2023屆浙江省名校協(xié)作體高三下學(xué)期開學(xué)聯(lián)考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)，則（????）A． B． C． D．【答案】C【分析】由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)確定集合，由平方的定義確定集合，然后由交集定義計(jì)算．【詳解】，所以，故選：C．2．若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，且，則（????）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可推出，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的除法即可求出.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，所以，所以.故選：C.3．在平行四邊形中，，，設(shè)，，則（????）A． B．C． D．【答案】B【分析】結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)及平面向量的基本定理即可求解.【詳解】因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危?，，，因?yàn)椋?，所以，所以?因?yàn)?，，所以，解得，所以，故選：B.4．已知，，，則，，的大小關(guān)系是A． B．C． D．【答案】B【分析】利用作差法比較a,c大小，再分別比較b,c與的關(guān)系即可求解【詳解】a-c==<0,故又故3>,故,即b>,又＜故,故即c＜,所以b＞c,綜上，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查比較對數(shù)值的大小，對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，作差法，插入中間值，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是難題5．已知一個(gè)裝滿水的圓臺(tái)形容器的上底半徑為6，下底半徑為1，高為，若將一個(gè)鐵球放入該容器中，使得鐵球完全沒入水中，則可放入的鐵球的表面積的最大值為（????）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出表面積最大時(shí)的剖面圖，分析出此時(shí)圓與上底，兩腰相切，建立合適直角坐標(biāo)系，設(shè)圓心坐標(biāo)為，利用圓心到腰所在直線等于半徑列出方程，解出即可.【詳解】表面積最大時(shí)，沿上下底面直徑所在平面作出剖面圖如圖所示，顯然此時(shí)圓與等腰梯形的上底以及兩腰相切，則建立如圖所示直角坐標(biāo)系，由題意得，，則，則直線所在直線方程為，即設(shè)，表面積最大時(shí)球的半徑為，則，則點(diǎn)到直線的距離等于半徑，則有，解得或，，，此時(shí)，則故選：.6．如圖，設(shè)，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作漸近線的平行線交另外一條漸近線于點(diǎn)，若的面積為，離心率滿足，則雙曲線的方程為（????）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)幾何關(guān)系列出關(guān)于漸近線傾斜角與面積的等量關(guān)系式，求出漸近線的傾斜角，從而根據(jù)漸近線方程計(jì)算的值，確定雙曲線的方程【詳解】設(shè)雙曲線的漸近線的傾斜角為，則，在等腰三角形中，根據(jù)正弦定理可得：，得，所以，解得或，又，，所以，從而，所以雙曲的方程為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題目比較巧妙的地方在于借助漸近線的傾斜角，得到傾斜角與的關(guān)系，結(jié)合解三角形的方法來表示三角形的面積，求出的值；題目也可以用漸近線方程直接求解7．從1至10這10個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)中任意兩數(shù)都互質(zhì)的概率為（????）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求總的情況個(gè)數(shù),再求滿足3個(gè)數(shù)中任意兩數(shù)都互質(zhì)的情況個(gè)數(shù),應(yīng)用古典概型概率公式求解即可.