PAGE專題三力與物體的曲線運動第1講：力學中的曲線運動一、夯實根底1.如圖1所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向運動，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板為參照物()圖1A.帆船朝正東方向航行，速度大小為vB.帆船朝正西方向航行，速度大小為vC.帆船朝南偏東45°方向航行，速度大小為eq\r(2)vD.帆船朝北偏東45°方向航行，速度大小為eq\r(2)v2.如圖2所示，某輪渡站兩岸的碼頭A和B正對，輪渡沿直線往返于兩碼頭之間，水流速度恒定且小于船速.以下說法正確的選項是()圖2A.往返所用的時間不相等B.往返時船頭均應垂直河岸航行C.往返時船頭均應適當偏向上游D.從A駛往B，船頭應適當偏向上游，返回時船頭應適當偏向下游3.如圖3所示，在斜面頂端A以速度v水平拋出一小球，經(jīng)過時間t1恰好落在斜面的中點P；假設在A點以速度2v水平拋出小球，經(jīng)過時間t2完成平拋運動.不計空氣阻力，那么()圖3A.t2>2t1B.t2＝2t1C.t2<2t1 D.落在B點4.從A點斜向上拋出一個小球，曲線ABCD是小球運動的一段軌跡.建立如圖4所示的正交坐標系xOy，x軸沿水平方向，軌跡上三個點的坐標分別為A(－L,0)、C(L,0)，D(2L,3L)，小球受到的空氣阻力忽略不計，軌跡與y軸的交點B的坐標為()圖4A.(0，eq\f(L,2)) B.(0，－L)C.(0，－eq\f(3L,2)) D.(0，－2L)二、能力提升5.如圖5所示，正方體空心框架ABCD－A1B1C1D1下外表在水平地面上，將可視為質(zhì)點的小球從頂點A在∠BAD所在范圍內(nèi)(包括邊界)沿不同的水平方向分別拋出，落點都在△B1C1D1平面內(nèi)(包括邊界).不計空氣阻力，以地面為重力勢能參考平面.那么以下說法正確的選項是()圖5A.小球初速度的最小值與最大值之比是1∶eq\r(2)B.落在C1點的小球，運動時間最長C.落在B1D1線段上的小球，落地時機械能的最小值與最大值之比是1∶2D.軌跡與AC1線段相交的小球，在交點處的速度方向都相同6.(多項選擇)如圖6所示，傾角為37°的光滑斜面頂端有甲、乙兩個小球，甲以初速度v0水平拋出，乙以初速度v0沿斜面運動，甲、乙落地時，末速度方向相互垂直，重力加速度為g，那么()圖6A.斜面的高度為eq\f(8v\o\al(2,0),9g)B.甲球落地時間為eq\f(3v0,4g)C.乙球落地時間為eq\f(20v0,9g)D.乙球落地速度大小為eq\f(7v0,3)7.如圖7所示，“倫敦眼〞(TheLondonEye)是世界上最大的觀景摩天輪，僅次于南昌之星與新加坡觀景輪.它總高度135米(443英尺)，屹立于倫敦泰晤士河南畔的蘭貝斯區(qū).現(xiàn)假設摩天輪正繞中間的固定軸做勻速圓周運動，那么對于坐在輪椅上觀光的游客來說，正確的說法是()圖7A.因為摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動，所以游客受力平衡B.當摩天輪轉(zhuǎn)到最高點時，游客處于失重狀態(tài)C.因為摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動，所以游客的機械能守恒D.當摩天輪轉(zhuǎn)到最低點時，座椅對游客的支持力小于所受的重力8.如圖8所示，ABC為在豎直平面內(nèi)的金屬半圓環(huán)，AC連線水平，AB為固定在A、B兩點間的直的金屬棒，在直棒上和半圓環(huán)的BC局部分別套著兩個相同的小圓環(huán)M、N，現(xiàn)讓半圓環(huán)繞對稱軸以角速度ω做勻速轉(zhuǎn)動，半圓環(huán)的半徑為R，小圓環(huán)的質(zhì)量均為m，金屬棒和半圓環(huán)均光滑，重力加速度為g，小圓環(huán)可視為質(zhì)點，那么M、N兩圓環(huán)做圓周運動的線速度之比為()圖8A.eq\f(g,\r(R2ω4－g2)) B.eq\f(\r(g2－R2ω4),g)C.eq\f(g,\r(g2－R2ω4)) D.eq\f(\r(R2ω4－g2),g)三、課外拓展9.如圖9所示，有一陀螺其下部是截面為等腰直角三角形的圓錐體、上部是高為h的圓柱體，其上外表半徑為r，轉(zhuǎn)動角速度為ω.