2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

22

1.已知橢圓E：:=13>8>0)的左、右焦點(diǎn)分別為"，

F2,過(guò)鳥的直線2x+y-4=0與y軸交于點(diǎn)A，

a2b2

線段AF2與E交于點(diǎn)8.若|AB|=|8用，則E的方程為()

2222??2

A廠y1n%y1Xy「x21

A?1-----=1B?1------=1C*1=1fD.1-y=1

403620161065

2.若2"+3“=3〃+2)，則下列關(guān)系式正確的個(gè)數(shù)是()

①b<a<0②a=b③?\<b<a

A.1B.2C.3D.4

3.已知命題p：“a>6”是“2“>2””的充要條件；4：*eR,|x+l區(qū)x,貝(j()

A.(f)vq為真命題B.pvq為真命題

c.，人q為真命題D."△(F)為假命題

4.定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足/(x+2)=/(x),當(dāng)xG[-3,-2]時(shí)，/(*)=-*-2,則()

B.f(sE3)<f(cos3)

C./(s%子)D.f(2020)>f(2019)

5.過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)作直線交拋物線于AB兩點(diǎn),若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,且同用=8,則

拋物線的方程是()

A.y1-2xB.y2-4xC.y~=8xD.y1-lOx

x

6.已知雙曲線C：J1(。>0力>0)的右焦點(diǎn)為￡。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與雙曲線C的一條漸近

b2

線交于點(diǎn)。及點(diǎn)A)

。T22

A2=1D.工-工=1

62

7.設(shè)y=/（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在[0,+8）單調(diào)遞增,a=log020.3,b=log20.3,則()

A.f(a+b)>f(ab)>f(0)B.f(a+h)>f(0)>f(ah)

C.f(ab)>于(a+b)>f(0)D.f(ab)>f(0)>f(a+b)

8.若tana='，則cos2a=(

)

2

4343

B.一-c.一D.一

5555

9.設(shè)過(guò)點(diǎn)p（x,y）的直線分別與X軸的正半軸和y軸的正半軸交于A8兩點(diǎn)，點(diǎn)。與點(diǎn)尸關(guān)于》軸對(duì)稱，。為坐標(biāo)

原點(diǎn)，若麗=2百，且迎?通=1，則點(diǎn)P的軌跡方程是（）

33

A.—x2+3)，=l(x>0,^>0)B.—x2-3y2=l(x>0,y>0)

33

C.3x2-y1=l(x>0,y>0)D.3x2+=l(x>0,y>0)

X29

10.過(guò)雙曲線c：^y=1（。>0/>0）左焦點(diǎn)/的直線/交C的左支于A8兩點(diǎn)，直線AO（。是坐標(biāo)原點(diǎn)）交

Q-

C的右支于點(diǎn)O,若DhAB,且忸可=|DF|,則C的離心率是（）

A.B.2c.V5

D?半

荏麗，|同叫叫,

11.在AABC中，OA+OB+OC^Q,=2若麗?*=9標(biāo)?覺(jué)，則實(shí)數(shù)4=（）

R6

A.V3o.----V/?----

V23D-T

12.已知集合4=｛（乂刈*2+3；2=4｝,18=｛（乂刈,=2，｝,則AplB元素個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在數(shù)列｛4｝中，已知q=1,4“/川=2"（〃eN*）,則數(shù)列｛4｝的的前2〃+1項(xiàng)和為S?"]=.

14.已知向量。=（一2,1）,6=（1,附，若向量。+力與向量。平行，則實(shí)數(shù)〃?=.

15.某校開展“我身邊的榜樣”評(píng)選活動(dòng)，現(xiàn)對(duì)3名候選人甲、乙、丙進(jìn)行不記名投票，投票要求詳見選票.這3名候

選人的得票數(shù)(不考慮是否有效)分別為總票數(shù)的88%,75%,46%,則本次投票的有效率(有效票數(shù)與總票數(shù)的比

值)最高可能為百分之.

“我身邊的榜樣”評(píng)選選票

候選人符號(hào)

甲注：

1.同意回“?！?，不同意

乙2.年壁造票的個(gè)教不超過(guò)2時(shí)才為有效票.

