PAGEPAGE1考點(diǎn)19平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用1．平面向量的數(shù)量積〔1〕理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.〔2〕了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.〔3〕掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.〔4〕能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.2．向量的應(yīng)用〔1〕會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題.〔2〕會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題.一、平面向量的數(shù)量積1．平面向量數(shù)量積的概念〔1〕數(shù)量積的概念兩個(gè)非零向量，我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作,即，其中θ是與的夾角.【注】零向量與任一向量的數(shù)量積為0.〔2〕投影的概念設(shè)非零向量與的夾角是θ，那么()叫做向量在方向上(在方向上)的投影.如圖〔1〕〔2〕〔3〕所示，分別是非零向量與的夾角為銳角、鈍角、直角時(shí)向量在方向上的投影的情形，其中，它的意義是，向量在向量方向上的投影長(zhǎng)是向量的長(zhǎng)度.〔3〕數(shù)量積的幾何意義由向量投影的定義，我們可以得到的幾何意義：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積.2．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律向量和實(shí)數(shù),那么①交換律：；②數(shù)乘結(jié)合律：；③分配律：.二、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角及性質(zhì)設(shè)非零向量，是與的夾角.〔1〕數(shù)量積：.〔2〕模：.〔3〕夾角：.〔4〕垂直與平行：；a∥b?a·b=±|a||b|.【注】當(dāng)與同向時(shí),；當(dāng)與反向時(shí),.〔5〕性質(zhì)：|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立)?.三、平面向量的應(yīng)用1．向量在平面幾何中常見(jiàn)的應(yīng)用.〔1〕證明線段平行、點(diǎn)共線問(wèn)題及相似問(wèn)題，常用向量共線的條件：〔2〕證明線段垂直問(wèn)題，如證明四邊形是正方形、矩形，判斷兩直線〔或線段〕是否垂直等，常用向量垂直的條件：〔其中為非零向量〕〔3〕求夾角問(wèn)題，假設(shè)向量與的夾角為，利用夾角公式：〔其中為非零向量〕〔4〕求線段的長(zhǎng)度或說(shuō)明線段相等，可以用向量的模：，或〔其中兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為〕〔5〕對(duì)于有些平面幾何問(wèn)題，如載體是長(zhǎng)方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐標(biāo)法，建立平面直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示出來(lái)，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算解決綜合問(wèn)題.2．向量在物理中常見(jiàn)的應(yīng)用〔1〕向量與力、速度、加速度及位移力、速度、加速度與位移的合成與分解，實(shí)質(zhì)上就是向量的加減法運(yùn)算.〔2〕向量與功、動(dòng)量力做的功是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積，實(shí)質(zhì)是力和位移兩個(gè)向量的數(shù)量積，即為和的夾角).考向一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算平面向量數(shù)量積的類(lèi)型及求法：(1)平面向量數(shù)量積有兩種計(jì)算公式：一是夾角公式；二是坐標(biāo)公式.(2)求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn).典例1向量，向量滿足，的夾角為，那么A． B．2C． D．【答案】A【解析】由題意可得，那么.應(yīng)選A.1．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，那么的值是．ABABCEFD考向二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用平面向量數(shù)量積主要有兩個(gè)應(yīng)用：(1)求夾角的大?。杭僭O(shè)a，b為非零向量，那么由平面向量的數(shù)量積公式得(夾角公式)，所以平面向量的數(shù)量積可以用來(lái)解決有關(guān)角度的問(wèn)題．(2)確定夾角的范圍：數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時(shí)兩向量的夾角為鈍角.