第四節(jié)導數(shù)應用一、中值定理二、L’Hospital法則三、函數(shù)單調(diào)性與極值四、函數(shù)最大值與最小值五、曲線凹凸性與拐點六、函數(shù)曲線漸近線七、函數(shù)作圖第四節(jié)導數(shù)的應用第1頁一、中值定理定理2-3

費馬（Fermat）定理

設函數(shù)在點及其鄰域里連續(xù)，且當在此鄰域里時，總有[或總有].則當存在時,有.

證實:設,則對附近任意一點都有.當時,,則有當時,,則有第四節(jié)導數(shù)的應用第2頁所以,若存在,所以只有,時類似.定理2-4

羅爾（Rolle）定理

設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導,且，則在內(nèi)最少有一點,使得

.第四節(jié)導數(shù)的應用第3頁幾何解釋:

證實:若在上為常數(shù),則.那么內(nèi)任何一點都可取作,而且,.

設在上不是常數(shù),由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì),在上必有最大值和最小值,且與中最少有一個不等于.不妨假設,則在內(nèi)最少存在一點,使.因為,故存在,由定理2-3得知.第四節(jié)導數(shù)的應用第4頁證實:因為

例2-35

已知函數(shù).直接判斷方程之實根個數(shù)與范圍.所以,由羅爾定理可知第四節(jié)導數(shù)的應用第5頁定理2-5

拉格朗日(Lagrange）中值定理

設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導,則在內(nèi)最少有一點,使幾何解釋:第四節(jié)導數(shù)的應用第6頁證實:

分析:化為羅爾定理結(jié)論形式作輔助函數(shù)第四節(jié)導數(shù)的應用第7頁

注意:拉氏公式準確地表示了函數(shù)在一個區(qū)間上增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處導數(shù)之間關系.推論1推論2第四節(jié)導數(shù)的應用第8頁例2-36證實證實:第四節(jié)導數(shù)的應用第9頁例2-37證實對任意實數(shù)和,總有證實:第四節(jié)導數(shù)的應用第10頁比如二、L’Hospital法則1．第四節(jié)導數(shù)的應用第11頁定理2-6L’Hospital法則設函數(shù)與滿足以下三個條件(1)當(或)時,函數(shù)與都趨于或都趨于;(2)當(或)時,函數(shù)與都存在,且;(3)存在或者無窮大則當或時,第四節(jié)導數(shù)的應用第12頁例2-38解:例2-39解:第四節(jié)導數(shù)的應用第13頁例2-40解:例2-41解:第四節(jié)導數(shù)的應用第14頁方法：將其它類型未定式化為洛必達法則可處理類型.方法:2．（1）例2-42解:第四節(jié)導數(shù)的應用第15頁方法:（2）例2-43解:第四節(jié)導數(shù)的應用第16頁方法:解:（3）例2-44第四節(jié)導數(shù)的應用第17頁解:解:例2-45例2-46第四節(jié)導數(shù)的應用第18頁解:例極限不存在洛必達法則失效注意：洛必達法則不是萬能第四節(jié)導數(shù)的應用第19頁三、函數(shù)單調(diào)性與極值1．函數(shù)單調(diào)性

定理2-7設在區(qū)間內(nèi)可導且[或],則在區(qū)間上是單調(diào)增加(單調(diào)降低).第四節(jié)導數(shù)的應用第20頁證:應用拉氏定理,得第四節(jié)導數(shù)的應用第21頁例2-47解:例2-48求函數(shù)單調(diào)區(qū)間.解:單調(diào)區(qū)間為第四節(jié)導數(shù)的應用第22頁例2-49證實當時,.解:設所以,當時,即注意：求單調(diào)區(qū)間方法第四節(jié)導數(shù)的應用第23頁解:單調(diào)區(qū)間為例2-50第四節(jié)導數(shù)的應用第24頁2．函數(shù)極值第四節(jié)導數(shù)的應用第25頁

函數(shù)極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值點稱為極值點.

定義2-3

設函數(shù)在處及其鄰域內(nèi)有定義,若在此鄰域內(nèi)總有[或]

則稱為一個極大值[或極小值].并稱為極大值點[或極小值點].

定理2-8設函數(shù)在點處可導,且在處取得極值,則.滿足點,稱為駐點.第四節(jié)導數(shù)的應用第26頁

注意:可導函數(shù)極值點必定是駐點,但函數(shù)駐點不一定是極值點.比如怎樣來判斷駐點是極值點呢?

