/20/20/吉林省榆樹市第一高級(jí)中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題文（含解析）一、選擇題：本大題共12題，每小題5分，共60分.1.若集合，且，則集合可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵∴∵集合∴選項(xiàng)滿足要求故選A.2.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（)A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，由此求得的虛部.【詳解】，故虛部為.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)虛部的概念，屬于基礎(chǔ)題.3.設(shè)滿足約束條件,則的最小值是A. B. C. D.【答案】C【解析】畫出不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示．由可得．平移直線，結(jié)合圖形可得，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)A時(shí)，直線在y軸上的截距最小，此時(shí)z也取得最小值．由，解得，故點(diǎn)A的坐標(biāo)為．∴．選C．4.已知，，，則a,b,c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)?，所以由指?shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，，因此,故選A.考點(diǎn)：1、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；2、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及多個(gè)數(shù)比較大小問題.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及多個(gè)數(shù)比較大小問題，屬于中檔題.多個(gè)數(shù)比較大小問題能綜合考查多個(gè)函數(shù)的性質(zhì)以及不等式的性質(zhì)，所以也是常常是命題的熱點(diǎn)，對(duì)于這類問題，解答步驟如下：（1）分組，先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)將所給數(shù)據(jù)以為界分組；（2）比較，每一組內(nèi)數(shù)據(jù)根據(jù)不同函數(shù)的單調(diào)性比較大??；（3）整理，將各個(gè)數(shù)按順序排列.5.若是定義在上的偶函數(shù)，在為增函數(shù)，則的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】判斷出的單調(diào)性，由此化簡(jiǎn)不等式，求得不等式的解集.【詳解】由于是定義在上的偶函數(shù)，且在上遞增，所以在上遞減.由得，所以不等式的解集為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，屬于基礎(chǔ)題.6.已知橢圓與圓，若橢圓上存在點(diǎn)P，使得由點(diǎn)P所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】畫出圖像，根據(jù)圖像判斷出，由此求得離心率的取值范圍，進(jìn)而求得離心率的最小值.【詳解】設(shè)過(guò)作圓的切線，切點(diǎn)為，連接.由于，根據(jù)切線的對(duì)稱性可知.在中有，即，所以，即，化簡(jiǎn)得，，所以橢圓離心率的最小值為.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓離心率最值的求法，考查圓的切線的幾何性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.7.的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，為的外心，則（）A. B. C. D.6【答案】B【解析】【分析】取的中點(diǎn)，可得，這樣，然后都用表示后運(yùn)算即可．【詳解】取的中點(diǎn)，連接，∵是外心，∴，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是取的中點(diǎn)，把轉(zhuǎn)化為，再選取為基底，用基底進(jìn)行運(yùn)算．8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸出時(shí)，則輸入的值可以為A.B.C.D.【答案】B【解析】【詳解】由題意，模擬執(zhí)行程序，可得程序框圖的功能是計(jì)算S=n×（n-1）×…×5的值，由于S=210=7×6×5，可得：n=7，即輸入n的值為7．故選B．9.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三視圖判斷出幾何體由半個(gè)球和半個(gè)圓柱構(gòu)成，由此計(jì)算出幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體的上半部分是半個(gè)球，下半部分是半個(gè)圓柱，故體積為.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查由三視圖還原原圖，考查球和圓柱體積有關(guān)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.10.已知銳角滿足，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由cos（α﹣）=cos2α，得，∴sinα+cosα＞0，則cosα﹣sinα=．兩邊平方得：，∴．故答案為A．11.拋物線焦點(diǎn)與雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)的直線交于點(diǎn)、，點(diǎn)處的切線與、軸分別交于、，若的面積為，則的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，所以，設(shè)點(diǎn)，則利用導(dǎo)數(shù)得到處切線方程，求出的坐標(biāo)后利用的面積為4得到，最后利用焦半徑公式可求.【詳解】雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，所以.