均值不等式均值不等式的應(yīng)用知識(shí)內(nèi)容知識(shí)內(nèi)容版塊一．不等式的性質(zhì)1．用不等號(hào)表示不等關(guān)系的式子叫做不等式．2．對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)和，在三種關(guān)系中，有且僅有一種關(guān)系成立．3．兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小比較：對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的兩點(diǎn)，右邊的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)大．作差比較法：；；．其中符號(hào)表示它的左邊與右邊能夠互相推出．4．不等式的性質(zhì)：性質(zhì)1：（對(duì)稱(chēng)性）如果，那么；如果，那么．性質(zhì)2：（傳遞性）如果，且，則．性質(zhì)3：如果，則．推論1：（移項(xiàng)法則）不等式中的任意一項(xiàng)都可以把它的符號(hào)變成相反的符號(hào)后，從不等式的一邊移到另一邊．推論2：如果，則．我們把和（或和）這類(lèi)不等號(hào)方向相同的不等式，叫做同向不等式．推論2說(shuō)明：同向不等式的兩邊可以分別相加，所得的不等式與原不等式同向．推廣：幾個(gè)同向不等式的兩邊分別相加，所得到的不等式與原不等式同向．性質(zhì)4：如果，，則；如果，，則．實(shí)數(shù)大小的作商比較法：當(dāng)時(shí)，若，且，則；若，且，則．推論1：如果，則．推廣：幾個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式的兩邊分別相乘，所得到的不等式與原不等式同向．推論2：如果，則．推論3：如果，則<教師備案>1．對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，有；；，這幾個(gè)等價(jià)符號(hào)的左邊反映的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，右邊反映的是實(shí)數(shù)的大小順序．由此知：比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以歸結(jié)為判斷它們的差的符號(hào)．這是不等式這一章的理論基礎(chǔ)，是不等式性質(zhì)的證明，證明不等式和解不等式的主要依據(jù)．在學(xué)習(xí)了不等式的性質(zhì)后，比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小還可以用作商法，與比較，但這時(shí)要注意分母的正負(fù)情況．2．比較兩個(gè)代數(shù)式的大小關(guān)系，實(shí)際上是比較它們的值的大小，又歸結(jié)為判斷它們的差的符號(hào)，要引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到比較法是不等式證明的基本方法．它有兩個(gè)基本步驟：先作差，再變形判斷正負(fù)號(hào)，難點(diǎn)是后者．這里的代數(shù)式的字母是有范圍的，省略不寫(xiě)時(shí)就表示取值范圍是實(shí)數(shù)集，它的主要變形方法有兩種，一是因式分解法，二是配方法，變形時(shí)要盡量避免討論，讓依據(jù)盡量簡(jiǎn)便．3．可以介紹異向不等式，并提醒學(xué)生注意什么樣的不等式可以相加相減．對(duì)于不等式的性質(zhì)與推論，可以根據(jù)學(xué)生的情況適當(dāng)進(jìn)行推導(dǎo)（比如性質(zhì)４的推論３可以用反證法證明），讓學(xué)生知道這些定理的來(lái)龍去脈，在不等式的證明中減少想當(dāng)然，對(duì)數(shù)學(xué)證明的嚴(yán)格化有一定的認(rèn)識(shí)．版塊二．均值不等式1．均值定理：如果（表示正實(shí)數(shù)），那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有等號(hào)成立．此結(jié)論又稱(chēng)均值不等式或基本不等式．2．對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，叫做的算術(shù)平均值，叫做的幾何平均值．均值定理可以表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于它的幾何平均值．3．兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有最小值；兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積有最大值．<教師備案>1．在利用均值定理求某些函數(shù)的最值時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：⑴函數(shù)式中的各項(xiàng)必須都是正數(shù)，在異號(hào)時(shí)不能運(yùn)用均值不等式，在同負(fù)時(shí)可以先進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再運(yùn)用均值不等式；⑵函數(shù)式中含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù)；⑶只有具備了不等式中等號(hào)成立的條件，才能使函數(shù)式取到最大或最小值．否則不能由均值不等式求最值，只能用函數(shù)的單調(diào)性求最值．運(yùn)用均值不等式的前提有口訣：一正二定三相等．2．均值不等式的幾何解釋?zhuān)喊霃讲恍∮诎胂遥艑?duì)于任意正實(shí)數(shù)，作線段，使；⑵以為直徑作半圓，并過(guò)點(diǎn)作于，且交半圓于點(diǎn)；⑶連結(jié)，則，∵∴，當(dāng)時(shí)，在中，有．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，兩點(diǎn)重合，有．