2022中考考點(diǎn)必殺500題

專練13(圓大題)(30道)

1.(2021?江蘇無錫?二模)如圖，在“IfiC中，BA=BC,以Z8為直徑的分別交/C、

8c于點(diǎn)。、E,8c的延長線與的切線/廠交于點(diǎn)F.

(1)求證：ZABC=2NC4F；

(2)若AC=2ViU,CE:EB=1:4,求CE,ZF的長.

【答案】(1)見解析；(2)CE=2,=y

【解析】

【分析】

(1)首先連接8。，由為直徑，可得B4O8=90。，又由/尸是回0的切線，易證得回C4尸

=EL48D然后由8/=2C,證得：SL4BC=2SCAF；

(2)首先連接設(shè)CE=x,由勾股定理可得方程：(2710)2=x2+(3x)2.然后由

AFAF

tanZABF=—=—,求得答案.

EBBA

【詳解】

(1)證明：如圖，連接8D.

EU8為O。的直徑，

0ZADB=9O°,

^ZDAB+ZABD=90°f

E1AF是G)O的切線，

^ZFAB=9Q°,B|JZZMB+ZC4F=90°,

^ZCAF=ZABDt

^1BA=BC,ZADB=90°f

^ZABC=2ZABDt

^ZABC=2ZCAF；

(2)如圖，連接AE,

0ZA￡B=9O°,

設(shè)CE=x,

E1CE:￡B=1:4,

0EB=4x,BA=BC=5x,AE=3x,

在用ZMCE中，AC2=CE2+AE2,

即(2砌2=/+(3x)2,

0x=2,

0C￡=2,

0EB=8,BA=BC=10,AE=6,

"clAEA產(chǎn)

團(tuán)tanNABF=——=——,

EBBA

=6AF左力/口.-15

0-=—.解得AF=K.

o1()2

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的性質(zhì)，三角函數(shù)以及勾股定理，難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意

掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.

2.(2021?江蘇無錫?二模)如圖，在AABC中，。是邊8c上一點(diǎn)，以80為直徑的回。經(jīng)過點(diǎn)

A,S.ZCAD=ZABC.

(1)判斷直線AC與回。的位置關(guān)系，并說明理由;

(2)若8=2,CA=4,求弦AB的長.

【答案】（1）相切，見解析；（2）坦叵

5

【解析】

【分析】

（1）如圖，連接04,由圓周角定理可得NBAD=90o=NQ4B+NQ4￡）,由等腰三角形的性

質(zhì)可得N0MB=NG4O=ZAfiC,可得4c=90°,可得結(jié)論；

（2）由勾股定理可求04=00=3,由面積法可求AE的長，由勾股定理可求AB的長.

【詳解】

解：（1）直線AC是OO的切線，

理由如下：如圖，連接。4,

QBD為。。的直徑，

^ZBAD=90°=ZOAB+ZOAD,

團(tuán)04=08,

0ZOAB=ZABC,

乂團(tuán)NC4￡)=ZABC,

0ZOAB=^CAD=ZABC,

0ZOA￡>+ZC4￡)=90°=ZOAC,

回AC_LOA,

乂13是半徑，

團(tuán)直線AC是。。的切線；

(2)過點(diǎn)/作AE_L3￡)于E,

^AED=1MEO=9G°,

'SiOC-=AC2+AO-,

：.(OD+CD)2=AC2+OA2,

.-.(OA+2)2=42+OA2

OA=3,

0OC=5,

團(tuán)8C=8,

QS&O&C=gxOAxAC=；xOCxAE,

A“EL=-O-A-A-C=-3-x-4=—12,

OC55

OE=>]AO2-AE2=J9--=-,

V255

本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，圓的有關(guān)知識(shí)，勾股定理等知識(shí)，求出圓的半

徑是本題的關(guān)鍵.

3.（2021?江蘇揚(yáng)州?三模）如圖①，EW8C的內(nèi)切圓團(tuán)與28、BC、4c分別相切于點(diǎn)。、E、

F,DO,EO、尸0的延長線分別交E）O于點(diǎn)G、H、I,過點(diǎn)G、，、/分別作/8、BC、ZC的

平行線，從a48c上截得六邊形加團(tuán)VP。.通常，在六邊形中，我們把相間兩個(gè)內(nèi)角的內(nèi)角

稱為六邊形的對(duì)角，把相鄰兩角的夾邊和它們的對(duì)角的夾邊稱為六邊形的對(duì)邊.

⑴求證：六邊形砍A/NP。的對(duì)角相等；

⑵小明在完成（1）的證明后繼續(xù)探索，如圖②，連接OJ、OM、ON、OQ,他發(fā)現(xiàn)前OA?3G

QDONWGOJ,于是猜想六邊形的對(duì)邊也相等.請(qǐng)你證明他的發(fā)現(xiàn)與猜想.

【答案】⑴見解析；

⑵見解析.

【解析】

【分析】

(1)由EW+a4J0=18O°,S4+a4MJ=180°,可得0A/0=EWNP,同理可得財(cái)A/K=I38。./,

QCKM=^CPN,故六邊形JKA/N尸0的對(duì)角相等；

(2)證明EEQOEEIG。。可得0￡O2=l3GO2=gl3￡OG,同理0￡>OA/=EI，OA/=gQ。，，從而可

得0Z)OA/=I3GO0,^DOMWGOQ,同理0DON0EIGQ/,可得DA/=GQ,DN=GJ,故MN=JQ,

同理gNP,KM=PQ,即可得到證明.

