第78練圓錐曲線小題易錯練

1.已知橢圓行三十S=1，長軸在y軸上，若焦距為4,則加等于（）

A.4B.5C.7D.8

答案D

/??—2>10-/7?>0,

解析由題意得卜（丁2）_（所間4解得I

2.拋物線>=一?的焦點坐標為（）

A.（一0）B.（-4,0）

C.（0,-￡）D.（0,-2）

答案D

解析將拋物線方程y=-g2轉(zhuǎn)化為標準方程爐=一8〃可得p=4,號=2,焦點在y軸上,

且開口向下，所以其焦點坐標為（0，-2）.

3.若ab于0,則ox-y+6=0和涼+-2=4，所表示的曲線只可能是下圖中的（）

答案C

解析方程可化為y=or+Z>和亍+力=1.從選項B,D中的兩橢圓可知“，/?￡（0,+°°）,但

由選項B中直線的位置可得a<0,b<0,矛盾，應排除；由選項D中直線的位置可得a<0,

b>0,矛盾，應排除；再由選項A中雙曲線的位置可得a<0,b>0,但由直線的位置可得

6>0,矛盾，應排除；由選項C中雙曲線的位置可得a>0,X0,和直線中a,b的符號一致.

4.設拋物線C：V=4x的焦點為凡直線/過點F且與C交于A,8兩點.若|AF|=3|8F|,

則/的方程為（）

A.y=x—1或y=-x+]

B.尸乎(x-1)或y=-孚x-l)

C.產(chǎn)小(x—l)或y~小(x—1)

啦一啦

D.y=2(x~1)8*4y=—2(x-1)

答案c

解析由拋物線方程V=4x知焦點尸(1,0),準線X=-1,由題意可設直線/：x=my+1,代

入y=4x中消去x,得y2—4/ny—4=0.

設4(xi,yi),8a2,丁2).

由根與系數(shù)的關(guān)系得，>|+弊=4"?,4.

設yi>0>j2,

U：\AF\=3\BF\,

???yi=-3”,

>1"=-4,

解得>2=一6

?=-3口,

：.yi=2事.

yi+丫2亞

',m~4-3

‘直線’的方程為x=3)+1.

由對稱性知，這樣的直線有兩條，即、=±\8(》一1).

5.已知雙曲線點一方=1(〃>0,〃>0)的左、右焦點分別為F”Fi，以FiB為直徑的圓與雙曲

線漸近線的一個交點為(3,4),則此雙曲線的方程為()

答案C

解析以FiB為直徑的圓的方程為/+產(chǎn)=落又因為點(3,4)在圓上，所以32+42=/,所

以c=5,雙曲線的一條漸近線方程為y=，，且點(3,4)在這條漸近線上，所以q=今又〃+

比2v2

〃=/=25,解得。=3,匕=4,所以雙曲線的方程為§?一金=1.

6.阿基米德(公元前287年一公元前212年)不僅是著名的物理學家，也是著名的數(shù)學家，他

利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓

C的焦點在x軸上，且橢圓C的離心率為乎，面積為12兀，則橢圓C的方程為()

A-f+4=1B9+^=1

y2_y2y2

=4丁31十91

答案D

cilm—12兀，

解析由題意可得《2=乎，

、*=?+一,

解得4=4,b=3,

因為橢圓的焦點在無軸上，所以橢圓方程為得+看=1.

7.(2022?唐山模擬)已知點P(in,〃)是拋物線y=一1爐上一動點，則:加2+(〃+1)2+

、(小一4p+(〃+5)2的最小值為()

A.4B.5C.V30D.6

答案D

解析由y=—*,得/=—4y,則/=-4.y的焦點為廣(0,-1),準線為hy=\.-\/w2+(n+I)2

+人(,"-4)2+(〃+5)2的幾何意義是點P(m,〃)到F(0,-1)與到點A(4,-5)的距離之和，如

圖所示.

過點尸作PPi，/,垂足為尸1,過點A作AQi，/,垂足為Q,且與拋物線交于點Q.根據(jù)拋物

線的定義知，點P(〃?，")到尸(0,-1)的距離等于點尸(加，〃)到準線/的距離，則|PR+|BM=

\PP}\+\PA\,所以當尸運動到。時，能夠取得最小值，最小值為|AQi|=l—(-5)=6.

