/10/10/余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例——距離問題(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.如圖,為了測量隧道口AB的長度,給定下列四組數(shù)據(jù),計算時應(yīng)當(dāng)用數(shù)據(jù) ()A.α,a,b B.α,β,aC.a,b,γ D.α,β,b【解析】選C.由A與B不可到達,故不易測量α,β,所以計算時應(yīng)當(dāng)用數(shù)據(jù)a,b,γ.2.如圖所示,要測量一水塘兩側(cè)A,B兩點間的距離,其方法先選定適當(dāng)?shù)奈恢肅,用經(jīng)緯儀測出角α,再分別測出AC,BC的長b,a,則可求出A,B兩點間的距離.若測得CA=400m,CB=600m,∠ACB=60°,則AB的長為 ()A.200m B.200m C.200m D.500m【解析】選C.在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,所以AB2=4002+6002-2×400×600cos60°=,所以AB=200(m),即A,B兩點間的距離為200m.3.海上有A,B兩個小島相距10海里,從A島望C島和B島成60°的視角,從B島望C島和A島成75°的視角,則B,C間的距離是 ()A.10海里 B.5海里C.5海里 D.5海里【解析】選C.在△ABC中,A=60°,B=75°,∠C=180°-60°-75°=45°,根據(jù)正弦定理得,得=,解得BC=5.4.輪船A和輪船B在中午12時同時離開海港O,兩船航行方向的夾角為120°,兩船的航行速度分別為25nmile/h,15nmile/h,則14時兩船之間的距離是 ()A.50nmile B.70nmileC.90nmile D.110nmile【解析】選B.到14時,輪船A和輪船B分別走了50nmile,30nmile,由余弦定理得兩船之間的距離為l==70nmile.5.一船以每小時15km的速度向東行駛,船在A處看到一燈塔B在北偏東60°,行駛4小時后,船到達C處,看到這個燈塔在北偏東15°,這時船與燈塔的距離為 ()A.60km B.60kmC.30km D.30km【解析】選A.畫出圖形如圖所示,在△ABC中,∠BAC=30°,AC=4×15=60,∠B=45°,由正弦定理得=,所以BC===60,所以船與燈塔的距離為60km.6.已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔A在觀察站C的北偏東20°,燈塔B在觀察站C的南偏東40°,則燈塔A與燈塔B的距離為()A.akm B.akmC.akm D.2akm【解析】選B.如圖,在△ABC中,AC=BC=akm,∠ACB=180°-(20°+40°)=120°,所以AB===a(km).二、填空題(每小題5分,共10分)7.如圖,為了測定河的寬度,在一岸邊選定兩點A,B,望對岸標(biāo)記物C,測得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,則河的寬度為________.?【解析】在△ABC中,AB=120m,A=30°,B=75°,則C=180°-A-B=75°,所以AC=AB=120m,則河的寬度為ACsin30°=60m.答案:60m8.湖中有一小島,沿湖有一條南北方向的公路,在這條公路上的一輛汽車上測得小島在南偏西15°方向,汽車向南行駛1km后,又測得小島在南偏西75°方向,則小島到公路的距離是________km.?【解析】如圖,∠CAB=15°,∠CBA=180°-75°=105°,∠ACB=180°-105°-15°=60°,AB=1km.由正弦定理得=,BC==(km).設(shè)C到直線AB的距離為d,則d=BCsin75°=×=(km).答案:三、解答題(每小題10分,共20分)9.要測量對岸兩點A,B之間的距離,選取相距km的C,D兩點,并測得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求A,B之間的距離.【解析】在△ACD中,∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°,所以AC=CD=(km).在△BCD中,∠BCD=45°,∠BDC=75°,∠CBD=60°.所以BC==(km).△ABC中,由余弦定理,得AB2=()2+-2××cos75°=3+2+-=5,所以AB=(km).所以A,B之間的距離為km.10.甲船自某港出發(fā)時,乙船在離港7海里的海上駛向該港,已知兩船的航向成120°角,甲、乙兩船航速之比為2∶1,求兩船間距離最短時,各離該海港多遠(yuǎn)?【解析】如圖所示,甲船由A港沿AE方向行駛,乙船由D處向A港行駛,顯然∠EAD=60°.設(shè)乙船航行到B處行駛了s海里,此時A船行駛到C處,則AB=7-s,AC=2s,而∠EAD=60°,由余弦定理,得BC2=4s2+(7-s)2-4s(7-s)cos60°=7(s-2)2+21(0≤s<7).所以s=2時,BC最小為,此時AB=5,AC=4.即甲船離港4海里,乙船離港5海里.故兩船間距離最短時,甲船離港4海里,乙船離港5海里.(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.如圖,貨輪在海上以36nmile/h的速度沿方位角(從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角)為152°的方向航行.為了確定船位,在B點處觀測到燈塔A的方位角為122°.半小時后,貨輪到達C點處,觀測到燈塔A的方位角為32°.則此時貨輪與燈塔之間的距離為()A.7nmile B.8nmileC.9nmile D.10nmile【解析】選C.在△ABC中,∠B=152°-122°=30°,∠C=180°-152°+32°=60°,∠A=180°-30°-60°=90°,BC==18,所以AC=18sin30°=9(nmile).2.