第一章方程的近似解法....................................................................4

§1.1引言.............................................................................4

§1.2根的隔離........................................................................5

§1.3對(duì)分法..........................................................................6

§1.4迭代法..........................................................................8

§1.5牛頓法..........................................................................10

§1.6弦截法.........................................................................12

§1.7用牛頓法解方程組...............................................................13

本章小結(jié).............................................................................15

第二章線性方程組的解法.................................................................15

§2.1引言............................................................................15

§2.2消去法.........................................................................18

§2.3直接三角分解法.................................................................22

§2.4對(duì)稱矩陣的LDlJ分解...........................................................23

§2.5簡單迭代法.....................................................................24

§2.6塞德爾迭代法...................................................................28

本章小結(jié)33

第三章矩陣的特征值問題.................................................................34

§3.1引言............................................................................34

§3.2幕法和反幕法...................................................................35

§3.3雅可比方法.....................................................................36

§3.4QR方法*......................................................................42

本章小結(jié).............................................................................43

第四章插值與擬合.......................................................................44

§4.1引言............................................................................44

§4.2插值多項(xiàng)式的存在和唯一性......................................................45

§4.3拉格朗日插值多項(xiàng)式.............................................................46

§4.4均差插值公式...................................................................48

§4.5差分等距結(jié)點(diǎn)插值公式..........................................................50

§4.6愛爾米特插值公式...............................................................52

§4.7樣條插值公式...................................................................53

§4.8最小二乘法.....................................................................57

§4.9數(shù)值微分.......................................................................60

本章小結(jié)63

第五章數(shù)值積分.........................................................................64

§5.1引言............................................................................64

§5.2牛頓一科特斯型積分公式........................................................65

§5.3復(fù)合積分公式...................................................................67

§5.4龍貝格積分公式.................................................................70

§5.5高斯積分公式...................................................................71

本章小結(jié)73

第六章常微分方程的數(shù)值解法.............................................................74

§6.1引言............................................................................74

§6.2歐拉法和改進(jìn)的歐拉法..........................................................75

§6.3龍格一庫塔方法.................................................................77

§6.4阿達(dá)姆斯方法...................................................................80

§6.5線性多步法.....................................................................81

§6.6微分方程組和高階微分方程解法..................................................82

本章小結(jié)84

綜述與誤差的預(yù)備知識(shí)..................................................................85

§0.1綜述............................................................................85

§0.2誤差的預(yù)備知識(shí)..................................................................89

本章小結(jié).............................................................................95

第一章方程的近似解法

§1.1引言

方程f（x）=O的解稱為方程的根。也叫做函數(shù)f（x）的零點(diǎn)。

方程求根大致包括三個(gè)問題

（1）方程有沒有根？如果有根，有幾個(gè)根？

（2）哪里有根？求有根的區(qū)間，區(qū)間內(nèi)的任意一點(diǎn)作為根的近似值。

（3）根的精確化，已知一個(gè)根的近似值后設(shè)法逐步把根精確化，直到足夠精確為止。

本課程主要研究問題（2）和（3）。

§1.2根的隔離

求方程f(x)=O的解的近似值時(shí)，首先要確定若干個(gè)區(qū)間，使每個(gè)區(qū)間內(nèi)只有的一個(gè)根，這個(gè)步驟稱為根的

隔離。

對(duì)一般的方程，根的隔離有兩種方法

(1)試值法。求出f(x)在若干點(diǎn)上的函數(shù)值，觀察函數(shù)值符號(hào)變化的情況，從而確定隔根區(qū)間。

(2)作圖法。回出y=f(x)的草圖，觀察曲線y=f(x)與x軸交點(diǎn)的大致位置，從而確定隔根區(qū)間。

例1.2.1討論方程f(x)=2x3-4x2+4(x-l)2=0的根的位置。

例1.2.2將方程xk>g(x)=1的根進(jìn)行隔離［f(x)=xlog(x)-l=0］。

例123求方程f(x)=x5+2X4-5X3+8X2-7X-3=0的根。

例1.2.4求方程f(x)=2x4+5x3+8x2+7x+12=0的根。

例1.2.5求方程f(x)=x15+x3+l=0的根。

§1.3對(duì)分法

設(shè)有方程f(x)=O在(ab)內(nèi)有且僅有一個(gè)根x*,這時(shí)有f(a)f(b)<0可用對(duì)分法求x*的近似值，方法如下

(1)準(zhǔn)備：計(jì)算區(qū)間(ab)兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值f(a),f(b)

(2)對(duì)分：取c=(a+b)/2為(ab)的中點(diǎn)，計(jì)算f(c)

(3)判斷：如果f(c)=O,則c為f(x)=O的根，否則檢驗(yàn)：

若f(c)f(a)<0,則方程的根位于［ac］內(nèi)，用c代替b,

若f(c)f(b)<0,則方程的根位于［cb］內(nèi)，用c代替a?

