2．2向量的減法學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．掌握向量減法的定義，理解相反向量的意義．(重點)2．掌握向量減法的運算及幾何意義，能作出兩個向量的差向量．(難點)1．通過向量減法的概念及減法法則的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過向量減法法則的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．小明的父親在臺北工作，他經(jīng)常乘飛機從臺北到香港開會，再從香港到上海洽談業(yè)務(wù)．若臺北到香港的位移用向量a表示，香港到上海的位移用向量b表示，臺北到上海的位移用向量c表示．閱讀教材，綜合上述情境回答下列問題：問題1：上述問題中，b能用a，c表示嗎？問題2：方向相同且模相等的兩個向量稱為什么向量？方向相反且模相等的兩個向量稱為什么向量？問題3：零向量的相反向量是什么？問題4：向量減法是向量加法的逆運算嗎？知識點1相反向量定義把與向量a長度相等、方向相反的向量，叫作向量a的相反向量，記作－a規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量．性質(zhì)(1)－(－0)＝0；(2)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；(3)若a＋b＝0，則a＝－b，b＝－a．知識點2向量減法(1)定義向量a減向量b等于向量a加上向量b的相反向量，即a－b＝a＋(－b)，求兩個向量差的運算，叫作向量的減法．(2)幾何意義如圖，設(shè)eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up8(→))＝a－b，即a－b表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量．向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來運算嗎？[提示]因為向量的減法是向量的加法的逆運算，所以向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來運算．1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))； ()(2)相反向量是共線向量； ()(3)a－b的相反向量是b－a； ()(4)|a－b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|. ()[答案](1)√(2)√(3)√(4)√2.eq\o(OP,\s\up8(→))－eq\o(QP,\s\up8(→))＋eq\o(PS,\s\up8(→))＋eq\o(SP,\s\up8(→))＝()A．eq\o(QP,\s\up8(→))B．eq\o(OQ,\s\up8(→))C．eq\o(SP,\s\up8(→))D．eq\o(SQ,\s\up8(→))[答案]B類型1向量減法的幾何作圖【例1】(教材北師版P84例4改編)如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量a＋b－c.[解]如圖所示，在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(AB,\s\up8(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up8(→))＝a＋b，再作eq\o(OC,\s\up8(→))＝c，則eq\o(CB,\s\up8(→))＝a＋b－c.若本例條件不變，則a－b－c如何作？[解]如圖，在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up8(→))＝a－b.再作eq\o(CA,\s\up8(→))＝c，則eq\o(BC,\s\up8(→))＝a－b－c.利用向量減法進(jìn)行幾何作圖的方法(1)已知向量a，b，如圖①所示，作eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up8(→))＝a－b.,(2)利用相反向量作圖，通過向量求和的平行四邊形法則作出a－b.如圖②所示，作eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，\o(OB,\s\up8(→))＝b，\o(AC,\s\up8(→))＝－b，則eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋(－b)，即eq\o(BA,\s\up8(→))＝a－b.eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1.如圖所示，O為△ABC內(nèi)一點，eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，eq\o(OC,\s\up8(→))＝c，求作：(1)向量b＋c－a；(2)向量a－b－c.[解](1)以eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))為鄰邊作?OBDC，如圖，連接OD，AD，則eq\o(OD,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝b＋c，eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(OD,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝b＋c－a.(2)由a－b－c＝a－(b＋c)，如圖，作?OBEC，連接OE，則eq\o(OE,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝b＋c，連接AE，則eq\o(EA,\s\up8(→))＝a－(b＋c)＝a－b－c.類型2向量減法的運算【例2】化簡下列式子：(1)eq\o(NQ,\s\up8(→))－eq\o(PQ,\s\up8(→))－eq\o(NM,\s\up8(→))－eq\o(MP,\s\up8(→))；(2)(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(CD,\s\up8(→)))－(eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(BD,\s\up8(→))).[解](1)原式＝eq\o(NP,\s\up8(→))＋eq\o(MN,\s\up8(→))－eq\o(MP,\s\up8(→))＝eq\o(NP,\s\up8(→))＋eq\o(PN,\s\up8(→))＝eq\o(NP,\s\up8(→))－eq\o(NP,\s\up8(→))＝0.(2)原式＝eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(CD,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→))＝(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＋(eq\o(DC,\s\up8(→))－eq\o(DB,\s\up8(→)))＝eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＝0.化簡向量的和差的方法(1)如果式子中含有括號，括號里面能運算的直接運算，不能運算的去掉括號．(2)可以利用相反向量把差統(tǒng)一成和，再利用三角形法則進(jìn)行化簡．(3)化簡向量的差時注意共起點，由減數(shù)向量的終點指向被減數(shù)向量的終點．提醒：利用圖形中的相等向量代入、轉(zhuǎn)化是向量化簡的重要技巧．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．