⑴

證明：①婀8,

皿+包”。=180°,

aVPf?L4C,

02X+EWNP=：L8O°,

^SL4JQ=&ANP,

同理可得：0BMK=M0./,^CKM=&CPN,

即六邊形JKMNPQ的對(duì)角相等；

⑵

H3O與48切于D,

0ODEWS,

WADO=90°,

EU8EL/。，

EB4DO=I30GO=9O°,

回回。與5c切于E,

0O505C,

EB0EO=9O°,

EB0EO=I32GO=9O°,

XOQ=OQ,OE=OG,

^Rt^EQO^t^GQO(HL),

a3￡O°=l3GO0=gSEOG,

同理血)OA/=(3//OA/=1^DOH,

^DOH=^EOG,

^DOM^GOQ,

SOD=OG,^ODM^OGQ,

^DOM^GOQ(ASA),

同理0DCWEHGOJ,

&DM=GQ,DN=GJ,

0DM+DN=GQ+GJ,

即MN=JQ,

同理JK=NP,KM=PQ,

即六邊形JKMNPQ的對(duì)邊相等.

【點(diǎn)睛】

此題是圓的綜合題，主要考查了圓的外切六邊形的性質(zhì)，涉及全等三角形、切線長定理應(yīng)用

等知識(shí)，理解和掌握六邊形對(duì)角和對(duì)邊是解本題的關(guān)鍵.

4.(2021?江蘇淮安?二模)如圖，在&2V18C中，骷=90。，點(diǎn)O在邊48上，以點(diǎn)。為圓心，

0/為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C,過點(diǎn)C作直線MN,使回8cM=2EL4.

⑴判斷直線MN與OO的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若。1=6,EBCM=60°,求圖中陰影部分的面積.

【答案】(1)MN與回O相切，理由見解析

⑵12萬-9百

【解析】

【分析】

(1)是回。切線，只要證明回0cM=90。即可.

(2)求出B4OC以及8C,根據(jù)5次S扇形O/C&O/C計(jì)算即可.

⑴

解：A/N是團(tuán)。切線.

理由：連接0仁

M

B

N

130/=OC,

EE04C=I30C/,

aSB0C=QA+S0CA=2^A,回8cA/=2&4,

3HBCM=SBOC,

038=90°,

回魴OC+m8co=90°,

005CM+回8co=90°,

0OG3A/X,

awv是團(tuán)。切線.

⑵

解：由（1）可知08。。=回8?！?60。，

0（2AOC=12O°,

在RS8CO中，OC=OA=6,Bl5co=30°,

0so=^OC=3,BC=3&

EISfif/=Sj//；OAC-S^OAC=12°"*6----x6x38=12開一96.

3602

【點(diǎn)睛】

本題考查切線的判定、扇形面積、三角形面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是記住切線的判定定理,

扇形的面積公式.

5.（2021?江蘇連云港?二模）如圖，已知AB是OO的直徑，BCJ.A5,連接OC,弦A￡>〃OC,

直線C。交54的延長線于點(diǎn)E.

（1）求證：C短是G）。的切線;

3

（2）若力E=^BC,G）O的半徑為2,求線段E4的長.

【答案】（1）見解析；（2）3

【解析】

【分析】

（1）連接8,利用"S得到三角形COO與三角形CO8全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角

相等得到團(tuán)OQC為直角，即可得證；

npsp

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=CB,根據(jù)平行線分線段成比例定理可得分==，

CEOE

代入計(jì)算即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：（1）證明：如圖，連接OD.

mzwc,

^DAO^COB.酎。0=國COD.

又團(tuán)

^DAO=^ADO,

團(tuán)團(tuán)CO￡>二團(tuán)COB.

在團(tuán)COD和團(tuán)CO4中，

OC=OC

<ZCOD=Z.COB,

OD=OB

^COD^COB(SAS)f

團(tuán)團(tuán)CZ)O=團(tuán)C5O=90°.

團(tuán)CD是團(tuán)。的切線；

(2)團(tuán)團(tuán)COD0團(tuán)CO8,

0CZ)=C5,

3

?DE=」BC,

2

3

由DE=-CD,即2￡>E=3C￡>,

2

酎。團(tuán)OC,

DEAE

0--=--，

CEOE

aao的半徑為2,

解得：AE=3.

【點(diǎn)睛】

此題考查了切線的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，以及全等三角形的判定與性質(zhì),

熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

6.（2021?江蘇淮安?二模）如圖，a48c內(nèi)接于回O,是回。的直徑，直線/與回。相切于點(diǎn)

A,在/上取一點(diǎn)。使得D4=OC,線段。C,的延長線交于點(diǎn)E.

（1）求證：直線QC是回。的切線；

（2）若BC=2,ZCAB=30°,求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留兀）.

【答案】（1）見解析；（2）273-y

【解析】

【分析】

（1）連接0C,根據(jù)切線的性質(zhì)得到回。48=90。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到&0。。=酊/。

=90。，于是得到結(jié)論；

（2）根據(jù)圓周角定理得到團(tuán)8。。=2回。8=60。，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到OC=O8=8C

=2,根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】

（1）證明：連接OC,如圖所示：

回直線/與田。相切于點(diǎn)4,

EE￡>/8=90°,

^DA=DC,OA^OC,

^DAC=^DCA,BOAC=SiOCA,

團(tuán)勖。+EL4cO=fflD/C+l3CJO,

即00co=0D/O=9O。，

0OC0CD,

回直線OC是回。的切線；

(2)解：0008=30°,

EE8OC=2EIC/3=60°,

回。。=08,

回回CO8是等邊三角形，

QOC=OB=BC=2,

0CE=6OC=26，

回圖中陰影部分的面枳=S^OCL-SmcOB=1x2x273-‘°吻"2-=2^_空

23603

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積的

“?算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

7.（2021?江蘇江蘇?二模）如圖，在0/1BC中，回C=90。，以點(diǎn)C為圓心，C4長為半徑的圓

交AB于點(diǎn)D.

