PAGEPAGE32022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章計數(shù)原理與概率、隨機變量及其分布課時達(dá)標(biāo)56排列與組合理[解密考綱]本考點考查用排列與組合的知識解決計數(shù)問題，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)．一、選擇題1．在實驗室進行的一項物理實驗中，要先后實施6個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C在實施時必須相鄰，那么實驗順序的編排方法共有(C)A．34種 B．48種C．96種 D．124種解析：設(shè)6個程序分別是A，B，C，D，E，F(xiàn)，A安排在第一步或最后一步，有Aeq\o\al(1,2)種方法．將B和C看作一個元素，它們自身之間有Aeq\o\al(2,2)種方法，與除A外的其他程序進行全排列，有Aeq\o\al(4,4)種方法，由分步計數(shù)原理得實驗順序的編排方法共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝96(種)，應(yīng)選C．2．甲、乙等5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)、上海交通大學(xué)、中山大學(xué)這3所大學(xué)就讀，那么每所大學(xué)至少保送1人的不同保送方法種數(shù)為(A)A．150 B．180C．240 D．540解析：分為兩類，第一類為2＋2＋1，即有2所大學(xué)分別保送2名同學(xué)，方法種數(shù)為Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)＝90，第二類為3＋1＋1，即有1所大學(xué)保送3名同學(xué)，方法種數(shù)為Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)＝60，故不同的保送方法種數(shù)為150，應(yīng)選A．3．在5×5的棋盤中，放入3顆黑子和2顆白子，它們均不在同一行且不在同一列，那么不同的排列方法種數(shù)為(D)A．150 B．200C．600 D．1200解析：首先放入3顆黑子，在5×5的棋盤中，選出三行三列，共Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,5)種方法，然后放入3顆黑子，每一行放1顆黑子，共3×2×1種方法，然后在剩下的兩行兩列放2顆白子，所以不同的方法種數(shù)為Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,5)×3×2×1×2×1＝1200，應(yīng)選D．4．市汽車牌照號碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左到右第二個號碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個號碼可以從0～9這十個數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復(fù))，某車主第一個號碼(從左到右)只想在數(shù)字3,5,6,8,9中選擇，其他號碼只想在1,3,6,9中選擇，那么他的車牌號碼可選的所有可能情況有(D)A．180種 B．360種C．720種 D．960種解析：按照車主的要求，從左到右第一個號碼有5種選法，第二個號碼有3種選法，其余三個號碼各有4種選法．因此車牌號碼可選的所有可能情況有5×3×4×4×4＝960(種)．5．節(jié)目組要安排晚會的4個音樂節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個舞蹈節(jié)目不連排，那么不同排法的種數(shù)是(B)A．1800 B．3600C．4320 D．5040解析：先安排了舞蹈節(jié)目以外的5個節(jié)目，共Aeq\o\al(5,5)種排法，再把2個舞蹈節(jié)目插在6個空位中，有Aeq\o\al(2,6)種排法，所以共有Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(2,6)＝3600種排法．6．2022年某通訊公司推出一組卡號碼，卡號的前七位在數(shù)字固定，后四位數(shù)從“0000”到“9999”共10000個號碼中選擇．公司規(guī)定：凡卡號的后四位恰帶有兩個數(shù)字“6”或恰帶有兩個數(shù)字“8”的一律作為“金雞卡〞享受一定優(yōu)惠政策．例如后四位數(shù)為“2663”或“8685”，那么為“金雞卡〞．那么這組號碼中“金雞卡〞的張數(shù)為(C)A．484 B．972C．966 D．486解析：①當(dāng)后四位數(shù)中有兩個“6〞時，“金雞卡〞共Ceq\o\al(2,4)×9×9＝486張；②當(dāng)后四位數(shù)中有兩個“8〞時，“金雞卡〞共有Ceq\o\al(2,4)×9×9＝486張．但這兩種情況都包含了后四位數(shù)是由兩個“6〞和兩個“8〞組成的這種情況，所以要減掉Ceq\o\al(2,4)＝6張，即“金雞卡〞共有486×2－6＝966(張)．二、填空題7．4個不同的小球放入編號為1,2,3,4的4個盒中，那么恰有1個空盒的放法共有144種．(用數(shù)字作答)解析：4個球分成3組，每組至少1個，即分成小球個數(shù)分別為2,1,1的3組，有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))種，然后將3組球放入4個盒中的3個，分配方法有Aeq\o\al(3,4)種，因此，方法共有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))×Aeq\o\al(3,4)＝144(種)．