遼寧省葫蘆島市興城市第二初級中學(xué)2020-2021學(xué)年八年級

下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)，可作為三邊長構(gòu)成直角三角形的是（）

A.1,2,3B.32,42,52C.1,正，QD.石，石，

2.已知AABC的三邊分別為。，b,C,且滿足。2=/+。2,c2_2b2=0,則這個三

角形有一個角的度數(shù)為（）

A.135。B.75°C.45°D.30

3.如圖，在3x3的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上，若

是△ABC的高，則的長為（）

C

A.—B.—>/13C.—D.—VTs

13131313

4.如圖是用三塊正方形紙片以頂點(diǎn)相連的方式設(shè)計(jì)的“畢達(dá)哥拉斯”圖案.現(xiàn)有五種正

方形紙片，面積分別是1,2,3,4,5,選取其中三塊（可重復(fù)選取）按圖的方式組

成圖案，使所圍成的三角形是面積鬟木的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別

是（）

5.把中根號外面的因式移到根號內(nèi)的結(jié)果是（)

A.yJ—ClB.—y[aC.-\[^aD.y[a

6.若強(qiáng)與最簡二次根式能合并，則機(jī)的值為（）

A.7B.9C.2D.1

7.若J（x—I/=1-x,則x的取值范圍是（）

A.x>lB.x>lC.x<\D.x<\

8.“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所

示的“趙爽弦圖''是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)

直角三角形較長直角邊長為m較短直角邊長為b,若（。+〃）2=21,大正方形的面積

為13,則小正方形的面積為（）

9.已知：m—y/2+1,n—y/2-1,則Jm?+?+3ml=（）

A.±3B.-3C.3D.y/5

10.已知：如圖在△ABCZkAOE中，ZBAC=ZDAE=90°,A8=AC,AO=AE,點(diǎn)。,

D,E三點(diǎn)在同一條直線上，連接8。，BE,以下四個結(jié)論：

?BD=CE；?BD±CE；③NACE+NQ3O45。；@BE2=2CAD2+AB2）,

其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

11.若近巨在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則a的取值范圍是

2-a

12.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（填序號）.

①6,8,10；②1.5,2,2.5；③32,42，52;?7,24,25；⑤⑸",必

13.已知?dú)v二是整數(shù)，則自然數(shù)n所有可能的值為.

14.在RtAABC中，AB=8,BC=26,則以AC為邊的正方形的面積為.

15.若。是近的整數(shù)部分，6是五的小數(shù)部分，則代數(shù)式（4+百）（a-b）的值為

16.課間，小聰拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心掉到兩墻之間（如圖），

/ACB=90。，AC=BC,從三角板的刻度可知AB=20cm,小聰很快就知道了砌墻磚塊

的厚度（每塊磚的厚度相等）為cm.

A

DCE

17.對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美"四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形

ABCD,對角線AC、BD交于點(diǎn)、0.若AD=2,BC=4,則A￥+C￡>2=

18.如圖，在矩形ABCO中，點(diǎn)￡是4。的中點(diǎn)，將△ABE沿直線BE折疊后得到

△GBE,延長BG交CO于點(diǎn)F,若AB=6,BC=4而，則FC=.

三、解答題

19.（1）計(jì)算：3炳+（同一出卜后

(2)化簡求值：+214卜〃其中4=2+0

[a+2a-4)a+2”2

20.已知工=百一&，y=G+0.

⑴求Vy+xy3的值；

(2)求)+上的值.

xy

21.我國古籍《周髀算經(jīng)》中早有記載“勾三股四弦五”，下面我們來探究兩類特殊的

勾股數(shù)，觀察下面兩個表格并解答下列問題.(以下。，b,c為放ZkABC的三邊，且

a<b<c)

表一

abc

345

51213

72425

94041

表二

ahc

6810

81517

102426

123537

(1)表一中。為大于1的奇數(shù)，此時4C的數(shù)量關(guān)系是,a,b,c之間除滿足

/+匕2=Q外還滿足的數(shù)量關(guān)系是.

(2)表二中a為大于4的偶數(shù)，此時b,c的數(shù)量關(guān)系是,a,b,c之間除滿足

/+〃=/外還滿足的數(shù)量關(guān)系是.