（1）若鼬=28。，求4。的度數(shù)；

（2）若。是的中點(diǎn)，AB=2,求陰影部分的面積；

（3）若/C=6，求的值.

【答案】（1）AD的度數(shù)為56。；（2）陰影部分的面積=9江-3；（3）4￡>?Z8=6.

64

【解析】

【分析】

（1）連接CQ,如圖，利用互余計(jì)算出的力。=62。，然后計(jì)算出胡CD的度數(shù)，則根據(jù)圓心

角定理得到AZ）的度數(shù)；

(2)利用斜邊上的中線性質(zhì)得到C0=4O=8D=5/8=1,再判斷為等邊三角形，貝||

a4CD=6O\利用扇形的面積公式，根據(jù)陰影部分的面積=SICDSA/C。進(jìn)行計(jì)算；

(3)根據(jù)垂徑定理得到再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到然后

把/C=右代入計(jì)算可得到AD?AB的值.

【詳解】

解：(1)連接C。，如圖，

的8/C=90°-28°=62°,

0C4=C￡>>

00CD4=I3C4O=62°,

@a4C￡>=180°-62--62°=56°,

團(tuán)AC的度數(shù)為56°:

(2)SO是Z8的中點(diǎn)，94c3=90。，

^CD=AD—BD=^AB=1,

I3CD=C4

HL4co為等邊三角形，

0EWC￡)=6OO,

回陰影部分的面積=S扇形4CZ)-SLACD

60x^-xl2x/J,

3604

(3)過點(diǎn)C作。/曲。于從

B

QAH^DH^^AD,

aa4cB=90°,CH^AB,

0EL4C5=a4//C,

又a4=a4,

0AA/7C~AACB

AHAC

團(tuán)---=----

ACAB

^AC2=AH*AB,

BP（73）2=^AD?AB,

SAD?AB=6.

【點(diǎn)睛】

本題考查了扇形面積的計(jì)算：設(shè)圓心角是“。，圓的半徑為A的扇形面積為S,則S扇形=

白萬/?2或s扇形=；/R（其中/為扇形的弧長）.也考查了垂徑定理和相似三角形的性質(zhì).

360/

8.（2021?江蘇南京?一模）如圖，點(diǎn)E為正方形ABC。的邊BC上的一點(diǎn)，。。是NvlBE的

外接圓，與AO交于點(diǎn)F,G是CO上一點(diǎn)，且NDGF=NAEB.

（1）求證：尸G是。。的切線；

（2）若AB=4,DG=\,求半徑0A的長.

【答案】（1）見解析；（2）加

【解析】

【分析】

(1)連接OF,由。4=OF,可得出NQ4F=NQE4,由正方形的性質(zhì)可得ZE3BE,由平行

線性質(zhì)可得,從而可得NAFO=NDG尸，再由0D為直角即可得由1FG,從

而結(jié)論證明；

(2)連接EF,可證得△H)G~/\A8E,由對(duì)應(yīng)邊成比例即己知可得關(guān)于8E的方程，解方

程得8E,由勾股定理求得直徑/E的長，從而可得半徑。力的長.

【詳解】

(1)連接OF.

E)QA=OF,

^ZOAF=ZOFA.

回四邊形ABC。是正方形，

SAF//BE,

&ZAEB^ZOAF,

BZDGF=ZAEB,

?ZAFO=ADGF,

回四邊形ABC。是正方形，

I3ZD=9O°.

SZFGD+ZDFG=90°,

0ZAFO+Z￡)FG=90°.

12ZOFG=90°,

OOFLFG.

回點(diǎn)尸是上一點(diǎn)，

EIFG是。。的切線.

(2)連接EF.

回。O是△ABE的外接圓，ZB=90°.

13AE是。。的直徑，

0ZAF￡：=9OO,

團(tuán)四邊形ABC。是正方形，

?NBAF=ZABE=90°,AB=BC=AD=4,

團(tuán)四邊形ABEF是矩形，

⑦BE=AF,

^FD=AD-AF=AD-BE=^BE,

團(tuán)NDGF=NAEB,ZD=ZB=90°,

團(tuán)△EDG?AABE,

FDDG

0-----=------，

ABBE

「4-BE1

0---------=-----,

4BE

E1B￡=2,

在Ma48E中，由勾股定理得：AE=2后,

0OA=-AE=^.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，

熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.(2021?江蘇鹽城?二模)如圖，是回。的直徑，4C是團(tuán)。的一條弦，點(diǎn)尸是(30上一點(diǎn),

且我=PC,PDSAC,與8/的延長線交于點(diǎn)D

(1)求證：尸。是回。的切線.

(2)若tanEP8/=g,AC=12,求直徑的長.

c

【答案】（1）見解析；（2）20

【解析】

【分析】

（1）連接0尸，交AC于點(diǎn)E,由等腰三角形的性質(zhì)可得NR4C=NPC4,ZPAO=ZAPO,

由平行線的性質(zhì)、圓周角定理可得ZDR1=44C=NR4C=ZB,由43為直徑可得NAP8=90。,

BjZB4O+ZB=90°=ZAPO+ZDPA,得出NZ)PO=90°,可得結(jié)論.

1pp1

(2)由平行線性質(zhì)及垂徑定理可求AE=、AC=6,由tanZPBA=tanZPAC=—=-^>\<.PE=2,

2AE3

由AE2+OE2=。42,即可求解.