丙

16.函數(shù)(x)=xcosx+sinj^x=兀處的切線方程是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=g，Mx2—i)—］nxO〃eR).

(1)若m=1,求證：/(%)20?

(2)討論函數(shù)/W的極值；

(3)是否存在實(shí)數(shù)加，使得不等式/(X)>，-工在―)上恒成立？若存在，求出加的最小值；若不存在，請(qǐng)

xe

說(shuō)明理由.

18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系x?中，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。已知曲線C的極坐

-2+冬

2

標(biāo)方程為夕siM6=2acos6(a>0),過(guò)點(diǎn)P(—2,—4)的直線I的參數(shù)方程為<(為參數(shù))，直線/與曲

.4+2

y

2

線C交于M、N兩點(diǎn)。

(1)寫出直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程:

(2)若|PMNPN|成等比數(shù)列，求a的值。

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=x+alnx,aeR.

(.I)當(dāng)a=l時(shí)，求曲線y=/(x)在x=l處的切線方程；

(II)求函數(shù)/(x)在［l,e］上的最小值；

13

(皿)若函數(shù)/(x)=f/(x),當(dāng)a=2時(shí)，F(xiàn)(X)的最大值為例，求證：M<-.

x=tcosa4cos8

20.(12分)已知直線/的參數(shù)方程為,.(0Wa<〃，f為參數(shù))，曲線。的極坐標(biāo)方程為夕=一二?.

y=l+zsin?sin-0

(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并說(shuō)明曲線C的形狀；

⑵若直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),求直線/被曲線C截得的線段的長(zhǎng).

21.(12分)如圖，四棱錐P—A3CD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的菱形，PA=PC=5,點(diǎn)M,N分別是AB,PC的

中點(diǎn).

(1)求證：平面PAD；

(2)若cosNPCD=，NOAB=60°,求直線AN與平面PAD所成角的正弦值.

22.(10分)如圖，在四棱錐P—ABC。中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC,ABYAD,AD=2AB=2BC=2,

APCD是正三角形，PCLAC,E是Q4的中點(diǎn).

(1)證明：AC±BE；

(2)求直線8P與平面8DE所成角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

由題可得A(0,4),6(2,0),所以c=2,又|AB|=|8周，所以2a=忸耳|+忸閭=|但|=2石,得口=布,故可

得橢圓的方程.

【詳解】

由題可得A(0,4),6(2,0),所以c=2,

又|4例=忸用，所以2a=忸制+忸閭=|伍|=2右,得。=有，；.b=l，

丫2

所以橢圓的方程為土+/=].

5'

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了橢圓的定義，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解.

2.D

【解析】

a,〃可看成是y=f與/(x)=2'+3x和g(x)=3'+2x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合處理.

【詳解】

令/(x)=2V+3x,g(x)=3*+2x,

由/(x)=T+3x,g(x)=3'+lx的圖象可知,

〃o)=g(o)=l,/⑴=g(l)=5,②正確；

xe(-00,0),有Z?<a<0,①正確；

xe(0』)，〃x)>g(x),有0<a<b<l,③正確；

XG(1,+8),有l(wèi)<b<a,④正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)圖象比較大小，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.

3.B

【解析】

由y=2'的單調(diào)性，可判斷p是真命題；分類討論打開絕對(duì)值，可得q是假命題，依次分析即得解

【詳解】

由函數(shù)y=2'是R上的增函數(shù)，知命題P是真命題.

對(duì)于命題q,當(dāng)x+120,即xN-1時(shí)，|x+l|=x+l>x；

當(dāng)x+l<0,即X<—1時(shí)，|x+l|=-x—1,

由—x—得x=—彳，無(wú)解，

因此命題q是假命題.所以(W)vq為假命題，A錯(cuò)誤；

pvq為真命題,B正確；

/7Aq為假命題，c錯(cuò)誤；

PA(F)為真命題，D錯(cuò)誤.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了命題的邏輯連接詞，考查了學(xué)生邏輯推理，分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

4.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)的周期性以及xG[-3,-2]的解析式，可作出函數(shù)/(x)在定義域上的圖象，由此結(jié)合選項(xiàng)判斷即可.