(3)我們還發(fā)現(xiàn)，表一中的三邊長”3,4,5”與表二中的三邊長“6,8,10”成倍數(shù)關(guān)系；

表一中的三邊長”5,12,13”與表二中的三邊長“10,24,26”恰好也成倍數(shù)關(guān)系.請你

直接利用這一規(guī)律計(jì)算：在RtAABC中，當(dāng)用,3，故］4時，斜邊。的長.

22.如圖，在一條東西走向河的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個取水點(diǎn)A,B,其中

AB=AC,由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在己經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在

河邊新建一個取水點(diǎn)H，(A，H,B在一條直線上)，并修一條路CH.測得C8=2千

米，C”=L6千米，HB=L2千米.

(1)問C”是否為從村莊C到河邊的最近路？請通過計(jì)算加以說明.

(2)求原來的路線AC的長.

23.如圖，長方體盒子(無蓋)的長、寬、高分別是12cm,8cm,30cm.

(1)在4B的中點(diǎn)C處有一滴蜜糖，一只小蟲從。處爬到C處去吃，有無數(shù)種走法，則

最短路程是多少？

(2)若此長方體盒子有蓋，則能放入木棒的最大長度是多少？

24.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,AACB和ADCE均為等邊三角形，點(diǎn)A,D,E在同一

直線上，連接BE,則NAEB的度數(shù)為—，線段AD、BE之間的關(guān)系—.

(2)拓展探究：如圖2,△ACB和ADCE均為等腰直角三角形，

ZACB=ZDCE=90°,點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連

接BE.①請判斷/AEB的度數(shù)，并說明理由；②當(dāng)CM=5時、AC比BE的長度多6

時，求AE的長.

參考答案：

1.c【分析】勾股定理的逆定理：若三角形中，有兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這

個三角形是直角三角形，根據(jù)勾股定理的逆定理逐一分析各選項(xiàng)可得答案.

【詳解】解：由「+22=5x32,故A不符合題意；

由（3?丫+（42）'=81+256=337*（52）。=625,故B不符合題意；

由12+（&『=3=（6『，故C符合題意；

由（用2+（"了=7二（石『=5,故D不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理，掌握利用勾股定理的逆定理判斷三角形是直角

三角形解題的關(guān)鍵.

2.C【分析】由勾股定理逆定理可得AABC是直角三角形，且NC=90。，再C2-2〃=O

知其為等腰直角三角形，即可求得.

【詳解】；AABC的三邊分別為“，b,c,且滿足/=/+〃，

.?.△ABC是直角三角形，且NC=90°,

c2-2b2=0,

\a2+h2-2b2=0,

..a=b,

.-.ZA=ZB,

v?B?A180??C90?,

\NA=45?.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理逆定理，等腰三角形性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理.熟練掌握

性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵.

3.D【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算AC的長，利用面積和差關(guān)系可求A4?C的面積，由三角

形的面積法求高即可.

【詳解】解：由勾股定理得：AC=V^，=后，

1117

***Sd48C=3x3—-x1x2—x1x3—x2x3=一,

2222

答案第1頁，共14頁

/.V13BD=7,

13

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格與勾股定理，三角形的面積的計(jì)算，掌握勾股定理是解題的關(guān)

鍵.

4.B【分析】根據(jù)勾股定理，a2+b2=c2,則小的兩個正方形的面積等于大正方形的面

積，再分別進(jìn)行判斷，即可得到面積最大的三角形.

【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)三個正方形的邊長分別為a、b、c,

由勾股定理，得/+82=02,

A、\T+4=5,則兩直角邊分別為：1和2,則面積為：—xlx2=l；

2

B、???2+3=5,則兩直角邊分別為：應(yīng)和右，則面積為：1x72x73=^;

22

C、???3+4#5,則不符合題意；

D>V2+2=4,則兩直角邊分別為：0和0,則面積為：1x>/2x>/2=l；

..A/6

?—>1,

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，以及三角形的面積公式，解題的關(guān)

鍵是熟練掌握勾股定理，以及正方形的性質(zhì)進(jìn)行解題.