設(shè)點(diǎn)，故拋物線在點(diǎn)處切線斜率為，切線方程為，所以，所以，故，，故選C.【點(diǎn)睛】若求拋物線上點(diǎn)的切線，我們一般可利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，再結(jié)合切線方程討論相關(guān)問題.注意求焦半徑的大小時(shí)應(yīng)利用拋物線的焦半徑公式來(lái)求.12.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.2016 B.2017 C.2018 D.2019【答案】A【解析】【分析】由得到，即，利用分組求和法即可得到結(jié)果.【詳解】由數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，上式對(duì)時(shí)也成立，∴，∴，∵函數(shù)的周期，∴，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，利用分組法求數(shù)列的和，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．二、填空題：本大題共4個(gè)小題,每小題5分.13.學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類的，，，四件參賽作品，只評(píng)一件一等獎(jiǎng)，在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下：甲說(shuō)：“或作品獲得一等獎(jiǎng)”；乙說(shuō)：“作品獲得一等獎(jiǎng)”；丙說(shuō)：“，兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”；丁說(shuō)：“作品獲得一等獎(jiǎng)”．若這四位同學(xué)中有且只有兩位說(shuō)的話是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的作品是______.【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)“學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)四件參賽作品只評(píng)一件一等獎(jiǎng)”，故假設(shè)分別為一等獎(jiǎng)，然后判斷甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的說(shuō)法的正確性，即可得出結(jié)果．【詳解】若A為一等獎(jiǎng)，則甲、丙、丁的說(shuō)法均錯(cuò)誤，不滿足題意；若B為一等獎(jiǎng)，則乙、丙的說(shuō)法正確，甲、丁的說(shuō)法錯(cuò)誤，滿足題意；若C為一等獎(jiǎng)，則甲、丙、丁的說(shuō)法均正確，不滿足題意；若D為一等獎(jiǎng)，則乙、丙、丁的說(shuō)法均錯(cuò)誤，不滿足題意；綜上所述，故B獲得一等獎(jiǎng)．【點(diǎn)睛】本題屬于信息題，可根據(jù)題目所給信息來(lái)找出解題所需要的條件并得出答案，在做本題的時(shí)候，可以采用依次假設(shè)為一等獎(jiǎng)并通過(guò)是否滿足題目條件來(lái)判斷其是否正確．14.若直線與圓相切，且圓心C在直線l的上方，則ab的最大值為___________．【答案】.【解析】【分析】根據(jù)直線和圓相切，圓心到直線的距離等于半徑列方程，求得的關(guān)系，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，由于直線和圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，即.由于圓心在直線的上方，所以，即，所以，，則，對(duì)稱軸為，所以的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)和直線的位置關(guān)系，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.15.在平面四邊形ABCD中，AB⊥BD，∠BCD=30°，AB2+4BD2=6，若將△ABD沿BD折成直二面角A-BD-C，則三棱錐A-BDC外接球的表面積是______.【答案】.【解析】【分析】先證明一條側(cè)棱垂直于底面，可得外接球的球心為過(guò)底面外接圓的圓心作垂直于底面的垂線與中截面的交點(diǎn)，再由求得外接球的半徑，進(jìn)而求出外接球的表面積.【詳解】因?yàn)閷⒀卣鄢芍倍娼?，，面面面，所以?所以外接球的球心為過(guò)底面外接圓的圓心作垂直于底面的垂線與中截面的交點(diǎn)，設(shè)外接球的半徑為，底面外接圓的半徑為，則，在中，由題意知，所以，所以，而，所以，所以外接球的表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查折疊問題，考查幾何體外接球表面積的計(jì)算，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.16.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是雙曲線左支上的一點(diǎn)，若直線與直線平行且的周長(zhǎng)為，則雙曲線的離心率為______.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義及三角形的周長(zhǎng)可求出，利用直線與直線平行知，結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】由雙曲線定義知，又解得，因?yàn)橹本€與直線平行，所以，故，由余弦定理得：即，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去）.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的定義，余弦定理，雙曲線的離心率，屬于難題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在中的對(duì)邊分別，若，，，（1）求（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，求得.（2）利用正弦定理得到，利用余弦定理列方程，解方程求得的值.【詳解】（1）由,得,且,所以，-（2）因?yàn)?由正弦定理得?又由余弦定理得：解得【點(diǎn)睛】本小題主要考查特殊角的三角函數(shù)值，考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.18.