一船向正北航行,看見正東方向有相距8海里的兩個燈塔恰好在一條直線上.繼續(xù)航行半小時后,看見一燈塔在船的南偏東60°,另一燈塔在船的南偏東75°,則這艘船每小時航行 ()A.5海里 B.6海里 C.7海里 D.8海里【解析】選D.如圖,由題意知在△ABC中,∠ACB=75°-60°=15°,∠B=15°,所以AC=AB=8.在Rt△AOC中,OC=AC·sin30°=4.所以這艘船每小時航行=8(海里).3.一艘船自西向東勻速航行,上午10時到達一座燈塔P的南偏西75°距塔68nmile的M處,下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處,則這只船的航行速度為 ()A.nmile/h B.34nmile/hC.nmile/h D.34nmile/h【解析】選A.如圖所示,在△PMN中,=,所以MN==34,所以v==nmile/h.4.如圖所示為起重機裝置示意圖.支桿BC=10m,吊桿AC=15m,吊索AB=5m,起吊的貨物與岸的距離AD為 ()A.30m B.m C.15m D.45m【解析】選B.在△ABC中,AC=15m,AB=5m,BC=10m,由余弦定理得cos∠ACB===-,所以sin∠ACB=.又∠ACB+∠ACD=180°,所以sin∠ACD=sin∠ACB=.在Rt△ACD中,AD=ACsin∠ACD=15×=(m).二、填空題(每小題5分,共10分)5.如圖,某山上原有一條筆直的山路BC,現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC,小李在山腳B處看索道AC,發(fā)現(xiàn)張角∠ABC=120°,從B處攀登400米后到達D處,再看索道AC,發(fā)現(xiàn)張角∠ADC=150°,從D處再攀登800米到達C處,則索道AC的長為________米.?【解析】在△ABD中,BD=400米,∠ABD=120°,因為∠ADB=180°-∠ADC=30°,所以∠DAB=30°,所以AB=BD=400米,AD==400米.在△ADC中,DC=800,∠ADC=150°,AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC=(400)2+8002-2×400×800×cos150°=4002×13,所以AC=400米,故索道AC的長為400米.答案:4006.海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象,被譽為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”,我國擁有世界上已知最深的海洋藍洞.若要測量如圖所示的海洋藍洞的口徑(即A,B兩點間的距離),現(xiàn)取兩點C,D,測得CD=80,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,則圖中海洋藍洞的口徑為________.?【解析】由已知得,在△ACD中,∠ACD=15°,∠ADC=150°,所以∠DAC=15°,由正弦定理得AC===40(+).在△BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=135°,所以∠DBC=30°,由正弦定理得=,即BC===160sin15°=40(-).在△ABC中,由余弦定理,得AB2=1600×(8+4)+1600×(8-4)+2×1600×(+)×(-)×=1600×16+1600×4=1600×20=32000,解得AB=80.故圖中海洋藍洞的口徑為80.答案:80三、解答題(每小題10分,共20分)7.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A(-3,1),直線OB的傾斜角為45°,且|OB|=.(1)求點B的坐標(biāo)及線段AB的長度;(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,取1厘米為單位長度.現(xiàn)有一質(zhì)點P以1厘米/秒的速度從點B出發(fā),沿傾斜角為60°的射線BC運動,另一質(zhì)點Q同時以厘米/秒的速度從點A出發(fā)做直線運動,如果要使得質(zhì)點Q與P會合于點C,那么需要經(jīng)過多少時間?【解析】(1)設(shè)點B(x0,y0),依題意x0=cos45°=1,y0=sin45°=1,從而B(1,1),又A(-3,1),所以AB∥x軸,則|AB|=|1-(-3)|=4.(2)設(shè)質(zhì)點Q與P經(jīng)過t秒會合于點C,則AC=t厘米,BC=t厘米.由AB∥x軸及BC的傾斜角為60°,得∠ABC=120°.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos120°,所以2t2=16+t2+8t·,化簡得t2-4t-16=0,解得t=2-2(舍去)或t=2+2.即若要使得質(zhì)點Q與P會合于點C,則需要經(jīng)過(2+2)秒.8.如圖所示,經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB,AC,根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P,分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M,N(異于村莊A),要求PM=PN=MN=2(單位:千米).如何設(shè)計,使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠(yuǎn))?【解析】設(shè)∠AMN=θ,在△AMN中,=.因為MN=2,所以AM=sin(120°-θ).在△APM中,cos∠AMP=cos(60°+θ).AP2=AM2+MP2-2AM·MP·cos∠AMP=sin2(120°-θ)+4-