【詳解】

由/(x+2)=/(x),得/(*)是周期函數(shù)且周期為2,

先作出/(x)在xC[-3,-2]時(shí)的圖象，然后根據(jù)周期為2依次平移，

并結(jié)合/(x)是偶函數(shù)作出/(x)在H上的圖象如下，

y.

-4-3-2T。1234

1

Kit??4八?兀1V3TC1

選項(xiàng)A,0<sin—=—<——=cos—<I,

6226

所以小i吟卜了"?),選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B,因?yàn)楫?dāng)<3<不，所以0<si〃3V，^V-cos3VI，

42

所以/(s加3)<f(-COS3),即/(s加3)V/(cos3),選項(xiàng)B正確:

超召「.4萬(wàn)64乃Ii.414%八

璉以c，sin——=----,cos——=——,1>-sin——>-cos——>0，

323233

所以/(—>/(—cos^),即>/(co5?),

選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D,/(2020)=/(0)</(I)=/(2019),選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)值的大小比較，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

5.B

【解析】

利用拋物線的定義可得,IA81=|”|+1陰=%+5+%+g把線段相中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,1|=8代入可得p值,

然后可得出拋物線的方程.

【詳解】

設(shè)拋物線y?=2px(p>0)的焦點(diǎn)為居設(shè)點(diǎn)4&,凹),3(蒼，必)，

由拋物線的定義可知++

線段A5中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,又|AB|=8,，8=6+p,可得〃=2,

所以拋物線方程為V=4x.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.

6.C

【解析】

根據(jù)雙曲線方程求出漸近線方程：y=/x，再將點(diǎn)代入可得。連接E4,根據(jù)圓的性質(zhì)可得

--2~3=—,從而可求出c,再由。2=儲(chǔ)+〃即可求解.

G3

【詳解】

，V2

由雙曲線C:——齊=1（。＞0力〉0），

b

則漸近線方程：y=±-X,

2

、2NL|M|7c-3bg5,口、

連接FA）則??=『—=—=——，解得c—2,

\A0\y/3a3

所以C2=/+〃=4,解得.2=3,〃=].

2

故雙曲線方程為三—：/=].

3

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，需掌握雙曲線的漸近線求法，屬于中檔題.

7.C

【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，比較|a+附助即可.

【詳解】

lgO-3lg0.3

解：\a+b\=|log0.3+log0.3|=1

022igol市

lg0.3xlg|lg0.3xlg|

-Ig5xlg2Ig5xlg2

lg0.3lg0.3

\ab\=|log020.3xlog20.3|=

—lgO.3x]gO.3_lgO.3xlgO,3

Ig5xlg2Ig5xlg2

-lgO.3x(-lgO.3)

Ig5xlg2

,,10

lg0.3xlgy

Ig5xlg2

顯然Iggclg與，所以|a+@<|刈］

y=/(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在［0,+8)單調(diào)遞增,

所以/(而)>/3+份>/(0)

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算及偶函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

8.D

【解析】

直接利用二倍角余弦公式與弦化切即可得到結(jié)果.

【詳解】

Vtan6z=—,

2

cos2a-sin2a_1-tan2a_43

:.cos2a

222

cos?+sina1+tana|+\5

4

故選D

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化

能力，屬于基礎(chǔ)題型.

9.A

【解析】

設(shè)A,8坐標(biāo)，根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算表示出麗=2再［,從而可利用MN表示出。力；由坐標(biāo)運(yùn)算表示出麗?麗=1,代

入a,b整理可得所求的軌跡方程.

【詳解】

設(shè)A（a,0）,8（0,。），其中a>0,b>0

3x八

即《x=2、,la-x'a=—>0

\-BP=2PA：.^x,y-h)=2(a-x,-y),2

y-b=-2y

b=3y>0

???P,Q關(guān)于)'軸對(duì)稱■--Q(-x,y)

3

2

X

OQ-AB=(-x,y)?(-a,b^=ax+by=\2-+3y=l(x>O,y>0)

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解，涉及到平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算；關(guān)鍵是利用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示出變量，根據(jù)平

面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可整理得軌跡方程.