8．?dāng)?shù)字1,2,3,4,5,6按如圖形式隨機排列，設(shè)第一行的數(shù)為N1，其中N2，N3分別表示第二、三行中的最大數(shù)，那么滿足N1<N2<N3的所有排列的個數(shù)是240.解析：由題意知6必在第三行，安排6有Ceq\o\al(1,3)種方法，第三行中剩下的兩個空位安排數(shù)字有Aeq\o\al(2,5)種方法，在留下的三個數(shù)字中，必有一個最大數(shù)，這個最大數(shù)安排在第二行，有Ceq\o\al(1,2)種方法，剩下的兩個數(shù)字有Aeq\o\al(2,2)種排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，所有排列的個數(shù)是Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝240.9．由1,2,3,4,5,6組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，要求奇數(shù)不相鄰，且4不在第四位，那么這樣的六位數(shù)共有120個．解析：由1,2,3,4,5,6組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，要求奇數(shù)不相鄰的情況，運用插入法可得有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,4)＝144種，而當(dāng)?shù)谒奈皇?的情況如下圖，要使奇數(shù)不相鄰，偶數(shù)只能放在第2,5,6號位處，且5,6號位只能放一個偶數(shù)，因此偶數(shù)的放法有2×2種，其余的奇數(shù)放在1,3,5(或6)號位處，共有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)，共有2×2×6＝24(種)，因此符合題意的六位數(shù)共有144－24＝120(個)．三、解答題10．將7個相同的小球放入4個不同的盒子中．(1)不出現(xiàn)空盒時的放入方式共有多少種？(2)可出現(xiàn)空盒時的放入方式共有多少種？解析：(1)將7個相同的小球排成一排，在中間形成的6個空當(dāng)中插入無區(qū)別的3個“隔板〞將球分成4份，每一種插入隔板的方式對應(yīng)一種球的放入方式，那么共有Ceq\o\al(3,6)＝20種不同的放入方式．(2)每種放入方式對應(yīng)于將7個相同的小球與3個相同的“隔板〞進行一次排列，即從10個位置中選3個位置安排隔板，故共有Ceq\o\al(3,10)＝120(種)放入方式．11．從1到9的9個數(shù)字中取3個偶數(shù)4個奇數(shù)，試問：(1)能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？(2)上述七位數(shù)中，3個偶數(shù)排在一起的有幾個？(3)(1)中的七位數(shù)中，偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有幾個？解析：(1)分三步完成：第一步，從4個偶數(shù)中取3個，有Ceq\o\al(3,4)種情況；第二步，在5個奇數(shù)中取4個，有Ceq\o\al(4,5)種情況；第三步，3個偶數(shù)，4個奇數(shù)進行排列，有Aeq\o\al(7,7)種情況．所以符合題意的七位數(shù)有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(7,7)＝100800(個)．(2)上述七位數(shù)中，3個偶數(shù)排在一起的有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(3,3)＝14400(個)．(3)上述七位數(shù)中，3個偶數(shù)排在一起，4個奇數(shù)也排在一起的有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＝5760(個)．12．用0,1,2,3,4,5,6構(gòu)成無重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，其中：(1)能被25整除的數(shù)有多少個？(2)設(shè)x，y，z分別表示個位、十位、百位上的數(shù)字，滿足x<y<z的數(shù)有多少個？(3)偶數(shù)必須相鄰的數(shù)有多少個？解析：(1)能被25整除的數(shù)有兩類：后兩位是50時，總的個數(shù)是Aeq\o\al(5,5)＝120；后兩位是25時，先排首位有4種方法，其他四位有Aeq\o\al(4,4)種方法，共有4×Aeq\o\al(4,4)＝96(個)數(shù)．所以能被25整除的數(shù)有120＋96＝216(個)．(2)0,1,2,3,4,5,6構(gòu)成無重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)有6Aeq\o\al(6,6)個，滿足x，y，z分別表示個位、十位、百位上的數(shù)字，且x<y<z的數(shù)共有eq\f(6A\o\al(6,6),A\o\al(3,3))＝720(個)．(3)先把四個偶數(shù)放在一起，共有Aeq\o\al(4,4)種排法，再把四個偶數(shù)看作一個元素與三個奇數(shù)組成四個元素進行排列，有Aeq\o\al(4,4)種排法，總的排法有Aeq\