PAGEPAGE6函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．如圖是函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象，則下面判斷正確的是()A．在區(qū)間(－2,1)上f(x)是增函數(shù)B．在區(qū)間(1,3)上f(x)是減函數(shù)C．在區(qū)間(4,5)上f(x)是增函數(shù)D．在區(qū)間(3,5)上f(x)是增函數(shù)C[由導函數(shù)f′(x)的圖象知在區(qū)間(4,5)上，f′(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(4,5)上單調(diào)遞增．故選C.]2．函數(shù)y＝x＋xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間是()A．(－∞，e－2) B．(0，e－2)C．(e－2，＋∞) D．(e2，＋∞)B[因為y＝x＋xlnx，所以定義域為(0，＋∞)．令y′＝2＋lnx<0，解得0<x<e－2，即函數(shù)y＝x＋xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，e－2)，故選B.]3．已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－eq\r(3))∪[eq\r(3)，＋∞)B．[－eq\r(3)，eq\r(3)]C．(－∞，－eq\r(3))∪(eq\r(3)，＋∞)D．(－eq\r(3)，eq\r(3))B[f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒為0，Δ＝4a2－12≤0?－eq\r(3)≤a≤eq\r(3).]4．下列函數(shù)中，在(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)的是()A．y＝sinx B．y＝xe2C．y＝x3－x D．y＝lnx－xB[顯然y＝sinx在(0，＋∞)上既有增又有減，故排除A；對于函數(shù)y＝xe2，因e2為大于零的常數(shù)，不用求導就知y＝xe2在(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)；對于C，y′＝3x2－1＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(\r(3),3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(3),3)))，故函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))上為增函數(shù)，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))上為減函數(shù)；對于D，y′＝eq\f(1,x)－1(x＞0)．故函數(shù)在(1，＋∞)上為減函數(shù)，在(0,1)上為增函數(shù)，故選B.]5．設f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，將y＝f(x)和y＝f′(x)的圖象畫在同一直角坐標系中，不可能正確的是()ABCDD[對于選項A，若曲線C1為y＝f(x)的圖象，曲線C2為y＝f′(x)的圖象，則函數(shù)y＝f(x)在(－∞，0)內(nèi)是減函數(shù)，從而在(－∞，0)內(nèi)有f′(x)＜0；y＝f(x)在(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，從而在(0，＋∞)內(nèi)有f′(x)＞0.因此，選項A可能正確．同理，選項B、C也可能正確．對于選項D，若曲線C1為y＝f′(x)的圖象，則y＝f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)應為增函數(shù)，與C2不相符；若曲線C2為y＝f′(x)的圖象，則y＝f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)應為減函數(shù)，與C1不相符．因此，選項D不可能正確．]二、填空題6．函數(shù)f(x)＝x－2sinx在(0，π)上的單調(diào)遞增區(qū)間為__________.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))[令f′(x)＝1－2cosx>0，則cosx<eq\f(1,2)，又x∈(0，π)，解得eq\f(π,3)<x<π，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π)).]7．函數(shù)f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的單調(diào)減區(qū)間是________．(1,2)[f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2.]8．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)在(－2，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))[f′(x)＝eq\f(2a－1,x＋22)，由題意得f′(x)≤0在(－2，＋∞)內(nèi)恒成立，∴解不等式得a≤eq\f(1,2)，但當a＝eq\f(1,2)時，f′(x)＝0恒成立，不合題意，應舍去，所以a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))).]三、解答題9．已知函數(shù)f(x)＝(ax2＋x－1)ex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R.(1)若a＝1，求曲線f(x)在點(1，f(1))處的切線方程．(2)若a＝－1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間．[解]f′(x)＝(ax＋2a＋1)xex.(1)若a＝1，則f′(x)＝(x＋3)xex，f(x)＝(x2＋x－1)ex，所以f′(1)＝4e，f(1)＝e.所以曲線f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y－e＝4e(x－1)，即4ex－y－3e＝0.(2)若a＝－1，則f′(x)＝－(x＋1)xex.令f′(x)＝0解x1＝－1，x2＝0.當x∈(－∞，－1)時，f′(x)＜0；當x∈(－1,0)時，f′(x)＞0；當x∈(0，＋∞)時，f′(x)＜0；所以f(x)的增區(qū)間為(－1,0)，減區(qū)間為(－∞，－1)和(0，＋∞)．