10.D

【解析】

如圖，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為鳥，連接力鳥并延長(zhǎng)交右支于C，連接FC，設(shè)=X,利用雙曲線的幾何性質(zhì)可以得

到0b=x+2a,FC=x+4a,結(jié)合RtAFDC、放△/??，斂汕箅x心率.

【詳解】

如圖，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為鳥，連接FC,連接。死并延長(zhǎng)交右支于C.

因?yàn)槭?=0月,40=00,故四邊形E48。為平行四邊形，故k0，。工.

又雙曲線為中心對(duì)稱圖形，故與C=6F.

設(shè)。鳥=x,則￡>f=x+2a,故gC=x+2a,故FC=x+4a.

因?yàn)锳FDC為直角三角形，故（x+4a）2=（2x+2ay+（x+2a）2,解得x=a.

在RtkFDF]中，有4c2="+9a2,所以e，

a

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線離心率，注意利用雙曲線的對(duì)稱性（中心對(duì)稱、軸對(duì)稱）以及雙曲線的定義來(lái)構(gòu)造關(guān)于d〃,c的方程,

本題屬于難題.

11.D

【解析】

將亞、沅用麗、衣表示，再代入通?衣=9而?或中計(jì)算即可?

【詳解】

由d+。與+方=0，知。為AA3C的重心，

——21一一.1—._.

所以AO=]X/(A8+AC)=](AN+AC),又不=2麗,

___________2_____2___

所以EC=AC-AE=AC——AB,9AO?EC=3(A3+AC),(AC——Afi)

‘?‘??21,2ABAC＞所以2啟=3而2,6黑一5一手

ABAC-2AB+3AC

|AC|VZ，

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到向量的線性運(yùn)算，是一道中檔題.

12.B

【解析】

作出兩集合所表示的點(diǎn)的圖象，可得選項(xiàng).

【詳解】

由題意得，集合A表示以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓，集合8表示函數(shù)y=2''的圖象上的點(diǎn)，作出兩集合所表示的

點(diǎn)的示意圖如下圖所示，得出兩個(gè)圖象有兩個(gè)交點(diǎn):點(diǎn)A和點(diǎn)8,所以兩個(gè)集合有兩個(gè)公共元素，所以AA3元素個(gè)數(shù)

為2,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交集運(yùn)算，關(guān)鍵在于作出集合所表示的點(diǎn)的圖象，再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.2n+2-3

【解析】

由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列｛q｝的所有奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，求其通項(xiàng)公式，得到52?,

再由$2“+|=S?“+<z2n+i求解。

【詳解】

解：由4=L可?1=2"(〃eN*),

得%?G=2"T(〃.⑵,

也=2(〃..2),

%

則數(shù)列｛6』的所有奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.

n-\

2三，〃為奇數(shù)

2。為偶數(shù)

S2n=(4+4+...+tz2?_|)+(a2+a4+...+a2n)

=(1+2+22+...+2"-')+(2+22+…+2")

1_2〃

=3(1+2+22+...+2〃T)=3?_—=3<2M-3.

1-2

???S2n+l=s2?+*=3.2"-3+2"=2"+2-3.

故答案為：2"2—3.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了數(shù)列的分組求和，屬于中檔題.

￡

14.

2

【解析】

由題可得a+〃=(T,l+M,因?yàn)橄蛄縂+力與向量a平行，所以—2x(〃7+l)-lx(_l)=O,解得加=一_1

2

15.91

【解析】

設(shè)共有選票100張，且1,2,3票對(duì)應(yīng)張數(shù)為乂、/，由此可構(gòu)造不等式組化簡(jiǎn)得到z=x+9,由投票有效率越高二越小,

可知Zmin=9,由此計(jì)算可得投票有效率.