現(xiàn)讓旋轉(zhuǎn)的陀螺以某水平速度從距水平地面高為H的光滑桌面上水平飛出后恰不與桌子邊緣發(fā)生碰撞，陀螺從桌面水平飛出時，陀螺上各點中相對桌面的最大速度值為(運動中其轉(zhuǎn)動軸一直保持豎直，空氣阻力不計)()圖9A.eq\r(\f(gr,2)) B.eq\r(\f(gr,2)＋ω2r2)C.eq\r(\f(gr,2))＋ωr D.req\r(\f(g,2h＋r))＋ωr10.如圖10所示，豎直面內(nèi)半徑為R的光滑半圓形軌道與水平光滑軌道相切于D點.a、b、c三個相同的物體由水平局部分別向半圓形軌道滑去，最后重新落回到水平面上時的落點到切點D的距離依次為AD<2R，BD＝2R，CD>2R.設三個物體離開半圓形軌道在空中飛行時間依次為ta、tb、tc，三個物體到達水平面的動能分別為Ea、Eb、Ec，那么下面判斷正確的選項是()圖10A.Ea＝EbB.Ec＝EbC.tb＝tcD.ta＝tb11.一長l＝0.8m的輕繩一端固定在O點，另一端連接一質(zhì)量m＝0.1kg的小球，懸點O距離水平地面的高度H＝1m.開始時小球處于A點，此時輕繩拉直處于水平方向上，如圖11所示.讓小球從靜止釋放，當小球運動到B點時，輕繩碰到懸點O正下方一個固定的釘子P時立刻斷裂.不計輕繩斷裂的能量損失，取重力加速度g＝10m/s2.圖11(1)求當小球運動到B點時的速度大小；(2)繩斷裂后球從B點拋出并落在水平地面的C點，求C點與B點之間的水平距離；(3)假設xOP＝0.6m，輕繩碰到釘子P時繩中拉力到達所能承受的最大拉力斷裂，求輕繩能承受的最大拉力.12．如圖12所示，半徑R＝2.5m的光滑半圓軌道ABC與傾角θ＝37°的粗糙斜面軌道DC相切于C點，半圓軌道的直徑AC與斜面垂直．質(zhì)量m＝1kg的小球從A點左上方距A點高h＝0.45m的P點以某一速度v0水平拋出，剛好與半圓軌道的A點相切進入半圓軌道內(nèi)側(cè)，之后經(jīng)半圓軌道沿斜面剛好滑到與拋出點等高的D點．當?shù)氐闹亓铀俣萭＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不計空氣阻力，求：圖12(1)小球從P點拋出時的速度大小v0；(2)小球從C點運動到D點過程中摩擦力做的功W；(3)小球從D點返回經(jīng)過軌道最低點B的壓力大小．四、高考鏈接13．(2022·新課標全國Ⅰ·18)一帶有乒乓球發(fā)射機的乒乓球臺如圖13所示．水平臺面的長和寬分別為L1和L2，中間球網(wǎng)高度為h.發(fā)射機安裝于臺面左側(cè)邊緣的中點，能以不同速率向右側(cè)不同方向水平發(fā)射乒乓球，發(fā)射點距臺面高度為3h.不計空氣的作用，重力加速度大小為g.假設乒乓球的發(fā)射速率v在某范圍內(nèi)，通過選擇適宜的方向，就能使乒乓球落到球網(wǎng)右側(cè)臺面上，那么v的最大取值范圍是()圖13A.eq\f(L1,2)eq\r(\f(g,6h))＜v＜L1eq\r(\f(g,6h))B.eq\f(L1,4)eq\r(\f(g,h))＜v＜eq\r(\f(4L\o\al(2,1)＋L\o\al(2,2)g,6h))C.eq\f(L1,2)eq\r(\f(g,6h))＜v＜eq\f(1,2)eq\r(\f(4L\o\al(2,1)＋L\o\al(2,2)g,6h))D.eq\f(L1,4)eq\r(\f(g,h))＜v＜eq\f(1,2)eq\r(\f(4L\o\al(2,1)＋L\o\al(2,2)g,6h))14．(多項選擇)(2022·浙江理綜·19)如圖14所示為賽車場的一個水平“U〞形彎道，轉(zhuǎn)彎處為圓心在O點的半圓，內(nèi)外半徑分別為r和2r.一輛質(zhì)量為m的賽車通過AB線經(jīng)彎道到達A′B′線，有如下圖的①、②、③三條路線，其中路線③是以O′為圓心的半圓，OO′＝r.賽車沿圓弧路線行駛時，路面對輪胎的最大徑向靜摩擦力為Fmax.選擇路線，賽車以不打滑的最大速率通過彎道(所選路線內(nèi)賽車速率不變，發(fā)動機功率足夠大)，那么()圖14A．選擇路線①，賽車經(jīng)過的路程最短B．選擇路線②，賽車的速率最小C．選擇路線③，賽車所用時間最短D．①、②、③三條路線的圓弧上，賽車的向心加速度大小相等15．(2022·海南單科·14)如圖15所示，位于豎直平面內(nèi)的光滑軌道由四分之一圓弧ab和拋物線bc組成，圓弧半徑Oa水平，b點為拋物線頂點．h＝2m，s＝eq\r(2)m．取重力加速度大小g＝10m/s2.圖15(1)一小環(huán)套在軌道上從a點由靜止滑下，當其在bc段軌道運動時，與軌道之間無相互作用力，求圓弧軌道的半徑；(2)假設環(huán)從b點由靜止因微小擾動而開始滑下，求環(huán)到達c點時速度的水平分量的大?。?/p>