8.下列三個圖中的多邊形均為正多邊形，圖①，②中M,N是所在邊上的中點，雙曲線均以

圖中的尸”巳為焦點，設圖①，②，③中的雙曲線的離心率分別為幻，C2,03,則()

A.ei>e2>e3B.ei<e2<e3

C.ei=63<e2D.ei=es>C2

答案D

解析在圖①中，連接MB,

圖①

設國3|=2|"Q|=2c.

n

ZMF\F2=y

，|M&|=V5C,

/.\MF^—\MF\|=2a="73c—c=(y[3—1)c,

：'e，=a=q^\=^+i-

在圖②中，連接MB,F1F2,

設|「國|=2°.

(2|MB1)2+(2IA/F11)2=1尸1同2=4c2,

解得|MFI|=￥C.

TT

又；/MFIF2=4.

.?.|MB|2=|MFI/+|FIF2|2—2IMRUQ尸2|COSNMF尸2,解得

一,i~"\/T0/y[10-\[2

.t?4V10+V2

ST?'=2'

在圖③中，連接仞f2,F\F1,

F,

圖③

設國&|=2|MQ|=2c.

ZMFIF2=X,

A\MF^—\MF\\=2a=y[3c—c=(y[3—l)c,

c2

產(chǎn)產(chǎn)西=小+>

?\e\=e3>e2.

9.(多選)(2022.大連模擬)橢圓C：點+g=l(a>b>0)的左、右焦點分別為尸?和尸2，P為橢圓

C上的動點，則下列說法正確的是（）

A.若a=?則滿足NQPF2=90。的點P有兩個

B.若a<pb,則滿足/QPF2=90。的點尸有四個

a2

C.△PQF2的面積的最大值為彳

D.△PFiB的周長小于4〃

答案ACD

解析記橢圓C的上、下頂點分別為Bi,B2,易知NQPFZWNF山正2=/下出222.選項A中，

/F山尸2=/尸出2月=90。，正確；選項B中，NF向F2=NFIBF2<90：不存在90。的/尸砂巳,

22

錯誤；選項C中，面積W/I2c"6c<下廿+一c=左a，正確；選項D中，周長金他=

2c+2a<4。，正確.

10.（多選）（2022?濟南質(zhì)檢）已知拋物線C：爐=4x的焦點為F,準線為/,過點F的直線與拋

物線交于點P（?,yi）,Q（X2,”），點P在/上的射影為P，則（）

A.若M+X2=6,則|PQ=8

B.以PQ為直徑的圓與準線/相切

C.設M（0，1）,則|PM+|PP|N娘

D.過點"（0,1）與拋物線C有且僅有一個公共點的直線至多有2條

答案ABC

解析對于A,因為p=2,所以汨+及+2=/。|,則|PQ|=8,故A正確；對于B,設N為

PQ的中點，點N在/上的射影為Ni,點。在/上的射影為彷，則由梯形性質(zhì)可得|NM|=

1勿"1。如=|絲|苧絲1=號1,故B正確；對于C,因為F（l,0）,所以IPM+IP尸||=FM+

\PF\^\MF\=y[2,故C正確；對于D,顯然直線x=0,y=1與拋物線只有一個公共點.設過

M的直線為>=丘+1,由<,'可得以2+（2左一4）冗+1=0.令/=（2%—4）2—4d=0,

匕2=4心

解得&=1,所以直線y=x+l與拋物線也只有一個公共點，所以有三條直線符合題意，故D

錯誤.

11.（多選）設拋物線）2=2*（0>0）的焦點為凡點M在y軸上，若線段的中點8在拋物

線上，且點8到拋物線準線的距離為平，則點”的坐標為（）

A.(0,1)B.(0.—2)

C.(O,2)D.(O，-1)

答案BC

解析在尸中，點8為邊MF的中點，故點8的橫坐標為M因此乎=￡+冬解得p

=也，故拋物線的方程為爐=2g,可得點B的坐標為（半，±1）,

故點M的坐標為（0,-2）,（0,2）.

12.已知點尸是拋物線E：y2=2px（p>0）的焦點，O為坐標原點，A,B是拋物線E上的兩點，

滿足I阿+|FB|=10,FA+FB+Fb=O,則p等于（）

A.1B.2C.3D.4

答案D

解析設A（M,yi）,8（X2,yi）,由|礎+尸8|=10,可得照|+|FB|=xi+?+x2+?=xi+x2+p

=10.?

由成+西+歷=0,可得說+西+歷=（%1+X2—咨，>[+?）=0,

所以加+及=當.②

聯(lián)立①②，可得p=4.

13.已知拋物線產(chǎn)=