第一節(jié)平均指標(biāo)一、平均指標(biāo)的概述※平均指標(biāo)的概念平均指標(biāo)又稱統(tǒng)計(jì)平均數(shù)，是用以反映社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象總體各單位某一數(shù)量標(biāo)記在確定時間、地點(diǎn)條件下所達(dá)到的一般水平的綜合指標(biāo)，是總體內(nèi)各單位參差不齊的標(biāo)記值的代表值。

※平均指標(biāo)的作用：1、可以消退因總體不同而帶來的總體數(shù)量上的差異，從而使不同的總體可以對比2、可以對比同一現(xiàn)象在不同時間的一般水平，反映這類現(xiàn)象發(fā)展變更的規(guī)律性3、利用平均指標(biāo)可以分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系4、利用平均指標(biāo)估計(jì)、推算其他有關(guān)指標(biāo)※平均指標(biāo)的特點(diǎn)：1、平均指標(biāo)必需應(yīng)用于同質(zhì)總體2、平均指標(biāo)是一種代表值，它是將總體標(biāo)記總量在總體各單位之間數(shù)值差異抽象化3、平均指標(biāo)是說明現(xiàn)象在確定歷史條件下的一般水平4、計(jì)算平均指標(biāo)應(yīng)以大量視察法為基礎(chǔ)※平均數(shù)的分類平均數(shù)靜態(tài)平均數(shù)動態(tài)平均數(shù)數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)分位數(shù)二、數(shù)值平均數(shù)※數(shù)值平均數(shù)是對統(tǒng)計(jì)數(shù)列的全部各項(xiàng)數(shù)據(jù)計(jì)算的平均數(shù)，它能夠概括整個數(shù)列中全部各項(xiàng)數(shù)據(jù)的一般水平和集中趨勢，并受數(shù)列中每一個標(biāo)記值變動的影響。數(shù)值平均數(shù)主要有：算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)（一）算術(shù)平均數(shù)（）※是一種最廣泛、最常用的平均數(shù)，它是將總體各單位某一數(shù)量標(biāo)記之和求得標(biāo)記總量后，除以總體單位總數(shù)。其基本公式如下：※依據(jù)所駕馭的資料不同，算術(shù)平均數(shù)可以分為簡潔算術(shù)平均數(shù)：依據(jù)未經(jīng)分組的原始數(shù)據(jù)求平均時，一般計(jì)算簡潔算術(shù)平均數(shù)。多用于數(shù)據(jù)量較少的狀況。加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時，我們一般以頻率或頻數(shù)為權(quán)數(shù)，計(jì)算加權(quán)平均值。

1、簡潔算術(shù)平均數(shù)※簡潔算術(shù)平均數(shù)就是干脆將各變量值相加，再除以變量值的個數(shù)。簡潔算術(shù)平均數(shù)在資料未經(jīng)分組整理的狀況下應(yīng)用，其計(jì)算公式為：2、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)※當(dāng)資料已經(jīng)分組，整理成變量數(shù)列時，可以運(yùn)用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)來計(jì)算。其計(jì)算公式為：※依據(jù)數(shù)據(jù)資料的不同，用來作為權(quán)數(shù)的主要有兩種形式：一種是數(shù)據(jù)的各可能值——變量出現(xiàn)的次數(shù)（頻數(shù)），另一種是頻率。其計(jì)算公式為：※當(dāng)各組的權(quán)數(shù)相同時，即，分組資料可以不考慮權(quán)數(shù)，而接受簡潔算術(shù)平均數(shù)，其計(jì)算公式為：

3、算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)（1）算術(shù)平均數(shù)與各個變量值的離差之和為零

或：（2）算術(shù)平均數(shù)與各個變量值的離差平方和為最小?；颍海ǘ┱{(diào)和平均數(shù)（H）又稱倒數(shù)平均數(shù)，它是對變量的倒數(shù)求平均，然后再取倒數(shù)而得到的平均數(shù)。作為算術(shù)平均數(shù)的一種變形，一種特定意義上的加權(quán)調(diào)和平均數(shù)在統(tǒng)計(jì)中具有相當(dāng)強(qiáng)的好用性。調(diào)和平均數(shù)有簡潔調(diào)和平均數(shù)與加權(quán)調(diào)和平均數(shù)兩種計(jì)算形式。1、簡潔調(diào)和平均數(shù)2、加權(quán)調(diào)和平均數(shù)※調(diào)和平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系調(diào)和平均數(shù)是算術(shù)平均數(shù)的變形。權(quán)數(shù)m為各組的標(biāo)記總量,即m=xf。調(diào)和平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系如下：※從相對數(shù)（或平均數(shù)）求平均數(shù)時:

若已知的是相對數(shù)（或平均數(shù)）的分子指標(biāo)時，用調(diào)和平均數(shù)計(jì)算；若已知的是相對數(shù)（或平均數(shù)）的分母指標(biāo)時，用算術(shù)平均數(shù)計(jì)算。（三）幾何平均數(shù)（G）是若干變量值的連乘積的n次方根。說明事物在一段時間按幾何級數(shù)規(guī)律變更的平均水平?！饕脕碛?jì)算平均比率和平均發(fā)展速度幾何平均數(shù)依據(jù)駕馭的資料是否分組分為簡潔幾何平均數(shù)和加權(quán)幾何平均數(shù)兩種方法1、簡潔幾何平均數(shù)2、加權(quán)幾何平均數(shù)（四）三種平均數(shù)的關(guān)系可以證明，對于隨意一組大于0的數(shù)據(jù)，其調(diào)和平均數(shù)H、幾何平均數(shù)G和算術(shù)平均數(shù)之間存在有如下關(guān)系：

三者相等當(dāng)且僅當(dāng)。三、位置平均數(shù)亦稱描述平均數(shù)，是反映數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的位置特征的平均數(shù)。與數(shù)值平均數(shù)不同的是，位置平均數(shù)通常不是對統(tǒng)計(jì)數(shù)列的全部各項(xiàng)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算的結(jié)果，而是依據(jù)總體中處于特殊位置上的個別單位或者部分單位的標(biāo)記值來確定的代表值。（一）眾數(shù)（Mo

）※是指總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)記值※是一種位置平均數(shù)※不受極端值的影響※若總體中有兩個或兩個以上標(biāo)記值的次數(shù)都比較集中，就可能有兩個或兩個以上眾數(shù)※若總體單位數(shù)少或雖多但無明顯集中趨勢，就不存在眾數(shù)?！姅?shù)的計(jì)算1、由未分組資料或單項(xiàng)式數(shù)列計(jì)算眾數(shù)在資料未分組或分組資料為單項(xiàng)式數(shù)列時，可以干脆視察標(biāo)記值出現(xiàn)的次數(shù)，找出次數(shù)最多的標(biāo)記值，即為眾數(shù)。2、由組距數(shù)列計(jì)算眾數(shù)

在資料分組為組距數(shù)列時，先在組距數(shù)列中確定眾數(shù)所在的組，然后再利用上下限公式計(jì)算眾數(shù)。其計(jì)算公式為：下限公式：

上限公式：

（二）中位數(shù)（Me）※中位數(shù)是將數(shù)列中的標(biāo)記值按大小依次排列，處于中間位置的那個標(biāo)記值?！形粩?shù)把全部標(biāo)記值分成兩個部分，即兩端的標(biāo)記值個數(shù)相等※中位數(shù)不受極端值的影響※當(dāng)數(shù)列中出現(xiàn)極大標(biāo)記值或微小標(biāo)記值時，中位數(shù)比數(shù)值平均數(shù)更具有代表性?！谌狈τ?jì)量手段時，也可用中位數(shù)近似地代替算術(shù)平均數(shù)?！形粩?shù)的計(jì)算1、由未分組資料計(jì)算中位數(shù)當(dāng)資料為未分組的原始資料時，先對數(shù)列按標(biāo)記值大小排序，排序結(jié)果為：

然后按排序結(jié)果確定中位數(shù)的位置，中位數(shù)的位置公式為：2、由單項(xiàng)式數(shù)列計(jì)算中位數(shù)

在資料分組為單項(xiàng)式數(shù)列時，先計(jì)算單項(xiàng)式數(shù)列的向上或向下累計(jì)次數(shù)，累計(jì)次數(shù)第一次超過中位數(shù)位置的哪一組即為中位數(shù)所在組，該組的標(biāo)志值即為中位數(shù)。中位數(shù)的位置公式為：3、由組距式變量數(shù)列計(jì)算中位數(shù)