5.A【分析】利用二次根式的性質(zhì)直接化簡得出即可.

【詳解】解：由題意可知

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的化簡，正確確定二次根式的符號是解題關(guān)鍵.

6.D【分析】先將人化簡為最簡二次根式，再根據(jù)最簡二次根式的定義即可得.

【詳解】解：78=272,

?.-2&與最簡二次根式+l能合并,

答案第2頁，共14頁

.?.77/4-1=2,

解得小=1,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了最簡二次根式、二次根式的化簡，熟練掌握最簡二次根式的概念是解

題關(guān)鍵.

7.D【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，化簡得，"1)2=卜_”,由已知

可得，=最后根據(jù)絕對值的性質(zhì)，得到x的取值范圍.

【詳解】解：-.J(x-l)2=|x-l|,J(x-I)2=l-X，

**.|x-lj=1—X,

...1-xNO,

解得，x<\,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，絕對值的性質(zhì)，充分理解以上知識是解題的關(guān)鍵.

8.C【詳解】解:如圖所示，V(a+b)2=21

.,.a2+2ab+b2=21,

???大正方形的面積為13,即:a2+b2=13,

/.2ab=21-13=8,

，小正方形的面積為13-8=5.

故選C.

9.C【分析】先根據(jù)題意得出，和，"〃的值，再把式子化成含，與加〃的形式，最后代

入求值即可.

【詳解】由題得：m-〃=2、=1

\Jm2+n2+3mn=■^(in—n)1+5mn—《2,+5x1—亞=3

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值和完全平方公式，運(yùn)用整體思想是關(guān)鍵.

10.C【詳解】解：①..?N3AC=ND4E=90°,

NBAC+NCAD=NDAE+NCAD,^ZBAD=ZCAE.

?.?在△BAD和ACAE中，AB=AC,ZBAD=ZCAE,AD=AE,

答案第3頁，共14頁

:*△BAD烏/\CAE(SAS).

：.BD=CE.本結(jié)論正確.

②;△BA。彩△CAE,

ZABD=ZACE.

'：ZABD+ZDBC=45°,

：.ZACE+ZDBC=45°.

：.ZDBC+NDCB=NDBC+ZACE+ZACB=9Q°.

：.BD±CE.本結(jié)論正確.

③???△ABC為等腰直角三角形，

ZABC=ZACB=45°.

乙4BO+/DBC=45°.

NABD=NACE,

：.ZACE+ZDBC=45°.本結(jié)論正確.

④?：BDJ-CE,

:.在RfABDE中,利用勾股定理得：BE^BD^DE2.

???△ADE為等腰直角三角形，

：.DE=y/2AD,即。￡2=24。2.

二BE?=BD2+DE2=BD2+2AD2.

而BDV2A82,本結(jié)論錯誤.

綜上所述，正確的個數(shù)為3個.

故選C.

11.且。工2【分析】根據(jù)二次根式有意義和分式有意義的條件，即可求出a的取值范

圍.

【詳解】解：亙在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，

2-a

e[a-\>Q

解得：且“2；

故答案為：且”/2；

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義和分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是正確求出a的取

答案第4頁，共14頁

值范圍.

12.①④##④①【分析】根據(jù)勾股數(shù)的特點(diǎn)判斷即可.

【詳解】①.62+82=102,是勾股數(shù)；

②.1.5,2,2.5中，1.5,2.5不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)；

③.（千7+（42）2*（夕）2,不是勾股數(shù)；

?.72+242=252,是勾股數(shù)；

⑤.（6>+（石尸=（石尸，且右，石不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù).

故答案為：①④.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股數(shù)，解答此題要深刻理解勾股數(shù)的定義，并能夠熟練運(yùn)用.必須

根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗(yàn)證較小兩數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)的平方.

13.0,7,12,15,16【詳解】試題解析^是整數(shù)，

.,.16-n>0,且16-n是完全平方數(shù)，

二①16-n=l,即n=15；

②16-n=4,即n=12；

③16-n=9,即n=7；

@16-n=16,即n=0；

⑤16-n=0,即n=16.