【詳解】

解：（1）連接OP，如圖所示.

-PA=PC.

?..NB4C=NPC4,

又NPC4與B8所對(duì)同一段弧PA，

:.ZPCA=ZB=ZPAC.

又PQ//AC,

:.^DPA=Z.PAC=AB,

???OP=OA,

.\ZPAO=ZAPO.

QAB為直徑，

:.ZAPB=90°,

Zft4O+ZB=90°=ZAPO+ZDPA,

即N3Po=90。,

乂P。為半徑，

故尸。是。。的切線.

（2）-.-PD//AC,

:.ZDPO=ZAEO=90°,

由垂徑定理可知：AE=3AC=6,

又乙PBA=/PAC,

PF1

?.tanZPBA=tanZR4C=—=-.

AE3

:.PE=-AE=2.

3

設(shè)。4=r,貝ljQE=OP-PE=r-2,

在RtAAEO中，有AE2+OE2=Ofic,

即36+（r-2）2=/,解得：r=10.

故宜徑45=204=2x10=20.

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的判定，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，

證明切線時(shí)若有交點(diǎn)，則連交點(diǎn)得半徑，證垂直.（1）中證得配*4=朋4c=（3R（C=ffl5是解題

關(guān)鍵，（2）中利用垂徑定理求出PE是解題關(guān)鍵.

10.（2021?江蘇揚(yáng)州?二模）如圖，80是四邊形/8CD的對(duì)角線，BD^AD,回。是B48Z）的外

接圓，^BDC^WAD.

（1）求證：CD是回。的切線；

（2）連接OC交回。于點(diǎn)E,若4D=2,CD=6,cos05￡>C=1,求CE的長.

【答案】（1）見解析；（2）3A/5-3

【解析】

【分析】

（1）連接0。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到回。。8=回08。，由垂直的定義得到陰08=90。，

確定0J8D+0J=9O。，等量代換得到自O(shè)D8+05QC=9O。，求得根據(jù)切線的定義即可得

到結(jié)論；

（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得到自80=90。，根據(jù)余角的性質(zhì)得到13co9=貼。。，解直角三角形即

可得到結(jié)論.

【詳解】

解：（1）證明：連接OD,

^OD=OB,

mODB=^OBD,

^BD^AD,

皿。8=90°,

aa48D+a4=90°,

^1BDC=SBAD,

03O￡>8+I38￡>C=9O°,

0O￡>0CZ),

iaco是回。的切線；

(2)EIC￡>是團(tuán)。的切線，

B0CDO=9O°,

0<?o5fflfi￡>C=-,颯)C=M/D.

3

_.__AD1

^cos^BAD=——=-,

AB3

西0=2,

陰歷6,

aOD=OE=3,

0CD=6,

G)OC=4CD。+OD?=36，

田CE=C0-0E=3下-3.

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，正確的識(shí)別圖形是解題

的關(guān)鍵.

11.（2021?江蘇鹽城?一模）如圖，48是團(tuán)。的直徑，C是回。上一點(diǎn)，OZM4c于點(diǎn)。，過點(diǎn)

C作回。的切線，交。。的延長線于點(diǎn)M,交回。于點(diǎn)N,連結(jié)

M

（1）求證：力〃是回。的切線；

（2）若￡W=4,AC=8框,求線段MN的長；

（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積.

【答案】（1）見解析；（2）8；（3）64君-爭(zhēng)

【解析】

【分析】

（1）連接OC,如圖，根據(jù)垂徑定理由OZM4c得到力。=8,則OM為NC的垂宜平分線，

所以證明0co歷（SSS）,得出團(tuán)0/1歷=回0。仞=90。，根據(jù)切線的判定定理

得與團(tuán)。相切；

（2）設(shè)團(tuán)。的半徑為X,則。。=x-4,OA=x,由勾股定理得出（x-4）2+（473）2=9,

解得x=8,求出的長，則可求出的長；

（3）由扇形的面積公式可得出答案.

【詳解】

（1）證明：連接OC,如圖，

M

團(tuán)CM為切線，

團(tuán)ocniCM,

團(tuán)團(tuán)OCM=90。,

0OZM4C,

酎。=CQ,

即OE垂直平分力C,

^AM=CM,

在EWQVf和E)COM中

OA=OC

<OM=OM,

MA=MC

加OMWCOM(SSS),

團(tuán)團(tuán)04〃=團(tuán)0?！?90°,

IW企％O,

[2JA/與團(tuán)O相切；

(2)解：設(shè)團(tuán)。的半徑為占JJIIJOD=ON-DN=x-4,OA=x,

在R/SO4。中，AD=^AC=4y/39

^4iy+OD2=OA2,

0(473)2+(^-4)2=^,解得3=8,

團(tuán)。0=4,04=8,

團(tuán)團(tuán)04。=30°,

0a400=60°,

^OM=2OA=16,

IWN=OM-ON=16-8=8.

(3)幽JOA/=60°,回O4W=90°,

配L4A/O=30°

團(tuán)在&ZEL4OM中，AM=yloM2-OA2=8>/3，

團(tuán)S陰影=S四邊形AOCM-S埔影OAC

=2x；x8“8G」2。?萬x8、646-絲乃.

23603

【點(diǎn)睛】

本題是圓的綜合題，考查了切線的判定與性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定與

性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算等知識(shí)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

12.（2021?江蘇?二模）如圖，已知點(diǎn)￡在菱形Z8CZ）的對(duì)角線8。上，連接NE,KAE=BE,

回。是皿18￡的外接圓.

（1）求證：8c是團(tuán)。的切線；

(2)若50=也5,tan0(9Sr)=2,求回0的半徑.

