II）作⊥，垂直為D，連結(jié)AD，作OH⊥AD，垂足為H，∵BC⊥AO，BC⊥OD，∴BC⊥平面AOD，∴OH⊥BC，∵OH⊥AD，∴OH⊥平面ABC．∵=，∴△為正三角形，∵BC=1，可得OD=．∵AC⊥AB，∴OA==．∵，且==，得=，又∵O是的中點，∴點到平面的距離為，故三棱錐的高為．……12分23．（2011?新課標(biāo)，文18）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，=，=,⊥底面．(Ⅰ)證明：；（Ⅱ）若==1，求棱錐的高．【解析】（Ⅰ）因為，由余弦定理得從而BD2+AD2=AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD．故PABD（Ⅱ）如圖，作DEPB，垂足為E．已知PD底面ABCD，則PDBC．由（Ⅰ）知BDAD，又BC//AD，所以BCBD．故BC平面PBD，BCDE．則DE平面PBC．由題設(shè)知，PD=1，則BD=，PB=2，根據(jù)BE·PB=PD·BD，得DE=，即棱錐D—PBC的高為24．（2019江蘇16）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點，AB=BC．求證：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．證明：（1）因為D，E分別為BC，AC的中點，所以ED∥AB．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED．又因為ED?平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1．（2）因為AB=BC，E為AC的中點，所以BE⊥AC．因為三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC．又因為BE?平面ABC，所以CC1⊥BE．因為C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1．因為C1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E．25．（2018江蘇）在平行六面體中，，．求證：(1)平面；(2)平面平面．【證明】(1)在平行六面體中，．因為平面，平面，所以∥平面．(2)在平行六面體中，四邊形為平行四邊形．又因為，所以四邊形為菱形，因此⊥．又因為⊥，∥，所以⊥．又因為=，平面，平面，所以⊥平面．因為平面，所以平面⊥平面．26．（2017江蘇）如圖，在三棱錐中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E、F（E與A、D不重合）分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求證：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【解析】證明：（1）在平面內(nèi)，因為，，所以．又因為平面，平面，所以∥平面．（2）因為平面⊥平面，平面平面=，平面，，所以平面．因為平面，所以．又，，平面，平面，所以⊥平面，又因為平面，所以．27．（2017江蘇）如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm，容器Ⅰ的底面對角線的長為10cm，容器Ⅱ的兩底面對角線，的長分別為14cm和62cm．分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均為12cm．現(xiàn)有一根玻璃棒，其長度為40cm．（容器厚度、玻璃棒粗細均忽略不計）（1）將放在容器Ⅰ中，的一端置于點處，另一端置于側(cè)棱上，求沒入水中部分的長度；（2）將放在容器Ⅱ中，的一端置于點處，另一端置于側(cè)棱上，求沒入水中部分的長度．【解析】（1）由正棱柱的定義，平面，所以平面平面，．記玻璃棒的另一端落在上點處．因為，．所以，從而．記與水平的交點為，過作，為垂足，則平面，故，從而．答：玻璃棒沒入水中部分的長度為16cm．(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為24cm) （2）如圖，，是正棱臺的兩底面中心．由正棱臺的定義，⊥平面，所以平面⊥平面，⊥．同理，平面⊥平面，⊥．記玻璃棒的另一端落在上點處．過作⊥，為垂足，則==32．因為=14，=62，所以=，從而．設(shè)則．因為，所以．在中，由正弦定理可得，解得．因為，所以．于是．記與水面的交點為，過作，為垂足，則⊥平面，故=12，從而=．答：玻璃棒沒入水中部分的長度為20cm．(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為20cm)28．（2014山東）如圖，四棱錐中，，，分別為線段的中點．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：．【解析】（Ⅰ）設(shè)，連結(jié)OF，EC，由于E為AD的中點，，所以,因此四邊形ABCE為菱形，所以O(shè)為AC的中點，又F為PC的中點，因此在中，可得．又平面，平面，所以∥平面．（Ⅱ）由題意知，，所以四邊形為平行四邊形，因此．又平面PCD，所以，因此．因為四邊形ABCE為菱形，所以．又，AP，AC平面PAC，所以平面．29．(2014江蘇)如圖，在三棱錐中，，E，F(xiàn)分別為棱的中點．已知，求證：（Ⅰ）直線平面；（Ⅱ）平面平面．【解析】（Ⅰ）∵為中點，∴DE∥PA∵平面DEF，DE平面DEF，∴PA∥平面DEF（Ⅱ）∵為中點，∴∵為中點，∴∴，∴，∴DE⊥EF∵，∴∵，∴DE⊥平面ABC∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．30．(2012廣東)如圖所示，在四棱錐中，平面，，是中點，是上的點，且，為中邊上的高．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）若，求三棱錐的體積；（Ⅲ）證明：平面．【解析】（Ⅰ）平面，面又面（Ⅱ）是中點點到面的距離三棱錐的體積（Ⅲ）取的中點為，連接，，又平面面面面，點是棱的中點，得：平面．31．（2011江蘇）如圖，在四棱錐中，平面⊥平面，，=60°，、分別是、的中點．求證：（Ⅰ）直線∥平面；（Ⅱ）平面⊥平面．【證明】：（Ⅰ）在△PAD中，因為E、F分別為AP，AD的中點，所以EF//PD．又因為EF平面PCD，PD平面PCD，所以直線EF//平面PCD．（Ⅱ）連結(jié)DB，因為AB=AD，∠BAD=60°，所以△ABD為正三角形，因為F是AD的中點，所以BF⊥AD．因為平面PAD⊥平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD．又因為BF平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD．32．（2019江蘇16）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點，AB=BC．求證：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．證明：（1）因為D，E分別為BC，AC的中點，所以ED∥AB．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED．又因為ED?平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1．（2）因為AB=BC，E為AC的中點，所以BE⊥AC．因為三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC．又因為BE?平面ABC，所以CC1⊥BE．因為C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1．因為C1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E．33．（2011江蘇）如圖，在四棱錐中，平面平面，，=60°，、分別是、的中點．求證：（Ⅰ）直線平面；（Ⅱ）平面平面．【證明】（Ⅰ）在△PAD中，因為E、F分別為AP，AD的中點，所以EF//PD．又因為EF平面PCD，PD平面PCD，所以直線EF//平面PCD．（Ⅱ）連結(jié)DB，因為AB=AD，∠BAD=60°，所以為正三角形，因為F是AD的中點，所以BFAD．因為平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以BF平面PAD．又因為BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD．考點81空間幾何體的截面問題1．（2018?新課標(biāo)Ⅰ，理12）已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為A． B． C． D．【答案】A【解析】正方體的所有棱中，實際上是3組平行的棱，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，如圖：所示的正六邊形平行的平面，并且正六邊形時，截此正方體所得截面面積的最大，此時正六邊形的邊長，截此正方體所得截面最大值為：，故選．2．（2015?新課標(biāo)Ⅱ，理19）如圖，長方體中，，，，點，分別在，上，，過點，的平面與此長方體的面相交，交線圍成