參考答案1.答案D解析以帆板為參照物，即把帆板看做靜止，那么帆船相對于帆板有向東的速度v及向北的速度v；由矢量合成可知，二者的合速度v合＝eq\r(2)v，方向北偏東45°.2.答案C解析根據(jù)矢量的合成法那么，及各自速度恒定，那么它們的合速度也確定，那么它們所用的時間也相等，故A錯誤；從A到B，合速度方向垂直于河岸，水流速度水平向右，根據(jù)平行四邊形定那么，那么船頭的方向偏向上游一側(cè).從B到A，合速度的方向仍然垂直于河岸，水流速度水平向右，船頭的方向仍然偏向上游一側(cè).故C正確，B、D錯誤.3.答案C解析在斜面頂端A以速度v水平拋出一小球，經(jīng)過時間t1恰好落在斜面的中點P，有tanθ＝eq\f(\f(1,2)gt\o\al(2,1),vt1)，解得t1＝eq\f(2vtanθ,g)，水平位移x＝vt1＝eq\f(2v2tanθ,g)，初速度變?yōu)樵瓉淼?倍，假設還落在斜面上，水平位移應該變?yōu)樵瓉淼?倍，可知在A點以速度2v水平拋出小球，小球?qū)⒙湓谒矫嫔?可知兩球下降的高度之比為1∶2，根據(jù)t＝eq\r(\f(2h,g))知，t1∶t2＝1∶eq\r(2)，那么t2<2t1.4.答案B解析由函數(shù)圖象可知，軌跡為二次函數(shù)，過點(－L,0)和(L,0)，設函數(shù)解析式y(tǒng)＝－a(x－L)(x＋L)將(2L,3L)代入方程，解得a＝－eq\f(1,L)y＝eq\f(1,L)(x－L)(x＋L)，將x＝0代入得y＝－L.5.答案D解析由h＝eq\f(1,2)gt2得t＝eq\r(\f(2h,g))，下落高度相同，平拋運動的時間相等，故B錯誤；小球落在A1C1線段中點時水平位移最小，落在C1時水平位移最大，水平位移的最小值與最大值之比是1∶2，由x＝v0t，t相等得小球初速度的最小值與最大值之比是1∶2，故A錯誤；落在B1D1線段中點的小球，落地時機械能最小，落在B1D1線段上D1或B1的小球，落地時機械能最大.設落在B1D1線段中點的小球初速度為v1，水平位移為x1.落在B1D1線段上D1或B1的小球初速度為v2，水平位移為x2.由幾何關系有x1∶x2＝1∶eq\r(2)，由x＝v0t，得：v1∶v2＝1∶eq\r(2)，落地時機械能等于拋出時的機械能，分別為：E1＝mgh＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)，E2＝mgh＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)，可知落地時機械能的最小值與最大值之比不等于1∶2.故C錯誤.設AC1的傾角為α，軌跡與AC1線段相交的小球，在交點處的速度方向與水平方向的夾角為θ.那么有tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(\f(1,2)gt2,v0t)＝eq\f(gt,2v0)，tanθ＝eq\f(gt,v0)，那么tanθ＝2tanα，可知θ一定，那么軌跡與AC1線段相交的小球，在交點處的速度方向都相同，故D正確.6.答案AC解析甲、乙落地時，末速度方向相互垂直，那么甲的速度方向與水平方向的夾角為53°，那么vy＝v0tan53°＝eq\f(4,3)v0，斜面的高度h＝eq\f(v\o\al(2,y),2g)＝eq\f(8v\o\al(2,0),9g)，故A正確；甲球落地的時間t甲＝eq\f(vy,g)＝eq\f(4v0,3g)，故B錯誤；乙球下滑的加速度a＝gsin37°＝eq\f(3,5)g，下滑的距離x＝eq\f(h,sin37°)，根據(jù)x＝eq\f(1,2)ateq\o\al(2,乙)，聯(lián)立解得t乙＝eq\f(20v0,9g)，乙球落地的速度v＝at乙＝eq\f(4v0,3)，故C正確，D錯誤.7.答案B解析摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動，不是平衡狀態(tài).故A錯誤；當摩天輪轉(zhuǎn)到最高點時，游客受到的重力與支持力的合力的方向向下，指向圓心，所以游客處于失重狀態(tài).