【答案】（1）見解析；（2）5

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)圓周角定理求出a48C=2EL48E,得出OE垂直于證出1308尸+魴。尸=90唧可得

出結(jié)論；

（2）連接“。交8D于G,由菱形的性質(zhì)得出N8=8C,ACSBD,8G納叵，解直角

25

三角形求出CG和￡尸，根據(jù)勾股定理得出方程，求出，?即可.

【詳解】

解：（1）連接O/、08、0E,則OE與交于點(diǎn)尸，

EWE=S￡,

^AE=BE,

回。血8丁一點(diǎn)F,

回四邊形是菱形,

0a4BC=2EL45E,

0308尸+080尸=1308尸+2回8/￡=回08尸+2a48E=!3O8/+S48c=90°,

回8。是回。的切線；

（2）連接ZC,交BD于點(diǎn)、G,

回四邊形是菱形,

&AB=BC,ACS1BD,BG=^BD=^^-,

25

IWGC=90°,

00GC5+0G5C=9O°,

&S\OBD+SCBG=90°,

^EGCB^OBD,

在RtQBCG中，tan^GCB=tan5\OBD=2,

BGc

團(tuán)----=2,

CG

acG=—,

5

^BC=ylCG2+BG2=8>

EL48=8,

MF=4,

在RtBBEF中，tan^BEF^tan^OBD^2,

嚕=2,

@EF=2,

設(shè)團(tuán)0的半徑為r,

在K/EISOF中，OF2+BF2=OB2,

0(r-2)2+42=產(chǎn),

解得：片5,

即回。的半徑為5.

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的判定、菱形性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)，能熟

練運(yùn)用勾股定理及銳角三角函數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵.

13.（2021?江蘇南京?二模）在AABC中，AB=5,8C=3,C4=4,點(diǎn)P在NA3C平分線上,

以點(diǎn)P為圓心作。尸.

（1）如圖，當(dāng)0P經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求證：0P與直線A8相切：

（2）當(dāng)。尸同時(shí)與直線5C、AC相切時(shí)，求0P的半徑.

【答案】（1）見解析；（2）1或3

【解析】

【分析】

（1）如圖，過點(diǎn)P作收回AB,交AB于E點(diǎn)、,由A3=5,8C=3,C4=4,可證NACB=90。,由

8P平分ZABCPCLBC,尸EJ.A8,可得PC=PE=r；

（2）當(dāng)。P同時(shí)與直線BC、4c相切時(shí)，點(diǎn)P在N4CB或NACM的角平分線上，存在如圖所

示兩種情況①當(dāng)。[在A/BC內(nèi)部分別與直線BC、AC相切時(shí)，可證尸/E=BG,可得

=R

￡G=勺尸=[E=r,uj得5MBC=SMBPt+SMCPt+S48c片^^MBC'，②當(dāng)。鳥在△NBC外部，

分別與直線8C、AC相切時(shí)，可證心0=尸?加，可得￡〃=鳥N=￡Q=R,可得

+

^&ABC=^&ABP2SgcPi+5乂（；2=—（AB+BC-AC}R即可.

【詳解】

證明：（1）如圖，過點(diǎn)P作PEOAB,交AB于E點(diǎn)"

???A8=5,BC=3,G4=4,

.-.52=32+42,

AB2=BC2+AC2，

/.ZACB=90°,

/.PC±BC,

?.?BP平分么BC,PC±BC,PELAB,

PC=PE=r,

??.eP與直線A8相切；

（2）當(dāng)。P同時(shí)與直線3C、4c相切時(shí)，點(diǎn)尸在N4cB或NACN的角平分線上,

存在如圖所示兩種情況：

①當(dāng)。《在△/BC內(nèi)部分別與宜線8C、AC相切時(shí)，

過尸/作尸/￡0/18于E,尸/G05c于G,尸/RIWC于尸，

回點(diǎn)尸/在a48c的平分線上，PiESAB,PiG^BC,

國PiE=PiG,

/.P^G=P]F=P}E=r,

?

?S^BC=S^BR+SMCG+SABCR~2AB-PtE+—AC-P}F+—BC-P}G=—CMBC-r,

.r=2S—=2x3x4x06=1

CMHC3+4+5

②當(dāng)。鳥在△/8C外部，分別與直線BC、AC相切時(shí),

過尸2作P?0EW8于。，尸2腕山。于M,P2N&AC于N,

團(tuán)點(diǎn)尸2在EW8C的平分線上，P20a48,P?M^\BC,

aP2Q=P2M,

:.P2M=P2N=P2Q=R,

???SkSM怨+S…+SsfM*BC/M+；AC3,

=；(AB+BC-AC).R,

.R=2sM_2x3x4x0.5=

""AB+BC-AC~5+3-4'

綜上，0P的半徑為1或3.

【點(diǎn)睛】

本題考查圓的切線判定，角平分線性質(zhì)，三角形面積求法，掌握?qǐng)A的切線判定，角平分線性

質(zhì)，三角形面積求法，利用面積兩種不同求法找出圓的邊與三角形三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵.

14.（2021?江蘇南通?二模）（1）某運(yùn)輸隊(duì)第一次運(yùn)輸360噸化肥，裝載了6節(jié)火車車廂和

15輛汽車；第二次裝載了8節(jié)火車車廂和10輛汽車，比第一次多運(yùn)輸了化肥80噸.每節(jié)

火車車廂與每輛汽車平均各裝多少噸化肥？

（2）如圖，是。O的直徑，點(diǎn)C在上，力。垂直于過點(diǎn)C的切線，垂足為。，CE垂

直力8,垂足為E.求證C￡>=CE.