3．已知：（其中表示正實(shí)數(shù)），有以下不等式：其中稱(chēng)為平方平均數(shù)，稱(chēng)為算術(shù)平均數(shù)，稱(chēng)為幾何平均數(shù)，稱(chēng)為調(diào)和平均數(shù)．證明：∴∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)等號(hào)成立．∴，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)等號(hào)成立．∵∴，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)等號(hào)成立．∴∴，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)等號(hào)成立．了解這組不等式對(duì)解決一些不等式的證明題會(huì)有幫助，可選擇性介紹．板塊三．解不等式1．含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為的整式不等式，叫做一元二次不等式．有關(guān)含有參數(shù)的一元二次不等式問(wèn)題，若能把不等式轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)或二次方程，通過(guò)根的判別式或數(shù)形結(jié)合思想，可使問(wèn)題得到順利解決．其方法大致有：①用一元二次方程根的判別式，②參數(shù)大于最大值或小于最小值，③變更主元利用函數(shù)與方程的思想求解．2．解不等式⑴解一元二次不等式通常先將不等式化為或的形式，然后求出對(duì)應(yīng)方程的根（若有根的話(huà)），再寫(xiě)出不等式的解：大于時(shí)兩根之外，小于時(shí)兩根之間；⑵分式不等式主要是轉(zhuǎn)化為等價(jià)的一元一次、一元二次或者高次不等式來(lái)處理；⑶高次不等式主要利用“序軸標(biāo)根法”解．典例分析典例分析若，則的最小值是___________．【考點(diǎn)】均值不等式的應(yīng)用【難度】1星【題型】填空【關(guān)鍵字】2022年，北京市海淀一?！窘馕觥?，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．【答案】4;設(shè)，則的最小值是（）A．2B．4C．D．5【考點(diǎn)】均值不等式的應(yīng)用【難度】3星【題型】選擇【關(guān)鍵字】2022年，四川高考【解析】【答案】B；若為的三個(gè)內(nèi)角，則的最小值為．【考點(diǎn)】均值不等式的應(yīng)用【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵字】2022年，北京宣武1?！窘馕觥?，且，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．【答案】設(shè)，則（）A．有最大值B．有最小值C．有最大值D．有最小值【考點(diǎn)】均值不等式的應(yīng)用【難度】2星【題型】選擇【關(guān)鍵字】2022年，北京豐臺(tái)1?！窘馕觥俊摺?；而．【答案】B；已知：（其中表示正實(shí)數(shù)），求證：【考點(diǎn)】均值不等式的應(yīng)用【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵字】無(wú)【解析】略【答案】要證明的這一串平均值不等式可以看成是均值不等式的變形，掌握好這一串不等式可以對(duì)我們計(jì)算和證明提供方便．其中，稱(chēng)為反調(diào)和平均值，稱(chēng)為平方平均值，稱(chēng)為形心平均值，稱(chēng)為算術(shù)平均值，稱(chēng)為希羅平均值，稱(chēng)為幾何平均值，稱(chēng)為調(diào)和平均值．下面采用直接作差或平方后作差比較法證明這一串平均數(shù)不等式．證明：∵∴，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)等號(hào)成立．∵∴，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)等號(hào)成立．∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)等號(hào)成立．∵∴，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)等號(hào)成立．又由易得:，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)等號(hào)成立．綜上有：，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)各等號(hào)成立．設(shè)，求證：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，進(jìn)一步證明：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)各等號(hào)成立．【考點(diǎn)】均值不等式的應(yīng)用【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵字】無(wú)【解析】略【答案】∵，且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，故原不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．由此不等式知：，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到等號(hào)；又，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到等號(hào)；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，∴，又∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)．