時間：二O二一年七月二十九日“求直線的回歸方程”的教課方案之邯鄲勺丸創(chuàng)作時間：二O二一年七月二十九日一．教課內(nèi)容闡發(fā)本節(jié)課的主要內(nèi)容為用最小二乘法求線性回歸方程.所以,在內(nèi)容要點的著重上,本節(jié)課與上節(jié)課有較大的差別：上節(jié)課著重于估算方法設(shè)計,在不合的數(shù)據(jù)辦理過程中,領(lǐng)會回歸直線作為變量有關(guān)關(guān)系代表這一觀點特點；本節(jié)課著重于估算方法評論與實質(zhì)應(yīng)用,在評論中使學(xué)生領(lǐng)會核心思想,理解核心觀點.考慮到本節(jié)課的教課著要點與新課程尺度的要求,對線性回歸方程系數(shù)的計算公式,可直接給出.因為公式的錯亂性,一方面,既要經(jīng)過教課方案合理表現(xiàn)知識產(chǎn)生過程,不弄“割裂”；另一方面,要充分利用計算機(jī)或計算器,簡化繁瑣的求解系數(shù)過程,簡化過于形式化的證明說理過程.鑒于上述內(nèi)容闡發(fā),確立本節(jié)課的教課要點為知道最小二乘法思想,并能依據(jù)給出的線性回歸方程的系數(shù)公式成立線性回歸方程.二．教課目的闡發(fā)本節(jié)課要修業(yè)生認(rèn)識最小二乘法思想,掌握依據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程,理解線性回歸方程觀點和回歸思想,在以上過程中領(lǐng)會隨機(jī)思想：1．能用數(shù)學(xué)符號刻畫出“從整體上看,各點與此直線的點的偏差”的表達(dá)方法；2．知道最小二乘法的思想,認(rèn)識其公式的推導(dǎo)過程；3．能聯(lián)合詳細(xì)事例,依據(jù)回歸方程系數(shù)公式成立回歸方程；4．利用回歸方程展望,表現(xiàn)用“確立關(guān)系研究有關(guān)關(guān)系”的回歸思想；三．要點,難點闡發(fā)在經(jīng)歷用不合估算方法描繪兩個變量線性有關(guān)的過程后,在學(xué)生現(xiàn)有知識能力規(guī)模內(nèi),如何選擇一個最優(yōu)方法,成為知識成長的邏輯必然.知識成長的要求與學(xué)生能力和經(jīng)驗的短缺成為本節(jié)課將會碰到的最大矛盾.在教課中,要防止兩種偏向：一是直接套用回歸系數(shù)公式求解回歸方程而回避說理過程；二是過多糾葛于數(shù)學(xué)刻畫過程,甚至在講堂內(nèi)花大批時間對回歸系數(shù)公式進(jìn)行證明說理.這兩種偏向,都離開了實質(zhì)狀況,前者忽視了“最小二乘法思想”,迷失了本節(jié)課的教課目的；后者人為拔高教材要求,離開了本節(jié)課教課要求.所以,本節(jié)課的教課難點是：如何經(jīng)過數(shù)學(xué)方法刻畫“從整體上看,各點與此直線的距離最小”并在此過程中認(rèn)識最小二乘法思想.經(jīng)過“降次舉特例說明,進(jìn)行合情推理”是學(xué)生打破此難點的一個方法.四．教課過程設(shè)計1．課題引入時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日問題1：（投影上節(jié)課研究結(jié)果）如何評論這些“直線”的好壞？原因呢？問題2：可否從幾何直不雅角度用文字語言表達(dá)你的原因？問題3：“從整體上看,各點與此直線的距離最小”中,距離等于偏差嗎？作為判斷好壞的尺度,能夠等同嗎？設(shè)計企圖：在上節(jié)課“計算展望值與實質(zhì)值偏差”的經(jīng)驗基礎(chǔ)上,經(jīng)過學(xué)生對“從整體上看,各點與此直線的點的距離的最小”這一新尺度與舊經(jīng)驗的矛盾和聯(lián)系,對“好壞問題”睜開反?。簭呐f經(jīng)驗“單個點”到新尺度“全部點”,突出“整體”二字；從舊經(jīng)驗“偏差計算”到新尺度“點線距離”,對照幾何描繪直不雅性和代數(shù)表達(dá)便利性,揭露出二者是同一尺度的不合表述.