【詳解】從1至10這10個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取3個(gè)不同的數(shù)滿足3個(gè)數(shù)中任意兩數(shù)都互質(zhì),3個(gè)數(shù)中包括的最小數(shù)是,其它個(gè)數(shù)可以是個(gè)偶數(shù),個(gè)奇數(shù),共有種互質(zhì)數(shù);3個(gè)數(shù)中包括的最小數(shù)是,其它個(gè)數(shù)可以是個(gè)奇數(shù),共有種互質(zhì)數(shù);3個(gè)數(shù)中包括的最小數(shù)是,其它個(gè)數(shù)可以是3個(gè)偶數(shù),2個(gè)奇數(shù),共有種互質(zhì)數(shù);3個(gè)數(shù)中包括的最小數(shù)是4,其它2個(gè)數(shù)可以是3個(gè)奇數(shù),共有種互質(zhì)數(shù);3個(gè)數(shù)中包括的最小數(shù)是5,其它2個(gè)數(shù)可以是2個(gè)偶數(shù),2個(gè)奇數(shù)共有種互質(zhì)數(shù);3個(gè)數(shù)中包括的最小數(shù)是6，無滿足條件的其它2個(gè)數(shù)；3個(gè)數(shù)中包括的最小數(shù)是7，其它2個(gè)數(shù)可以是2個(gè)偶數(shù)，1個(gè)奇數(shù)，共有2種互質(zhì)數(shù)；最小數(shù)是大于等于8，無滿足條件的3個(gè)互質(zhì)數(shù)；綜上共有種互質(zhì)數(shù)組。所以3個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為故選:.8．設(shè)單調(diào)遞增函數(shù)滿足：對任意，均有，則（????）A． B．C． D．【答案】C【分析】可先證明一個(gè)引理：如果存在，使得，則任意，總有，再根據(jù)這個(gè)引理分析的取值，從而可得正確的結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋驶?，所以或，證明一個(gè)引理：如果存在，使得，則任意，總有.用反證法證明如下：假設(shè)存在，有，由可得，對任意的，則有，而或，故，又或，若，則即，與矛盾；故任意的，總有.因?yàn)?，故存在非?fù)整數(shù)，使得.由前述證明可知：同理有：任意的，總有；任意的，總有；任意的，總有；這樣矛盾，故引理得證.又或，若，由引理可得當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)排除BD.若，此時(shí)，此時(shí)排除A.因?yàn)榛?，此時(shí)總有，故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：給定抽象函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)值的取值集合的問題，可根據(jù)函數(shù)值的形式結(jié)合單調(diào)性猜測并證明一個(gè)引理，從而便于問題的處理.二、多選題9．已知函數(shù)，則（????）A． B．的最小正周期為C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增【答案】BD【分析】由正切函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可得結(jié)論．【詳解】，故A錯(cuò)誤；函數(shù)的最小正周期為，故B正確；時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，故D正確．故選：．10．已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（?????）A．若軸，則 B．若，則的面積為C．長度的最小值為 D．若，則【答案】ABD【分析】由拋物線的焦半徑公式可求得A正確；由拋物線焦半徑公式可求得，根據(jù)可知B正確；通過反例可知C錯(cuò)誤；設(shè)，，利用可求得，進(jìn)而得到，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可得，利用基本不等式可求得D正確.【詳解】對于A，由拋物線方程知：，則，，A正確；對于B，，，，解得：，，B正確；對于C，當(dāng)，時(shí)，，最小值不是，C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)，，由知：，即，解得：（舍）或，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，D正確.故選：ABD.11．已知圓錐PO的軸截面PAB是等腰直角三角形，，M是圓錐側(cè)面上一點(diǎn)，若點(diǎn)M到圓錐底面的距離為1，則（????）A．點(diǎn)M的軌跡是半徑為1的圓 B．存在點(diǎn)M，使得C．三棱錐體積的最大值為 D．的最小值為【答案】ACD【分析】根據(jù)點(diǎn)M到圓錐底面的距離為1易知其軌跡為到底面距離為1的圓；選項(xiàng)B、D的存在性及最值與點(diǎn)M的位置有關(guān)，用點(diǎn)M在圓錐底面的射影N與O、A形成的來刻畫點(diǎn)M的位置，把目標(biāo)角的余弦用表示，進(jìn)而分析運(yùn)算判斷即可．【詳解】解：因?yàn)闉榈妊苯侨切?，，所以P到圓錐底面的距離為2，又M是圓錐側(cè)面上一點(diǎn)，并且點(diǎn)M到圓錐底面的距離為1，故點(diǎn)M的軌跡是半徑為1的圓，故A正確；設(shè)點(diǎn)M在圓錐底面上的射影為N，連接ON，AN，MN，，，如圖設(shè)，，則，所以，當(dāng)M為PA的中點(diǎn)時(shí)，AM最小，最小值為，當(dāng)M為PB的中點(diǎn)時(shí)，AM最大，最大值為，又易知，，所以，因?yàn)椋蔅錯(cuò)誤；，，易得點(diǎn)M到平面PAB的距離的最大值為1，，所以三棱錐體積的最大值為，故C正確；連接BN，，，所以的最小值為，故D正確.