【答案】（1）每節(jié)火車車廂平均裝50噸化肥，每輛汽車平均裝4噸化肥；（2）證明見解析.

【解析】

【分析】

（1）設(shè)每節(jié)火車車廂平均裝工噸化肥，每輛汽車平均裝N噸化肥，根據(jù)兩次運(yùn)輸數(shù)據(jù)建立

二元一次方程組，解方程組即可得；

（2）連接OC,AC,先根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得OCLCD,再根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可

得NC4Z）=ZACO,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NC4O=/4CO,從而可得

ZCAD=ZCAO,最后根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得證.

【詳解】

解：(1)設(shè)每節(jié)火車車廂平均裝x噸化肥，每輛汽車平均裝y噸化肥,

6x+15y=360

由題意得:

8x+10y=360+80

x=50

解得

y=4

答：每節(jié)火車車廂平均裝50噸化肥，每輛汽車平均裝4噸化肥;

(2)如圖，連接OC,AC,

?.?8是09的切線,

:.OC±CD,

?：ADLCD,

：.ADIIOC,

：.ZCAD=ZACO,

■.OA=OC,

:.ZCAO-ZACO,

:.ZCAD=ZCAO,

又,.?(7￡：_L48,CD_LAE>,

:.CD=CE(角平分線的性質(zhì)).

【點(diǎn)睛】

本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、圓的切線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確建立

方程組和熟練掌握?qǐng)A的切線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

15.(2021?江蘇淮安?二模)如圖，已知是回。的弦，C為回。上一點(diǎn)，力。是回。的切線.

(1)求證：EIC=aS4D；

(2)若8岫8于點(diǎn)8,力￡)=9,BD=6,求回。半徑.

【答案】（1）見解析；（2）土

4

【解析】

【分析】

（1）連接并延長交回0于點(diǎn)E,連接由ZE為直徑，可得I3E/B+EIE=9O。.由“。是

回。的切線，可得回￡>18+回8/。=90°,可推出跖=054。即可；

（2）由加DGW8,可得%18。=90。，可證O,B,￡三點(diǎn)共線，由勾股定理/8=3不，再證

^ADE^BDA,可求力4=為5即可.

2

【詳解】

（1）證明：如圖，連接/O并延長交囪。于點(diǎn)E,連接

皿/E為直徑，

0EWSF=9O",

0l3￡'v4B+l?IE=9O°.

EW。是回。的切線，

a2LD/E=9O°,

00E/1B+0S/4D=9OO,

幽后=魴力Z）,

團(tuán)團(tuán)。=回￡,

團(tuán)團(tuán)。=血。；

（2）解：魴ZM46,

團(tuán)胡8。=90°,

由（1）可知匿48E=90°,

團(tuán)團(tuán)。8￡=180°,

國。，B,E三點(diǎn)共線，

酎。=9,BD=6,

皿8=/4￡>2_必=如2_6=3舊，

甌E=13C=團(tuán)84。，山=團(tuán)。，

^ADE^BDA,

ADAE

0一=

BD~AB

9AE

0-=—尸，

63V5

^AE=~

2

03。半徑為冬叵.

4

【點(diǎn)睛】

本題考查直徑所對(duì)圓周角性質(zhì)，同弧所對(duì)圓周角性質(zhì)，切線性質(zhì)，勾股定理，三角形相似判

定與性質(zhì)，掌握直徑所對(duì)圓周角性質(zhì)，同弧所對(duì)圓周角性質(zhì)，切線性質(zhì)，勾股定理，三角形

相似判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

16.（2021?江蘇泰州?二模）如圖，A8為。。的直徑，弦于E,CFVDB,交08的

延長線于F,sinA=-.

2

（1）求證：C尸為的切線；

（2）若OE=2,求CF、BF、弧C8圍成的陰影部分的面積.

【答案】（1）證明見解析；（2）66-%

【解析】

【分析】

（1）如圖，連接OC,根據(jù)sinA=g可得&4=30。，根據(jù)圓周角定理可得區(qū)80c=60。，04

=回。。8=30。，由C￡>_L4B可得EW8Z）=60。，可得根據(jù)CF_L￡>8及平行線的性質(zhì)可

得團(tuán)0c尸二團(tuán)CE9=90。，即可得6是00的切線；

(2)如圖，連接5C,利用勖0。的余弦值可求出OC的長，根據(jù)0008可證明團(tuán)O8C是等

邊三角形，可得8c的長，進(jìn)而可得魴C(jī)尸二30。，利用魴b的三角函數(shù)值可求出8尺C/的

長，根據(jù)S掰影=S榜形CO8RS用影CO8即可得答案.

【詳解】

(1)如圖，連接OC,

?

0sinA“=—1,

2

回豳=30°,

勵(lì)80c和曲分別為8c所對(duì)的圓心角和圓周角，

團(tuán)團(tuán)3OC=2回/=60°,

西4和團(tuán)。。b是5C所對(duì)的圓周角，

00CZ)77=I2L4=3OO,

^CDA.ABr

酮480=60°,

0OC//DF,

^CFYDB,

00OCF=0CF￡)=9OO,

團(tuán)OC為O。半徑，

回。F為oo的切線.

(2)如圖，連接6C,

勵(lì)50。=60°,OE=2,

0OC=—^-=4,

cos60°

^OC=OBf

釀08C是等邊三角形，

團(tuán)5。二。。=4,團(tuán)OC8=60°,

回團(tuán)。。戶三90°,

團(tuán)團(tuán)8CF=30°,

EI2F=8Csin30°=2,CF=8Ccos30°=24，

0OC//DF,

回四邊形COB尸是直角梯形，

0S南影COBF=^(BF+OC)CF=6y/3,

as附桁s翰形COBF-S扇步CQB=6石-=6拒一卜?