師生活動：在上節(jié)課鋪墊的基礎(chǔ)上,學(xué)生不難回憶到上節(jié)課比較不合“回歸直線”優(yōu)劣的方法——經(jīng)過計算樣本點與直線對應(yīng)點縱坐標(biāo)差比較偏差.在此鋪墊基礎(chǔ)上,教師可聯(lián)合圖形,用代數(shù)符號yi、i表記表記標(biāo)記,為下一步代數(shù)表達(dá)做好準(zhǔn)備.第二問更擁有幾何直不雅性,學(xué)生也易于接受此尺度,達(dá)成“幾何”與“代數(shù)”的轉(zhuǎn)變、“距離”與“偏差”的轉(zhuǎn)變.若學(xué)生對“距離”與“偏差”有疑問,教師可提出問題3,經(jīng)過不雅察課本92頁圖2.3－6,簡單介紹偏差辦理法的優(yōu)勝性和等價性即可.2．知識成長設(shè)回歸直線方程為,（xi,yi）示意第i個樣本點,問題1：你能用代數(shù)式來刻畫“從整體上看,各點與此直線的偏差最小”嗎？問題2：偏差有正有負(fù),我們能夠怎么躲避？比較絕對值辦理和平方辦理,我們選擇哪一種適合？設(shè)計企圖：幾何問題代數(shù)化,為下一步研究作好準(zhǔn)備,經(jīng)歷“幾何直不雅”轉(zhuǎn)變?yōu)椤按鷶?shù)表達(dá)”過程,體驗“最小二乘法思想”.師生活動：在引入的設(shè)問中,已經(jīng)解決了轉(zhuǎn)變的問題,因為上節(jié)課學(xué)生有“用詳細(xì)數(shù)據(jù)來計算偏差”的經(jīng)驗,學(xué)生易于抽象出各點偏差示意式y(tǒng)i－i=yi－（bxi+a）i=1,2,,n）,從而不難得出：Q=（y1－bx1－a）+（y2－bx2－a）++（yn－bxn－a）.問題2可在投影屏上舉極端例子說明,學(xué)生會發(fā)明此辦理方法的限制性,學(xué)生可能會提出多種方法,教師必定其不雅點,說明去絕對值對后續(xù)研究便利,可類比“方差”辦理方法,采納平方辦理方法,教師投影：問題3：從代數(shù)上說,偏差最小既哪個量最??？當(dāng)樣本點的坐標(biāo)（xi,yi）確準(zhǔn)時,上述表達(dá)式可否化為對于a、b的二次式呢？設(shè)計企圖：領(lǐng)會最小二乘法思想,不經(jīng)歷公式化簡沒法真實理解,而直接從n個點的公式化簡,教課要求、教課時間、學(xué)生能力都沒達(dá)到這個高度.而由詳細(xì)到抽象,由特別到一般,是學(xué)生順利達(dá)成認(rèn)知過程的一般性原則.經(jīng)過此問,讓學(xué)生認(rèn)識化簡的結(jié)果,在此過程中,既熟習(xí)了新符號,又經(jīng)過不雅察睜開式,能喚起學(xué)生已有認(rèn)知構(gòu)造中對于辦理帶參數(shù)的二次多項式最小值問題的數(shù)學(xué)辦理方法,揭露n個點的代數(shù)式實質(zhì)也是對于a、時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日b的二次多項式,從而認(rèn)識最小二乘法思想,打破教課難點.師生活動：教師指出：可采納n個偏差的平方和Q=（y1－bx1－a）2+（y2－bx2－a）2++（yn－bxn－a）2示意n個點與相應(yīng)直線在整體上的靠近程度：記Q=（向?qū)W生說明的意義）.在此基礎(chǔ)上,給出可求出使Q為最小值時的a、b的值的線性回歸方程系數(shù)公式：問題4：這個公式不要求記憶,但要會運(yùn)用這個公式進(jìn)行運(yùn)算,那么,要求a,b的值,你會按如何的次序求呢？設(shè)計企圖：公式不要求推導(dǎo),又不要求記憶,學(xué)生對這個公式缺乏理性的認(rèn)識,經(jīng)過這個問題,使學(xué)生從理性的條理上對公式有所認(rèn)識.師生活動：因為這個公式比較錯亂,所以在運(yùn)用這個公式求a,b時,一定要有條理,先求什么,再求什么,比方,我們能夠依據(jù)次序來求,再代入公式.