和P，則1

PA||1122

2

．已知雙曲線

a2

（0O為坐標原點，、為雙曲線上兩動點，且

OP

）1OP|22b2

;（2|OP|

4ab2ab的最小值為;）S的小值是.b22．是經(jīng)過雙曲線

ab2

（＞0,b）過焦點的任一交于兩支，若AB是經(jīng)過雙曲線中心且平行于MN的弦，則

||2

|MN|

38．MN是過雙曲線

a2

（a＞b＞0）點的任一弦(交同支)，過雙曲線中心的弦OPMN

，則

11||OP|22a

．雙曲線

a2

（＞0,b0）,M(m,o)實軸所在直線上除中心，頂點外的任一，過M引條直線與雙曲線相交于、Q兩，則直AP、AQ(AA為頂點)交點N在線l：12,

a2

上.．過雙曲線焦點F直線與雙曲線相交P、Q兩，為曲線長軸上一個頂點，連結(jié)AP和AQ分第頁共頁

222222000222222000別交相應(yīng)于焦點F的曲線準線于M、兩，則MF⊥．雙曲線一個焦點F的線與雙曲線交于兩點、AA為曲線實軸上的頂點AP和AQ交12點M，AP和A交點N，MF⊥2．雙曲線方程,斜率為≠0)的行弦的中點必在直線l：ykx的軛直線x,a2b2而且a．A、B、、D為曲線

ab2

（＞＞o上四點、所在直線的傾斜角分別為

，直線與CD相交于且不雙曲線上則

||cos|PCPD|cos2

22

．知雙曲線

a2

（＞＞）點P為上一點F為曲線的焦點，1

1

的內(nèi)（外）角平分線為l，作F、F分垂直lR、，當跑整個雙曲線時，、形的軌跡方程是122xxya(y).．ABC三頂點分別在雙曲線，且AB為直，l為AB的軛直徑所在的直線，l分交直線AC、BC于E和F又D為l上點，則CD與曲線切充要條件是D為EF的中點.．雙曲線

a2

（＞0,b0的右焦點F作線該雙曲線的右支于M,N兩，弦MN垂直平分線交x于，

PFMN|2

．A（x,y）雙曲線1

a2

2x（＞0,b＞0上任一點，過A作條率為1的線L，又設(shè)2y1原點到直線L的離,

rr12

分別是A到曲線兩焦點的距離，則

rrab2

．知雙曲線

x2y（＞＞0）和ab2ab

（

條直線順次與它們相交于A、B、、四，則．知雙曲線

ab2

（＞＞）,A、B是曲線上的兩點，線段AB的垂直平線與x相交于點

a2(x,0),則x或a

2

2

．點雙曲線

ab2

（＞0,b＞0上異于實軸端點的任一F、F為焦點記1

PF12

，則(

PF1

2

．過雙曲線的實軸上一點B）作直線與雙曲線相交于、Q點A為雙曲線實軸的左頂點，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于B點的直線MN：

于M，N兩點則90

aa2ab2(n)2

．L是經(jīng)過曲線

ab2

（＞＞）焦點F且實軸垂直的直線A、雙曲線的兩個頂點e第頁共頁

1212是離心率點

L

，若

，則

是銳角且

11或sine

（當且僅當

|PF|

時取等號）.．L是過雙曲線

a2

（＞0,b＞）的實軸頂點A且x軸垂直的直線E、是曲線的準線與x軸交點,點P是心率

是L與X軸交點是焦距銳角且

1e或

arcsin

1（當且僅當ec

時取等號）.．L是雙曲線

ab2

（＞＞）點且與x軸垂直的直線E、F是曲線準線與x軸點，1H是L與x軸的交點，點

L

，

離率為e，焦距為c，則銳角且

1e2

或sin

1（當且僅當|PFae

2

2

時取等號）已雙曲線

（＞＞線L通其右焦點F且與雙曲線右支交于AB兩，將A、ab2B與曲線左焦點F連起來，則1

F11

(2

2

2

)