典例2假設(shè),且,那么向量與的夾角為_(kāi)_______.【答案】120°2．向量,且與的夾角為鈍角，那么實(shí)數(shù)λ的取值范圍是.考向三平面向量的模及其應(yīng)用平面向量的模及其應(yīng)用的類(lèi)型與解題策略：(1)求向量的模．解決此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)注意模的計(jì)算公式，或坐標(biāo)公式的應(yīng)用，另外也可以運(yùn)用向量數(shù)量積的運(yùn)算公式列方程求解．(2)求模的最值或取值范圍．解決此類(lèi)問(wèn)題通常有以下兩種方法：①幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法那么或三角形法那么，結(jié)合模的幾何意義求模的最值或取值范圍；②代數(shù)法：利用向量的數(shù)量積及運(yùn)算法那么轉(zhuǎn)化為不等式或函數(shù)求模的最值或取值范圍．(3)由向量的模求夾角．此類(lèi)問(wèn)題的求解其實(shí)質(zhì)是求向量模方法的逆運(yùn)用.典例3單位向量e1，e2的夾角為α，且，假設(shè)向量a=3e1?2e2，那么|a|=________.【答案】3【解析】因?yàn)閍2=(3e1?2e2)2=9?2×3×2×cosα＋4=9，所以|a|=3.3．向量，與的夾角為.假設(shè)向量滿足，那么的最大值是A． B．C．4 D．考向四平面向量的應(yīng)用1．向量與平面幾何綜合問(wèn)題的解法與步驟：(1)向量與平面幾何綜合問(wèn)題的解法①坐標(biāo)法把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，那么有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問(wèn)題得到解決．②基向量法適中選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來(lái)進(jìn)行求解．【注】用坐標(biāo)法解題時(shí)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是解題的關(guān)鍵，用基向量解題時(shí)要選擇適當(dāng)?shù)幕祝?2)用向量解決平面幾何問(wèn)題的步驟①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；②通過(guò)向量運(yùn)算研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯〞成幾何關(guān)系.2．利用向量求解三角函數(shù)問(wèn)題的一般思路：(1)求三角函數(shù)值，一般利用條件將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系式．利用同角三角函數(shù)關(guān)系式及三角函數(shù)中常用公式求解．(2)求角時(shí)通常由向量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，先求值再求角．(3)解決與向量有關(guān)的三角函數(shù)問(wèn)題的思想方法是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，即通過(guò)向量的相關(guān)運(yùn)算把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題．(4)解三角形．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把向量垂直或共線轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程，在三角形中利用內(nèi)角和定理或正、余弦定理解決問(wèn)題.3．用向量法解決物理問(wèn)題的步驟如下：(1)抽象出物理問(wèn)題中的向量，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；(2)建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；(3)利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積運(yùn)算，求解數(shù)學(xué)模型；(4)用數(shù)學(xué)模型中的數(shù)據(jù)解釋或分析物理問(wèn)題.4．常見(jiàn)的向量表示形式：(1)重心．假設(shè)點(diǎn)G是的重心，那么或(其中P為平面內(nèi)任意一點(diǎn))．反之，假設(shè)，那么點(diǎn)G是的重心．(2)垂心．假設(shè)H是的垂心，那么.反之，假設(shè)，那么點(diǎn)H是的垂心．(3)內(nèi)心．假設(shè)點(diǎn)I是的內(nèi)心，那么.反之，假設(shè)，那么點(diǎn)I是的內(nèi)心．(4)外心．假設(shè)點(diǎn)O是的外心，那么或.反之，假設(shè)，那么點(diǎn)O是的外心.典例4等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的余弦值為A． B．C． D．【答案】A那么.