PAGE1-§11.6幾何概型考綱展示?1.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率．2．了解幾何概型的意義．考點(diǎn)1與長(zhǎng)度(角度)有關(guān)的幾何概型1.幾何概型的定義如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，那么稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)幾何概型．2．幾何概型的兩個(gè)根本特點(diǎn)(1)無(wú)限性：在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果________；(2)等可能性：每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的發(fā)生具有________．答案：(1)有無(wú)限多個(gè)(2)等可能性3．幾何概型的概率計(jì)算公式P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積).[提醒]求解幾何概型問(wèn)題注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．[教材習(xí)題改編]在區(qū)間[－3,5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，那么x∈[1,3]的概率為_(kāi)_________．答案：eq\f(1,4)解析：記“x∈[1,3]〞為事件A，那么由幾何概型的概率計(jì)算公式可得P(A)＝eq\f(3－1,5＋3)＝eq\f(1,4).幾何概型的特點(diǎn)：等可能性；無(wú)限性．給出以下概率模型：①在區(qū)間[－5,5]上任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；②在區(qū)間[－5,5]上任取一個(gè)數(shù)，求取到絕對(duì)值不大于1的數(shù)的概率；③在區(qū)間[－5,5]上任取一個(gè)整數(shù)，求取到大于1的數(shù)的概率；④向一個(gè)邊長(zhǎng)為5cm的正方形ABCD內(nèi)投一點(diǎn)P，求點(diǎn)P與正方形ABCD的中心的距離不超過(guò)1cm的概率．其中，是幾何概型的有__________．(填序號(hào))答案：①②④解析：①在區(qū)間[－5,5]內(nèi)有無(wú)限多個(gè)數(shù)，取到1這個(gè)數(shù)的概率為0，故是幾何概型；②在區(qū)間[－5,5]和[－1,1]內(nèi)有無(wú)限多個(gè)數(shù)(無(wú)限性)，且在這兩個(gè)區(qū)間內(nèi)每個(gè)數(shù)被取到的可能性都相同(等可能性)，故是幾何概型；③在區(qū)間[－5,5]內(nèi)的整數(shù)只有11個(gè)，不滿足無(wú)限性，故不是幾何概型；④在邊長(zhǎng)為5cm的正方形和半徑為1cm的圓內(nèi)均有無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)(無(wú)限性)，且點(diǎn)P落在這兩個(gè)區(qū)域內(nèi)的任何位置的可能性都相同(等可能性)，故是幾何概型．[典題1](1)在區(qū)間[0,2]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，那么事件“－1≤logeq\s\do8(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”發(fā)生的概率為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,4)[答案]A[解析]不等式－1≤logeq\s\do8(\f(1,2))x＋eq\f(1,2)≤1可化為logeq\s\do8(\f(1,2))2≤logeq\s\do8(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤logeq\s\do8(\f(1,2))eq\f(1,2)，即eq\f(1,2)≤x＋eq\f(1,2)≤2，解得0≤x≤eq\f(3,2)，故由幾何概型的概率公式，得P＝eq\f(\f(3,2)－0,2－0)＝eq\f(3,4).(2)[2022·河北衡水一模]在長(zhǎng)為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC，CB的長(zhǎng)，那么該矩形的面積大于20cm2的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(4,5)[答案]C[解析]設(shè)|AC|＝x，那么|BC|＝12－x，所以x(12－x)>20，解得2<x<10，故所求概率P＝eq\f(10－2,12)＝eq\f(2,3).(3)如下圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在30°角的終邊上，任作一條射線OA，那么射線OA落在∠yOT內(nèi)的概率為_(kāi)_______．[答案]eq\f(1,6)[解析]如題圖，因?yàn)樯渚€OA在坐標(biāo)系內(nèi)是等可能分布的，所以O(shè)A落在∠yOT內(nèi)的概率為eq\f(60,360)＝eq\f(1,6).[點(diǎn)石成金]1.與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型如果試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長(zhǎng)度表示，可直接用概率的計(jì)算公式求解．2．與角度有關(guān)的幾何概型當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問(wèn)題時(shí)，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來(lái)計(jì)算概率，且不可用線段的長(zhǎng)度代替，這是兩種不同的度量手段．考點(diǎn)2與體積有關(guān)的幾何概型[典題2][2022·山東濟(jì)南一模]如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，有一動(dòng)點(diǎn)在此長(zhǎng)方體內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，那么此動(dòng)點(diǎn)在三棱錐A－A1BD[答案]eq\f(1,6)[解析]設(shè)事件M＝“動(dòng)點(diǎn)在三棱錐A－A1BD內(nèi)〞，P(M)＝eq\f(V三棱錐A－A1BD,V長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1)＝eq\f(V三棱錐A1－ABD,V長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1)＝eq\f(\f(1,3)AA1·S△ABD,V長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1)＝eq\f(\f(1,3)AA1·\f(1,2)S矩形ABCD,AA1·S矩形ABCD)＝eq\f(1,6).