2

（當且僅當AB⊥x軸時取號）.56．A、是曲線

a2

（a＞0,b＞）長軸兩端點，P是曲線上的一點，

PAB

BPA

，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1)

||

22cos|2

tan

tan

2

PAB

2a22b2

cot

．A、是曲線

a2

（＞＞0實軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)（含焦點的區(qū)域的兩點，且

、

的橫坐標

A

2

）若過A點引直線與雙曲線這一支相交于P、兩，則QBA

）若過引線與雙曲線這一支相交于、Q兩，則

．A、是曲線

a2

（＞＞0實軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)（含焦點的區(qū)域的兩點）過A點直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩BP交雙曲線這一支于兩點，則、Q不關(guān)于x軸稱

，則點A、B的橫坐標x、x滿B

2

）過B點直線與雙曲線這一支相交于、Q兩點，且

180

則點AB的坐標滿足

A

2

．A,A是雙曲線

ab2

的實軸的兩個端點，QQ是'垂的弦，則直線與'的交點的軌跡是雙曲線．過雙曲線

a2ab2

（＞0,b＞0的右焦點F作相垂的條、CD,則|CD

8ab|22

；第頁共頁

c211''2''c211''2''|CDa．雙曲線

a2

c（＞0,b0兩焦點的距離之比等于（為半焦距）的動點M的跡是姊b妹圓

()2

2

．雙曲線

a2

c（＞0,b0的實軸兩端點的距離之比等于（為焦距）的動點M的b跡是姊妹圓

()222

．雙曲線

a2

c（＞0,b0的兩準線和軸交點的離之比為（c為焦距）的動點b的軌跡是姊妹圓

(x)

2

y

2

b)e

2

（為心率）．已知P是雙曲線

a2

（＞0,b＞）上一個動點，

'

,

是它實軸的兩個端點且AP

'P

，則點軌跡方程是

2aa

．曲線的一條直徑過中心的弦)的長，為通過一個焦點且與此直徑平行的弦長和實軸之長的比例中bx設(shè)曲線a＞＞0軸的端點為A,,P(x,y)是雙線上的點過作率為的a2ay1直線l，A,分別作垂直于實軸的直線交lM,M,則）AM||AM（）四邊形面積趨近于

2ab

．知雙曲線

ab2

（＞0,b）的右準線

l

與x相交于點

，過雙曲線右焦點

F

的直線與雙曲線相交于A、B點點C在右準線l上且BC軸則直線AC經(jīng)線段的中點.．、OB是曲線

(x2y2ab2

（＞0,b＞0,a）兩條互相垂直的弦為標原點，則（1）直線必過一個定點

(

22

2

以O(shè)A、OB為徑的兩圓的另一個交點Q的軌跡方程是222)2

（除原點．

(n

是雙曲線

(xa2

（＞0,b＞）上一個定點，A是相垂直的弦，則）直線必過一個定點

(

ab

2

()a,222

22

)

)

（以為徑的兩圓的另一個交點Q軌跡方程是22m2a(x)y)b22

2

[

42(ab22

2

)]

(除點)．果一個雙曲線虛半軸長為，焦點、F到線L的離分別為d、，么（112

12

2

，且F、在1

異側(cè)

直線L和曲線相切或

是雙曲線的漸近.）

12

2

，且FF在L側(cè)1

直線

和雙曲線相離）

d1

2

，或F、在L側(cè)1

直線L雙曲線相.是曲線

ab2

（＞＞0）的實軸，

是雙曲線上的動點，過

的切線與過A、B的線第頁共頁

22交于

C

、

兩點，則梯形ABDC

的對角線的交點M的跡方程

24ya2b2

2

0)72．

為線00

x2y2a2b2

1

＞0的內(nèi)部含區(qū)域定AB是曲過定點

的弦00

ab

弦AB垂雙曲線實軸所直線時

(|)min

2

x0

2

a2a

y02

2

)

2

b

2

.