綜上知：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)各等號(hào)成立．經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀測(cè)得到：在交通繁忙的時(shí)段內(nèi)，某公路段汽車(chē)的車(chē)流量（千輛/小時(shí)）與汽車(chē)的平均速度（千米/小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為：．⑴在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車(chē)的平均速度為多少時(shí)，車(chē)流量最大？最大車(chē)流量為多少？（精確到千輛/小時(shí)）⑵【考點(diǎn)】均值不等式的應(yīng)用【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵字】無(wú)【解析】略【答案】⑴依題意，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式等號(hào)成立．所以（千輛／小時(shí)）⑵由條件得，∵，故可整理得，即，解得.答：當(dāng)千米/小時(shí)時(shí)，車(chē)流量最大，最大車(chē)流量約為千輛/小時(shí)．如果要求在該時(shí)段內(nèi)車(chē)流量超過(guò)千輛/小時(shí)，則汽車(chē)的平均速度應(yīng)大于千米/小時(shí)且小于千米/小時(shí)．某種汽車(chē)購(gòu)車(chē)費(fèi)用是萬(wàn)元，每年使用的保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)、汽油費(fèi)和約為萬(wàn)元，年維修費(fèi)第一年是萬(wàn)元，以后逐年遞增萬(wàn)元．問(wèn)這種汽車(chē)使用多少年報(bào)廢最合算?(最佳報(bào)廢時(shí)間也就是年平均費(fèi)用最低的時(shí)間)【考點(diǎn)】均值不等式的應(yīng)用【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵字】無(wú)【解析】略【答案】設(shè)使用年平均費(fèi)用最少，由于“年維修費(fèi)用第一年是萬(wàn)元，以后逐年遞增萬(wàn)元”，可知汽車(chē)每年維修費(fèi)構(gòu)成以萬(wàn)元為首項(xiàng)，萬(wàn)元為公差的等差數(shù)列，因此，汽車(chē)使用年總維修費(fèi)用為萬(wàn)元．設(shè)汽車(chē)的年平均費(fèi)用為萬(wàn)元，則有，當(dāng)，即（負(fù)值直接舍去）時(shí)取到等號(hào)，即當(dāng)汽車(chē)使用年報(bào)廢，年平均費(fèi)用最小.答：這種汽車(chē)使用年報(bào)廢最合算．如圖，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為，四周空白的寬度為，兩欄之間的中縫空白的寬度為，怎樣確定廣告的高與寬的尺寸（單位：），能使矩形廣告面積最??？【考點(diǎn)】均值不等式的應(yīng)用【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵字】2022年，湖北高考【解析】略【答案】法一：設(shè)矩形欄目的高為，寬為，則． ①?gòu)V告的高為，寬為，其中，．廣告的面積．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，代入①式得，從而．即當(dāng)，時(shí)，取得最小值．故廣告的高為，寬為時(shí)，可使廣告的面積最?。ǘ涸O(shè)廣告的高為寬分別為，，則每欄的高和寬分別為，，（其中，）兩欄面積之和為，由此得，廣告的面積，整理得．因，所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)有，解得，代入，得，即當(dāng)，時(shí)，取得最小值，故當(dāng)廣告的高為，寬為時(shí)，可使廣告的面積最?。鐖D，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱．污水從孔流入，經(jīng)沉淀后從孔流出．設(shè)箱體長(zhǎng)度為米，高度為米．已知流出的水中，雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與的乘積成反比．現(xiàn)有制箱材料平方米，問(wèn)當(dāng)各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小(孔的面積忽略不計(jì))【考點(diǎn)】均值不等式的應(yīng)用【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵字】無(wú)【解析】略【答案】法一：設(shè)為流出的水中，雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，則，其中為比例系數(shù)，依題意，即要求對(duì)應(yīng)的的值，使得的值最?。鶕?jù)題設(shè)，有，得 ①于是，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取到最小值，這時(shí)或（舍去），將代入①式得．故當(dāng)為米，為米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小.法二：依題意，即要求對(duì)應(yīng)的的值，使得最大.由題設(shè)知即∵∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)．由，解得．即當(dāng)時(shí)，取得最大值，其最大值為.∴，解得.故當(dāng)為米，為米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小.