故選：ACD．【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵是要有函數(shù)的思想即用來刻畫點(diǎn)M的位置，因?yàn)榕c都與點(diǎn)M的位置有關(guān)；其次要利用圓錐的對稱性設(shè)，這樣研究問題更加簡便．12．已知數(shù)列滿足，且，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（????）A． B．C． D．【答案】AD【分析】對于A,證明數(shù)列單調(diào)遞減即得解；對于B，證明即得解；對于C，隨著減小，從而增大．即得解；對于D，證明即得解.【詳解】對于A:,,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),若,又因?yàn)閯t,則，則,又因?yàn)樗运裕O(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.所以所以所以由,當(dāng)時(shí),因?yàn)椋?則,同理得,當(dāng)時(shí)，；所以，所以數(shù)列單調(diào)遞減.則,所以選項(xiàng)A正確.對于B：由前面得．下面證明．只需證明，令，，令，則，∴成立．所以，所以，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于C：，設(shè)，設(shè)，則．所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以隨著減小，從而增大．所以，即．所以C錯(cuò)誤．對于D：一般地，證明：．只需證明．．令，則，∴成立．所以，所以．所以D正確．故選：.三、填空題13．寫出一條與直線平行且與圓相切的直線方程___________.【答案】或【分析】根據(jù)題意設(shè)出所求直線方程為，且，利用圓心到直線的距離求出即可得直線方程.【詳解】解：設(shè)與直線平行的直線為，且圓整理為，則圓心為，半徑又直線與圓相切則圓心到直線的距離為，解得或則直線方程為：或.故答案為：或14．已知，則_____________.【答案】30【分析】利用二項(xiàng)式定理的原理與組合的意義求解即可.【詳解】因?yàn)椋允呛?xiàng)的系數(shù)，若從10個(gè)式子中取出0個(gè)，則需要從中取出3個(gè)，7個(gè)1，則得到的項(xiàng)為；若從10個(gè)式子中取出1個(gè)，則需要從中取出1個(gè)，8個(gè)1，則得到的項(xiàng)為；若從10個(gè)式子中取出大于或等于2個(gè)，則無法得到含的項(xiàng)；綜上：含的項(xiàng)為，則含項(xiàng)的系數(shù)為，即.故答案為：.15．設(shè)，是函數(shù)（）的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，則的最小值為______．【答案】【分析】根據(jù)極值點(diǎn)定義可將問題轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)不同交點(diǎn)；化簡得到，利用換元法令，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出，將參數(shù)分離出來，構(gòu)造函數(shù)，即可得出.【詳解】，是的兩個(gè)極值點(diǎn)，是的兩根，又當(dāng)時(shí)，方程不成立，即，兩式作比得到:==，所以，令，所以令，則令，則所以在上單調(diào)遞減，所以所以在上單調(diào)遞減，所以令，則恒成立所以在上單調(diào)遞減，即故答案為：.16．已知體積為6的四面體滿足，，，則異面直線與所成的角的大小為______．【答案】或【分析】過點(diǎn)作且，則為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，然后根據(jù)錐體體積公式結(jié)合條件可得的長，在中結(jié)合條件即得.【詳解】如圖過點(diǎn)作且，連接，所以為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，由題可知是正方形，所以，因?yàn)椋?，所以，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以，過作于，由平面，平面，所以，又平面，所以平面，因?yàn)樗拿骟w體積為6，則四棱錐的體積為，所以，又，所以，又，所以或，當(dāng)時(shí)，為等邊三角形，，在中,，，當(dāng)時(shí)，，，在中,，，所以異面直線與所成的角的大小為或.故答案為：或.四、解答題17．中，，，分別是角，，的對邊，且有.(1)求角；(2)當(dāng)，時(shí)，求的面積.【答案】(1)或或(2)或【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換將式子化簡，即可求出角的大??；（2）先根據(jù)余弦定理求出邊的長度，再根據(jù)三角形面積公式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，即，所以或，解得或?（2）因?yàn)椋?