(4)檢驗(yàn)：若lb-al<e(e為精度要求)此時(shí)計(jì)算結(jié)束x*=c,否則轉(zhuǎn)(2)。

例1.3.1用對(duì)分法求方程f(x)=x3+2x-5=0在［12］內(nèi)的根，怔=10-5］。

有根區(qū)間

1.00002.0000

1.00001.5000

1.25001.5000

1.25001.3750

1.31251.3750

1.31251.3438

1.32811.3438

1.32811.3359

1.32811.3320

1.32811.3301

1.32811.3291

方程的解x=1.3286

§1.4迭代法

設(shè)有方程f(x)=O在［ab］上有且僅有一個(gè)根X*,可用迭代法求x*的近似值，方法如下

(1)將方程f(x)=O寫成迭代形式x=(p(x)

(2)在［ab］上任取一個(gè)初始值xo。

(3)計(jì)算xi=(p(x())

(4)若Ixi-xoke(e為精度要求)，此時(shí)計(jì)算結(jié)束x*=x”否則令Xo=X］轉(zhuǎn)(3)。

例1.4.1用迭代法解方程*=10x-2,x產(chǎn)1分別采用迭代格式x=10x-2和x=log(x+2),觀察兩個(gè)計(jì)算過程

的區(qū)別。e=le-3

迭代過程：L00000.47710.39390.37910.37640.3759迭代6次x=0.3759

3

例1.4.2用迭代法求方程f(x)=x+2x-5=0的根，XQ=1[xn+1^^5-2xn],

迭代過程：1.00001.44221.28371.34491.32201.33061.32741.32861.3281

迭代9次*=1.3281

§1.5牛頓法

牛頓法是解方程f(x)=O的重要方法，它也是一種迭代法。設(shè)有方程f(x)=O在［ab］上有且僅有一個(gè)根x*,

可用牛頓法求x*的近似值，方法如下

(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x),牛頓法迭代公式為x=x-f(x)/f'(X)

(2)在［ab］上任取一個(gè)初始值xo。

z

(3)計(jì)算x,=xo-f(xo)/f(x0)

(4)若Ixi-xoke(e為精度要求)，此時(shí)計(jì)算結(jié)束x*=x”否則令xo=x1轉(zhuǎn)(3)。

例1.5.1用牛頓法解方程f(x)=x3-2x2-4x-7=0在［34］內(nèi)的根［x()=4］o

迭代過程：4.00003.67863.63293.6320迭代4次x=3.6320

例1.5.2分別用牛頓法和牛頓下山法解方程f(x)=x3-x-l=0在［0.52］內(nèi)的根o分別取初值xo=L5xo=O.6。

觀察兩種方法的區(qū)別。

§1.6弦截法

弦截法也是一種是解方程f(x)=O的迭代法，它的特點(diǎn)是不需要計(jì)算f(x)的函數(shù)f'(X),且收斂速度也相當(dāng)快,

是工程計(jì)算中常用的算法之一。設(shè)有方程f(x)=O在［ab］上有且僅有一個(gè)根x*,可用弦截法求x*的近似值,

方法如下

(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間［ab］的兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值f(xo),f(x0,其中a=x(),b=xi

(2)計(jì)算x2=xi-f(xi)［X|-x0］/［f(X|)-f(x0)J

(3)若IX2-X|l<e(e為精度要求),此時(shí)計(jì)算結(jié)束x*=X2,否則令x()=xix1=X2轉(zhuǎn)(2)。

例1.6.1用弦截法求方程X3-2X2-4X-7=0在［25］內(nèi)的根。

例162用弦截法求方程e2x+x-4=0在［01］內(nèi)的根。

§1.7用牛頓法解方程組

設(shè)有非線性方程組u(x,y)=O,v(x,y)=O,在(xn,yn)按臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開，取展開式的第1,2項(xiàng)得到

Hu(Xn，yn)5u(x,y)

+…)=0nn

dxdyjHxdy

Av(Xn，yn)3v(x,y)