綜上所述，自然數(shù)n的值可以是0,7,12,15,16.

14.612或740【分析】根據(jù)勾股定理即可求出AC邊的平方，AC邊的平方就是以AC為邊

的正方形的面積.

（詳解】當(dāng)AC邊為斜邊時：AC2=AB2+BC2=82+262=740，

當(dāng)AC邊為直角邊時：AC2=BC2-AB2=262-82=6I2.

故答案為：612或740.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.注意本題中

不能確定誰是斜邊，所以要進(jìn)行分類討論.

15.9【分析】先進(jìn)行估算近的范圍，確定小〃的值，再代入代數(shù)式即可解答.

【詳解】解：（療<3,

??4=2,h—5/7—2,

答案第5頁，共14頁

，a-h=4—不

（4+不）（4一萬）=9

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式的求值，涉及無理數(shù)的估算和絕對值.估算無理數(shù)的取值范圍是

本題的關(guān)鍵.

16.答【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理證明“口工△CEB,進(jìn)而利用勾股定理，在

中，AF2+BF2=AB2^求出即可

【詳解】解：過點(diǎn)4作研，4）于點(diǎn)尸，

設(shè)砌墻磚塊的厚度為xcm,則BE=2xcm,則AD=3xcm,

vZACS=90°,

.-.ZACD+ZECB=90°,

?.ZECB+ZCBE=90°,

/.ZACD=/CBE,

在△ACO和△CEB中，

ZACD=ZCBE

<ZADC=NCEB,

AC=CB

/^CD=/\CEB（AAS）,

：.AD=CE9CD=BE,

:.DE=5x,AF=AD-BE=x,

???在中，

AF2+BF2=AB2>

.?.25x2+Y=400,

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用以及全等三角形的判定與性質(zhì)，得出AD=8E,

答案第6頁，共14頁

￡>C=CF是解題關(guān)鍵.

17.20【分析】由垂美四邊形的定義可得ACLBD,再利用勾股定理得到

AD2+BC2=AB2+CD2,從而求解.

【詳解】???四邊形ABCD是垂美四邊形，

AACIBD,

/./AOD=/AOB=/BOC=/COD=90。，

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

/.AD2+BC2=AB2+CD2,

VAD=2,BC=4,

，AB2+CD2=AD2+BC2=22+42-20,

故答案為：20.

【點(diǎn)睛】本題主要考查四邊形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解新定義，并熟練運(yùn)用勾股定理.

18.4【分析】根據(jù)點(diǎn)E是的中點(diǎn)以及翻折的性質(zhì)可以求出4E=L?E=EG,然后利用

“HL”證明△ED尸和△EGF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可證得DF=GF；設(shè)尸￡>=x,表

示出FC、BF,然后在RfABCF中，利用勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】是的中點(diǎn)，

：.AE=DE,

沿BE折疊后得到

：.AE=EG,AB=BG,

：.ED=EG,

,在矩形ABC。中，

：.ZA^ZD=9Q°,

：.Z￡GF=90°,

在RtAEDF和Rt4EGF中，

[ED=EG

[EF=EF，

EDF^RtLEGFqHL),

：.DF=FG,

設(shè)￡>F=x,則BF=6+x,CF=6-x,

答案第7頁，共14頁

在mABC尸中，(4^/6)2+(6-x)2=(6+x)2,

解得44.

故答案為4.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，拓展一元

一次方程，翻折的性質(zhì)，熟記性質(zhì)，找出三角形全等的條件ED=EG是解題的關(guān)鍵.

19.(1)2；(2)，=；收+1【分析】(1)先對各項(xiàng)進(jìn)行化簡，再合并同類二次根式，

〃一2

最后進(jìn)行二次根式的除法計(jì)算即可；

(2)先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則對原式進(jìn)行化簡，最后代入”的值，進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】⑴解：原式=(972+72-272)+4及

二8五X近

=2

a(a-2)+1a+21

(2)解:原式=

(a+2)(a—2)a—1a—2

a2-2a+l11

----------------------X-------------1-------------

a-2a-\a-2

x-------+--------

a-2a-\a-2

a-\1

=--------4----------

a-2a-2

a

當(dāng)a=2+夜時,

原式=2盧.=￥=0+1.