，所以，根?jù)余弦定理得，所以，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的面積的面積為或.18．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）求出即得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用與的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出，再利用分組求和求數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】（1）解：令，令，又，所以，即．所以，，①?????．②兩式相減得，，即是公比為2的等比數(shù)列，且，所以．（2）解：由可得，．累加可得，，而，∴.19．如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，點(diǎn)D是棱BC的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)在棱上AC是否存在點(diǎn)M，其中，使得平面與平面所成角的大小為60°，若存在，求出；若不存在，說明理由．【答案】(1)見解析(2)存在，【分析】（1）根據(jù)三角形中位線得線線平行，即可證明線面平行，（2）根據(jù)空間向量，利用法向量的夾角即可求解.【詳解】（1）連接交于點(diǎn),由于四邊形為矩形，所以為的中點(diǎn)，又點(diǎn)D是棱BC的中點(diǎn)，故在中，是的中位線，因此,平面，平面,所以平面（2）由平面ABC，可知，三棱柱為直三棱柱，且底面為直角三角形，故以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系;則由得,,設(shè)平面的法向量為，則，取，得，,設(shè)平面的法向量為，則，取，得，故，化簡得由于，所以，故棱上AC存在點(diǎn)M，其中，即，使得平面與平面所成角的大小為60°.20．文淵中學(xué)計(jì)劃在2023年2月舉行趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中設(shè)置“夾球接力跑”項(xiàng)目，需要男同學(xué)和女同學(xué)一起合作完成．高一（15）班代表隊(duì)共派出3個(gè)小組（編號(hào)為，，）角逐該項(xiàng)目，每個(gè)小組由1名男生和2名女生組成，其中男生單獨(dú)完成該項(xiàng)目的概率為0.6，女生單獨(dú)完成該項(xiàng)目的概率為（）．假設(shè)他們參加比賽的機(jī)會(huì)互不影響，記每個(gè)小組能完成比賽的人數(shù)為．(1)證明：在的概率分布中，最大；(2)如果比賽當(dāng)天天氣出現(xiàn)異常，則將臨時(shí)更改比賽規(guī)則：每個(gè)代表隊(duì)每次指派一個(gè)小組，比賽時(shí)間一分鐘，如果一分鐘內(nèi)不能完成，則重新指派另一組參賽．高一（15）班代表隊(duì)的領(lǐng)隊(duì)了解后發(fā)現(xiàn)，小組能順利完成比賽的概率為（），且各個(gè)小組能否完成比賽相互獨(dú)立．在更改比賽規(guī)則后，領(lǐng)隊(duì)如何安排小組的出場順序能使指派的小組個(gè)數(shù)的均值最小？請給出證明．【答案】(1)證明見解析(2)出場順序均值最小,證明見解析【分析】（1）由已知的所有可能取值為，分別求出對應(yīng)的概率，再利用作差法比較與、、的大小關(guān)系即可得證；（2）結(jié)合（1）知，可得結(jié)論，證明時(shí)，設(shè)三個(gè)小組按照某順序派出，該順序下三個(gè)小組能完成項(xiàng)目的概率為，記在比賽時(shí)所需派出的小組個(gè)數(shù)為，則，然后求出的分布列和數(shù)學(xué)期望，進(jìn)而得證.【詳解】（1）由已知，的所有可能取值為，所以概率最大（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，有的值最大，且，，所以應(yīng)當(dāng)以的順序安排小組的出場順序，可以使得指派的小組個(gè)數(shù)的均值最小.證明如下：假設(shè)為的任意一個(gè)排列，即若三個(gè)小組按照某順序派出，該順序下三個(gè)小組能完成項(xiàng)目的概率為，記在比賽時(shí)所需派出的小組個(gè)數(shù)為，則，且的分布列為數(shù)學(xué)期望下面證明所以按照完成任務(wù)概率從大到小的的順序安排小組的出場順序，可以使得指派的小組個(gè)數(shù)的均值最小.21．已知曲線：經(jīng)過點(diǎn)，．(1)求曲線的方程；(2)已知定點(diǎn)，過的直線與曲線交于A，B兩點(diǎn)，過的直線與曲線交于C，D兩點(diǎn)．若A，C，M三點(diǎn)共線，證明：B，D，M三點(diǎn)共線．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)曲線經(jīng)過點(diǎn)，列方程，解方程得到，，即可得到曲線的方程；（2）設(shè)：，：，聯(lián)立直線和曲線的方程，利用韋達(dá)定理得到，，同理得到，，聯(lián)立直線AC與曲線的方程得到，，根據(jù)，，三點(diǎn)共線和韋達(dá)