第4章數(shù)列4.1數(shù)列基礎(chǔ)過關(guān)練題組一對(duì)數(shù)列概念的理解1.下列說法正確的是 ()A.數(shù)列1,3,5,7可以表示為{1,3,5,7}B.數(shù)列-2,-1,0,1,2與數(shù)列2,1,0,-1,-2是相同的數(shù)列C.數(shù)列0,2,4,6,…可記為{2n},n∈N*n+2n的第k2.下面四個(gè)結(jié)論:①數(shù)列可以看作一個(gè)定義在正整數(shù)集(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函數(shù);②函數(shù)就是數(shù)列;③數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是無限的;④數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的.其中正確的是 ()A.①B.①②③C.②④D.①②③④題組二數(shù)列的通項(xiàng)公式3.數(shù)列-12,14,-18,116,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=12nB.C.(-1)n4.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n+1,n為奇數(shù),2n-5.(2020四川成都外國語學(xué)校高一月考)已知數(shù)列3,3,15,21,…,則33是這個(gè)數(shù)列的第 ()6.根據(jù)下列5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)變化規(guī)律,試猜測第6個(gè)圖形中有個(gè)點(diǎn).?7.根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.(1)12,34,78,15(2)5,55,555,5555,…;(3)0.3,0.33,0.333,0.3333,…;(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…;(5)-11+1,14+1,-19+1,8.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-n2+4n+21(n∈N*).(1)寫出數(shù)列{an}的前5項(xiàng),并作出它的圖象;(2)這個(gè)數(shù)列從第幾項(xiàng)起各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)?題組三數(shù)列的遞推公式9.(2020浙江紹興一中期中)在數(shù)列{an}中,a1=1,an=1+(-1)nan-1(n≥2),則A.32B.53C.8510.已知數(shù)列{an}中,an-1=man+1(n∈N*,n>1),且a2=3,a3=5,則實(shí)數(shù)m等于 ()B.2511.已知數(shù)列{an}對(duì)任意的p,q∈N*滿足ap+q=ap+aq,且a2=-6,那么a10等于 ()12.數(shù)列{an}中,對(duì)所有n∈N*都有a1·a2·…·an=n2,則a1+a3+a5=.?13.根據(jù)下列數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式,寫出數(shù)列的前5項(xiàng),并由此歸納出它的通項(xiàng)公式.(1)a1=2,an+1=3an+2;(2)a1=1,an+1=n+2n+1題組四數(shù)列的性質(zhì)14.數(shù)列{an}中,若a1=1,an+1=1an+1-1,則a2020= 1C.1215.數(shù)列{an}中,an=-2n2+29n+3(n∈N*),則此數(shù)列中的最大值是 ()1816.(多選)下列四個(gè)命題中,正確的有 ()n+1n的第kB.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-n-50,n∈N*,則-8是該數(shù)列的第7項(xiàng)C.數(shù)列3,5,9,17,33,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=2n-1D.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=nn+1,n∈N*,則數(shù)列{a17.(2020河南鄭州八校高二上期中聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=(3-a)x-3,x≤7,ax-6,x>7,若數(shù)列{anA.94,3C.(2,3)D.(1,3)18.已知an=9n(n+1)10n(能力提升練題組一數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用1.(2020上海楊浦高級(jí)中學(xué)高二期末,)已知數(shù)列1、0、1、0、…,可猜想此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是 ()A.an=[1+(-1)n-1](n∈N*)B.an=12[1+(-1)n](n∈N*C.an=12[1+(-1)n+1]+(n-1)(n-2)(n∈N*D.an=12(1-cosnπ)(n∈N*2.()某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史,圖(1)、(2)、(3)、(4)為最簡單的四個(gè)圖案,這些圖案都由小正方形構(gòu)成,小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同),設(shè)第n個(gè)圖案包含f(n)個(gè)小正方形,則f(6)=.?題組二數(shù)列的遞推公式及其應(yīng)用3.