[點(diǎn)石成金]與體積有關(guān)的幾何概型求法的關(guān)鍵點(diǎn)對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題，關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件去求.1.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，那么點(diǎn)P到點(diǎn)答案：1－eq\f(π,12)解析：正方體的體積為2×2×2＝8，以O(shè)為球心，1為半徑且在正方體內(nèi)部的半球的體積為eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πr3＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2,3)π，那么點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為1－eq\f(\f(2,3)π,8)＝1－eq\f(π,12).2．[2022·黑龍江五校聯(lián)考]在體積為V的三棱錐S－ABC的棱AB上任取一點(diǎn)P，那么三棱錐S－APC的體積大于eq\f(V,3)的概率是________．答案：eq\f(2,3)解析：由題意可知，eq\f(VS－APC,VS－ABC)>eq\f(1,3)，三棱錐S－ABC的高與三棱錐S－APC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，那么PM，BN分別為△APC與△ABC的高，所以eq\f(VS－APC,VS－ABC)＝eq\f(S△APC,S△ABC)＝eq\f(PM,BN)>eq\f(1,3)，又eq\f(PM,BN)＝eq\f(AP,AB)，所以eq\f(AP,AB)>eq\f(1,3)，故所求的概率為eq\f(2,3)(即為長(zhǎng)度之比)．考點(diǎn)3與面積有關(guān)的幾何概型(1)[教材習(xí)題改編]如下圖，圓中陰影局部的圓心角為45°，某人向圓內(nèi)投鏢，假設(shè)他每次都投入圓內(nèi)，那么他投中陰影局部的概率為_(kāi)_______．答案：eq\f(1,8)解析：所求概率為eq\f(45°,360°)＝eq\f(1,8).(2)[教材習(xí)題改編]如下圖，在邊長(zhǎng)為a的正方形內(nèi)有不規(guī)那么圖形Ω，向正方形內(nèi)隨機(jī)撒豆子，假設(shè)撒在圖形Ω內(nèi)和正方形內(nèi)的豆子數(shù)分別為m，n，那么圖形Ω面積的估計(jì)值為_(kāi)_________．答案：eq\f(ma2,n)解析：由題意知，不規(guī)那么圖形Ω的面積∶正方形的面積＝m∶n，所以不規(guī)那么圖形Ω的面積＝eq\f(m,n)×正方形的面積＝eq\f(m,n)×a2＝eq\f(ma2,n).幾何概型：構(gòu)成事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)；幾何概型的概率公式．設(shè)一直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)均是區(qū)間(0,1)上的任意實(shí)數(shù)，那么斜邊長(zhǎng)小于eq\f(3,4)的概率為_(kāi)_________．答案：eq\f(9π,64)解析：設(shè)兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，由可知a2＋b2<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2，如下圖，所以所求概率P＝eq\f(\f(1,4)π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2,1×1)＝eq\f(9π,64).[考情聚焦]與面積有關(guān)的幾何概型是近幾年高考的熱點(diǎn)之一．主要有以下幾個(gè)命題角度：角度一與平面圖形面積有關(guān)的問(wèn)題[典題3](1)[2022·廣東七校聯(lián)考]如圖，圓的半徑為10，其內(nèi)接三角形ABC的內(nèi)角A，B分別為60°和45°，現(xiàn)向圓內(nèi)隨機(jī)撒一粒豆子，那么豆子落在三角形ABC內(nèi)的概率為()A.eq\f(3＋\r(3),16π)B.eq\f(3＋\r(3),4π)C.eq\f(4π,3＋\r(3))D.eq\f(16π,3＋\r(3))[答案]B[解析]由正弦定理eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)＝2R(R為圓的半徑)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(BC＝20sin60°，,AC＝20sin45°))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(BC＝10\r(3)，,AC＝10\r(2).))那么S△ABC＝eq\f(1,2)×10eq\r(3)×10eq\r(2)×sin75°＝eq\f(1,2)×10eq\r(3)×10eq\r(2)×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝25(3＋eq\r(3))．于是，豆子落在三角形ABC內(nèi)的概率為eq\f(S△ABC,圓的面積)＝eq\f(253＋\r(3),102π)＝eq\f(3＋\r(3),4π).(2)如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x<0))的圖象上．假設(shè)在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，那么此點(diǎn)取自陰影局部的概率等于()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,8)D.eq\f(1,2)[答案]B[解析]由圖形知C(1,2)，D(－2,2)，∴S矩形ABCD＝6.又S陰＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2)，∴P＝eq\f(\f(3,2),6)＝eq\f(1,4).角度二與線性規(guī)劃交匯命題的問(wèn)題[典題4](1)在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≤eq\f(1,2)〞的概率，p2為事件“xy≤eq\f(1,2)〞的概率，那么()A．p1＜p2＜eq\f(1,2) B．p2＜eq\f(1,2)＜p1C.eq\f(1,2)＜p2＜p1 D．p1＜eq\f(1,2)＜p2[答案]D[解析]如圖，滿足條件的x，y構(gòu)成的點(diǎn)(x，y)在正方形OBCA內(nèi)，其面積為1.