【詳解】

不妨設(shè)共有選票100張，投1票的有“，2票的有丁，3票的有z,則由題意可得:

x+2y+3z=88+75+46=209

x+y+z=100,化簡(jiǎn)得：z-x=9,即z=x+9,

x,y,zeN

投票有效率越高，z越小，則％=0,z=9,

故本次投票的有效率(有效票數(shù)與總票數(shù)的比值)最高可能為100%=91%.

故答案為：91%.

【點(diǎn)睛】

本題考查線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)已知條件構(gòu)造出變量所滿足的關(guān)系式.

16.2x+y-7r=0

【解析】

求出/(")和/'(萬(wàn))的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程.

【詳解】

/(x)=xcosx+sinx,貝!|，'(x)=2cosx—xsinx,.?./(%)=-",f'(兀)=-2.

因此，函數(shù)/(x)=xcosx+sinx在x=i處的切線方程是y+乃=-2(%一萬(wàn))，

即2x+y-%=0.

故答案為：2x+y-萬(wàn)=0.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)證明見解析；(2)見解析；(3)存在，1.

【解析】

(1)777=1,求出/'(X)單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出即可證明結(jié)論；

(2)對(duì)/'0)20(或/'(X)W0)是否恒成立分類討論，若恒成立，沒(méi)有極值點(diǎn)，若不恒成立，求出/(x)>0,/(x)<0

的解，即可求出結(jié)論；

(3)令/z(x)=，--g,xe(l,+oo),可證〃(％)>0/€(1,+0。)恒成立，而/(1)=0,由(2)得，加V0J(x)在(1,+o。)

xe

為減函數(shù)，o(加<lj(x)在(I,這)上單調(diào)遞減，在(1,心)都存在/*)<0,不滿足/(x)>g(x),當(dāng)機(jī)上1時(shí)，

設(shè)/(x)=g，〃(x2-i)-]nx—：+擊，且尸⑴=0,只需求出％劃在(1,+w)單調(diào)遞增時(shí)機(jī)的取值范圍即可.

【詳解】

(1)m=\,/(x)=(x2-1)-Inx(x>0),

fM=--+x=^-,當(dāng)xw(0,l)時(shí)，f'(x)<0,

XX

當(dāng)XG(l,+8)時(shí)，f'(x)>0,.,./(x)rain=/(l)=0,故/(xRO.

(2)由題知，x>0,/'(幻=一,+相氏=%￡二1,

XX

2[

①當(dāng)機(jī)<0時(shí)，f'(x)=-，，X--<0,

X

所以/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，沒(méi)有極值;

②當(dāng)加>0時(shí)，/'(0="二1

0,得X=-T=,

x7m

當(dāng)xe時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)xw,+8|時(shí)，f\x)>0,

\

所以.f(x)在0,上單調(diào)遞減，在,+8上單調(diào)遞增.

/

故/(X)在X=J=處取得極小值

=-lnm+---m,無(wú)極大值.

y/m222

I1e'T-x

(3)不妨令人(%)=

xex~'xex~'

設(shè)“(X)=ex~'-x,xG(1,+oo),ur(x)=ex~'-1>0在(1,+8)恒成立,

M(X)在[1,+8)單調(diào)遞增，.1“(x)>“⑴=0,

-xNO在(1收)恒成立,

所以，當(dāng)xw(l,+8)時(shí)，h(x)>0,

由(2)知，當(dāng)加<0,x>l時(shí)，/(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減,

/(x)</(l)=0恒成立;

所以不等式/一上在。+8)上恒成立，只能加>().

xe

當(dāng)Ovmvl時(shí)，4=>1,由(1)知/(幻在卜,4=上單調(diào)遞減，

7m\ylm)

所以/</(1)=0,不滿足題意.

當(dāng)機(jī)2/時(shí)，設(shè)/(％)=工加(％2—

2xe

因?yàn)榧又?,尤>1,所以/初^2x,e"?>1,0<—-<1,—1<-------<0,

11111X3-X2-X+1

FV)=-—+/nx+-y----->-----I-X+—7-1=

xxex~xxX2

即9(龍);二Q>0,

x

所以F(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

又尸(1)=0,所以時(shí)，/(x)>0恒成立，

即/(x)-/心)〉0恒成立，

故存在mN1,使得不等式/(x)>，--［在―)上恒成立，

xe

此時(shí)機(jī)的最小值是1.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)的單調(diào)性、極值最值、不等式證明，考查分類討論思想，意在考查直觀想象、邏

輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.