ab

弦AB平合線軸在線

PA||)min

x20

a2y)a2b0b

.73．線焦三角形焦徑直徑的圓必與以雙曲線實軸為直徑的圓相外74．線焦三角形的內(nèi)切圓必長軸于非焦頂點同側(cè)的實軸端.75．線兩焦點到雙曲線焦三形內(nèi)切圓的切線長為定值與c-a.76．線焦三角形的非焦頂點其旁切圓的切線長為定值c-a.77曲線焦三角形點一點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)離心率.注雙曲線焦三角形中頂點的內(nèi)、外平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外.78．線焦三角形焦所的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比79．線焦三角形焦必內(nèi)、外點到雙曲線中心的比例中80．線焦三角形線心到內(nèi)點的距離、內(nèi)點到同側(cè)焦點的距離、半焦距及外點到同側(cè)點的距離成比.81．線焦三角形距外點與雙曲線中心連線段、內(nèi)點與同側(cè)焦點連線段、外點與同側(cè)點連線段成比.82．線焦三角形任向非焦頂點的內(nèi)角平分線引垂雙線中心與垂足連線必與一焦半徑所在直線平.83．線焦三角形任向非焦頂點內(nèi)角平分線引垂線中心與垂足的距離為雙線實半軸的.84．線焦三角形任向非焦頂點的內(nèi)角平分線引垂足是垂足同側(cè)焦半徑為直的圓和雙曲線實軸為直徑的圓的切.85．線焦三角形焦點內(nèi)角平分線與焦半徑、實軸所在直線的夾角的余弦的比為定值.86．線焦三角形焦點法線即為該頂角的外角平分.87．線焦三角形焦點切線即為該頂角的內(nèi)角平分.88．線焦三角形非的切線與雙曲線實軸兩端點處的切線相交點為直徑的必過兩焦點.知雙曲線

2ya2b

a0)有一點P分引其漸近線的平行線交x于M，交

y

軸于

R

，

O

為原點，則：（1

|a

2

；

|b

2

.90.過平面上的

P

點作直線

l1

bbx及l(fā):yxaa

的平行線交

x

軸于

M

y

軸于

R

若

|a

2

，則的方程是

x22a2b

a0)|b

2

，則的跡方程是

x22a2b

a0)

.91.點

P

為雙曲線

x2ya22

a0)

在第一象限的弧上任意一點

P

引

x

軸y

軸的平行線

y軸、

x

軸于

M

，交直線

y

ba

x

于

Q

，記

OMQ

與

ONR

的面積為

1

2

，則：

1

S|2

ab2

.第7頁共30頁

92.點P第一象限內(nèi)一點P引x軸軸平行線y軸軸,直

ba

x于Q,，記OMQ與ONR的積為S,知|12

ab2

的軌跡方程是

x22ab0)22

或yab2a雙曲線性質(zhì)92條證明雙曲線一定義。2.定義即可得雙曲線標準方程。

3.雙曲線第二定義。設(shè)

(xy)0

在第一象限，切線PT（即l）斜率為k，PF所在直線l斜率為，PF所直線l斜率為1122k2

，

PF1

與的角α，

PF2

與PT的夾角β。由兩直線夾角公式

tan

k21k1

得：

k1kk

y2xxabxca2b22cx0byxcy2xcxy2cy1000ayx

bcy

cxcx

bc

k1

b2xy0a2yxb2xy22xca2b220000b2xyxy2xyy2cy1000000ax

b2cy

bc

0,同理可證其它情況。故切線PT平點處內(nèi)角。不妨設(shè)P在一象限關(guān)于切線PT的對稱點M4可M在上則21

MPFa12

，垂足H為FM中點，則OH=2端點。

FM12

，同理可證其它情況。射影H的跡是以實軸直徑的圓除去兩設(shè)，Q兩到與焦點對應(yīng)的準線的距離分別為

,d1

2

，以中點到準線的距離為

，以為直徑的圓的半徑為r，則

d

dFQr122

，故以為徑的圓與對應(yīng)準相交。如，兩圓圓心距為

PF2aPF22

，故兩圓外切。第頁共頁

212121221212127

圖如，由切線長定理：

8FSFTFFa112211而

FTFA11設(shè)

，

T

與

重合，故內(nèi)切圓與x軸于右頂點，同理可證P在其他位置情況。2tan，12

則:y1

ba

by,:

2

t

1

ns則

xa

y

∴點軌跡方程為

ab2(,y)10.00x'y2b

在雙曲線202y0

2y2x2上，對ab2ab22

求導(dǎo)得：切線方程為yy0

0y0

x0

即

xyy20b2b2

11.設(shè)

122

，由10得：

xyy0010202，為點,P在線a22

上，且同時滿足方程

xyxyy00，所以:00ab2

第頁共頁

1200000000120000000012.