10．已知二次函數(shù)h(x)＝ax2＋bx＋2，其導函數(shù)y＝h′(x)的圖象如圖所示，f(x)＝6lnx＋h(x)．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，m＋eq\f(1,2))上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．[解](1)由已知，h′(x)＝2ax＋b，其圖象為直線，且過(0，－8)，(4,0)兩點，把兩點坐標代入h′(x)＝2ax＋b，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝2，,b＝－8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－8，))∴h(x)＝x2－8x＋2，h′(x)＝2x－8，∴f(x)＝6lnx＋x2－8x＋2.(2)∵f′(x)＝eq\f(6,x)＋2x－8＝eq\f(2x－1x－3,x)(x＞0)．∴當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0,1)1(1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗↘↗∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(3，＋∞)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,3)．要使函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，m＋\f(1,2)))上是單調(diào)函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＜m＋\f(1,2)，,m＋\f(1,2)≤3，))解得eq\f(1,2)＜m≤eq\f(5,2).即實數(shù)m的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2))).1．函數(shù)f(x)的定義域為R，f(－1)＝2，對任意x∈R，f′(x)>2.則f(x)>2x＋4的解集為()A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)B[構造函數(shù)g(x)＝f(x)－(2x＋4)，則g(－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f′(x)>2.∴g′(x)＝f′(x)－2>0，∴g(x)是R上的增函數(shù)．∴f(x)>2x＋4?g(x)>0?g(x)>g(－1)，∴x>－1.]2．設f(x)，g(x)是定義在R上的恒大于0的可導函數(shù)，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，則當a<x<b時有()A．f(x)g(x)>f(b)g(b)B．f(x)g(a)>f(a)g(x)C．f(x)g(b)>f(b)g(x)D．f(x)g(x)>f(a)g(a)C[因為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,g2x).又因為f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，所以eq\f(fx,gx)在R上為減函數(shù)．又因為a<x<b，所以eq\f(fa,ga)>eq\f(fx,gx)>eq\f(fb,gb)，又因為f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(b)>f(b)g(x)．因此選C.]3．若函數(shù)y＝－eq\f(4,3)x3＋bx有三個單調(diào)區(qū)間，則b的取值范圍是__________．(0，＋∞)[若函數(shù)y＝－eq\f(4,3)x3＋bx有三個單調(diào)區(qū)間，則y′＝－4x2＋b＝0有兩個不相等的實數(shù)根，所以b>0.]4．若函數(shù)f(x)＝2x2－lnx在定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(k－1，k＋1)上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是________．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))[顯然函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝4x－eq\f(1,x)＝eq\f(4x2－1,x).由f′(x)＞0，得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))；由f′(x)＜0，得函數(shù)f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).因為函數(shù)在區(qū)間(k－1，k＋1)上不是單調(diào)函數(shù)，所以k－1＜eq\f(1,2)＜k＋1，解得－eq\f(1,2)＜k＜eq\f(3,2)，又因為(k－1，k＋1)為定義域內(nèi)的一個子區(qū)間，所以k－1≥0，即k≥1.綜上可知，1≤k＜eq\f(3,2).]5．(1)已知函數(shù)f(x)＝axekx－1，g(x)＝lnx＋kx.當a＝1時，若f(x)在(1，＋∞)上為減函數(shù)，g(x)在(0,1)上為增函數(shù)，求實數(shù)k的值；(2)已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)－2lnx，a∈R，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．[解](1)當a＝1時，f(x)＝xekx－1，∴f′(x)＝(kx＋1)ekx，g′(x)＝eq\f(1,x)＋k.∵f(x)在(1，＋∞)上為減函數(shù)，則?x＞1，f′(x)≤0?k≤－eq\f(1,x)，∴k≤－1.∵g(x)在(0,1)上為增函數(shù)，則?x∈(0,1)，g′(x)≥0?k≥－eq\f(1,x)，∴k≥－1.綜上所述，k＝－1.(2)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，∴f′(x)＝1－eq\f(a,x2)－eq\f(2,x)＝eq\f(x2－2x－a,x2).①當Δ＝4＋4a≤0，即a≤－1時，得x2－2x－a≥0，則f′(x)≥0.∴函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．②當Δ＝4＋4a＞0，即a＞－1時，令f′(x)＝0，得x2－2x－a＝0，解得x1＝1－eq\r(1＋a)，x2＝1＋eq\r(1＋a)＞0.(ⅰ