18.(1)/的普通方程y=x—2；C的直角坐標(biāo)方程y=2ax；(2)a=l.

【解析】

(1)利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用消去參數(shù)f即可得到直線

/的直角坐標(biāo)方程；

(2)將直線/的參數(shù)方程，代入曲線C的方程，利用參數(shù)的幾何意義即可得出|PM|?|PN|,從而建立關(guān)于。的方程,

求解即可.

【詳解】

烏

X-+

2

-2

(1)由直線/的參數(shù)方程W也消去參數(shù)，得,

y-4+

-2

y=-4+x+2,即y=x-2為/的普通方程

由psin20=2acosO,兩邊乘以「得P2sin2e=2wcose

y=24t為C的直角坐標(biāo)方程.

夜

一

x=-2+2

(2)將＜代入拋物線v2=2ax得/-20(。+4)r+32+8a=0

V2

y=-4+

△=(2V2(a+4))2-4(32+8a)〉0

A+q=2A/2(<7+4)>0

區(qū)=32+8a>0

ft>0,t2>0

由已知IPM|,|MN\,\PN|成等比數(shù)列，

MN|2=|PM\-\PN\

即,I—，2「=|訃卜21，(%+■2—4能=能，(4+f2y=5%，

(2&(a+4))2=5(32+8a)整理得a2+3a-4=0

a=-4(舍去)或a=l.

【點(diǎn)睛】

熟練掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、方程思想、直線/的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵.

19.(I)2x-y-l=0.(D)見解析；(ID)見解析.

【解析】

試題分析：(I)由題/(x)=x+lnx,XG(0,+OO).

所以尸(x)=l+L故"1)=1,/'⑴=2.,代入點(diǎn)斜式可得曲線y=/(x)在x=l處的切線方程；

X

(II)由題/("=1+@=土吆.

XX

(1)當(dāng)aNO時(shí)，/(九)在(0,不》)上單調(diào)遞增.則函數(shù)/(%)在［l,e］上的最小值是/⑴=1.

(2)當(dāng)a<0時(shí)，令r(x)>0,即尤>一口,令r(x)<0,即2<-a.

(i)當(dāng)0(一aWl,即aN-l時(shí)，/(x)在［l,e］上單調(diào)遞增，

所以/(x)在［1,e］上的最小值是"1)=1.

(ii)當(dāng)l<—a<e,即一eWaW-l時(shí)，由f(x)的單調(diào)性可得了(九)在［l,e］上的最小值是『(一a)

(iii)當(dāng)—aNe,即a?—e時(shí)，/(x)在［l,e］上單調(diào)遞減，/(x)在［l,e］上的最小值是/(e)=e+a

.?/、1alnx山c—z\2-x-41m

(/THTTD/(力=一+^-.當(dāng)a=2時(shí)，F(xiàn)(x)=----------

令g(x)=2-x-41nx,則g(x)是單調(diào)遞減函數(shù).

因?yàn)間(l)=l>0,g(2)=-41n2<0,

所以在(1,2)上存在/,使得g(%)=0,即2-%-41叫=0.

討論可得F(x)在(1,%)上單調(diào)遞增，在(七,2)上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)x=不時(shí)，產(chǎn)(力取得最大值是加=/(無(wú)。)=至學(xué)乜.

不

因?yàn)?-x—41nx=0,所以M=2A=--5-.由此可證M<』.

2%?4)162

試題解析：(I)因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=x+alnr,且a=l,

所以/(x)=x+lnx,

所以尸(x)=l+J

所以/(i)=i,r(i)=2.

所以曲線在x=l處的切線方程是)，-1=2(%一1),即2x-y-l=0.

(II)因?yàn)楹瘮?shù)/.(%)=x+alnx(x>0)，所以/'(尤)=］+@=x+a.