3v(xn,yn)3v(xn,yn)nn

v(xn,yn)+"(xxn)+"(yyn)=0

dxdy3xdy

其中(Xn,yn)是根的第n次近似值，如果JnM方程組的第n+1次近似值小田,丫向)可用以下公式計(jì)算

au(x?,yn)

U(Xn，y?)u(xn，y)

1ay1ndx

Xn+1=Xn+-yi=y+丁

而舊品)n+n^v(x,y)

JnV(X",yn)Jn丫區(qū),區(qū))nn

辦Hx

例1.7.1用牛頓法解方程組u(x,y)=x、y3-4=0,v(x,y)=x4+y2-3=0迭代初值xo=l,y0=1.4。

(3u/9x=3x23u/3y=3y29v/5x=4x39v/3y=2y)

例1.7.2用牛頓法解方程組u(x,y)=2x3-y2-l=0,v(x,y)=xy3-y-4=0迭代初值xo=1.2,yo=1.7o

Ou/3x=6x23u/3y=-2x3v/9x=6y33v/3y=2xy2-l)

例1.7.3用牛頓法解方程組u(x,y)=x-cos(y)=0,v(x,y)=y-sin(x)=0迭代初值xo=0,y0=Oo

(3u/3x=19u/dy=sin(y)3v/8x=-cos(x)3v/3y=l)

本章小結(jié)

為了比較各種迭代方法的收斂速度，我們引入收斂階的概念。設(shè)迭代過程Xm=(p(Xn)收斂于方程X=(p(X)的

|I

根X*,令en=Xn-x*,en稱為迭代誤差，如果存在實(shí)數(shù)P21和非零常數(shù)K,使得limeF^=K,則稱該

迭代過程為P階收斂的。P=1稱為線性收斂，P>1稱為超線性收斂，P=2稱為平方收斂，顯然P越大，迭

代過程收斂的越快。可以證明

當(dāng)x*是方程f(x)=O的單根時(shí)，牛頓法是平方收斂的。當(dāng)x*是方程f(x)=O的重根時(shí)，牛頓法僅為線性收斂。

弦截法的收斂階P=1.618。對(duì)分法的收斂速度與公比為1/2的等比級(jí)數(shù)相同。

牛頓法：收斂速度最快，但要計(jì)算f(x)的導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算量大，有發(fā)散問題。

弦截法：收斂速度次之，不需要計(jì)算f(x)的導(dǎo)函數(shù)計(jì)算量比牛頓法小，有發(fā)散問題。

對(duì)分法：收斂速度最慢，但簡單有效，不存在發(fā)散問題。它一定收斂到有根區(qū)間［ab］內(nèi)的某個(gè)根。

第二章線性方程組的解法

§2.1引言

在科學(xué)實(shí)驗(yàn)和工程設(shè)計(jì)中，經(jīng)常用到解線性方程組的問題。本章討論用計(jì)算機(jī)求解線性方程組的兩類主要

方法：直接法和迭代法。解線性方程組的一般表達(dá)式

b

ailXl+a!2X2+??-+ainXn=3a”a12l

aXaX+aX=b2b

2ll+222+??,2nnaia222

根據(jù)矩陣的性質(zhì)可以寫成2

=b

aX+aXnaabn

mln22+,??+annxnnln2

'aII

a12.,ai

31nb

b

a2!a22.??a、2

2nX2

簡記為Ax=b其中A=X=b=

b

_aan2.??axn

nlnn_n_Ln

方程組Ax=b有唯一解的充分必要條件是1AM）。我們只討論這種情況下的解法。

解線性方程組的方法可以分為兩類：

一類是直接法，它只包含有限次的四則運(yùn)算，在每次運(yùn)算都無舍入誤差的情況下，所得到的是方程組的準(zhǔn)

確解。由于實(shí)際計(jì)算中總是有舍入誤差，所以實(shí)際得到的也是近似解。

令一類是迭代法，它首先選擇一組初始值，再運(yùn)用同樣的計(jì)算步驟，重復(fù)計(jì)算，得到近似解。由于這類方

法中出現(xiàn)了極限過程，必須研究迭代過程的收斂性。

本章主要介紹：

直接法中的高斯消去法和主元高斯消去法。

迭代法中的簡單迭代法和塞德爾單迭代法。

§2.2消去法

以n=4為例說明高斯消去法的計(jì)算過程，設(shè)有線性方程組

a“X|+ax+ax+ax=b,

a”Xi+aI2x2+a13x3+al4x4=3l22133l44

o(D.(l),_U(l)

aaXaY

2lX]+a22x2+233+a24x4=ba52八2a,2八3a22八4u■")

X|+ax+ax二b4-333X3+a；?X4=b?)

a3.322+@33X3344

aX]+ax+axx=b、⑴Y⑴Y4.(1)Y-h(l>

4l422433+a444a42X2+a43X3+aq44X4~D4

%|內(nèi)+ax+ax+ax=3

aHx,+a12x2+a13x3+a14x4=b,122l33144

a^Xj+a^x+322X4=b(h

a^x,+a^Xj+a2jX4=b，32

+a,4X=bj2)=

4a3^X3+334X4=b；1

a[?X3+a2X4=bf)a?x4=b?