問題5：回歸直線經(jīng)過樣本點中心,不雅察此公式,對照均勻數(shù)與樣本數(shù)據(jù)之間的關(guān)系,如何表現(xiàn)這點？設(shè)計企圖：在不確立問題商討中出現(xiàn)確實定性性質(zhì),比較有戲劇性,能再次激發(fā)學(xué)生的研究欲念,而此問題的研究,使得學(xué)生在“回歸直線是兩個變量擁有有關(guān)關(guān)系的代表”的理解上,上漲到“回歸直線是雙變量樣本點的中心”這一高度,深入對回歸直線和回歸思想的理解,達(dá)成學(xué)生認(rèn)知構(gòu)造的再次建構(gòu).3．知識深入：問題1：不雅察公式,依據(jù)表一數(shù)據(jù),需要計算哪些新數(shù)據(jù),才華求出線性回歸方程系數(shù)？計算量大不大？我們用計算器來取代這重復(fù)的勞動,請大家一同跟我來操控人體的脂肪百分比和年紀(jì)表一：年紀(jì)23394550545760脂肪9．521．227．528．230．230．835．2設(shè)計企圖：公式形式化程度高、表達(dá)錯亂,經(jīng)過分化,可加深對公式構(gòu)造的理解.同時,經(jīng)過例題,反響數(shù)據(jù)辦理的錯亂性,表現(xiàn)計算器辦理的優(yōu)勝性.時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日師生活動：可讓學(xué)生不雅察公式,充分議論,得出要計算：n、、、、五個新數(shù)據(jù).此后教師可偕同學(xué)生,對計算器操控方法供給示范,師生配合達(dá)成.問題2：利用計算器,依據(jù)表二,請同學(xué)們獨立解決求出表中兩變量的回歸方程：表二：年紀(jì)27414953565861脂肪17．825．926．329．631．433．534．6師生活動：教師利用Excle軟件,示范操控,并合時給出回歸直線答案,檢測正確與否.年紀(jì)23394550545760脂肪9．521．227．528．230．230．835．2年紀(jì)27414953565861脂肪17．825．926．329．631．433．534．6師生活動：教師利用Excle軟件,歸并表中數(shù)據(jù),求出此時的回歸直線,比較回歸直線異同.問題3：相同問題布景,為何回歸直線不只一條？回歸方程求出后,變量間的有關(guān)關(guān)系能否就轉(zhuǎn)釀成確立關(guān)系？問題4：若給出的樣本數(shù)據(jù)有關(guān)程度較弱,依據(jù)公式可否求出系數(shù)a、b？此時的直線方程是回歸直線嗎？設(shè)計企圖：明確樣本點的選擇影響回歸直線方程,表現(xiàn)統(tǒng)計的隨機(jī)思想.同時,明確其揭露的是有關(guān)關(guān)系而非函數(shù)確實定關(guān)系,而且最小二乘法不過某一尺度下的一種數(shù)據(jù)辦理方法,使學(xué)生更全面的理解回歸直線這一核心觀點.在重復(fù)求解回歸直線的過程中,使學(xué)生掌握利用計算器求回歸直線的操控方法,認(rèn)識計算機(jī)辦理方法.五．習(xí)題檢測設(shè)計1、下表是某小賣部6天賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)日氣溫的對照表（用計算器直接求回歸直線）：氣溫/℃261813104－1杯數(shù)202434385064時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日（1）畫散點圖；（2）從散點圖中發(fā)明溫度與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律；3）求回歸方程；4）依據(jù)回歸方程,計算溫度為10度時銷售杯數(shù).為何與表中不合？假如某天的氣溫是－5℃時,展望這日小賣部賣出熱茶的杯數(shù)；設(shè)計企圖：經(jīng)過本題,讓學(xué)生完好經(jīng)歷求回歸直線