設(shè)y1120

x22y22y2則有12作得：21b2a222

x1

x1

yy1

2

y1

2

k

AB

y2b2212x2yya2yak120OM

k

AB

ba

2213.由12得：

y0y22xx2202y2x22200

yx2y200ab214..12可：

yb2022yxxa20b22222y0

xy0ab15.設(shè)

b

tan

，則

k

tan

tanasec

221rr2asectan1

2

2sec

2

1

2

a

2

cossina2

2

2

a2a44

222b22

2

a

2

2

2

2

2

22a22

2

2

2

2

2

2

22a4b

2

2

2

2

2

222a

2

2

a22

11a2b216.將線入雙曲線方程中得：

22

b2a2

abb2a2

第10頁共頁

1121xx2200a2222001121xx2200a222200b022設(shè)

Ay112

則

x1

Aa2bA

2

2

，

xx1

b222

OAxyb2222a2b22222B2b222222BbA2

2

2

a

4

B

2

b

422

b2b

2

2

2

2

2

a2

4b2

417.的程為：

。當斜率k存時，代入雙曲線C方中得：1

a

k

設(shè)

,11

,22

得

x1

2akb22k2

，

22則

1

x2

yy

2

1

2

0

x12

0

ak00a

k

2ky

k

22k2x

k2yk2y

kxy22x2

y2a2k2pxkkp22kpqa2b2kpq22y00

20

2

y

20

2

q

2

2

qy0220pqpqa22b2q00即直線過點

aa

22

2x,20

ab

22

22

y0

，此點在上。當直線斜率不存在時，直線過C上定22點。

由上可知

1

和上點由此建立起一種一一對應(yīng)的關(guān)系，即證。2第11頁共頁

222222222222222222220000018.必性：設(shè)：1

00

在時，代入雙曲線方程中：222000

b設(shè)

y1122

得

x1

2

2

km0b22

，

xx1

2

m

2

ykx02

2

2kxmkx0020020x1021222000

k不存在時，P：x=mx則12

y

ba

m

2

x0

2

，1

0

mxx22x22200

2必要性得證。充分性：設(shè)P過點12

，則P：1

kx

。代入雙曲線方程得：

2

k2設(shè)

y1122

得

x1

2akb22

，

xx12

2

2k2

2

2則

k

xx0

x1xx2212

kkakkx2k0

2

a00

yb2kx1byqkp1a00

kpkx1kmyqykxqmy000驗證k不在的情況，也得到此結(jié)論。故

l

過定點

0

，充分性得證。19.設(shè)：

0

0

即

y

0

0第12頁共頁

b222b2k222121c21002001000ccb222b2k222121c21002001000cckxkx02222

2k000

2a

20bk

B

2

2

kyk0b2

2

x0

2kx2x2k22yb00,同理

kyk22xa22y2y000000

k

b2b20kya2020.

由

余

弦

定

理：PFPF12

PFcos1

PF1

2

PF1

2

2

PF1

bPFPF1cos

b2

2S

PF

2PFPF1cos

b

2

sin2sin

2

a22aycot2cot22cot2c2

a2221.由弦定理得

PFPFFF122sin

在右支時，

cc

2

sinsin

2sinsincot22222sincossincoscos2etantancottan2222同理當在支時，

sinsin

cot

ctan2c22.由二義得M右支時，

a22MF,MFxccM在支時，

a22MF,MF

0

。第13頁共頁

2100m22100m223.易在支上，

PFPF12PFad1

0

1xe2x0

1e2

e12

e1,12

24.易當P在左支時

1

有最小值，此時：

PFPFAFa1

。當且僅當A,,P2

三點共線且

P

在左支時，等號成立。25.易當k=0時只有x軸合要求但此時

x0

不存在。故

k0

。當

k

時，設(shè)A，兩點關(guān)于直線稱，直線AB的程為

y

11bax，易知即k。kkab聯(lián)立

與雙曲線方程得：

2

2

a

2

kpx

2

k

2

2

2

2

k

2

0

得b2k2k2即

k

2p22

①

中點

M

a2,b2ka

bk在y=kx+m上，b2c222

②②代入①得

c

②

m2ck

③

當時①得k

2

ab

22

。c當m>0解得或，代入③得或mm2

2

a

2

c4

22

k

2

0

2

ab

22

；當m<0解得

或

cm

，代入③得

2

ab

22

或

a

2

c4k

2

0

a2b

。由此可見兩種情況的結(jié)論相同。

當

2

a2時，2k，2ba

2

k2k

2

。故對任意，論可統(tǒng)一表示為

m

2

a

2

4k2

2

且

ab

當

l:()0

，即當

m時x0

2

(2)a2k22k2

且k

ab

26.由5即得證。27.設(shè)

，則切線

l

tanxa

，A

ab,ctan

第14頁共頁

2222AAA222APBAP202222AAA222APBAP2027圖

tan

absec2ctancc28.