(2021江蘇蘇州陸慕高級(jí)中學(xué)高二期中,)已知在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=nn+1an,則a2020的值為 (A.12020B.120194.(2020福建廈門高二期末,)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1-an=1n(n+1),則a10=A.910B.1011C.19105.()古印度“漢諾塔問題”:一塊黃銅平板上裝著A,B,C三根金銅石細(xì)柱,其中細(xì)柱A上套著大小不等的環(huán)形金盤,大的在下、小的在上.將這些盤子全部轉(zhuǎn)移到另一根柱子上,移動(dòng)規(guī)則如下:一次只能將一個(gè)金盤從一根柱子轉(zhuǎn)移到另外一根柱子上,不允許將較大金盤放在較小金盤上面.若A柱上現(xiàn)有3個(gè)金盤(如圖),將A柱上的金盤全部移到B柱上,至少需要移動(dòng)的次數(shù)為 ()6.()數(shù)列{an}中,a1=7,a9=8,且(n-1)an=a1+a2+…+an-1(n≥3,n∈N*),則a2等于題組三數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用(2021江蘇南通平潮高級(jí)中學(xué)高二期中,)已知數(shù)列{bn}滿足bn=2λ-12n-1-n2,若數(shù)列{bn}是單調(diào)遞減數(shù)列,則實(shí)數(shù)λA.-1,10C.(-1,1)D.-8.(2020浙江浙南名校聯(lián)盟高二上期中聯(lián)考,)已知數(shù)列{an}對(duì)任意的n∈N*都有an+1<an+an+22,且a1+a2+…+a9A.數(shù)列{an+1-an}為單調(diào)遞減數(shù)列,且a5>1B.數(shù)列{an+1-an}為單調(diào)遞增數(shù)列,且a5>1C.數(shù)列{an+1-an}為單調(diào)遞減數(shù)列,且a5<1D.數(shù)列{an+1-an}為單調(diào)遞增數(shù)列,且a5<19.(多選)(2020福建三明高一期末,)已知數(shù)列{an}滿足a1=-11,且3(2n-13)an+1=(2n-11)an,則下列結(jié)論正確的是 (A.數(shù)列{an}的前10項(xiàng)都是負(fù)數(shù)B.數(shù)列{an}先增后減C.數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為第九項(xiàng)D.數(shù)列{an}最大項(xiàng)的值為110.(多選)()若對(duì)任意正整數(shù)n,{an+1-an}為遞減數(shù)列,則稱數(shù)列{an}為“差遞減數(shù)列”.給出下列數(shù)列{an}(n∈N*),其中是“差遞減數(shù)列”的有 ()A.an=3nB.an=n2+1C.an=nD.an=lnn11.()已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(n+2)·67n,則數(shù)列{an}的最大項(xiàng)的值為12.()已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n2+kn+4.(1)若k=-5,則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)?n為何值時(shí),an有最小值?并求出最小值;(2)若對(duì)任意的n∈N*,都有an+1>an,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)練1.DA中,{1,3,5,7}表示集合,不是數(shù)列;B中,兩個(gè)數(shù)列的數(shù)雖然相同,但排列順序不同,不是相同的數(shù)列;C中,數(shù)列應(yīng)記為{2(n-1)},n∈N*;易知D正確.故選D.2.A數(shù)列可以看作一個(gè)定義在正整數(shù)集(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函數(shù),但函數(shù)不一定是數(shù)列,故①正確,②錯(cuò)誤;數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可以是有限的,也可以是無限的,故③錯(cuò)誤;數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不唯一,比如數(shù)列1,0,-1,0,1,0,-1,0,…的通項(xiàng)公式可以是an=sinnπ2,也可以是an=cos(n+3)π2,3.B解法一:所給的數(shù)列每一項(xiàng)的分子都是1,分母等于2n,每一項(xiàng)的符號(hào)為(-1)n,故此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=(-1解法二:將-12,14,-18,116代入各選項(xiàng),4.C由通項(xiàng)公式得a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,所以a2a3=20.5.C數(shù)列3,3,15,21,…可化為數(shù)列3,9,15,21,…,則數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=6n令an=6n-3=33,則解得n=6,故33是這個(gè)數(shù)列的第6項(xiàng).故選C.6.答案31解析觀察題圖得圖(1)有1個(gè)點(diǎn),圖(2)有3=1×2+1個(gè)點(diǎn),圖(3)有7=2×3+1個(gè)點(diǎn),圖(4)有13=3×4+1個(gè)點(diǎn),圖(5)有21=4×5+1個(gè)點(diǎn),所以猜想第n個(gè)圖有[(n-1)n+1]個(gè)點(diǎn),故第6個(gè)圖形有(6-1)×6+1=31個(gè)點(diǎn).7.