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且=9，S6=60．（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列{bn}滿足bn+1﹣bn=（n∈N+）且b1=3，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．【答案】（Ⅰ）an=2n+3；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，利用通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組進(jìn)行求解；（Ⅱ）利用迭代法取出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)抵消法進(jìn)行求和.試題解析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a3=9，S6=60．∴，解得．∴an=5+（n﹣1）×2=2n+3．（Ⅱ）∵bn+1﹣bn=an=2n+3，b1=3，當(dāng)n≥2時(shí)，bn=（bn﹣bn﹣1）+…+（b2﹣b1）+b1=[2（n﹣1）+3]+[2（n﹣2）+3]+…+[2×1+3]+3=．當(dāng)n=1時(shí)，b1=3適合上式，所以．∴．∴==點(diǎn)睛：裂項(xiàng)抵消法是一種常見的求和方法，其適用題型主要有：（1）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求前項(xiàng)和：；（2）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求前項(xiàng)和：；（3）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求前項(xiàng)和:.19.“共享單車”的出現(xiàn)，為我們提供了一種新型的交通方式．某機(jī)構(gòu)為了調(diào)查人們對(duì)此種交通方式的滿意度，從交通擁堵不嚴(yán)重的A城市和交通擁堵嚴(yán)重的B城市分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶，得到了一個(gè)用戶滿意度評(píng)分的樣本，并繪制出莖葉圖如圖：（1）根據(jù)莖葉圖，比較兩城市滿意度評(píng)分的平均值的大小及方差的大小（不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可）；（2）若得分不低于80分，則認(rèn)為該用戶對(duì)此種交通方式“認(rèn)可”，否則認(rèn)為該用戶對(duì)此種交通方式“不認(rèn)可”，請(qǐng)根據(jù)此樣本完成此2×2列聯(lián)表，并據(jù)此樣本分析是否有95%的把握認(rèn)為城市擁堵與認(rèn)可共享單車有關(guān)；AB合計(jì)認(rèn)可不認(rèn)可合計(jì)（3）在A，B城市對(duì)此種交通方式“認(rèn)可”的用戶中按照分層抽樣的方法抽取6人，若在此6人中推薦2人參加“單車維護(hù)”志愿活動(dòng)，求A城市中至少有1人的概率．參考數(shù)據(jù)如下：（下面臨界值表供參考）0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.02466357.87910.828（參考公式，其中）【答案】（1）A城市評(píng)分的平均值小于B城市評(píng)分的平均值?，A城市評(píng)分的方差大于B城市評(píng)分的方差，（2）沒有95%的把握，（3）【解析】【詳解】試題分析：（1）結(jié)合莖葉圖根據(jù)數(shù)據(jù)的分布可得結(jié)論．（2）結(jié)合題意的到列聯(lián)表，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)求得，對(duì)比臨界值表可得沒有95%的把握認(rèn)為城市擁堵與認(rèn)可共享單車有關(guān)．（3）先由分層抽樣方法得到在A，B兩市抽取的人數(shù)，然后根據(jù)古典概型概率公式求解即可．試題解析：(1)由莖葉圖可得：A城市評(píng)分的平均值小于B城市評(píng)分的平均值；?A城市評(píng)分的方差大于B城市評(píng)分的方差．(2)由題意可得2×2列聯(lián)表如下：?故，所以沒有95%的把握認(rèn)為城市擁堵與認(rèn)可共享單車有關(guān)．(3)由題意得在A市抽取人，設(shè)為x,y；在B市抽取人，設(shè)為a,b,c,d．則從6人中推薦2人所有基本事件共有：，共15個(gè)．設(shè)“A市至少有1人”為事件M，則事件M包含的基本事件為：，共9個(gè)．由古典概型概率公式可得，故A城市中至少有1人的概率為．20.在如圖如示的多面體中，平面平面，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，∥,且.（1）若分別是中點(diǎn)，求證：∥平面（2）求此多面體的體積【答案】（1）見解析（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）在平面中，作交DC于連接，根據(jù)條件可得四邊形是平行四邊形，于是∥，由線面平行的判定定理可得結(jié)論成立．（2）結(jié)合圖形將多面體的體積分為兩部分求解，由題意分別求得兩個(gè)椎體的高即可．試題解析：（1）證明：在平面中，作交DC于連接．是中點(diǎn)，且是正方形，∥,，又∥,，∥，四邊形是平行四邊形，∥，又平面，平面，∥平面．（2）解：如圖，連BD,BF,過(guò)F作FG⊥EF，交BC于點(diǎn)G．四邊形BEFC是等腰梯形，．平面平面，平面平面，F(xiàn)G⊥EF，DF⊥EF，平面,平面．，，故多面體的體積．21.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且△PF1F2的面積為2．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)斜率為1的直線與以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓交于A，B兩點(diǎn)，與橢圓C交于C，D兩點(diǎn)，且（），當(dāng)取得最小值時(shí)，求直線的方程.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）根據(jù)的面積求得的值，再利用橢圓過(guò)點(diǎn)及，求得的值，從而求得橢圓的方程；（2