P

btan

:

2

tan

2

2

2

sec

2

2

2

2

2

2

2

2

sec

2

2

2

2e

11tan

2

29.設(shè)

C:1

xxC:k,l:a22

。聯(lián)立

l

得：2Cx2

0

，由韋達定理：

x

2b2a同

理

x

Aa2bAa

2

。

2

則

21

x1B而

x,xAP

的符號一定相反，故

xx=AP=BQPQABP30.①當A，B同時，設(shè)

A

b

y0

為AB中點。則ABa2

2

cosh

sinh222

m

2

sinh

2

2cosh2sinh22222

m

2而

x0

acosh

bcosh,cosh22222第15頁共頁

sinh0sinh0設(shè)

A

2

2

，則

x2y201A1B,0a2b

1ABaABb2A1B解得

A

xy20a

y2b2xy20a2b

，代入2得

2

2y200a2b

1

b2x2b0aa2y0b2x2b2x20101a2y2a2y200令

bxay

1

得：

m

xa2

yb

1tb2t所以定長為2m（

m0

）的弦中點軌跡方程為

m

xa2

yb

1a22tb2t

。其中

bxay

，

y0

時

t0

。②A，B異時，設(shè)則

Aacoshacosh，x0

為中點。

4a

cosh2

cosh

4m

22

2

22

2而x0

acoshacoshbbasinhsinh,ybcosh222222設(shè)

A

2

2

，則

xy0AB,a2b

1Ba1ABb2A1B解得

A

yb2

xa

a2

yxb2a

，代入

2

得：

m21

aya02y2bb2000aba22a2y0101bx2bx200令

得：m1

xa2

yb

a2

tb

2

t所以定長為2m（

m0

）的弦中點軌跡方程為

m

1

xa2

yb

a2t22t

。第16頁共30頁

222yx222220222200mini0min222yx222220222200mini0min其中

coth

aybx

，x0時t。綜上所述，定長為2m

m

）的弦中點軌跡方程為：m2

y2tsinhtt,t弦兩端點在兩支上a231.設(shè)

Absinh

00

為AB中。則：0

a

acoshcosh22

0a2

2

2

sinh

2

sinh

2

22cosh22222

2

sinh2cosh

c22

2

a2cosh22cosh222

cosh

2

l2cosh24

20

2

2

2

l2二次函數(shù)x-mx+a與

y

l

在

,

l內(nèi)的交點即為的。易知x與的交點為x的。當m增時，x增大。要使x最小，則要使m最。00

x2022

2

2

2

0

，此時等號成立時

cosh

2

0min2c當

此

式

成

立

時y

2

l2

2

0

x

2

m

l2

2

x

n

2

l

0當

x

lalb時：l=通徑2ee

當

x0min

時：

l

ba

2

=當l

22al時x，x，coshac2

2

02c

。第17頁共頁

4a24a2024a24a202當

x時當0min

2

，即AB垂直于x軸最。lxx0min0min0min

lb4b2

4b220minx

l2xlAB過焦點22a2242l，AB2232.由，當

xy00

時，

2b2C33.

0

2b

2Aa2x22200a2222222ABxACxBCyBy000000

34.由弦定理得

FFPFPF121

，所以

F2cc1PFa1

。35.設(shè)

tan

，則點的切線為

secxya

，由此可得：

y

tan

sec

12

b

2

2

236.（1）同15）15,36

1|||2|

24S

2ab

222OP|OQ

22

2

b2（

）

設(shè)

P

cb

,

tOP

2

sec

2

tan

sin

sin

22第18頁共頁

222212222212S

OP

sec

tan

sin

Sb2

sin

22sincos2

sin

22sinsin=sin2sin22

a

4

42

2

22a2S22

37.設(shè)

AB:

xcos,:ysin

，分別代入雙曲線方程得：t

2

2cos

2

2sin

2

，

ct

由參數(shù)t的何義可知：MNt1

2

ab

2

ABt

2cos

2

bsin

2

MN38.由曲線極坐標方程：

MN

pp1coscos2

2

2

2ab

2

，設(shè)OP：

xsinysin

代入雙曲線方程得：

OP

2

2

a2b2b2

，∴

22cos2b22cos21aMNababb39.