解析(1)易知該數(shù)列中每一項(xiàng)分子比分母少1,且分母可寫成21,22,23,24,25,…,故所求數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=2n-12n,(2)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)可以變?yōu)?9×9,59×99,59×999,5即59×(10-1),59×(100-1),59×(1000-1),5即59×(10-1),59×(102-1),59×(103-1),5所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=59×(10n-1),n∈N*(3)因?yàn)閿?shù)列0.9,0.99,0.999,0.9999,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為bn=1-110n,而數(shù)列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的每一項(xiàng)都是上面數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的13,所以該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=131-(4)原數(shù)列可變形為1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,…,所以該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=n+1+(-1)n2,(5)第n項(xiàng)的符號(hào)為(-1)n,分子都是1,分母是n2+1,所以該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(-1)n·1n2+1,n∈8.解析(1)a1=-12+4×1+21=24,a2=-22+4×2+21=25,a3=-32+4×3+21=24,a4=-42+4×4+21=21,a5=-52+4×5+21=16.圖象如圖所示:(2)令an=-n2+4n+21<0,即(n-7)(n+3)>0,∴n>7或n<-3,又n∈N*,∴n>7,∴數(shù)列從第8項(xiàng)起各項(xiàng)均為負(fù)數(shù).9.D由a1=1,得a2=2,a3=12,a4=3,a5=23.故選10.B由遞推公式知a2=ma3+1,故3=5m+1,解得m=2511.C∵對(duì)任意的p,q∈N*滿足ap+q=ap+aq,∴p=q=n時(shí),有a2n=2an.又a2=-6,∴a8=2a4=4a2=-24,∴a10=a2+a8=-30.12.答案77解析解法一:因?yàn)閍1·a2·a3·…·an=n2,所以a1=1,a1·a2=22=4,a1·a2·a3=4a3=32=9,a1·a2·a3·a4=42=16,a1·a2·a3·a4·a5=16a5=52=25,所以a3=94,a5=25所以a1+a3+a5=7716解法二:當(dāng)n=1時(shí),a1=12=1,當(dāng)n≥2時(shí),an=n2當(dāng)n=1時(shí),n2(故an=1所以a1+a3+a5=1+94+2516=13.解析(1)∵a1=2,an+1=3an+2,∴a1=2=3-1,a2=3×2+2=8=32-1,a3=3×8+2=26=33-1,a4=3×26+2=80=34-1,a5=3×80+2=242=35-1,……,∴數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=3n-1(n∈N*).(2)∵a1=1,an+1=n+2n+1∴a1=1=22,a2=32,a3=2=42,a4=52,a∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n+12(n∈N*14.B令n=1,得a2=-12,再令n=2,得a3=1,所以數(shù)列{an}是周期為2的周期數(shù)列.故a2020=a2=-115.B由已知,得an=-2n2+29n+3=-2×n-2942+10818,由于n∈N*,因此當(dāng)n取距離294最近的正整數(shù)7時(shí),an取得最大值108.所以數(shù)列{an16.ABD對(duì)于A,數(shù)列n+1n的第k項(xiàng)為1+1k對(duì)于B,令n2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去),B正確;對(duì)于C,將3,5,9,17,33,…的各項(xiàng)減去1,得2,4,8,16,32,…,設(shè)該數(shù)列為{bn},則其通項(xiàng)公式為bn=2n(n∈N*),因此數(shù)列3,5,9,17,33,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=bn+1=2n+1(n∈N*),C錯(cuò)誤;對(duì)于D,an=nn+1=1-1n+1,則an+1-an=1n+1-1n+2=1(n+1)(17.C根據(jù)題意,得an=f(n)=(要使{an}是遞增數(shù)列,需滿足3-a>0,a故選C.易錯(cuò)警示分段數(shù)列的單調(diào)性與相應(yīng)分段函數(shù)的單調(diào)性有所不同,分段數(shù)列還要使得兩段之間滿足一定的條件,如本題中數(shù)列{an}遞增需滿足a7<a8,而函數(shù)f(x)遞增則需滿足(3-a)×7-3≤a7-6,二者有較大的區(qū)別.18.