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)建立平面直角坐標(biāo)系，將等腰直角三角形的兩直角邊所在直線作為x軸和y軸，分別設(shè)出三角形頂點(diǎn)和兩直角邊中點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入坐標(biāo)求解兩中線所對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積和模，進(jìn)而求得夾角的余弦值.4．對(duì)任意m∈R,直線mx-y+1=0與圓x2+y2=r2r>0交于不同的兩點(diǎn)A,B,A．0<r≤2 C．1<r≤2 典例5設(shè)向量a=(2cosα，2sinα)，b=(cosβ，sinβ)，其中0<α<β<π，假設(shè)以向量a＋b與a?2b為鄰邊所作的平行四邊形是菱形，那么cos(β?α)=________.【答案】【名師點(diǎn)睛】利用向量的共線與垂直和數(shù)量積之間的關(guān)系建立三角方程或三角函數(shù)式，從而解決三角函數(shù)中的求值、求角或求最值等問(wèn)題是高考考查的熱點(diǎn).5．G是的重心，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，假設(shè)，那么角A=A．90° B．60°C．45° D．30°典例6一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力F1、F2、F3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)．F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分別為2和4，那么F3的大小為_(kāi)_______．【答案】【解析】由題意知F3=?(F1＋F2)，∴|F3|=|F1＋F2|，∴|F3|2=|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos60°=28，∴|F3|=.6．在水流速度為的河流中，有一艘船正沿與水流垂直的方向以的速度航行，那么船自身航行的速度大小為_(kāi)___________.1．設(shè)向量，且，那么的值為A．1 B．2C．3 D．42．向量的夾角為π3,且|a|=A．2 B．3C．3 D．43．共點(diǎn)力F1=(lg2，lg2)，F(xiàn)2=(lg5，lg2)作用在物體M上，產(chǎn)生位移s=(2lg5,1)，那么共點(diǎn)力對(duì)物體做的功W為A．lg2 B．lg5C．1 D．24．在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是平行四邊形，，，那么A．2 B．3C．4 D．55．向量，的夾角為，且，，那么在方向上的投影為A．2 B．4C．6 D．86．假設(shè)向量滿足,且,那么向量a與b的夾角為A．π6 B．C．2π3 D．7．在中,假設(shè)AB·BC=BC·CA=CA·AB,那么該三角形是A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形8．a(chǎn),b,c,d為非零向量,且a+b=(1)假設(shè)|a|=|b|,那么c(3)假設(shè)|c|=|d|A．1 B．2C．3 D．49．向量a=(1,2)，b=(1,1)，且a與a＋λb的夾角為銳角，那么實(shí)數(shù)λ滿足A．λ<?53 B．λ>?C．λ>?53且λ≠0 D．λ<?53且10．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD=π3，AB=2，AD=1，假設(shè)M、N分別是邊BC、CDA． B．[1,4]C．[2,5] D．[1,7]11．設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，，，為拋物線上三點(diǎn)，假設(shè)為的重心，那么的值為A．1 B．2C．3 D．412．設(shè)平面向量，假設(shè)，那么等于.13．如圖,在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中,AC與BD交于點(diǎn)F,AE14．設(shè)向量，其中，假設(shè)，那么.15．點(diǎn)，，在圓上運(yùn)動(dòng)，且，假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，那么的最大值為.1．〔2022年高考新課標(biāo)Ⅱ卷〕設(shè)非零向量，滿足，那么A．⊥ B．C．∥ D．2．〔2022年高考北京卷〕設(shè)m,n為非零向量，那么“存在負(fù)數(shù)，使得〞是“〞的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．〔2022年高考浙江卷〕如圖，平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC與BD交于點(diǎn)O，記，，，那么A． B．C． D．4．(2022年高考新課標(biāo)Ⅲ卷)向量,那么A．30° B．45°C．60° D．120°5．〔2022年高考新課標(biāo)Ⅰ卷〕向量a=〔–1，2〕，b=〔m，1〕．假設(shè)向量a+b與a垂直，那么m=________．6．(2022年高考新課標(biāo)Ⅲ卷)向量，且，那么m=________．7．〔2022年高考天津卷〕在中，，，．假設(shè)，，且，那么的值為_(kāi)_______．8．〔2022年高考浙江卷〕向量a，b滿足那么的最小值是________，最大值是_______．