3603

【點(diǎn)睛】

本題考查切線的判定、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、梯形面積及

扇形面積，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)、判定定理及面積公式并熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

17.（2021?江蘇蘇州?一模）如圖，在HAABC中，ZC=90°,A￡）平分ZfiAC交8c于點(diǎn)。，

。為48上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)4。的。。分別交A8,AC于點(diǎn)E,F,連接OF交AO于點(diǎn)G.

3

（2）若BE=2,sinB=-,求4。的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）坦叵

5

【解析】

【分析】

（1）連接E兄。尸由“。為角平分線得到一對(duì)角相等，然后證明勿08C,得到姐=明￡下，

由圓周角定理得到a4￡7Wa4。凡從而可以證明尸：

（2）連接OD,首先證明團(tuán)008=90。，然后求出ZF,48的長，根據(jù)m尸即可求解.

【詳解】

解（1）如圖，連接DE,EF

EUE是圓的直徑

皿怯90°

盟C=90°

能Wb￡MX=90°

^EFBC

0(?]j?=SJEF

y^BAEF=^ADF

^B^ADF

^AD為曲。的角平分線

WBAD=^FAD

(2)連接O。，

^AD為團(tuán)創(chuàng)C的角平分線，

^BAD^CAD,

^OA=OD,

^ODA^OAD.

^ODA^CAD,

0OZM4C,

團(tuán)團(tuán)。=90°,

團(tuán)團(tuán)ODC=90°,

在A顧。。中，sini5=-=-,

OB5

/*3

設(shè)圓的半徑為r,可得一二=：

解得：〃=3,

0/lE=6,48=8,

函4EF/B,

A/73

團(tuán)sinEUEb二=—,

AE5

318

^AF-AE^s\v^AEF-^y■—--，

55

^ABD^ADF

ABAD

~AD~~AF

^AD2=AB^AF'

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了圓周角定理，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)，平行

線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

18.（2021?江蘇?宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）（1）如圖①，在△/3C中，Z&4C=90°,/8=4,/C=3,

若AD平分囪8/C交CB于點(diǎn)D,那么點(diǎn)￡＞到AC的距離為.

（2）如圖②，四邊形ABC。內(nèi)接于OO,AC為直徑，點(diǎn)8是半圓AC的三等分點(diǎn)（弧

弧BC）,連接8。，若8。平分NA8C,且80=8,求四邊形ABCD的面積.

（3）如圖③，為把"十四運(yùn)”辦成一屆精彩圓滿的體育盛會(huì)很多公園都在進(jìn)行花卉裝扮，其

中一塊圓形場(chǎng)地圓O,設(shè)計(jì)人員準(zhǔn)備在內(nèi)接四邊形/8CD區(qū)域內(nèi)進(jìn)行花卉圖案設(shè)計(jì)，其余部

分方便游客參觀，按照設(shè)計(jì)要求，四邊形/BCQ滿足回ABC=60。，AB=AD,且AD+DC=10（其

中24DC44）,為讓游客有更好的觀體驗(yàn)，四邊形42CZ）花卉的區(qū)域面積越大越好，那么

是否存在面積最大的四邊形/5CD?若存在，求出這個(gè)最大值，不存在請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴y;(2)四邊形"CO的面積為32；(3)存在245

【解析】

【分析】

RFDF

(1)如圖，作輔助線，證明/￡=￡>￡；證明站?！?魴。，得到f=f，列出比例式即可

ABAC

解決問題.

(2)(2)連接08,根據(jù)題意得財(cái)。8=60。，作/￡05￡),利用解直角三角形可求48的長，

通過解直角三角形分別求出8C,AD,C。的長，再根據(jù)面積公式求解即可；

過點(diǎn)力作4W0SC于點(diǎn)M/AWC，交。C的延長線丁點(diǎn)連接/C,可得端媒”8=S四邊形機(jī)材，

根據(jù)面積法求出關(guān)于面積的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可.

【詳解】

解：如圖，過點(diǎn)。作。￡0/18于點(diǎn)E.

則DEHAC-.

EWZ)平分WC,05JC=9O°,

03￡>/￡=45°,0/WE=9O°-45°=45°,

SAE=DE(設(shè)為力，

則BE=4-h

0DE//AC,

mBDESBBCA,

BEDE

0—=—,nunp：

ABAC

4-AZ

4~3

12

解得:X=y,

12

回點(diǎn)。到/C的距離了.

c

D

AEB

(2)連接08,

團(tuán)點(diǎn)8是半圓4c的三等分點(diǎn)(弧〈弧8C),

13/408=60°

SiZADB=ACB=30°

a4c是。。的直徑，

團(tuán)ZABC=90°

QBD平分IL48C

^ZABD=ZCBD=45°

過點(diǎn)/作/￡08。于點(diǎn)E,則ZBAE=ZABE=45°

&AE=BE

f-

設(shè)AE-BE-x,則DE=--------=v3x

tan30°

aBD=BE+DE=x+A/3X=8

0x=473-4

⑦AB=6AE=4娓-4右

^ZADB=ACB=30°

0—=tan300=—

BC3

0BC=4iAB=12垃-4娓

^BD平分酎8。

&ZABD=ACBD

^AD=CD

QAD=CD

^AE^\DE

?AD2=DE2+AE2

0AE=4>/3-4,DE=>/3x=12-4^

SAD2=(12-4在產(chǎn)+(4有-45=256-128/

2

0MAm=S^BC+Sy=-AB.BC+-AD.CD=-AB.BC+-AD

S曲也彩A1”1CDA/ioCZVirxC0c2222

=-(4"-4夜)(12夜-476)+-(256-1286)