故B正確；摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動，所以游客的動能不變而重力勢能是變化的，所以機械能不守恒，故C錯誤；游客隨摩天輪做勻速圓周運動，當摩天輪轉(zhuǎn)到最低點時，游客受到的重力與支持力的合力的方向向上，指向圓心，所以座椅對游客的支持力大于所受的重力.故D錯誤.8.答案A解析M環(huán)做勻速圓周運動，那么mgtan45°＝mvMω，N環(huán)做勻速圓周運動，那么mgtanθ＝mvNω，mgtanθ＝mrω2，r＝Rsinθ，vN＝rω＝eq\f(1,ω)eq\r(R2ω4－g2)，因此eq\f(vM,vN)＝eq\f(g,\r(R2ω4－g2))，A項正確.9.答案C解析陀螺下局部高為h′＝r，下落h′所用時間為t，那么h′＝eq\f(1,2)gt2.陀螺水平飛出的速度為v，那么r＝vt，解得v＝eq\r(\f(gr,2))陀螺自轉(zhuǎn)的線速度為v′＝ωr，陀螺上的點當轉(zhuǎn)動的線速度與陀螺的水平分速度的方向相同時，對應的速度最大，所以最大速度v＝ωr＋eq\r(\f(gr,2))，故C正確，A、B、D錯誤.10.答案C解析物體假設從半圓形軌道最高點離開在空中做平拋運動，豎直方向上做自由落體運動，有：2R＝eq\f(1,2)gt2，那么得：t＝2eq\r(\f(R,g))物體恰好到達半圓形軌道最高點時，有：mg＝meq\f(v2,R)，那么通過半圓形軌道最高點時的最小速度為：v＝eq\r(gR)所以物體從半圓形軌道最高點離開后平拋運動的水平位移最小值為：x＝vt＝2R由題知：AD<2R，BD＝2R，CD>2R，說明b、c通過最高點做平拋運動，a沒有到達最高點，那么知tb＝tc＝2eq\r(\f(R,g))，ta≠tb＝tc.對于a、b兩球，通過D點時，a的速度比b的小，由機械能守恒可得：Ea<Eb.對于b、c兩球，由x＝vt知，t相同，c的水平位移大，通過圓軌道最高點時的速度大，由機械能守恒定律可知，Ec>Eb.11.答案(1)4m/s(2)0.8m(3)9N解析(1)設小球運動到B點時的速度大小為vB，由機械能守恒定律得eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)＝mgl解得小球運動到B點時的速度大小vB＝eq\r(2gl)＝4m/s(2)小球從B點做平拋運動，由運動學規(guī)律得x＝vBty＝H－l＝eq\f(1,2)gt2解得C點與B點之間的水平距離x＝vBeq\r(\f(2H－l,g))＝0.8m(3)假設輕繩碰到釘子時，輕繩拉力恰好到達最大值Fm，由圓周運動規(guī)律得Fm－mg＝meq\f(v\o\al(2,B),r)r＝l－xOP由以上各式解得Fm＝9N.12.答案(1)4m/s(2)－8J(3)56N解析(1)在A點有：veq\o\al(2,y)＝2gh①eq\f(vy,v0)＝tanθ②由①②式解得：v0＝4m/s③(2)整個運動過程中，重力做功為零，根據(jù)動能定理得知：小球沿斜面上滑過程中克服摩擦力做的功等于小球做平拋運動的初動能：W＝－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝－8J(3)從D到B有：mg(h＋Rcosθ＋R)＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)④在B點：FN－mg＝meq\f(v2,R)⑤由③④⑤式解得：FN＝56N那么小球在B點對軌道的壓力大小：FN′＝FN＝56N13.答案D解析發(fā)射機無論向哪個方向水平發(fā)射，乒乓球都做平拋運動．當速度v最小時，球沿中線恰好過網(wǎng)，有：3h－h(huán)＝eq\f(gt\o\al(2,1),2)①eq\f(L1,2)＝v1t1②聯(lián)立①②得v1＝eq\f(L1,4)eq\r(\f(g,h))當速度最大時，球斜向右側(cè)臺面兩個角發(fā)射，有eq\r(\f(L2,2)2＋L\o\al(2,1))＝v2t2③3h＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,2)④聯(lián)立③④得v2＝eq\f(1,2)eq\r(\f(4L\o\al(2,1)＋L\o\al(2,2)g,6h))所以使乒乓球落到球網(wǎng)右側(cè)臺面上，v的最大取值范圍為eq\f(L1,4)eq\r(\f(g,h))＜v＜eq\f