設(shè)

l:,yy11

2

，

將

l

的

方

程

代

入

雙

曲

線

得：

y

b

2

2由韋達定理得：

yy12

2b2t

2mtb,y22

2

2

，直線A的方程為1

y

y1x1

，直線AQ2

的方程為

yyx2

x

，聯(lián)立

AP1

和

AQ2

得交點

N

的橫坐標第19頁共頁

aax

y1，入化簡ay22b2tm2b2tam22mtb2t222

a

a所以交點一定在直線

a2

上。引理（張角定理A,C,B三點按順序排列在一條直線上。直線外一點對AC的角α，CB的角為。則：

sinPA40圖41圖40.如，為頂點時，設(shè)

PFxMFPAFP

22bp2AFFH,FMpca

。對F-AMP由張角定理：

sinFP

AFP同理分AFQMFN90

即MFNF當A為頂點時，由39知左頂點AM與、分共線，于是回到上一種情況。41.如，設(shè)

PFxFPFQ12第20頁共頁

0000對

F-QAM2

和

F-AMP1

由

張

角

定

理：

sinFAFAFP2

兩式相加并化簡得：

sinFAFAFQFP21

即FM平

PFA1

，同理平

QFA1

。MFN

即MFNF42.由12即證得。43.設(shè)

y00

，AB：

xxcos，CD：ysiny0

，將AB的方程代入雙線得：

2

cos

2

2

sin

2

2

2

x0

2

y0

2

x

20

2

y

20

2

2

由參數(shù)

t

的幾何意義可知：

tt1

bx2200b22

，同理PD

b200b2cos22

2易知與AB和C，的置關(guān)系一定相同

ABbc22i22i44.對內(nèi)平分線的情況由即證得，下僅證

l

為外角平分線的情況。設(shè)

，則

l

:

seca

x

tanb

y則

l:atan

2

sec

tan

，l1

tan

sec

lsec2

tan

。分別聯(lián)立

l

、

l

和

l

、

l

得：第21頁共頁

222ACF22222ACF22

asec2

，sec22sectana22a則

H

2sec

，

H

2a

對H點sin1

b

a

ay2y2

,tan

a

b22

，代回

x

H

式得：b2ac

a2y2a2y2

a2

2

b2ca2y22cya2

a22a2y22

cy

2

ya2y2

2同理對點c2y2

2

2x

2

H點H點軌跡方程為cy12

2

2x

245.由縮變換

y

y

將雙曲線變?yōu)榈容S雙曲線x222，由旋轉(zhuǎn)變換變?yōu)樽鴺溯S為漸近線的雙曲線ak原來的共軛直徑變?yōu)閮蓷l關(guān)于y軸稱直線。只需證明此情況即可證明原命題。設(shè)

m

km

kk,B,Ctt

，則

kkkyEF:xk，直線AC：mmty

kkxmtt同理：

y

kkkx。點的切線xmttt

。分別聯(lián)立EF與AC，EF與AB，與C點的切線得：x

mt2txmmt

2

。EF

mmmmm

42mx2m2

D第22頁共頁

1MP0P0Pa22121N221MP0P0Pa22121N22由E，，F(xiàn)三點共可知D為的點。46.設(shè)

，由雙曲線極坐標方程：

MN

2pcos

2

epcos1cos2

ep，PFcos

PFe47.由10可

l

為切線

l:

2yyb21

d

b

a2x2

b2

y2

由

rr2x11

2rre12

2x1

2

b

a224x21

41

b

a2b2ex24x22211

2

a

2

b2x21241

2

ab48.同。49.