解析解法一:由an=9n(n+1)10n(n∈N*)得,an+1-an=9n+1當(dāng)n<8時(shí),an+1-an>0,即an+1>an,即{an}在n<8時(shí)單調(diào)遞增;當(dāng)n=8時(shí),an+1-an=0,即an+1=an,得a8=a9;當(dāng)n>8時(shí),an+1-an<0,即an+1<an,即{an}在n>8時(shí)單調(diào)遞減.所以數(shù)列{an}的最大項(xiàng)是第8項(xiàng)或第9項(xiàng),即a8=a9=99解法二:設(shè)an為最大項(xiàng),則an≥an-1,an即9解得8≤n≤9.又因?yàn)閚∈N*,所以n=8或n=9,故{an}的最大項(xiàng)為a8=a9=99能力提升練1.D對(duì)于A選項(xiàng),a1=1+(-1)0=2≠1,不符合題意;對(duì)于B選項(xiàng),a1=12×(1-1)=0≠1,不符合題意對(duì)于C選項(xiàng),a3=12×[1+(-1)4]+2×1=3≠1,不符合題意對(duì)于D選項(xiàng),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),cosnπ=-1,此時(shí)an=12當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),cosnπ=1,此時(shí)an=12×(1-1)=0,符合題意.故選D2.答案61信息提取(1)四個(gè)對(duì)稱圖形.(2)f(1)=1,f(2)=1+3+1,f(3)=1+3+5+3+1,f(4)=1+3+5+7+5+3+1.數(shù)學(xué)建模本題以小正方形的個(gè)數(shù)變化為背景,構(gòu)建“數(shù)列模型”來解決小正方形個(gè)數(shù)問題.前四個(gè)圖案中小正方形的個(gè)數(shù)分別是1,5,13,25,排成一列形成一個(gè)數(shù)列,從而把該實(shí)際問題抽象成一個(gè)以“數(shù)列”為模型的數(shù)學(xué)問題,再探索規(guī)律,總結(jié)出f(n).解析由題圖得,f(1)=1,f(2)=1+3+1=2×1+3=2×(2-1)2+3,f(3)=1+3+5+3+1=2×(1+3)+5=2×(3-1)2+5,f(4)=1+3+5+7+5+3+1=2×(1+3+5)+7=2×(4-1)2+7,故f(n)=2(n-1)2+2n-1=2n(n-1)+1.當(dāng)n=6時(shí),f(6)=2×6×5+1=61.3.C解法一:由已知得a2=22,a3=23,a4=24,猜想an∴a2020=22020解法二:∵an+1=nn+1an,即an∴an=anan-1·an-1an-2·an-2an-3·…·a3∴a2020=22020=114.C因?yàn)閍n+1-an=1n(n+1)所以(a10-a9)+(a9-a8)+…+(a3-a2)+(a2-a1)=19-110+18-19+…+1解得a10=1910.故選C5.B設(shè)細(xì)柱A上套著n個(gè)大小不等的環(huán)形金盤,至少需要移動(dòng)的次數(shù)記為an.要把最下面的第n個(gè)金盤移到另一根柱子上,則必須把上面的n-1個(gè)金盤移到余下的一根柱子上,故至少需要移動(dòng)an-1次把第n個(gè)金盤移到另一根柱子上后,再把n-1個(gè)金盤移到該柱子上,故又至少需要移動(dòng)an-1次,所以an=2an-1+1,易知a1=1,故a2=3,a3=7.故選B.6.答案9解析由(n-1)an=a1+a2+…+an-1(n≥3,n∈N*),得nan+1=a1+a2+…+an,兩式相減,得nan+1-(n-1)an=an(n≥3,n∈N*),即an+1=an(n≥3,n∈N*).∵a9=8,∴a3=8.又2a3=a1+a2,a1=7,∴a2=2a3-a1=9.7.A∵數(shù)列{bn}是單調(diào)遞減數(shù)列,∴bn+1<bn(n∈N*)恒成立,即2λ-12n-(n+1)2<2λ-12n-1-n2恒成立,即當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),6λ>-(2n+1)·2n恒成立,∵y=-(2n+1)·2n單調(diào)遞減,∴n=1時(shí),-(2n+1)·2n取得最大值,最大值為-6,∴6λ>-6,解得λ>-1;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),6λ<(2n+1)·2n恒成立,∵y=(2n+1)·2n單調(diào)遞增,∴n=2時(shí),(2n+1)·2n取得最小值,最小值為20,∴6λ<20,解得λ<103綜上,-1<λ<103.故選A8.D∵數(shù)列{an}對(duì)任意的n∈N*都有an+1<an+an+22,∴an+2-an+1>a∴{an+1-an}為單調(diào)遞增數(shù)列,∴a6-a5>a5-a4,即a4+a6>2a5,a7-a6>a4-a3,即a3+a7>a4+a6,同理可得,2a5<a4+a6<a3+a7<a2+a8<a1+a9.∴a1+a2+a3+…+a9=(a1+a9)+(a2+a8)+(a3+a7)+(a4+a6)+a5>9a5,即9a5<9,∴a5<1,故選D.9.BD解法一:∵3(2n-13)an+1=(2n-11)an,∴an+12n-又a12×1-∴數(shù)列an2n-13是首項(xiàng)為∴an2n-13=13當(dāng)n≤6時(shí),an<0,當(dāng)n≥7時(shí),an>0.又an+1-an=2n-113n∴當(dāng)n≤6時(shí),an+1>an;當(dāng)n=7時(shí),an+1=an;當(dāng)n≥8時(shí),an+1<an.∴(an)max=a7=a8=1729∴選項(xiàng)B與選項(xiàng)D正確.解法二:對(duì)于A,將等式整理得an+1=2n-113(2n-13)an令13-62n-11>0,解得n<112或n>132且n∈N*;令13-62n-11∵a1=-11,∴數(shù)列{an}的前6項(xiàng)都是負(fù)數(shù),第七項(xiàng)及以后都是正數(shù),故A錯(cuò)