設(shè)計(jì)一幅宣傳畫(huà)，要求畫(huà)面面積為，畫(huà)面的寬與高的比為，畫(huà)面的上下各留的空白，左右各留的空白，問(wèn)怎樣確定畫(huà)面的高與寬的尺寸，能使宣傳畫(huà)所用紙張面積最?。咳绻敲礊楹沃禃r(shí)，能使宣傳畫(huà)所用紙張面積最小？【考點(diǎn)】均值不等式的應(yīng)用【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵字】無(wú)【解析】略【答案】設(shè)畫(huà)面的高為，寬為，則，故，設(shè)紙張面積為，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最小值，此時(shí)，高，寬.如果，則上述等號(hào)不能成立．現(xiàn)證函數(shù)在上單調(diào)遞增．設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以，故在上單調(diào)遞增，因此對(duì)，當(dāng)時(shí)，取得最小值.某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長(zhǎng)分別為(單位：)的矩形．上部是等腰直角三角形.要求框架?chē)傻目偯娣e.問(wèn)分別為多少(精確到時(shí)用料最省?【考點(diǎn)】均值不等式的應(yīng)用【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵字】無(wú)【解析】略【答案】由題意得∴于是，框架用料的長(zhǎng)度為：，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.此時(shí)，，．答：當(dāng)為，為時(shí)，用料最?。炒逵?jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為的矩形蔬菜溫室．在溫室內(nèi)，沿左．右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留寬的空地．當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)各為多少時(shí)？蔬菜的種植面積最大．最大種植面積是多少？【考點(diǎn)】均值不等式的應(yīng)用【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵字】無(wú)【解析】略【答案】設(shè)矩形溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為，后側(cè)邊長(zhǎng)為，則.蔬菜的種植面積．所以當(dāng)，即時(shí)，．答：當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為，后側(cè)邊長(zhǎng)為時(shí)，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積為.對(duì)個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗，清洗前其清潔度（含污物體的清潔度定義為：為，要求清洗完后的清潔度為．有兩種方案可供選擇，方案甲：一次清洗；方案乙：分兩次清洗．該物體初次清洗后受殘留水等因素影響，其質(zhì)量變?yōu)椋O(shè)用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是，用單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是，其中是該物體初次清洗后的清潔度．⑴分別求出方案甲以及時(shí)方案乙的用水量，并比較哪一種方案用水量較少；⑵若采用方案乙，當(dāng)時(shí)，如何安排初次與第二次清洗的用水量，使總用水量最小?【考點(diǎn)】均值不等式的應(yīng)用【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵字】無(wú)【解析】略【答案】⑴設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為與，由題設(shè)有，解得．由得方案乙初次用水量為，第二次用水量滿(mǎn)足方程，解得，故．即兩種方案的用水量分別為與．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即，故方案乙的用水量較少．⑵設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為與，由，由（*），于是，當(dāng)為定值時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．此時(shí)（不合題意，舍去）或?qū)⒋耄?）式得．故時(shí)總用水量最少，此時(shí)第一次與第二次用水量分別為：與，最少總用水量是．按照某學(xué)者的理論，假設(shè)一個(gè)人生產(chǎn)某產(chǎn)品的單件成本為元，如果他賣(mài)出該產(chǎn)品的單價(jià)為元，則他的滿(mǎn)意度為；如果他買(mǎi)進(jìn)該產(chǎn)品的單價(jià)為元，則他的滿(mǎn)意度為．如果一個(gè)人對(duì)兩種交易（賣(mài)出或買(mǎi)進(jìn)）的滿(mǎn)意度分別為和，則他對(duì)這兩種交易的綜合滿(mǎn)意度為．現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品的單件成本分別為元和元，乙生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品的單件成本分別為元和元，設(shè)產(chǎn)品、的單價(jià)分別為元和元，甲買(mǎi)進(jìn)與賣(mài)出的綜合滿(mǎn)意度為，乙賣(mài)出與買(mǎi)進(jìn)的綜合滿(mǎn)意度為；⑴求和關(guān)于、的表達(dá)式；當(dāng)時(shí)，求證：=；⑵設(shè)，當(dāng)、分別為多少時(shí)，甲、乙兩人的綜合滿(mǎn)意度均最大？最大的綜