設(shè)A為M00

AB

2x0ky0

2y0:0

202x0

x0

a22令y得xa2

x0

222a,50.同。51.設(shè)

l:,yy11

2

代入雙曲線方程得22mty2由韋達定理得：

yy12

2bmt,y2t2t2

由A、M三共線得

yM

y1，理2xtyty11BMyN

t2yy1

11

b

2

t

2

2

2

b2

22

2

2

t

2

2

bt

2

b22

2

t

2

2

b2a

aaab(2為一類題（最佳觀畫位置問題給出公式：若有兩定點A

在直線上m>k當

時，∠APB最，其正弦值為

。第23頁共頁

11122222t2B2BB2BBAB11122222t2B2BB2BBAB∴α

1e

當且僅當PF=b時等號。

53.k=

a

1ab,m=a∴α,且僅當PA=時取等ec號。54.k=

a2

1,m=∴α當且僅當PFe2

a

時取等號。55.

設(shè)∠

AFx=2

，

則ppFBa1coscos

cos

a

2

p

2

2

2

2

當且僅當

=90°時等號成立。56.（）設(shè)

:

xy

，代入雙曲線方程得：

cos

ab

tcos

t≠0∴t

cos

cos22cos2（2）設(shè)

y00

則

tan

2a

（3）

PAsin

2

sina2atan

2由（

）：t

t

2t

2

t

2

2

t

a

c

t

57.由58可。（易PQ斜率為斜率不存在時對意x軸的點A都立設(shè)

PQ:x

（0）代入雙曲線方程得b2

則

t2

mt,ybt2

若PBAQBA，

BP

yyytyty0xxB2Bt22ymy2t22t22tt2txx

B

B第24頁共頁

'cc和max,1ccc'cc和max,1ccc（2）作關(guān)x軸對稱點，（）即證。59.同。60.

設(shè)

l:

xcosysin

0,或2

，

代

入

雙

曲

線

方

程

得：

2

2

2n

2

b

ob

4

t

b

bcos

2ab

，同理對

l

傾斜角

2

。CDt

acos

sin

cos

2absin

ab

b

1

sin

a

cos

1

sin

b

1

a

1sin

當時

2a

，

ABCD

b2aaa

，此時

或。當時設(shè)f

11b222a222

，則f

abcc

上增至正無窮，在

bmax,

ab上單調(diào)減，在和之先減后，此時兩者異號。c當

b

時，當

sin

為0或1時

f

有最小值

1cbab

。當

sin

介

于

ac

和

bc

之

間

時：f

2sincsin

22sin2等號成立時

b22sin2

即

4

。而

c44ca

故當a時

f

min

b

2

4

2

8ab，的小值為。a2261,62,63為一類問題出公式P到定點A

的距離之比

k

，第25頁共頁

ebb2ebb2則點的軌跡為一個圓，圓心坐標為

2，圓的半徑為。k下三個題的比值

均為

cb

，代入上述公式得：圓心坐標為

，圓的半徑為

ba

m

。61.m=c，圓心坐標為

，圓的半徑為

。軌跡方程是姊妹圓

y

2

。，圓心坐標為

，圓的半徑為。軌跡方程是姊妹圓

2

2

。a2，心坐標為

b，圓的半徑為。跡方程是姊圓e

y

。64.設(shè)

x,

，由APP

atanQ消去參數(shù)得Q點的軌跡方程：65.同。66.（1）同35

xbya（）基本不等式

AMA'

'

2

（漸近線時取等號），則梯形

'

'

面積趨近于一個最小值12

。AMAMe67.設(shè)AC于M⊥l于D雙線第二定義：EMCMCMe∴過中點。68.（由可知當雙曲線方程為

ab2

時，過點

a22a,0b

。當雙曲線方程變?yōu)?x2y2a2時，雙曲線向右平移了

a

個單位，定點也應(yīng)向右平移了

a

個單位，故此時AB過點

a2a,0b2

即2（2）由692）P為原點，即的跡方程是

222)2

（除原點第26頁共頁

00a2a200000000abbayba22222200a2a200000000abbayba222222QQ69.（1）由可當雙曲線方程為

ab2

時，過定點

aa

22

22

ab

22

22

n

。當雙曲線方程變?yōu)?/p>

(xa2

時，雙曲線向右平移了

a

個單位，定點也應(yīng)向右平移了

a

個單位，故此時AB過定點

aa

22

22

ab

22

22

n

即

(

ab

2

(2)(a,b

22

)

)

。（）證雙曲線中心在原點的情況。雙曲線方程為：

ab2

，

y0

，AB的斜率為

ktan

。由（AB過點

aa

22

2a2x,y22

a222AB：yx

，PQ：y0兩者

1k

x0聯(lián)

立

得

2

2