(1)當(dāng)a20時(shí)，f(x)>0,所以/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

所以函數(shù)“X)在［1,e］上的最小值是"1)=1.

(2)當(dāng)。<0時(shí)，令/'(x)>0,即x+a>0,所以x>-a

令/'(x)<0,即x+a<0,所以x<-a.

(i)當(dāng)0<-aWl,即aN-1時(shí)，/(x)在［l,e］上單調(diào)遞增，

所以“X)在［1,e］上的最小值是/⑴=1.

(ii)當(dāng)l<—a<e,即一eWaW—l時(shí)，/(力在［1,一可上單調(diào)遞減，在(一。目上單調(diào)遞增,

所以/(x)在［l,e］上的最小值是/(-a)=-a+aln(-a).

(iii)當(dāng)—aNe,即aW—e時(shí)，/(x)在［l,e］上單調(diào)遞減，

所以“力在［l,e］上的最小值是/(e)=e+a

綜上所述，當(dāng)時(shí)，/(力在口同上的最小值是"1)=1.

當(dāng)一eWaW-1時(shí)，/'(x)在［1,e］上的最小值是f(-a)^-a+aln(-a).

當(dāng)a4—e時(shí)，/(x)在［l,e］上的最小值是〃e)=e+a.

(HI)因?yàn)楹瘮?shù)b(x)=4/(x),所以/(力=：+坐.

令g(x)=2-x—4hir,所以g(x)是單調(diào)遞減函數(shù).

因?yàn)間⑴=1>0，g(2)=-41n2<0,

所以在(1,2)上存在/,使得g(拓)=0,即2-5-41鵬=0.

所以當(dāng)xe(l,Xo)時(shí)，g(x)>0；當(dāng)xe(%,2)時(shí),g(x)<0.

即當(dāng)xe(l，5)時(shí)，F(xiàn)r(x)>0；當(dāng)xe(龍o,2)時(shí)，F(xiàn)/(x)<0.

所以F(x)在(1,%)上單調(diào)遞增，在(不，2)上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)x=x0時(shí)，*x)取得最大值是M=E(%)=笠孚M

Z、

因?yàn)?—x—4hu=0,所以M="學(xué)=4+-1-=

。亡2v2vA

/4

因?yàn)椴?1,2),所以一e

20.(1)曲線。表示的是焦點(diǎn)為(1,0),準(zhǔn)線為x=—l的拋物線;(2)8.

【解析】

4cos/9

試題分析：(1)將曲線。的極坐標(biāo)方程為夕=二嚶兩邊同時(shí)乘以「，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系即可得出其

直角坐標(biāo)方程；(2)由直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),可得tana的值，再將直線/的參數(shù)方程代入曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程，由直線參

數(shù)方程的幾何意義可得直線/被曲線C截得的線段C的長(zhǎng).

4cos0

試題解析：(1)由夕可得22sin2e=4pcos。，即/=4x,

:,曲線C表示的是焦點(diǎn)為(1,0),準(zhǔn)線為x=-l的拋物線.

1=tcosa

(2)將(1,0)代入?，:.tancr=-1

0=1+tsina

V2

x=------1

37r2

V()Wa〈乃，...a=—,.?.直線/的參數(shù)方程為《心(/為參數(shù)).

4i與

2

將直線/的參數(shù)方程代入丁=4A-得/+6萬(wàn)+2=0,

由直線參數(shù)方程的幾何意義可知，

|A同=,一g={&+葉)2_4不2=772^8=8.

21.(1)見解析；(2)空.

11

【解析】

(1)取PD的中點(diǎn)H,連接通過(guò)證明MN〃A〃，即可證得;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示即可得解.

【詳解】

(1)證明：取PO的中點(diǎn)”，連接NH,AH.

QN是PC的中點(diǎn)，.?.NH〃=g℃,又AM〃/5=gDC,

.?.此7//=4M,.?.四邊形40人歸是平行四邊形.

：.MN//AH,又MNa平面A”u平面PAD，

.?.MV//平面PAD.

(2)PC=