9．〔2022年高考新課標(biāo)Ⅰ卷〕設(shè)向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且ab，那么x=________．10．(2022年高考江蘇卷)如圖，在ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，，那么的值是________．變式拓展變式拓展1．【答案】【解析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，那么，，，，∴，，∴.2．【答案】【解析】∵與的夾角為鈍角，∴，即，∴.又當(dāng)與反向時(shí)，夾角為180°，即，那么，解得.應(yīng)該排除反向的情形，即排除，于是實(shí)數(shù)λ的取值范圍為.【誤區(qū)警示】依據(jù)兩向量夾角θ的情況,求向量坐標(biāo)中的參數(shù)時(shí),需注意當(dāng)夾角為0°時(shí),;當(dāng)夾角為180°時(shí),,這是容易忽略的地方.3．【答案】B【名師點(diǎn)睛】此題可根據(jù)條件構(gòu)造坐標(biāo)系，從而可求得的終點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)平面幾何知識(shí)求解.4．【答案】C【解析】將直線方程代入圓的方程得：m2那么由=4m2-4m2+1設(shè)點(diǎn)Ax1,y1,Bx|OA+OB|≥|AB|即|OA+OB|≥|OB綜上可知:1<r≤5．【答案】D【解析】因?yàn)镚是的重心，所以有.又，所以a∶b∶c=1∶1∶1，設(shè)c=，那么有a=b=1，由余弦定理可得，，所以A=30°，應(yīng)選D.6．【答案】考點(diǎn)沖關(guān)考點(diǎn)沖關(guān)1．【答案】D【解析】，那么，解得，應(yīng)選D.2．【答案】A【解析】因?yàn)閍+b=3．【答案】D【解析】由題意，共點(diǎn)力F1=(lg2，lg2)，F(xiàn)2=(lg5，lg2)作用在物體M上，其合力為F1+F2=〔1，2lg2〕,產(chǎn)生位移s=(2lg5,1)，那么共點(diǎn)力對(duì)物體做的功W=(F1+F2)?s4．【答案】D【解析】因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，所以，?yīng)選D．5．【答案】C6．【答案】B【解析】設(shè)向量的夾角為θ,由,可得,解得cosθ=12,根據(jù)θ∈,可知θ7．【答案】D【解析】設(shè)邊AB的中點(diǎn)為D，那么由AB·BC=

CA·AB可得AB·CD=0,那么AB⊥CD，CA=CB,同理可證CB=AB8．【答案】D【解析】假設(shè)|a|=|b假設(shè)c?d=假設(shè)|c|=|d假設(shè)a?b=0,那么應(yīng)選D.9．【答案】C【解析】由題意知，向量a=(1,2)，b=(1,1)，且a與a＋λb的夾角為銳角，那么根據(jù)向量的數(shù)量積可知，a?(a＋λb)＞0，a２＋λa?b＞0，而a２=5，a?b=1+2=3,那么5+3λ>0,同時(shí)a，a＋λb不能共線且同向，那么λ≠0，解得λ>?53且10．【答案】C1+41-λ+λ+λ1-λ=-λ2-2λ+5.當(dāng)λ=0時(shí),AM?11．【答案】C【解析】設(shè)，，，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，由于是的重心，∴，由拋物線的性質(zhì)得，，，∴，應(yīng)選C.12．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，解得從?(1,2),.13．【答案】-3【解析】由可知，AB⊥AD,那么AB·AD=0，BD=AD-14．【答案】15．【答案】7【解析】由題意得，為圓的直徑，故可設(shè)，，，∴，∴的最大值為圓上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值，從而易得當(dāng)時(shí)，的最大值為.直通高考直通高考1．【答案】A【解析】由平方得，即，那么，應(yīng)選A.【名師點(diǎn)睛】.(1)向量平行：，,.(2)向量垂直：.(3)向量運(yùn)算：.2．【答案】A【解析】假設(shè)，使，那么兩向量反向，夾角是，那么；假設(shè)，那么兩向量的夾角為，并不一定反向，即不一定存在負(fù)數(shù)，使得，所以是充分而不必要條件，應(yīng)選A.3．【答案】C【名師點(diǎn)睛】平面向量的計(jì)算問(wèn)題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，涉及幾何圖形的問(wèn)題，先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可起到化繁為簡(jiǎn)的妙用．利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關(guān)角度問(wèn)題、線段長(zhǎng)問(wèn)題及垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來(lái)解決．列出方程組求解未知數(shù)．此題通過(guò)所給條件結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算，易得，由AB=BC=AD=2，CD=3