經(jīng)過3次消元步驟，得到以上形式。從最后一個(gè)方程中解出％依此回代得到方程組的全部解。

fO.OI2xi+0.01X2+0.167x3=0.6781

例2.2.1用高斯消去法解方程組＜XI+0.8334x2+5.91X3=12.1

l3200x,+l200x2+4.2x3=981

例222用列主元高斯消去法解例2.2.1中的方程組。

f6XI+3X2+2X3=6

例2.2.3用高斯消去法解方程組〈10XI+5X2+6X3=0

[8XI+5X2+3X3=0

方程組的增廣矩陣[Alb]

6326

10560

8530

消元

6.00003.00002.00006.0000

002.6667-10.0000

01.00000.3333-8.0000

方程組系數(shù)矩陣主對(duì)角線元素為零，消元過程無法進(jìn)行!

例224用列主元高斯消去法解例223中的方程組。

方程組的增廣矩陣[Alb]

6326

10560

8530

選主元

10560

6326

8530

消元

10.00005.00006.00000

00-1.60006.0000

01.0000-1.80000

選主元

10.00005.00006.00000

01.0000-1.80000

00-1.60006.0000

消元

10.00005.00006.00000

01.0000-1.80000

00-1.60006.0000

回代得到方程組的解

5.6250-6.7500-3.7500

§2.3直接三角分解法

§2.4對(duì)稱矩陣的LDL1"分解

§2.5簡單迭代法

設(shè)有方程組Ax=b,變?yōu)榈问?，x=Mx+f,或x（k+D=Mx%f,任取初始值x⑼程迭代得至

)

v(0)v(l)32…，x（k,，…若極限limx*）=x*存在，則X*就是原方程組的解。

k—8

以n=4為例

工產(chǎn)廠m；

m,2m13A1-f「

Y(k+1)

入m22m23m4X，

2,2f2

(k+1)+

Ymimm33m4X?

入33323f3

Jk+l)

A_m4im42m43m44.w-

_4__f4.

?TTT

(k+l)

xMx,k)f

寫成分量形式

k)

x『)=+m*,++m14X4+f1

k+1)k)k)k)k)

x!,=m?1x!+mO2X2+m23Xo+m24X4+f2

+1)k)k)

x^=m3,X{+m32x^+m33X3+m34x?+f3

k+I)k,k)k)k,

X4=m41x；+m42X2+m43x^+m44X4+f4

,0)

定理1若〃=maxVlmHl<1,則簡單迭代法對(duì)任意初始值x和f都收斂。

1j=i

定理2若％=max￡Im”l<1,則簡單迭代法對(duì)任意初始值x(0)和f都收斂。

j1=1

定理3迭代公式x(k+D=Mx(k)+f,對(duì)任意初始值x(°)和f都收斂的充分必要條件是矩陣M的各個(gè)特征值的

模都小于1。

X]+3X2—2X3=7

例2.5.1用簡單迭代法解方程組卜+/+2曰=2誤差e<103

2x++X3=5

}2X2

xx(k+1)=-2x2(k)+2x3(k)+l

迭代公式x(k+l)=Mx(k)+f寫成分量形式,々(A+1)=-%(%)-％3(4)+2

x3(k4-1)=—2再(攵)——(左)+5

取初始值k=0(000),迭代過程

xi(k)X23X3(k)

7.00002.00005.0000k=l

13.0000-10.0040-13.0080k=2

0.99202.0080-0.9920k=3

1.00002.0000-1.0000k=4

1.00002.0000-1.0000k=5

迭代5次,得到方程的解12

2Xj+%2+=1

例2.5.2用簡單迭代法解方程組卜1+39+與=2

誤差e<IO3

玉+々+/=3

%1(k+1)=-0.5.(.-OS/(氏)+0.5

迭代公式x(k+l)=Mx(k)+f,寫成分量形式<z(Z+D=-0.3333修伏)一0.3333與伏)+0.6667

x3(k+1)=一七伏)一工2(左)+3

取初始值k=0(000),迭代法不收斂

§2.6塞德爾迭代法

在簡單迭代法的基礎(chǔ)上作改進(jìn)x(k+l)=Mlx(k+l)+M2x(k)+f,以n=4為例

X|/+l)■000o-X](攵+1)milmi2mi3m14X1⑹-f;

x(k4-1)m000x(k+1)0mmmX2伏)