事件“x＋y≤eq\f(1,2)〞對(duì)應(yīng)的圖形為陰影△ODE，其面積為eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8)，故p1＝eq\f(1,8)＜eq\f(1,2)；事件“xy≤eq\f(1,2)〞對(duì)應(yīng)的圖形為斜線表示局部，其面積顯然大于eq\f(1,2)，故p2＞eq\f(1,2)，那么p1＜eq\f(1,2)＜p2，應(yīng)選D.(2)[2022·山東棗莊八中模擬]在區(qū)間[1,5]和[2,6]內(nèi)分別取一個(gè)數(shù)，記為a和b，那么方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a<b)表示離心率小于eq\r(5)的雙曲線的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(15,32)C.eq\f(17,32)D.eq\f(31,32)[答案]B[解析]∵e2＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2<5，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2<4，∴eq\f(b,a)<2，即a<b<2a.作出eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤a≤5，,2≤b≤6))表示的區(qū)域如圖，并作出直線b＝2a與b＝a.∴S陰＝4×4－eq\f(1,2)×3×3－eq\f(1,2)×4×2＝eq\f(15,2)，∴所求概率P＝eq\f(S陰,S正方形)＝eq\f(\f(15,2),4×4)＝eq\f(15,32).角度三與定積分交匯命題的問(wèn)題[典題5][2022·福建卷]如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4)，函數(shù)f(x)＝x2，假設(shè)在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，那么此點(diǎn)取自陰影局部的概率等于________．[答案]eq\f(5,12)[解析]∵S＝eq\i\in(1,2,)(4－x2)dx＝＝eq\f(5,3)，∴所求概率P＝eq\f(S,S矩形ABCD)＝eq\f(\f(5,3),1×4)＝eq\f(5,12).[點(diǎn)石成金]求解與面積有關(guān)的幾何概型的關(guān)鍵點(diǎn)求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.[方法技巧]判斷幾何概型中的幾何度量形式的方法(1)當(dāng)題干是雙重變量問(wèn)題，一般與面積有關(guān)系．(2)當(dāng)題干是單變量問(wèn)題，要看變量可以等可能到達(dá)的區(qū)域：假設(shè)變量在線段上移動(dòng)，那么幾何度量是長(zhǎng)度；假設(shè)變量在平面區(qū)域(空間區(qū)域)內(nèi)移動(dòng)，那么幾何度量是面積(體積)，即一個(gè)幾何度量的形式取決于該度量可以等可能變化的區(qū)域．[易錯(cuò)防范]1.準(zhǔn)確把握幾何概型的“測(cè)度〞是解題的關(guān)鍵幾何概型的概率公式中的“測(cè)度〞只與大小有關(guān)，而與形狀和位置無(wú)關(guān)，在解題時(shí)，要掌握“測(cè)度〞為長(zhǎng)度、面積、體積、角度等常見(jiàn)的幾何概型的求解方法．2．幾何概型中，線段的端點(diǎn)、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果．真題演練集訓(xùn)1．[2022·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ]某公司的班車(chē)在7：30,8：00，8：30發(fā)車(chē)，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車(chē)站乘坐班車(chē)，且到達(dá)發(fā)車(chē)站的時(shí)刻是隨機(jī)的，那么他等車(chē)時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)答案：B解析：由題意畫(huà)圖，由圖得等車(chē)時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率為eq\f(1,2).2．[2022·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ]從區(qū)間[0,1]隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，那么用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為()A.eq\f(4n,m)B.eq\f(2n,m)C.eq\f(4m,n)D.eq\f(2m,n)答案：C解析：設(shè)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤xn≤1,0≤yn≤1))構(gòu)成的正方形的面積為S，xeq\o\al(2,n)＋yeq\o\al(2,n)<1構(gòu)成的圖形的面積為S′，所以eq\f(S′,S)＝eq\f(\f(1,4)π,1)＝eq\f(m,n)，所以π＝eq\f(4m,n)，應(yīng)選C.3．[2022·陜西卷]設(shè)復(fù)數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，假設(shè)|z|≤1，那么y≥x的概率為()A.eq\f(3,4)＋eq\f(1,2π) B.eq\f(1,2)＋eq\f(1,π)C.eq\f(1,2)－eq\f(1,π) D.eq\f(1,4)－eq\f(1,2π)答案：D解析：|z|＝eq\r(x－12＋y2)≤1，即(x－1)2＋y2≤1，表示的是圓及其內(nèi)部，如下圖．當(dāng)|z|≤1時(shí)，y≥x表示的是圖中陰影局部，其面積為S＝eq\f(1,4)π×12－eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(π－2,4).又圓的面積為π，根據(jù)幾何概型公式，得概率P＝eq\f(\f(π－2,4),π)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2π).4．[2022·山東卷]在[－1,1]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，那么事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交〞發(fā)生的概率為_(kāi)_______．答案：eq\f(3,4)解析：圓(x－5)2＋y2＝9的圓心為C(5,0)，半徑r＝3，故由直線與圓相交可得eq\f(|5k－0|,\r(k2＋1))<r，即eq\f(|5k|,\r(k2＋1))<3，整理得k2<eq\f(9,16)，得－eq\f(3,4)<k<e