定理2-9(第一判別法)設函數(shù)在點某鄰域內(nèi)可導,且;(1)若時，時,則在點取得極大值.(2)若時，時,則在點取得極小值.第四節(jié)導數(shù)的應用第27頁(是極值點情形)(3)若當在兩側(cè)時,符號不變，則在點不取極值.(不是極值點情形)注意:函數(shù)不可導點,也可能是函數(shù)極值點.第四節(jié)導數(shù)的應用第28頁求極值步驟:如函數(shù)在不可導,但取得極小值.第四節(jié)導數(shù)的應用第29頁解:列表討論極大值極小值例2-51求極值.第四節(jié)導數(shù)的應用第30頁

定理2-10(第二判別法)設函數(shù)在點有二階導數(shù),且.(1)若,則是極大值;(2)若,則是極大值;(3)若,無法判斷是否在處取得極值.證實:第四節(jié)導數(shù)的應用第31頁解:例2-52求極值.注意:第四節(jié)導數(shù)的應用第32頁四、函數(shù)最大值與最小值求最大值與最小值步驟:(1)求駐點和不可導點;(2)求區(qū)間端點及駐點和不可導點函數(shù)值,比較大小,那個最大就是最大值,那個最小就是最小值;

注意:假如區(qū)間內(nèi)只有一個極值,則這個極值就是最值.(最大值或最小值)第四節(jié)導數(shù)的應用第33頁解:計算得例2-52求函數(shù)在最值.比較得:實際問題求最值應注意:(1)建立目標函數(shù);(2)求最值第四節(jié)導數(shù)的應用第34頁

例2-53胚胎發(fā)育階段,主血管分出支血管,以向距主血管距離為組織供血.假如支血管與主血管垂直,則支血管長度為最小.顯然,較小,則血液從分支點流到處所需平均血壓就較小.不過供血血壓不但與支血管長度相關,還與支血管與主血管夾角相關.設正比于與之積,百分比系數(shù)為.試以所給條件為依據(jù),說明存在最正確角度,使最小,從而有利于心血管系統(tǒng).解:由直角三角形邊角關系,第四節(jié)導數(shù)的應用第35頁令因為這是唯一極值,所以也是最小值.第四節(jié)導數(shù)的應用第36頁

例2-54肌肉注射或皮下注射藥品后,血中藥品濃度可表示為解令,可得

其中、、是大于零常數(shù),且,問時間為何值時,藥品濃度為最大,最大濃度是多少?第四節(jié)導數(shù)的應用第37頁故時,取極大值.

因為C在上只有一個極大值點,且,即當初間時,血藥濃度為最大,其最大濃度為.所以時,C到達最大值第四節(jié)導數(shù)的應用第38頁問題:怎樣研究曲線彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦上方圖形上任意弧段位于所張弦下方五、曲線凹凸性與拐點凹凸第四節(jié)導數(shù)的應用第39頁定義2-4那么稱在內(nèi)圖形是凹(或凸).觀察有什么結(jié)論？第四節(jié)導數(shù)的應用第40頁定理2-11例2-54解:注意到,第四節(jié)導數(shù)的應用第41頁

求拐點步驟:連續(xù)曲線上凹凸分界點稱為曲線拐點.

注意:第四節(jié)導數(shù)的應用第42頁凹凸凹拐點非拐點解:例2-55討論曲線凹凸性并求拐點.不存在第四節(jié)導數(shù)的應用第43頁定義2-5:六、函數(shù)曲線漸近線1.垂直漸近線比如有垂直漸近線:第四節(jié)導數(shù)的應用第44頁2.水平漸近線比如有水平漸近線兩條:第四節(jié)導數(shù)的應用第45頁3.斜漸近線假如且例2-56求漸近線.解:第四節(jié)導數(shù)的應用第46頁七、函數(shù)作圖第四節(jié)導數(shù)的應用第47頁利用函數(shù)特征描繪函數(shù)圖形步驟第二步判斷函數(shù)周期性與奇偶性;

求函數(shù)定義域,以確定描繪范圍;第一步第四步

確定這些區(qū)間上、符號,并由此討論曲線升降和凹凸,以及極值點和拐點;第三步

求一階導數(shù)和二階導數(shù),并在定義域內(nèi),求出使、為零點和不存在點.把這些點由小到大排序,從而把定義域分成若干區(qū)間,然后列表；第五步

確定漸近線,并依據(jù)需要補充曲線與坐標軸交點坐標.最終依據(jù)列表內(nèi)容繪出函數(shù)曲線圖像.第四節(jié)導數(shù)的應用第48頁例2-57描繪函數(shù)曲線圖像.

解:函數(shù)定義域為.是奇函數(shù),關于原點對稱,故必有.解得令得令得