在資料分組為組距式變量數(shù)列時，先計(jì)算組距式變量數(shù)列的向上或向下累計(jì)次數(shù)，累計(jì)次數(shù)第一次超過中位數(shù)位置的哪一組即為中位數(shù)所在組，中位數(shù)的位置公式為：然后依據(jù)中位數(shù)組的上限、下限計(jì)算中位數(shù)的值，其計(jì)算公式為：下限公式：上限公式：（三）分位數(shù)※中位數(shù)是從中點(diǎn)將全部數(shù)據(jù)等分為兩部分※與中位數(shù)類似的還有四分位數(shù)（quartile）、特別位數(shù)（decile）和百分位數(shù)（percentile）。它們分別是用三個點(diǎn)、9個點(diǎn)和99個點(diǎn)將數(shù)據(jù)4等份、10等份和100等份后各分位點(diǎn)上的值。其次節(jié)標(biāo)記變異指標(biāo)一、標(biāo)記變異指標(biāo)概述（一）標(biāo)記變異指標(biāo)的概念是反映總體各單位標(biāo)記值之間差異程度的指標(biāo)，它反映總體變量的分布特征、變動范圍或離散程度。（二）標(biāo)記變異指標(biāo)的作用1、是衡量平均數(shù)代表性的尺度2、反映社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象變動的勻整性和穩(wěn)定性二、極差與分位差（一）極差（全距）極差是總體各單位標(biāo)記值中最大值與最小值之差，也稱全距，用來表示標(biāo)記值的變動范圍。其計(jì)算公式為：R＝最大值－最小值（二）分位差分位差是對極差指標(biāo)的一種改進(jìn)，就是從變量數(shù)列中剔除了一部分極端值之后重新計(jì)算的類似于極差的指標(biāo)。常用的分位差有：四分位差、特別位差、百分位差等。四分位差計(jì)算四分位差的目的是解除部分極端值對變異指標(biāo)的影響。其計(jì)算公式為：三、平均差平均差是總體各單位標(biāo)記值對其算術(shù)平均數(shù)的離差的確定值的算術(shù)平均數(shù)，平均差以表示。其計(jì)算公式為：

或：四、標(biāo)準(zhǔn)差與方差（一）標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差是總體各單位標(biāo)記值對其算術(shù)平均數(shù)的離差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根，又稱均方差。其計(jì)算公式為：或：（二）方差標(biāo)準(zhǔn)差的平方即為方差，在抽樣調(diào)查、相關(guān)分析以及質(zhì)量限制中應(yīng)用較多。其計(jì)算公式為：或：（三）標(biāo)準(zhǔn)差和方差的數(shù)學(xué)性質(zhì)1、標(biāo)準(zhǔn)差和方差具有“平移不變”的特性。若為隨意常數(shù)，則變量的標(biāo)準(zhǔn)差和方差與原變量相同，即有:2、將原變量x乘以一個隨意常數(shù)b，則新變量的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別為原來的倍和倍即有：3、假如兩個變量和獨(dú)立，它們的代數(shù)和的標(biāo)準(zhǔn)差就等于兩個變量方差之和的方根，它們代數(shù)和方差就等于原變量的方差之和，即有：4、在總體分組的條件下，變量的總方差可以分解為組內(nèi)方差平均數(shù)與組間方差兩部分，即有：組內(nèi)方差——反映組內(nèi)部標(biāo)記值對組平均數(shù)的方差組間方差——反映組平均數(shù)對總平均數(shù)的方差總方差——表示總體各標(biāo)記值對總平均數(shù)的方差五、成數(shù)指標(biāo)又稱為“是非”標(biāo)記或交替標(biāo)記，將總體分成具有某種性質(zhì)和不具有某種性質(zhì)兩部分,我們所關(guān)切標(biāo)記的稱為“是”，另一部分稱為“非”。設(shè)總體的n個單位中，具有某種特征的單位數(shù)是n1個，不具有某種特征的單位數(shù)是n0個，n1+n0=n。則具有某種特征的單位的成數(shù)為：不具有某種特征的單位的成數(shù)為：是非標(biāo)記數(shù)量化：“0—1分布”“0—1分布”的平均數(shù)為：1（當(dāng)單位具有某種特征）0（當(dāng)單位不具有某種特征）

“0—1分布”的標(biāo)準(zhǔn)差為：當(dāng)p=q=0.5時，“0-1分布”的方差有最大值，即0.25。

六、變異系數(shù)當(dāng)水平不同或計(jì)量單位不同的總體之間比較離散程度時，不能干脆用平均差（標(biāo)準(zhǔn)差、極差)等變異指標(biāo)，而要用變異系數(shù)（平均差系數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)、極差系數(shù)等）。其計(jì)算公式為：

平均差系數(shù)的計(jì)算公式為：

極差系數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)的計(jì)算公式分別為：第三節(jié)偏度與峰度一、矩及測度

“矩”又稱為“動差”，本是一個力學(xué)概念，表示作用力、力臂與其平衡點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，可以通過利用一系列的“矩”指標(biāo)來描述分布的特征。前面所學(xué)的算術(shù)平均數(shù)、方差以及平均差等，都可以看成是矩的特例。二、偏度及測度

偏度是反映變量數(shù)列偏斜程度的指標(biāo)，即指分布不對稱的方向和程度。變量數(shù)列的單峰鐘形分布有對稱和非對稱分布，非對稱分布包括不同程度的左偏態(tài)分布和右偏態(tài)分布。計(jì)算偏度系數(shù)為無量綱的系數(shù)，通常取值在之間。其確定值大，表