化簡：(1)(eq\o(BA,\s\up8(→))－eq\o(BC,\s\up8(→)))－(eq\o(ED,\s\up8(→))－eq\o(EC,\s\up8(→)))；(2)(eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(BO,\s\up8(→))＋eq\o(OA,\s\up8(→)))－(eq\o(DC,\s\up8(→))－eq\o(DO,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))).[解](1)(eq\o(BA,\s\up8(→))－eq\o(BC,\s\up8(→)))－(eq\o(ED,\s\up8(→))－eq\o(EC,\s\up8(→)))＝eq\o(CA,\s\up8(→))－eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(DA,\s\up8(→)).(2)(eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(BO,\s\up8(→))＋eq\o(OA,\s\up8(→)))－(eq\o(DC,\s\up8(→))－eq\o(DO,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→)))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))－eq\o(DC,\s\up8(→))＋(eq\o(DO,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→)))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))－eq\o(DC,\s\up8(→))＋eq\o(DB,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\o(DC,\s\up8(→))＋eq\o(DB,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\o(DB,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→))＝0.類型3向量加減法的綜合應(yīng)用【例3】(1)已知|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝eq\r(5)，則|a－b|＝________．(2)(教材北師版P85例6改編)已知O為平行四邊形ABCD內(nèi)一點，eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，eq\o(OC,\s\up8(→))＝c，試用a，b，c表示eq\o(OD,\s\up8(→)).(1)eq\r(5)[(1)設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AC,\s\up8(→))＝a＋b，則四邊形ABCD是平行四邊形．又∵(eq\r(5))2＝12＋22，∴平行四邊形ABCD為矩形，∴|a－b|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(DB,\s\up8(→))))＝|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝eq\r(5).](2)[解]如圖所示：eq\o(OD,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝a＋eq\o(BC,\s\up8(→))＝a＋(eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→)))＝a＋c－b.用已知向量表示未知向量的方法用圖形中的已知向量表示所求向量，應(yīng)結(jié)合已知和所求，聯(lián)想相關(guān)的法則和幾何圖形的有關(guān)定理，將所求向量反復(fù)分解，直到全部可以用已知向量表示即可．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．設(shè)平面內(nèi)四邊形ABCD及任一點O，eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，eq\o(OC,\s\up8(→))＝c，eq\o(OD,\s\up8(→))＝d，若a＋c＝b＋d且|a－b|＝|a－d|.試判斷四邊形ABCD的形狀．[解]由a＋c＝b＋d得a－b＝d－c，即eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OD,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))，∴eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(CD,\s\up8(→))，于是AB與CD平行且相等，∴四邊形ABCD為平行四邊形．又|a－b|＝|a－d|，從而|eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))|＝|eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OD,\s\up8(→))|，∴|eq\o(BA,\s\up8(→))|＝|eq\o(DA,\s\up8(→))|，∴四邊形ABCD為菱形．1．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，則eq\o(BC,\s\up8(→))＝()A．a(chǎn)＋b B．a(chǎn)－bC．b－a D．－a－bC[eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝b－a.]2．如圖，在四邊形ABCD中，設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝c，則eq\o(DC,\s\up8(→))等于()A．a(chǎn)－b＋cB．b－(a＋c)C．a(chǎn)＋b＋cD．b－a＋c[答案]A3．(多選題)下列四個式子中可以化簡為eq\o(AB,\s\up8(→))的是()A．eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))－eq\o(BD,\s\up8(→)) B．eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))C．eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→)) D．eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)).AD[因為eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))－eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(DB,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))，所以A正確；因為eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))，所以D正確，故選AD.]4．設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則|eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(CD,\s\up8(→))|＝________．4eq\r(2)[如圖，原式＝|(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(A