22l2222324f2

4i.4_

X3(k+1)mm00x3(k+1)X3(^)

3132°om34

x(k+l)__mmm034(Z+1)000m__X4(k)

44l422l44_f4_

TTTTTT

x(k+l)Mlx(k+l)M2x(k)f

寫成分量形式

X](k+1)=mHx,(k)+m12x2(k)+m13x3(k)+ml4x4(k)+耳

x2(k+1)=m2]X](k+1)+m22x2(k)+m23x3(k)+m24x4(k)+f2

x3(k+1)=m3,x1(k+1)+m32x2(k+1)+m33x3(k)+m34x4(k)+f3

x4(k+l)=m41x,(k+1)+m42X((k+1)+m43x3(k+1)+m^x^k)+f4

定理1若〃=max￡lm.jl<1,則塞德爾迭代法對(duì)任意初始值x(0)和f都收斂。

'j=l

定理2若；I=max￡ll<1,則塞德爾迭代法對(duì)任意初始值x(0)和f都收斂。

ji=l

定理3迭代公式X(k+l)=M1X(k+l>+M2X(，f,對(duì)任意初始值X(°)和f都收斂的充分必要條件是

矩陣(I-Ml)」M2的各個(gè)特征值的模都小于1。

松弛法(SuccessiveOverRelaxationMethod)x(k+l,=x<kl+(o(b-Ax(k))

10稱為松弛因子，(D>1超松弛法，(0>1超松弛法，3>1低松弛法。

定理3松弛法對(duì)任意初始值x(°)和f都收斂的必要條件是O<co<20

5%|+2X9+芻=—12

例2.6.1分別用簡單迭代法和塞德爾迭代法解方程組1為+4/+2%3=20誤差e<10-3

-3X2+10光3=3

X](k+1)=—0.4.2(左)—0.213(%)—2.4

簡單迭代法迭代公式x(k+l)=Mx(k)+f,寫成分量形式卜2(&+1)=0,25%儀)-0.59⑹+5

x3(k+1)=一0.2玉(攵)+0.3工2(攵)+03

取初始值k=0(000),迭代過程

xi(k)X2(k)X33

-2.40005.00000.3000

-4.46124.24952.2802

-4.55582.74462.4671

-3.99132.62752.0345

-3.85792.98491.8865

-3.97133.09231.9671

-4.03033.02372.0219

-4.01382.98152.0132

-3.99522.99001.9972

-3.99543.00261.9960

-4.00023.00311.9999

-4.00123.00002.0010

-4.00022.99922.0002

-3.99972.99981.9998

迭代14次,得到方程的解-3.99972.99981.9998

塞德爾迭代法迭代公式x(k+1)=Mlx(k+l)+M2x(k)+f

X](k+1)=—0.4x2(k)-0.2x3(k)—2.4

寫成分量形式Jx2(k+1)=0.25x/k+l)-0.5x3(k)+5

x3(k+l)=-0.2x!(k+l)-0.3x2(k+1)+0.3

取初始值k=0(000),迭代過程

xi(k)X2(k)X3(k)

-2.40005.00000.3000

-4.46123.73372.4671

-4.38692.66971.9727

-3.86243.04801.9476

-4.00873.02402.0199

-4.01362.98661.9991

-3.99453.00181.9980

-4.00033.00092.0008

-4.00052.99952.0000

-3.99983.00011.9999

迭代10次，計(jì)算結(jié)果-3.99983.00011.9999

本章小結(jié)

本章討論了解線性方程組的直接解法和迭代解法。直接解法比較適用與系數(shù)矩陣稠密（既零元素較少）的

中、小型線性方程組，但對(duì)系數(shù)矩陣是帶狀或近似帶狀的大型線性方程組也適用。直接解法中的列主元高

斯消去法具有精度較高和省時(shí)的優(yōu)點(diǎn)，是計(jì)算機(jī)中常用的算法。

迭代解法中主要介紹了雅可比迭代法、高斯-塞德爾迭代法和松弛法。迭代法具有計(jì)算公式簡單、程序設(shè)計(jì)