22

=640-96+128-64百

=32；

(3)過點(diǎn)Z作犯。于點(diǎn)N,AMQDC,交QC的延長線于點(diǎn)連接力C,

A

^AB^AD

EB4C8=a4C。

^\AM=AN

EBWC+EL48c=180。，^ADC+^ADM^l?>0°,

^ABC=^ADM

乂a4N8=EWM￡>=90°,

^ABN^ADM

團(tuán)S四邊形A8cp=S四邊形ANCM

^AN=AM,^BCA^DCA,AC=AC

^ACN^ACM

團(tuán)S四邊形ANCM=2SAACM

0EU5C=6O°

皿。C=120°

aa4Z)M=60°,134^40=30°

設(shè)。M=x,貝ij/￡>=2x,ZlM=DM.tan60o=>/3x,CD=10-2x,CA/=10-x

0s四邊影MCM=2sMeW=2X；X底(1°-X)=-6(/-1°X)

02<￡>C<4

E2<10-2x<4,即34x44

團(tuán)拋物線對(duì)稱軸為x=5

回當(dāng)x=4時(shí)，有最大值，為一百x(16-40)=24百

【點(diǎn)睛】

本題屬于圓綜合題，考查了三角形的面積，解直角三角形，角平分線的性質(zhì)定理，圓周角定

理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?jí)狠S題.

19.(2021■江蘇?淮陰中學(xué)新城校區(qū)一模)在平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)A,B,P,滿足*=2尸區(qū)若那=90。，

則將點(diǎn)尸稱為口，切的兩倍直角點(diǎn)；若E1PV90。，則將點(diǎn)尸稱為［/,切的兩倍銳角點(diǎn).

圖1圖2備用圖

⑴如圖1,已知S48c中，回C=90。,8c=1,若點(diǎn)C是［48］的兩倍直角點(diǎn)，則的長度為

若點(diǎn)5是點(diǎn)①，C］的兩倍銳角點(diǎn)，則的的度數(shù)為°；

⑵如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x-2交x軸于點(diǎn)力,點(diǎn)P是直線y=x-2上的一點(diǎn)，

點(diǎn)8的坐標(biāo)為(6,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0),以B為圓心BC長為半徑作團(tuán)8,點(diǎn)。在回8上

①若點(diǎn)工是［P，O］的兩倍銳角點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②若點(diǎn)C是仍，0的兩倍直角點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】⑴行，30。

(2)①(2-2四,-20);②(5-幣,3-幣),(5+V7<3+>/7)

【解析】

【分析】

(1)由定義得：CA=2CB=2,0JC3=9O°,從而求得；由Z8=28C=2且奶<90°求得；

(2)①設(shè)P(x,x-2),點(diǎn)A是［P,0的兩倍銳角點(diǎn)得AP=AO=4,列出方程求得;②設(shè)尸(.5-2),

延長尸。交骷于E,連接。E,推出MC￡SEP0C,從而得CD0PC=P。配花，列出方程求得.

(1)

解：???點(diǎn)C是［4用的兩倍直角點(diǎn)，

^CA=2CB=2,EL4c8=90°,

由勾股定理得，AB=4AC1+BCZ=>/22+12=y/5'

團(tuán)點(diǎn)8是點(diǎn)［4。的兩倍銳角點(diǎn)，

BAB=2BC=2Fl0B<9O",

EBJ=30"；

故答案為：亞,30。；

⑵

解:①當(dāng)y=0時(shí)，x-2=0,

ELr=2,

004=2,4(2,0),

團(tuán)點(diǎn)/是上,。］的兩倍銳角點(diǎn)，

EL4P=2/O=4,

設(shè)?(x*2),

0(x-2)2+(x-2)2=42,

回X［=2+2*^2,x?=2—2-^2,

當(dāng)x=2+20時(shí)，x-2=2及，

明(2+2應(yīng),2&),

當(dāng)x=2-2加時(shí)，x-2=-20,

團(tuán)尸(2-20,-2&),

當(dāng)尸(2+2夜,20)時(shí),0/1=135。,應(yīng)舍去，

綜上所述：P(2-272,-2^).

延長尸。交魴F點(diǎn)E,連接。E,

團(tuán)點(diǎn)C是火0的兩倍直角點(diǎn)，

團(tuán)團(tuán)。C￡M2PCQ=90°,PC=2CD,

團(tuán)。E是魴的直徑，

0D￡=4,

作PQ^AB于0,

設(shè)尸(XK-2),

團(tuán)PQ=x-2,C0=4-x,

由PC=4PQ2+CQ2

=J(X-2)2+(4T)2

=^2x2-12x+20,

⑦CB=BE,

00F=0^CE,

團(tuán)團(tuán)BCE二回PC。，

⑦ADCES/QC,

CDDE

團(tuán)---=---,

PQPC

國CDPC=PQDE,

13g(2x、12x+20)=4(x-2),

0X|-5+5/7,Xj=5->

當(dāng)x=5+/時(shí)，x-2=3+y/l,

當(dāng)x=5-近時(shí)，X-2=3-J7,

0P(5-V7,3-V7)或(5+療,3+b).

【點(diǎn)睛】

本題考查了在新定義下轉(zhuǎn)化為解直角三角形，三角形相似判定和性質(zhì)，列一元二方程等知識(shí),

解決問題的關(guān)鍵是作出輔助線，轉(zhuǎn)化為三角形相似知識(shí).

20.(2021?江蘇無錫?一模)如圖，點(diǎn)C在回O的直徑的延長