2+V2-2V2

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算和分式的化簡求值，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解

題的關(guān)鍵.

20.(1)10

⑵10

【分析】(1)先求出犯及x+y的值，再將丁、+孫3因式分解，最后再整體代入求值；

(2)先將上+土通分，再通過完全平方公式變形，最后代入求值.

%y

答案第8頁，共14頁

(1)

,?x=百-應(yīng),y=6+y/2

xy=(yj3—5/2)x(>/3+>/2)=1,x+y=百—>/2+百+>/2=2>/3

/.Vy+xy3=盯(爐+J)=q[(x+y)*12-2xy^=1X[QG)?-2X1]=]0

(2)

—I—

xy

_y2+x2

孫

_(x+y)2-2xy

xy

_(26)2_2XI

1

=10

【點(diǎn)睛】本題考查與二次根式相關(guān)的代數(shù)式求值問題，解題的關(guān)鍵是整體思想的應(yīng)用.

21.(1)C?=/J+1,a2-b+c

(2)c=6+2,a2=2(h+c)

⑶c=l

【分析】(1)根據(jù)表中的數(shù)得出規(guī)律即可；

(2)根據(jù)表中的數(shù)得出規(guī)律即可；

(3)根據(jù)3?+4?=5?得出答案即可.

(1)

當(dāng)〃為大于1的奇數(shù)，b、c的數(shù)量關(guān)系匕+l=c,a、b、c之間的數(shù)量關(guān)系是/=6+,,，

故答案為6+l=c,a2=b+ci

(2)

當(dāng)a為大于4的偶數(shù)，此時氏c的數(shù)量關(guān)系是H2=c,“、從c之間的數(shù)量關(guān)系是

a2=2(b+c),

故答案為力+2=c,a2=2(b+c)；

(3)

v32+42=52,

答案第9頁，共14頁

A(|)2+($2=(3xl)2+(4xl)2=(5xl)2=l,

Ac=l.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股數(shù)的應(yīng)用，能根據(jù)表中的數(shù)據(jù)得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵.

22.(1)是，見解析；(2)g千米【分析】(1)先根據(jù)勾股定理逆定理證得ACHB是直角

三角形，然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離中，垂線段最短即可解答；

(2)設(shè)AC=x,則AW=x—1.2,在R/AACH中，利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：(1)是；

理由是：在ACHB中，

VCH2+BH2=1,62+1.22=4,BC2=4

???CH2+BH2=BC-，

CHVAB,

是從村莊C到河邊的最近路；

(2)設(shè)AC=x,則A"=x—1.2,

在MAAC”中，

AC2AH2+CH2,

/.X2=(X-1.2)2+1.62,

解得：x=g，

答：原來的路線AC的長為g千米

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的最短距離，靈活應(yīng)用勾股定理的逆

定理和定理是解題的關(guān)鍵.

23.(l)25cm

(2)2^/277cm

【分析】(1)把盒子展開，通過兩點(diǎn)之間線段最短，畫出草圖，根據(jù)勾股定理可求得，根據(jù)

盒子展開的方式不同，分類討論；

(2)連接OP、PD,放入木棒的最大長度即為長方體的頂角的連線的最長長度，此時計(jì)算出

DB或AP的長度即為可能放入木棒的最大長度.

(1)

長方體的各邊長度如圖所示,

答案第10頁，共14頁

第一種展開方式，如圖,

由圖可知：

此時的最短路徑為CD,在心△AC。中，DC2=AD2+AC2>

C為AB中點(diǎn)，即AC=15,

即CD=,J(12+8)2+152=25,

此時最短路徑為CD=25cm,

第二種展開方式，如圖，

由圖可知：

此時的最短路徑為CD,在R/AACQ中，DC2=AD2+AC2>

C為AB中點(diǎn)，即AC=15,

即CD=^(12+8)2+152=25,

此時最短路徑為C￡>=25cm；

第三種展開方式，如圖，

答案第11頁，共14頁

由圖可知：

此時的最短路徑為CD,在即AAC。中，D