容易、占用計(jì)算機(jī)內(nèi)存較少的優(yōu)點(diǎn)。適用于解大型稀疏矩陣（既零元素較多）線性方程組。高斯-塞德爾迭

代法是在雅可比迭代法的基礎(chǔ)上改進(jìn)得到，在很多情況下可以加快收斂速度，但它的收斂域與雅可比迭代

法不同，因此不能互相取代。松弛法可以加速迭代過程的收斂速度，但要適當(dāng)選擇松弛因子（0<（0<2）。在

選擇迭代法時(shí)，要特別注意檢驗(yàn)方法的收斂性問題。

第三章矩陣的特征值問題

§3.1引言

求矩陣的特征值和特征向量，是代數(shù)計(jì)算中的重要問題。在自然科學(xué)和工程中的許多問題，例如電磁振蕩、

橋梁的振動(dòng)，機(jī)械振動(dòng)等都可以歸結(jié)為求矩陣的特征值和特征向量問題。

矩陣A的特征值和特征向量是指，如果數(shù)2i和非零列向量x滿足關(guān)系式Ax=?cx,則數(shù)入稱為A的特征值

非零列向量x稱為A的與特征值人對(duì)應(yīng)的特征向量。計(jì)算n階矩陣A的特征值，就是求特征方程

IA4II=O的根%(i=l,2,...,n)o齊次線性方程組(A』I)x=O的非零解卻是尢對(duì)應(yīng)的特征向量。

本章討論一些在計(jì)算機(jī)上計(jì)算矩陣的特征值和特征向量的較為穩(wěn)定的數(shù)值算法。

§3.2器法和反慕法

1、基法：計(jì)算n階矩陣A的模最大的特征值(主特征值)及對(duì)應(yīng)的特征向量。

任取n維列向量x<°),用迭代公式x(k+,)=Ax(k)計(jì)算得到x(°),x(l),x⑵，…

設(shè)x(°>=am+a2V2+…+anVn，因?yàn)锳vj=%Vj所以

x"1=Ax""=a|X|v,+a2A_2v2+...+anA.nvn

2

=Ax'"=a1儲(chǔ)2Vi+a2九22V2+…+an?lnvn

一般地有

(k+l)<k)kkk1k

x=Ax=a仇1Vi+a2A,2v2+...+anXnvn=儲(chǔ)1alV|+a2&九).v2+...+an(Xn/Xi)vn］當(dāng)k充分大時(shí)

X(k+l=aak+lv產(chǎn)儲(chǔ)X?)向量X(k+D與X00向近似地只差一個(gè)倍數(shù)，這個(gè)倍數(shù)就是模最大的特征值儲(chǔ)。

1、反嘉法：Ax=Xx,A-Ax=A"x,A」X=AX,即A的特征值的倒數(shù)乂是A的逆矩陣A”的特征值。用

幕法求A」的模最大的特征值，它的倒數(shù)就是A的模最小的特征值。

§3.3雅可比方法

a2icos0sin0

對(duì)于2階方陣u（e）=uT（o）u（e）=

a2ia22_-sin0COS0

22-^(a22-aH)sin20+a2Icos20

aHcos0+a22sin0+a21sin20

uT（e）Au（e）

—(a-a)sin20+acos20asin29+acos20-asin20

222H2IH2221

T

令—(a22-aH)sin20+a2Icos20=0tan20=——U(0)AU(0)="°

2a”一a220九2

alla21a31

對(duì)于n階方陣（以n=3為例）A=a21a22a32

_a31a32a33

cos0sin00x0x

2aT

令tan29=21作變換矩陣U(6)=-sin0cos00則有u（e）AU（o）=0XX

a!l-a22

001XXX

cos60sin9-xx0

令tan2。=——作變換矩陣U（9）=010則有uT（e）AU（e）=XXX

a”—a

33-sin60cosO0xx

100XXX

令tan26=2a3j_作變換矩陣u(0)=

0cosOsin9則有UT(0)AU(0)=xx0

a22-@33

0-sin0cos0x0x

2a

一般地說，令tan29=———，可以將A中的元素的因和對(duì)變?yōu)?。在實(shí)際計(jì)算中采用以下公式

an-ajj

九=鼻

sin0=.

1,、2

<l^=-（aii-aii）^/2(1+V1—(0)

cos0=Jl-sin2]

(0=sign(|i)

210

例3.3.1用雅可比求對(duì)稱矩陣A=-12-1的特征值和特征向量。

012

消去第i行第j列的元素［